Back to top

[89] Capitulum XXVII.

Quod ex numeris contra se primis numeri nascuntur contra se primi.

Si fuerint duo numeri contra se primi, qui ex eis producuntur, sunt contra se primi. Quodsi idem in productos ducantur, qui inde provenient, erunt contra se primi. Sic fit deinceps: si principia ducantur in productos, inde provenientes erunt incommensurabiles.

Visum est qualiter numerus compositus ex contra se primis ad componentes se habeat. Hic, quasi e converso, videndum est qui numeri ex contra se primis generentur. Et [90] dicitur hic quodsi fuerint duo numeri contra se primi, si quilibet in se ducatur, qui inde proveniunt sunt contra se primi. Quodsi illa principia vel radicales illi primi numeri contra se primi ducantur in productos, creabuntur numeri contra se primi, et sic deinceps. Sint enim hi numeri contra se primi: 2 et 3, et vocetur primus .a., secundus .b. Ducatur .a. in se, et fit quaternarius qui sit <.c.>. Deinde ducatur ternarius qui est .b. in se ipsum, et fit novenarius qui sit .d. Item ducatur .a. in .c., ut dicatur bis quattuor, et sunt octo qui sint .e., et .b. in .d., sic ter novem, numerus qui fit .f. Et ulterius, si placet, ducatur .a. in .e., et .b. in .f., et proveniunt inde 16 et 81, quorum primus .g., secundus .h. vocentur. Dico quodsi .a. et .b. termini, qui principia sunt et radices tactorum productorum numerorum sint contra se primi, quod ceteri omnes producti ab illis, unus contra alium, sunt contra se primi. Da enim oppositum; tunc nec primi fuerunt contra se primi. Item dictum est quodsi fuerint duo numeri contra se primi, qui ex altero in se ducto producitur, ad reliquum est primus. Ex quo multo fortius sequi videtur propositum.

Haec, ut | [P1, 126v in marg.] amplius appareant, disponantur modo qui sequitur:

(Vide p. 91).

Et est notandum quod idem sequi videtur non solum de duobus numeris contra se primis sic, ut est dictum, multiplicatis, sed de tribus quorum primus ad secundum et tertium esset contra | [P2, 155v in marg.] se primus, et secundus similiter ad tertium, ut in tribus his terminis: 3 4 5, vel consimilibus.

Est etiam hic notandum quod non solum minimi numeri iam dispositi et qui ex eis producuntur, ut lateraliter unus ad alium comparatur, sunt contra se primi, scilicet 2 3 4 et 9, sed similiter si angulariter hi, qui sunt de uno ordine, aliis, qui de alio sunt ordine, pares videlicet ad impares, comparentur, contra se primi sunt vel incommensurabiles, ut binarius novenario et ceteris aliis imparibus incommensurabilis est; sic de ceteris. Hi vero qui unius sunt ordinis directe in ascendendo, ut pares ex una parte, commensurabiles sunt, et similiter impares ex alia. Mensurat enim minimus illorum omnes superiores directe supra positos, quia per multiplicationem producti sunt illius.

[91] [CSMIII/3:91; text: Numeri contra se primi vel incommensurabiles, Numeri contra se primi; Hi numeri sunt commensurabiles vel communicantes, 16, 8, 4, 2, 81, 27, 9, 3, Numeri contra se primi vel incommunicantes] [JACSP3B 01GF]

[92] Adhuc est notandum non esse similem modum generandi vel continuandi consimiles proportiones et numeros contra se primos. Si enim inter duos terminos aliqua sit proportio et quilibet in se ducatur, non <redit> inter provenientes eadem, quae inter primos fuit, proportio, ut patet in terminis prius positis, quia non est eadem proportio inter 9 et 4 quae est inter 3 et 2, alias una et eadem proportio plures haberet quam duos minimos terminos. Sunt enim illi termini, scilicet 9 et 4, minimi proportionis quam continent, quae est dupla sesquiquarta. Declarabitur autem statim quod numeri contra se primi sunt in sua proportione minimi.

Capitulum XXVIII.

Quod numeri duo contra se primi sunt in sua proportione minimi.

Quilibet duo numeri contra se primi minimi sunt proportionis quam continent, et e converso.

Ad confirmationem eorum quae alias dicta sunt de cognoscendis minimis et secundariis proportionum terminis, inseruntur hic aliquae propositiones quae de contra se primis numeris faciunt mentionem.

Dicitur igitur hic quod, si sint duo numeri, quicumque sint illi, et sint contra se primi, illi sunt in sua proportione minimi; alias enim, vel minimus illorum maiorem numeraret, ut hic: 2 4, vel essent commensurabiles et eodem numero numerarentur, ut 4 et 6. Quodcumque autem horum detur, tollitur tales terminos esse contra se primos ex diffinitione numerorum contra se primorum. Et, si numeri contra se primi non essent in sua proportione, minimi essent tunc secundarii, et, per consequens, ad priores reducibiles per quorum multiplicationem nascerentur, ut visum est alias. Et adhuc de hoc tangetur.

[93] Dico etiam quod sequitur e converso scilicet quod si aliqui numeri sunt in sua proportione minimi, quod illi sunt contra se primi. Sed quilibet duo numeri radicales, primi vel minimi alicuius proportionis sunt incommensurabiles. Ex his igitur generalis patet regula cognoscendi minimos numeros atque secundarios cuiuscumque proportionis. Omnes enim illi qui incommensurabiles sunt et, per consequens, contra se primi, sunt in sua proportione minimi. Qui vero sunt commensurabiles vel communicantes sunt secundarii in proportione quam continent.

Utrum autem unius proportionis possint esse plures minimi termini quam duo, tangetur postea. Hanc <propositionem> ponunt Euclides libro septimo et Iordanus libro tertio.

Capitulum XXVIIII.

Quod numeri quilibet in sua proportione minimi numerant quoslibet alios in eadem sumptos proportione.

Numeri quilibet in sua proportione minimi ceteros in eadem sumptos proportione numerant, minor minorem, et maior maiorem.

Illos enim numeros numerant minimi termini proportionis alicuius, qui ex illorum veniunt multiplicatione, sed ex multiplicatione minimorum terminorum alicuius proportionis proveniunt quicumque alii termini inter quos illa eadem iacet proportio, ut patet ex arte multiplicandi continuas easdem proportiones.

Sint enim hi termini 2 et 3 et vocetur primus .a., secundus .b. Multiplicetur .a. per se ipsum, et provenit inde quaternarius [94] qui sit .c. Item augeatur .b. per .a., et provenit senarius qui sit .d. Dico quod inter .c. et .d. est eadem proportio cum ea quae est inter .a. et .b. Et illi termini qui sunt .a. et .b. mensurant terminos illos qui sunt | [P1, 127r in marg.] .c. et .d., minor minorem, et maior maiorem, ut .a. numerat .c. et .b. mensurat .d.

Rediret etiam eadem proportio si, per maiorem terminum, ambo termini illi multiplicarentur: sic ter duo, et sunt sex, et ter tria, novem; | [P2, 156r in marg.] et similiter hic minor minorem numerat et maior maiorem. Et idem esset si, per quemcumque terminum unum alium, termini duo proportionis alicuius multiplicarentur. Nam, ut ait Iordanus, libro suo secundo et propositione septima: Si unus numerus duos multiplicet, erit productorum et multiplicatorum eadem proportio, siquidem in talibus sic se habet tertius ad quartum, ut primus ad secundum. Et potest ibi locum habere transmutata proportio.

Tenet etiam doctrina ista e converso, scilicet quod si duo numeri unum multiplicent, erit multiplicantium eadem <ac> productorum proportio. Ex his patet ratio quare ad continuandas easdem proportiones oportet ut minor terminus illius proportionis ducatur in se et in terminum maiorem et postea ducatur in productos et in productorum productos, prout quis plures habere voluerit continuas easdem proportiones.

Item quod, minimi numeri alicuius proportionis ceteros eiusdem proportionis mensurent numeros, patet quia, suo modo, sic se habent numeri minimi alicuius proportionis ad ceteros numeros eandem continentes proportionem, ut se habent numeri primi et incompositi ad numeros secundos et compositos. Sed primi et incompositi secundos et compositos numerant, ut ternarius novenarium, et quinque quindecim, sic de aliis. Nascuntur enim secundi et compositi a primis et incompositis per ipsorum primorum multiplicationem, ut ter tria IX, ter quinque XV, ter septem XXI, vel quinquies quinque XXV, sic de aliis. Mensurat autem ternarius omnes illos quantumcumque magnos qui ex sui proveniunt multiplicatione, similiter et quinarius eos qui ex sui generantur augmento, sic de ceteris. Sed non mensurat ternarius eos qui [95] ex augmento quinarii vel alterius numeri proveniunt, quia radices illae dictinctae sunt.

Item, in contra se primis numeris, sic est quod qui ab illis nascuntur per multiplicationem, quae tacta est, et sunt contra se primi, et ab illis mensurantur, minor per minorem, et maior per maiorem. Dicitur autem quod minor de productis numeris numeratur vel mensuratur per minorem et per maiorem. Maior, non quin quandoque minor, mensuret utrumque, quod semper accidit. Cum minor in se et in maiorem ducitur, ut, cum binarius in se et in ternarium ducitur, proveniunt quaternarius et senarius quos ambos mensurat binarius, sed, si maior duorum numerorum, inter quos est aliqua proportio, ducatur in se et in minorem, ut ternarius in se et in binarium, proveniunt inde novenarius et senarius quorum maiorem binarius non numerat, sed minorem. Maior autem, scilicet ternarius, numerat utrumque, quia per eius multiplicationem nati sunt. Quia igitur, generaliter loquendo, sive duorum terminorum inaequalium multiplicatio fiat per minorem terminorum illorum, sive per maiorem, minor terminus semper minorem de provenientibus terminis mensurat, et maior maiorem, et non semper minor maiorem vel maior minorem, licet quandoque minor utrumque mensuret, et quandoque maior, ut est tactum.

Dictum est quod numeri minimi alicuius proportionis ceteros omnes eiusdem proportionis numeros mensurant, minor minorem, et maior maiorem. Ex quo sumi potest quod illi sunt simpliciter et omnino minimi numeri alicuius proportionis qui a nullis aliis minoribus numeris eiusdem proportionis numerantur.

Capitulum XXX.

Quod ubi sunt plures continue eaedem proportiones, ipsarum duo et numeri proximi sunt commensurabiles.

Si fuerint quotlibet numeri continue proportionales, duo et duo proximi commensurabiles erunt.

[96] Intelligendum est hic quod, ubi sunt continuae proportiones, ibi sunt plures et distinctae proportiones. Licet autem, generaliter loquendo, possit esse proportionum tam similium quam dissimilium continuatio, magis tamen proprie proportionum continuatio locum habet in similibus vel eisdem proportionibus quam in dissimilibus, et, hoc modo, cum fiet mentio de continuis proportionibus, intelligimus de similibus vel eisdem.

Ubi autem sunt plures proportiones, plures quam duo requiruntur termini. Quaelibet enim proportio duos requirit terminos. Quodsi sint duae continuae proportiones, tres sufficiunt termini. Medius enim vicem gerit duorum; in ipso enim illae duae continuantur proportiones. In tribus autem continuis proportionibus, quattuor requiruntur termini, et in quattuor quinque, et sic ulterius, ut semper in termino uno numerus terminorum numerum superet proportionum continuarum.

Item intelligendum est quod, in primis simpliciter et omnino minimis numeris alicuius proportionis, plures consimiles continuari non possunt proportiones, quia terminos illos non praecedunt aliqui minores numeri inter quos talis iaceat proportio et per quorum multiplicationem distincte consimiles generentur proportiones, alias termini illi | [P2, 156r in marg.] essent commensurabiles et, per consequens, non essent minimi termini simpliciter illius proportionis, nec essent contra se primi.

Ex his igitur probatur intentum sic: illi numeri duo et duo proximi sunt commensurabiles qui per multiplicationem aliquorum minimorum numerorum generantur. Sic est de numeris continue proportionalibus. Est enim probatum, in praecedenti propositione, quod quilibet numeri minimi in sua proportione ceteros sumptos in eadem proportione numerant | [P1, 127v in marg.] vel mensurant. Numeri autem continuarum proportionum a simpliciter et omnino primis eiusdem proportionis proveniunt et sunt secundarii respectu illorum. Dicitur autem quod duo et duo proximi commensurabiles sunt, non tres vel plures, quia duo et duo proximi per multiplicationem veniunt unius termini.

Sint enim termini 9 12 16, et vocetur primus .c., secundus .d., tertius .e. Dico quod .c. et .d. sunt commensurabiles quia per multiplicationem eiusdem nascuntur numeri, puta ternarii, in se et in quaternarium ducti, inter quos eadem iacet proportio, ut in illos secundarios. Item .d. et .e. commensurabiles [97] sunt, quia per multiplicationem eiusdem creantur termini, ut quaternarii in ternarium et in se ipsum. Non sunt <tamen> illi tres termini commensurabiles, quia per nullum eundem terminum producuntur. Ternarius enim nec in se ductus, nec in quaternarium, attingere potest ad terminum qui est .e. Et terminus qui est .c. nasci non potest ex quaternario in se vel in ternarium ducto. Ideo numeri illi extremi, qui sunt .c. et .e., sunt incommensurabiles et contra se primi.

Capitulum XXXI.

Quodsi numerorum continue proportionalium duo extremi <fuerint> communicantes, erit unus numerus communiter omnes illos numerans.

Numerorum continue proportionalium si duo extremi fuerint communicantes, erit unus numerus communiter illos omnes numerans.

Haec propositio, quantum ad extremos numeros, "si fuerint communicantes", quod illi extremi per eundem mensurentur numerum, satis clara est per diffinitionem numerorum communicantium, sed quod, per "unum numerum", non solum extremi communicantes numeri, sed et omnes intermedii numerentur termini, per hoc convincitur, quia, inter terminos illos, eadem vel consimilis continuatur proportio.

Disponantur igitur tres termini continue proportionales quorum extremi sint communicantes, et sint hi: 8 12 18. Vocetur primus .a., secundus .b., tertius .c. Dico igitur, cum .a. et .c. sint commensurabiles, termini illi sint continue proportionales, oportet ut illi tres sint commensurabiles, et, si sic, unus numerus omnes illos numerabit. Illos enim numeros unus numerat numerus qui, ex ductu alicuius unius numeri, in aliquos alios sunt geniti. Sed, si sint tres termini continue [98] proportionales, et extremi sint communicantes, ut sunt illi qui positi sunt (nam ipsi per unum numerum, scilicet per binarium, in alios tres, scilicet in quaternarium, senarium et novenarium, sunt producti), ideo binarius illos omnes communiter numerat. Addit autem haec propositio super praecedentem, quia per illam habetur quod, in continuis proportionibus, duo et duo proximi termini sunt commensurabiles, et, per consequens, ab eodem numero numerabiles. Per hanc autem habetur quod, in continuis proportionibus, duo et duo proximi termini non solum sunt commensurabiles, sed, quotquot fuerint ibi, dumtamen extremi fuerint communicantes. Quodsi extremi termini non fuerint communicantes, sed contra se primi, tunc unus numerus illos omnes non numerabit, sed duo et duo proximi numeri commensurabiles erunt. Et notandum quod, cum venitur ad terminos extremos incommunicantes, cessat continuatio talis proportionis, quia termini incommensurabiles vel contra se primi minimi sunt in proportione quam continerent. In talibus autem minimis terminis cessat continuatio alicuius proportionis, ut tactum est prius.

Capitulum XXXII.

Quod numerorum continue proportionalium si duo extremi sunt contra se primi, illi omnes sunt in sua proportione minimi.

Si numerorum continue proportionalium duo extremi fuerint contra se primi, erunt omnes illi in sua proportione minimi.

Visum est de continuis proportionibus quarum termini extremi sunt communicantes. Hic tangitur de illis quarum extremi sunt incommensurabiles. Est autem hic advertendum quod hactenus unius proportionis duos tantum minimos numeros [99] esse dicebamus. Ex hac autem propositione quae Iordani est, et quibusdam aliis quas ponit, sic primo patet aspectu: oportet ut minimos proportionis alicuius terminos ad plures extendamus quam ad duos numeros. Ut igitur sustineatur quod diximus et quae hic dicuntur, oportet ut de minimis alicuius proportionis terminis distinguatur.

Possunt sumi minimi termini alicuius proportionis stricte et magis proprie pro terminis contra se primis qui per nullum numerum sunt numerabiles ad nullos alios minores numeros vel terminos, inter quos eadem iacet proportio, reducibiles; | [P2, 157r in marg.] et tales sunt simpliciter et omnino primi termini proportionis quam continent, quia termini illi sunt talis proportionis termini radicales, fundamentales, ad priores et minores, in quibus talis contineatur proportio, penitus irreducibiles. Quin potius! Illi termini omnes alios terminos numerant in quibus eadem iacet proportio, minor minorem, et maior maiorem, ut est prius tactum, et, hoc modo, unius proportionis specifice tantummodo duo sunt minimi termini et de talibus locuti prius sumus, ceteros omnes secundarios reputantes. Cum enim unius proportionis duo sint termini et non sit processus in infinitum in terminis numeralibus ad minores et minores, oportet devenire in qualibet specifica proportione ad duos minimos terminos, in quibus illa primo reperiatur, cum, ex alia parte, quantum ad secundarios terminos in quibus illa proportio servatur et continuatur, procussus esse possit in infinitum ad maiores et maiores numeros, ad plures et plures tales continuas proportiones.

Alio modo sumi possunt minimi numeri proportionis alicuius generalius et minus proprie, non quod sint omnino et simpliciter minimi sed respective | [P1, 128r in marg.] quantum ad aliquid, ut dicetur, et, hoc modo, nihil prohibet unius proportionis permulto plures esse minimos terminos quam duos. Nam, secundum hoc, qui sunt simpliciter secundarii termini, possunt dici primi quantum ad aliquid. Dicendum igitur quod, sicut aliqua proportio, cum non est multiplicata vel continuata, in duobus tantum residet terminis, sic, cum est multiplicata et continuata, oportet ut resideat in pluribus quam duobus terminis, ut in tribus si sint duae continuae consimiles proportiones, in quattuor si sint tres, in quinque si sint quattuor, sic [100] deinceps. Sicut igitur est dare duos minimos terminos cuiuscumque specifice proportionis in quibus una talis indistincta, non continuata, non multiplicata reperiatur proportio, ita dare est tres minimos terminos inter quos primo duae continuae consimiles reperiantur proportiones ut non sint reperibiles minores, et similiter est dare quattuor minimos terminos inter quos tres tales continuae iaceant proportiones, et quinque inter quos quattuor, et sic consequenter.

Verbi gratia ponatur de hoc exemplum in sesqualtera proportione, et consimiliter de ceteris intelligatur proportionibus:

[CSMIII/3:100; text: Angularitas, Latitudo, 2, 3, 4, 6, 9, 8, 12, 18, 27, 16, 24, 36, 54, 81, 32, 48, 72, 108, 162, 243] [JACSP3B 02GF]

Dicendum igitur quod primi duo termini laterales superius positi, scilicet duo et tres, sunt minimi termini simpliciter sesqualterae proportionis, et ceteri omnes, in quibus dicta iacet proportio, respectu illorum, sunt secundarii et mensurantur ab illis, sed non continetur inter illos nisi una proportio. Tres autem termini secundi ordinis lateralis in suo ordine sunt minimi termini, quia in minoribus non sunt reperibiles duae continuae sesqualterae proportiones et ceteri omnes sequentes, inter quos duae continentur sesqualterae continuae proportiones, respectu illorum, secundarii sunt et mensurant illos. Consimiliter quattuor termini tertii ordinis lateralis sunt minimi termini trium continuarum sesqualterarum proportionum, quia in minoribus reperiri nequeunt. Et idem est de quinque sequentibus lateralibus terminis, quantum ad quattuor continuas sesqualteras proportiones, et de sex terminis, quantum ad quinque continuas dictas proportiones.

[101] Potest autem ex tacta descriptione percipi quod minimi termini mensurant alios maiores tam angulariter quam directe sub illis positos ex parte utraque ipsius angularitatis, ut binarius numerat omnes numeros ibi contentos, praeter ternarium et eos qui a solo producuntur ternario, ut sunt 9 27 81 243. Et consimiliter ternarius mensurat omnes numeros ibi contentos, praeter binarium et eos qui per binarii multiplicationem generantur, et sunt 4 8 16 32.

Iam patet aliqua ratio quare unius proportionis possunt esse plures minimi numeri, et illam intendere videtur Iordanus. Nam illarum solarum proportionum continuarum minimos vocat numeros quorum extremi sunt contra se primi. Hoc autem, quantum ad duas continuas proportiones sesqualteras, verum est de solis illis tribus numeris qui sunt 4 6 9 Et, quantum ad tres, de solis illis quattuor qui in tertio ordine laterali disponuntur. Et similiter est de illis quinque qui ponuntur in quarto ordine, quantum ad quattuor, et de illis qui in quinto, quoad quinque. Extremi enim numeri, in omnibus illis quinque ordinibus | [P2, 157v in marg.] lateralibus, sunt contra se primi, et ratio prius dicta est capitulo XXVII, quia, si fuerint duo numeri contra se primi, qui ex eis producuntur sunt contra se primi. Proportionum autem continuarum duarum, trium, vel quot volueris, non vocat Iordanus numeros "minimos," si extremi non fuerint contra se primi, sed "communicantes", quia tunc unus numerus omnes illos numerat. Et in hoc patet una alia ratio quare hos vocat minimos et non illos. Et ad huius confirmationem accedit quod de numeris compositis et incompositis dicitur, quia hi, qui, simpliciter loquendo, dicuntur compositi, ad quosdam alios comparati dicuntur primi et incompositi. Similiter, positis tribus terminis duarum continuarum proportionum quorum extremi sunt contra se primi, licet primus et secundus invicem comparati sint commensurabiles et, per consequens, secundarii, ut sic in proportione quam includunt, et similiter secundus cum tertio, illi tamen tres simul comparati incommensurabiles sunt.

Iam ex dictis aliqualiter assumpta patet proportio qua dicitur, si numerorum continue proportionalium duo extremi fuerint contra se primi, erunt omnes illi in sua proportione minimi. Hoc enim ex tactis patet convinci rationibus, quia illi aliquarum continuarum proportionum sunt minimi termini [102] quorum vel quarum minores nequeunt reperiri. Sic est de illis continuis proportionibus, quarum extremi termini sunt contra se primi, sive sint duae, sive plures continuae proportiones, quia, si non esset dare tres minimos numeros duarum aliquarum continuarum similium proportionum, processus esset tunc in infinitum in minimis terminis illarum, sicut in minimis duobus terminis unius proportionis, vel in quattuor trium, et sic de ceteris. Hoc autem non est possibile. Oportet igitur ut sit status in tribus minimis terminis duarum continuarum proportionum, vel in duobus unius, vel in quattuor trium, sic de ceteris. Et ille status est, cum pervenitur ad tales terminos quorum extremi sunt incommensurabiles vel contra se primi. Illi enim, nullo modo resolvi possunt in minores.

Est autem hoc intelligendum quod propositio, quam tractamus, tenet e converso, quia, si quotlibet numeri fuerint in sua proportione minimi | [P1, 128v in marg.] ipsorum duo extremi erunt contra se primi, alias, si essent communicantes, unus numerus omnes numeraret et, per consequens, resolubiles essent in minores terminos inter quos eaedem iacerent proportiones, nec cessaret illa resolutio donec veniretur ad tales terminos quorum extremi essent incommensurabiles. Ex his igitur potest inferri quod aliqua proportio, quaecumque sit illa, potest sumi ut indistincta in plures consimiles et omnino indivisa, et ut sic unius proportionis specifice terminatio.

Duo sunt minimi vel primi termini. Alio modo sumi potest aliqua proportio, ut continuata, distincta et multiplicata in plures consimiles proportiones, et ut sic non repugnat sibi plures quam duos minimos respicere terminos.

Capitulum XXXIII.

Quod numerorum continue proportionalium si primus non numeret secundum, non numerabit aliquis eorum ultimum. Quodsi primus numeret ultimum, numerabit et secundum.

Numerorum continue proportionalium si primus non numeret secundum, non numerabit aliquis eorum ultimum. Quod si primus numeret ultimum, numerabit et secundum.

[103] Sint hi termini: .a.b.c.d. continue proportionales, ponaturque quod .a. non <numeret> .b. Dico sequi ad hoc quod nullus illorum numerabit .d. Hoc autem planum est de .c. cum in eadem proportione se habeat ad .d. in qua .a. ad .b. Supponitur autem .a. non numerare .b. Probetur igitur .b. non numerare .c. Sic .b.c. aut sunt minimi in proportione quam continent, aut non. Si primo modo, habetur tunc propositum, quia minimi numeri alicuius proportionis sunt contra se primi; si non, sunt minimi in proportione quam includunt. Quaerentur igitur minimi termini in proportione quae est .b.c.d., et sint .e.f.g. Se habet igitur .e. ad .g., sicut .b. ad .d. Sed .e. non numerat .g., quia, cum sint minimi suae proportionis, ipsi sunt contra se primi, ut ex prius probatis patet. Ergo .b. non numerat .d.

Eodem modo posset ostendi quod .a. non numeret .d. per quattuor minimos terminos eiusdem proportionis, si illi non sunt primi.

Est autem hic notandum quod, licet secundarii termini alicuius proportionis in hoc dicantur a primis vel minimis eiusdem proportionis, quod secundarii termini sunt ad invicem communicantes vel commensurabiles, non primi, sed incommensurabiles. Conveniunt tamen in hoc, quia si primorum terminorum unus alium non numeret, nec quorumcumque secundorum eiusdem proportionis unus alium numerabit. Alia pars positae propositionis patet per praecendentem. Probatum enim est quod, si primus terminorum continue proportionalium secundum non numeret, nullus illorum ultimum numerabit. Ergo, per oppositum, si terminorum continue proportionalitatis primus ultimum numeret, ipse idem secundum numerabit.

Notandum quod iam declarata propositio pertinet ad distinctionem proportionum continuarum superparticularium et superpartientium a multiplicibus. Prima enim pars tactae <propositionis> competit proportionibus superparticularibus continuis et superpartientibus; secunda pars pertinet ad proportiones multiplices continuas. Quod autem, | [P2, 158r in marg.] nec in superparticularibus, nec in superpartientibus proportionibus unus terminorum alterum numeret, ex illarum patet diffinitionibus, quia, nec hic nec ibi, maior terminus minorem continet pluries, sed hoc multiplicibus convenit proportionibus. [104] Tunc autem aliquis numerus alium numerat cum, pluries sumptus, illum praecise reddit.

Statuantur igitur hi numeri: 8 12 18 27. Inter hos sunt tres sesqualterae continuae proportiones, et ibi patet cum primus non numeret secundum terminum, nec aliquis eorum ultimum, et quod secundus ultimum non numeret. Expressius patet si tres illi termini, scilicet secundus, tertius et quartus, reducantur ad tres alios terminos primos eiusdem continuae proportionis, ut sunt isti: 4 6 9. Hic enim minor extremorum non modo <non> reliquum numerat extremorum, sed nec cum eo in aliqua communi mensura, nisi in sola unitate, communicat.

Idem apparet in superpartientibus proportionibus, ut in terminis his: 9 15 25. Sunt hic duae continuae superbipartientes proportiones. Hic autem primus terminus nec secundum, nec ultimum numerat terminum, et sunt illi termini primi vel minimi quoad duas continuas superbipartientes proportiones, quia extremi termini illi sunt contra se primi.

In multiplicibus autem continuis proportionibus, quod primus terminus sive numerus minimus secundum et ceteros omnes numeret sequentes terminos, exemplariter patet hic:

2 4 8 16 32,

vel hic:

3 9 27 81 243,

vel sic:

2 6 18 54 162.

Capitulum XXXIIII.

Si fuerint duo numeri contra se primi, teritum eis in continua simili proportione coniungi non est possible.

Si fuerint duo numeri contra se primi, tertium eis in continua proportionalitate adiungi non est possibile.

Haec propositio patet per eam quae declarata est tricesimo libri huius capitulo.

[105] Si enim duobus numeris primis alicuius cuiuscumque proportionis tertium addere in continua consimili proportione possibile esset, sequeretur quod illi termini duo et duo essent commensurabiles, et, per consequens, primi duo non fuerunt primi vel minimi in sua proportione. Ex hac propositione collige proportionem aliquam in suis minimis terminis non esse continuabilem, sed in secundariis. Nec tamen sequitur e converso, scilicet quod aliqua proportio in omnibus secundariis suis termini sit continuabilis, saltem ex utraque parte.

Sunt enim hi termini: 6 et 6, secundarii sesqualterae | [P1, 129r in marg.] proportionis, nec tamen sub quaternario reperibilis est terminus ad quem sit sesqualter. Item 6 et 9 sunt secundarii sesqualterae proportionis, et tamen non est reperibilis numerus qui, ad novenarium, sesqualter sit. Hoc tamen est verum in secundariis terminis alicuius proportionis, quod ad alterum terminorum illorum reperibilis est terminus in continua eadem proportione, non autem ad utrumque, ut in terminis patet positis.

Item notandum quod hic declarata propositio non videtur locum habere in multiplicibus proportionibus, sed in superparticularibus et superpartientibus.

Capitulum XXXV.

Quaecumque proportio multiplici iungatur, tota vel erit multiplex, vel multiplex superparticularis, vel multiplex superpartiens.

Quaecumque proportio multiplici iungatur, tota vel erit multiplex vel multiplex superparticularis, vel multiplex superpartiens.

Intelligenda est haec propositio de solis proportionibus quae sunt maioris ad minus. Tunc probetur posita <propositio>.

Supponatur quod non sunt nisi quinque species proportionum maioris inaequalitatis, tres simplices et duae compsitae. [106] Tunc sic, ex additione alicuius proportionis, quaecumque sit illa, ad multiplicem non potest provenire proportio simplex superparticularis vel superpartiens. Oportet igitur quod tota proportio inde proveniens sit vel multiplex simplex, vel mixta ex multiplici et superparticulari, vel ex multiplici et superpartiente.

Antecedens patet, quia minima multiplex proportio maior est maxima superparticulari simplici et maxima superpartiente, multo fortius multiplex cum quadam alia sibi iuncta proportione. Non potest igitur tota illa proportio redire ad superparticularem simplicem vel ad superpartientem. Sequitur igitur ut tota proportio illa vel sit multiplex, et hoc generaliter verum est cum illud quod additur multiplici proportioni multiplex est, quia sicut dicit Iordanus libro suo nono, in vicesima secunda propositione quae immediate sequitur hanc quam nunc tractamus: Si duae multiplices, (supple: proportiones) coniungantur, composita ex illis erit multiplex. Hoc etiam quandoque fit cum superparticularis multiplici coniungitur ut hic: 6 3 2, vel hic: 12 4 3. Accidit etiam hoc quandoque cum superpartiens sociatur multiplici ut hic: 15 5 3.

Quandoque vero ex additione proportionis alicuius non multiplicis ad multiplicem provenit proportio multiplex superparticularis ut hic: 9 3 2, quandoque multiplex superpartiens ut hic: 22 11 8.

Capitulum XXXVI.

Quod ex qualibet multiplice cum una superparticulari provenit uno maioris denominationis multiplex proportio.

| [P2, 158v in marg.] Ex qualibet multiplice cum tota superparticulari provenit uno maioris denominationis multiplex proportio.

Per "multiplicem uno maioris denominationis proportionem" [107] intelligatur ea multiplex proportio quae in uno maior est alia, ut tripla quam dupla, quadrupla quam tripla, quintupla quam quadrupla. Sic consequenter denominatur tripla a ternario qui in uno, sive in unitate, dualem superat numerum a quo dupla denominatur proportio, et quadrupla nuncupatur a quaternario qui in uno ternarium vincit, sic de aliis multiplicibus proportionibus.

Tunc arguitur sic ex illis: Super multiplicis proportionis additione, uno maioris denominationis multiplex nascitur proportio, quae super tactam multiplicitatis proportionem, in minimis suis sumptam terminis, addit unitatem. Sic est de qualibet multiplice cum una aliqua superparticulari sibi iuncta.

Sumantur enim termini primi duplae proportionis qui sunt: 1 2. Iungatur horum maiori terminus qui ad ipsum sesqualter sit: ille est ternarius. Dico quod ex hac coniunctione nascitur uno maioris denominationis multiplex proportio, scilicet tripla; et prior erat dupla. Superat autem ternarius binarium in unitate. Item triplae proportioni, quae est inter ternarium et unitatem, iungatur sesquitertia proportio, quae est inter quaternarium et ternarium; quadrupla proveniet proportio quae uno maioris denominationis multiplex est proportio quam sit tripla; et quaternarius unitatem addit super ternarium. Similiter sit de additione sesquiquartae proportionis super quadruplam in his terminis, et producitur tunc quintupla proportio, ut hic patet: 1 4 5. Sextupla vero generatur, cum sesquiquinta quintuplae sociatur, ut fit hic: 1 5 6; et sic in infinitum multiplices crescerent proportiones per additionem superparticularium modo qui dictus est.

Posset autem additio proportionum superparticularium ad multiplices fieri e converso ut scilicet superparticulares iungerentur multiplicibus ad numerum minorem sive ad submultiplicem, sed tunc oporteret ire ad multiplicium proportionum secundarios numeros quos aliqui vocant compositos, quia a primis numerantur.

Est autem advertendum quod, si in secundariis terminis multiplicis proportionis fiat superparticularis proportionis coniunctio, maiorem ad terminum tunc in primis secundariis, [108] loco unitatis ponetur binarius ut hic: 2 4 6, in secundis secundariis ternarius ut hic: 3 6 9, vel quaternarius in tertiis ut hic: 4 8 12. Et consimiliter est de secundariis terminis ubi sesquitertia proportio iungitur triplae ut hic: 2 6 8, 3 9 12, 4 12 16. | [P1, 129v in marg.] Idem reperitur in ceteris.

Accedit autem ad confirmationem dictorum quod sesqualter in tres partes divisibilis est aequales, duplex in duas. Ideo, qui sesqualter est ad aliquam duplicem, triplex est necessario ad illius duplicis subduplicem. Item sesquitertius in quattuor partes aequas partibilis est, triplex in tres. Ideo qui sesquitertius est alicui triplici quadruplus est illius subtriplici, sic de ceteris.

Tenet autem dicta proportio similiter e converso. Ideo non multum differt sive fiat additio superparticularis proportionis ad multiplicem, sive e converso.

Est autem notandum quod haec propositio et quaedam aliae probantur aliter quam hic in commento super Iordanum. Sed ego pono probationes quas possum clariores.

Capitulum XXXVII.

Quod sola superparticularium est sesqualtera proportio quae cum <nulla> multiplice multiplicem producit superpartientem.

Sola superparticularium proportio sesqualtera est quae cum nulla multiplice multiplicem superpartientem producit.

Haec propositio probetur sic: Illa sola superparticularium proportio cum nulla multiplice producit multiplicem superpartientem ad cuius primum et minimum terminum radicalem nullo modo potest superpartiens simplex vel mixta cum multiplici proportione procreari. Quin potius! Ad illum omnis alius terminus vel est superparticularis simplex, vel multiplex simplex, vel multiplex superparticularis. Sic est de sola sesqualtera [109] proportione inter superparticularis proportiones. Ipsius enim primus et minimus radicalis, qui est minimus subsesqualter, binarius est ad quem nulla potest terminari superpartiens proportio. Quin potius! Ad ipsum omnis alius numerus vel est superparticularis simplex, ut ternarius, vel multiplex simplex, ut est generaliter omnis par numerus, ut quaternarius, senarius, sic de ceteris, vel est multiplex superparticularis, ut omnis numerus impar, praeter ternarium, ut quinarius, <septenarius>, et sic de reliquis. Omnem enim numerum binarius vel numerat (et tunc ille ad ipsum est multiplex simplex) vel abundat sola unitas ut in numeris imparibus et, cum unitas cuiuslibet numeri sit pars et non partes ad binarium, nullus numerus potest esse superpartiens, sed est vel multiplex simplex si sit par, ut est dictum, vel multiplex superparticularis si sit impar maior ternario.

Dicitur autem "sola superparticularium sesqualtera" propter alias superparticularium proportionum species, quia, ad minimos illarum radicales primos terminos, proportio superpartiens potest terminari, ut ad ternarium superbipartiens, ad quaternarium supertripartiens, ad quinarium superquadripartiens, sicut libro primo tactum est. Dico igitur quod, ex sesquitertia iuncta duplici, dupla superbipartiens nascitur proportio, ut hic: 3 4 8, vel hic: 3 6 8. Si tamen sesquitertia cum triplici iungatur, ut est alias declaratum, non multiplex nascitur superpartiens, | [P2, 159r in marg.] sed multiplex simplex, quia quadruplex, ut hic: 3 4 12, vel hic: 3 9 12. Ex sesquiquarta iuncta triplici tripla supertripartiens producitur proportio ut hic: 4 5 15, vel hic: 4 12 15

Ex his patet sesqualterae proportionis pulchra proprietas et ipsius ad multiplices proportiones affinitas magna.

[110] Capitulum XXXVIII.

Quod sola multiplicium dupla proportio cum nulla superpartiente multiplicem inducit proportionem.

Sola multiplicium dupla proportio cum nulla superpartiente multiplicem procreat proportionem.

Comparata est, in praecedenti propositione, proportio sesqualtera ad multiplices proportiones, ad ceteras superparticulares, necnon et ad superpartientes.

In hac propositione comparatur dupla proportio ad alias multiplices proportiones quantum ad aliquid in quo distinguitur ab illis, et hoc est quia ipsi soli competit ut cum nulla superpartiente multiplex producatur proportio. Et quod ita sit probatur:

Illi soli multiplici convenit proportioni cum nulla superpartiente multiplicem efficere proportionem, ex cuius coniunctione cum superpartiente quacumque semper proveniunt extremi termini quorum minor maiorem mensurare vel numerare non potest. Sic est de sola dupla iuncta cum quacumque superpartiente, ut per inductionem patere potest si quis inducere voluerit, ut de dupla cum superbipartiente hic: 3 5 10, de dupla cum supertripartiente hic: 2 4 7.

Non sic autem est de aliis multiplicium specierum proportionibus, quia, ex coniunctione illarum cum aliqua superpartiente, provenire possent tales extremi numeri quorum minor numerat maiorem, ut patet de superbipartiente proportione iuncta triplici hic: 3 9 15, de supertripartiente iuncta quadruplici hic: 5 20 35, de superquadripartiente iuncta quintuplici hic: 5 25 45. Possunt autem haec confirmari per hoc quia numerus duplex bis tantum suum subduplicem continet, triplex ter, quadruplex quater, et sic in ascendendo. Et consimiliter in superpartientibus maior minorem superat in duabus partibus, in tribus, in quattuor, sic et ulterius procedendo. Et sic maior videtur affinitas [111] superpartientium proportionum ad alias multiplices proportiones quam ad duplam, ut, coniunctae cum illis, ad multiplices redeant proportiones, | [P1, 130r in marg.] non autem iunctae cum dupla. Etiam nulla superpartiens proportio ad primum terminari potest duplicem, sed ad alios multiplicitatis terminos terminari possunt, superbipartiens ad primum triplicem, supertripartiens ad primum quadruplicem, sic de aliis.

Capitulum XXXVIIII.

<Quodsi duae diversae proportiones superparticulares coniungantur, composita aut erit dupla, aut superparticularis, aut superpartiens>.

Si duae diversae superparticulares proportiones coniungantur, composita aut erit dupla, aut superparticularis, aut superpartiens.

Probatum est supra quod duae maximae superparticulares proportiones simul iunctae duplam inducunt, ut sesqualtera et sesquitertia. Nullae ergo aliae diversae superparticulares proportiones simul iunctae ad duplam valent attingere, etiam nec una illarum cum quacumque alia. Attingunt igitur ad proportionem dupla minorem. Sed omnis proportio minor dupla est superparticularis vel superpartiens. Iam ex dictis patet assumpta propositio, nihil quantum ad hoc quod dicitur: "Si duae diversae superparticulares, et cetera". Dicitur "duae diversae" quia si sesqualtera geminetur, nascitur ex hoc multiplex superparticularis. Sed ex nulla alia superparticulari geminata pervenitur ad duplam. Item ex nulla superparticulari geminata nascitur superparticularis simplex, alias superparticularis proportio divisibilis esset in partes aequales. Potest tamen nasci ex diversis superparticularibus et ex diversis superpartientibus ut hic: 10 12 15, 10 13 15.

[112] Capitulum XL.

<Quod omnis superparticularis cum qualibet superpartiente constituit proportionem tripla minorem>.

Omnis superparticularis cum qualibet superpartiente constituit proportionem tripla minorem, quia illa proportio, quae minor est dupla, cum quacumque superparticulari constituit proportionem minorem tripla. Sed omnis superpartiens proportio minor est dupla, ideo et <tripla>. Maior propositio per hoc patet, quia ex dupla, quae est minima inter multiplices, et sesqualtera, quae maxima est inter superparticulares, inducitur tripla proportio, ut est prius visum; nulla igitur proportio minor dupla cum quacumque superparticulari potest inducere triplam proportionem; inducit ergo proportionem tripla minorem. Sed omnis superpartiens proportio minor est dupla, primo quia plus est continere aliquem terminum bis quam continere illum et ipsius aliquas partes, sed non omnes; secundo quia, si aliquis minor terminus terminet aliquam proportionem quamcumque superpartientem, et idem terminus duplam terminet proportionem, maior est distantia termini duplicis ad illum quam superpartientis, ut patet hic: 3 5 et 3 6, vel hic: 4 7 et 4 8. Sic | [P2, 159v in marg.] in ceteris pateret exemplis. Si sit igitur aliqua proportio tripla minor, ipsa potest nonnunquam in superparticularem et superpartientem partiri sicut hic: 2 3 5, et aliquando in duas superpartientes ut hic: 3 5 8.

[113] Capitulum XLI.

<Quod maxima superpartiens potest invenire quae ex duabus superparticularibus producitur>.

Maximam superpartientem invenire quae ex duabus superparticularibus producatur.

Probatum est prius omnem superpartientem proportionem minorem esse dupla proportione. Adhuc probatum est supra ex duabus maximis superparticularibus duplam nasci, scilicet ex sesqualtera et sesquitertia. Ex illis igitur non nascitur superpartiens proportio.

Oportet igitur ut maxima superpartiens proportio, quae ex duabus superparticularibus producitur, sit ea quae nascitur ex sesqualtera et sesquiquarta, nam, inter proportiones superparticulares, sesquiquarta post sesquitertiam maior est. Nascitur autem maior proportio ex sesqualtera et sesquiquarta quam ex sesquitertia cum sesquiquarta, quia sesqualtera maior est sesquitertia.

Ex maioribus autem proportionibus maior nascitur proportio, et quod ex sesquitertia cum sesquiquarta minor proveniat proportio quam ex sesqualtera et sesquiquarta, manifeste per hoc patet, quia ex sesquitertia duplicata minor provenit proportio quam ex sesqualtera cum sesquiquarta. Statuantur enim hi numeri: 9 12 16. Sunt hic duae sesquitertiae continuae proportiones ex quibus nascitur una superpartiens proportio quae est inter extremos positos numeros qui sunt 16 et 9.

Nunc iungamus sesquiquartam proportionem cum sesqualtera ut videamus quae proportio nascatur ex illis, et an sit maior vel minor ea quae provenit ex sesquitertia geminata. Disponantur igitur sequentes termini: 8 10 15. Inter maiorem et minorem terminum est proportio nascens ex sesqualtera et sesquiquarta, scilicet inter 15 et 8, et illa est superpartiens. Modo dico quod maior est proportio inter 15 et 8 quam inter 16 et 9, quia ubi est aequalis differentia terminorum ad invicem comparatorum, in minoribus terminis [114] maior est proportio. Item maior est proportio superseptipartiens octavas quam superseptipartiens nonas. Dico igitur quod maxima proportio superpartiens, quae ex duabus superparticularibus proveniat proportionibus, est ea quae tacta est quae nascitur ex sesqualtera et sesquiquarta proportionibus. Planum est etiam quod illa ad duplam proportionem non attingit.

Est autem notandum quod tacta superpartiens proportio quae | [P1, 130v in marg.] nascitur ex sesqualtera et sesquiquarta, non est maxima simpliciter inter proportiones superpartientes. Sunt enim aliae multo maiores, quia secundum unum ordinem ipsarum, ut est supra tactum, ipsae in maioritate procedunt in infinitum. Hinc est quod non omnes proportiones superpartientes divisibiles sunt in duas superparticulares quae praecise reddant illas, ut sunt illae quae transcendunt duplam, ut ea quae est inter sequentes terminos: 25 9, sed dividitur proportio, quae est inter tactos terminos, in duas superbipartientes proportiones, vel illae quae triplam superant proportionem, ut est illa quae ex duabus continuis supertripartientibus nascitur proportionibus et continetur inter terminos sequentes: 16 49, inter quos non est tripla superpartiens proportio sed tripla supersesquisexta decima.

Iuxta hoc notandum quod ex nulla superpartiente proportione geminata vel cum alia superpartiente iuncta potest quadrupla provenire, quia quadrupla nascitur ex dupla geminata. Dupla autem maior est quacumque superpartiente. Hinc est ut proportio quae quadrupla minor est in duas superpartientes potest partiri.

[115] Capitulum XLII.

<Quod superparticularium proportionum sola sesqualtera multiplicem superparticularem procreat geminata>.

Superparticularium proportionum sola sesqualtera multiplicem superparticularem procreat duplicata, omnis altera superpartientem.

Prima pars huius propositionis primo declaretur. Probatum est supra sesqualteram proportionem superare sesquitertiam in sesquioctava proportione quae superparticularis est. Adhuc probatum est duplam ex sesqualtera et sesquitertia procreari. Sicut igitur se habet sesqualtera proportio ad sesquitertiam, sic sesqualtera duplicata ad duplam. Sed sesqualtera continet sesquitertiam et, cum hoc, sesquioctavam quae est superparticularis. Ergo sesqualtera geminata duplam, quae est multiplex, et aliquam continebit superparticularem, etsi non eandem in specie cum ea in qua sesqualtera vincit sesquitertiam.

Quodsi non sufficiat tacta ratio, arguatur ulterius idem sic: Illa proportio, quae est geminata, numeros producit quorum maior minorem pluries continet et, cum hoc, unam illius partem aliquotam. Procreat duplicata multiplicem superparticularem proportionem. Patet hoc ex diffinitione multiplicis superparticularis proportionis. Sesqualtera duplicata est huiusmodi. Patet in his terminis: 4 6 9 et in quibuscumque aliis | [P2, 160r in marg.] in quibus sesqualtera geminaretur proportio.

Tunc probetur pars alia positae propositionis, scilicet quod omnis alia superparticularis proportio duplicata superparticularem producit et, circa hoc, ostendatur primo quare nulla alia superparticularis proportio a sesqualtera procreet, duplicata, multiplicem superparticularem: quia, quae duplicata ad duplam, quae minima est inter multiplices, non attingit, multo minus attingit ad multiplicem superparticularem. [116] Sed nulla superparticularis alia a sesqualtera geminata ad duplam valet attingere, sed semper ad proportionem dupla minorem, quia nulla alia pars a parte media duplicata totum suum potest reddere, sed minus, ut patet de tertia, et multo magis de ceteris quae semper secundum diminutionem procedunt. Inde est quod sesquitertia proportio in qua sesquitertius subsesquitertium, cui comparatur, in tertia superat parte. Ad hoc, ut ad duplam attingat, indiget sesqualtera proportione, quae maior est ea.

Dico ulterius quod alia quaelibet superparticularis proportio a sesqualtera, duplicata, superpartientem constituit proportionem. Iam enim planum est quod non potest constituere multiplicem, nec constituit superparticularem, quia tunc superparticularis in aequas partes esset partibilis. Omne enim, quod ex aequis partibus componitur, in partes aequas divisibile <est>. Probabitur autem, infra, superparticularem proportionem in partes aequales non esse divisibilem et ad hoc principaliter totus iste tendit tractatus.

Sed forsitan instabitur contra dicta. Nam, cum sesqualter subsesqualterum superet in media ipsius parte, qua, duplata, suum redditur totum, videtur quod duae sesqualterae proportiones non plus reddant quam duplam. Et dicendum quod minimo: constituunt enim duplam sesquiquartam. Si enim sesquitertia cum sesqualtera duplam inducat, duae sesqualterae superabunt duplam. Quin igitur! Dicitur quod sesqualter subsesqualterum superat in media ipsius parte; media autem pars alicuius, geminata, dupla est ad priorem; reddit enim totum cuius est pars. Hoc verum est. Non tamen sequitur ex hoc quin duae sesqualterae continuatae superent duplam proportionem, quia semper ex hoc provenit numerus maior et magis distans a subduplo quam illius duplus. Sit enim quaternarius subduplus cuius duplex est octonarius. Continuentur super quaternarium duae sesqualterae proportiones, quia hoc possibile est. Et prima est senarii ad ipsum quaternarium. Secunda non potest esse ipsius [117] octonarii ad senarium quia minor est proportio octonarii ad senarium quam senarii ad quaternarium, quia, supposita eadem differentia in minoribus terminis, maior est proportio, et, in maioribus, minor. Oportet igitur quod numerus qui est | [P1, 131r in marg.] sesqualter ad senarium superet octonarium quia debet continere senarium et mediam ipsius partem, quod non facit octonarius, sed novenarius. Duae igitur sesqualterae proportiones duplam superant quia maior est proportio inter 9 et 4 quam inter 8 et 4. Ex dictis concludi potest aliquam proportionem multiplicem superparticularem divisibilem esse in partes aequales et aliquam superpartientem.

Capitulum XLIII.

<Inventio superpartientis proportionis quae duplicata superpartientem constituit>,

Superpartientem proportionem reperire quae duplicata superpartientem constituat.

Detur quaecumque proportio superpartiens quae duplicata sit minor dupla. Dico quod inde proveniens proportio est superpartiens. Cum enim non sit superparticularis quae ex nulla proportione geminata consurgit, oportet ut sit superpartiens.

Sumantur igitur sequentes termini: 25 35 49. Sunt hic duae proportiones superpartientes aequales quia continetur ibi superbipartiens quintas geminata proportio. Ex qua geminatione inter extremos positos numeros nascitur super viginti quattuor partiens proportio vicesimas quintas quae minor est quam dupla quae est inter 50 et 25.

Ex his iam patet proportionem superpartientem divisibilem esse in aequales proportiones, quandoque superparticulares, quandoque superpartientes.

[118] Capitulum XLIIII.

Inventio <superpartientis> proportionis quae <geminata> multiplicem <superparticularem componit proportionem>.

Muliplicem superparticularem reperire quae ex duabus superpartientibus aequalibus componatur.

Prius probatum est aliquam proportionem multiplicem superparticularem nasci ex duabus aequalibus superparticularibus proportionibus. Hic est declarandum multiplicem superparticularem etiam nasci posse ex aliqua geminata superpartiente.

Sumatur enim aliqua supertripartiens quartas, ut est inter 7 et 4. Geminetur, et exeunt inde termini sequentes: 16 28 49. Sunt inter hos terminos duae superpartientes proportiones aequales. Comparentur enim termini illi extremi ad invicem et invenietur inter illos multiplex superparticularis proportio, quia tripla supersesquisexta decima.

Iam est visum multiplicem superparticularem posse nasci tam ex geminata superparticulari quam superpartiente.

Sed videatur ulterius utrum multiplex superpartiens produci possit ex geminata superpartiente. Et dicendum quod sic:

Accipiatur enim aliqua supertripartiens proportio quintas, ut est ea quae inter sequentes | [P2, 160v in marg.] continetur terminos qui sunt 8 5. Geminetur tacta proportio ut quinquies quinque 25, quinquies octo 40, octies octo 64, qui sic disponantur: 25 40 64. Hic ex geminata superpartiente proportione producitur multiplex superpartiens proportio. Est enim maior illorum ad minimum duplex super 14 partiens.

[119] Capitulum XLV.

Inquisitio multiplicis <superparticularis quae multiplicem superparticularem geminata producat>.

Multiplicem superparticularem investigare quae multiplicem superparticularem duplicata producat.

Visum est superpartientem proportionem simplicem, quae scilicet non superat multiplicem, posse nasci tam ex duabus superparticularibus, quam ex duabus superpartientibus. Item visum est multiplicem superparticularem posse nasci ex aequalibus tam superparticularibus, quam superpartientibus. Adhuc visum est multiplicem superpartientem posse provenire ex duplicata superpartiente proportione. Videamus ulterius an multiplex mixta multiplicem mixtam producat, duplicata, et, primo, perquiratur quae multiplex superparticularis geminata multiplicem superparticularem producat.

Sit igitur .a. multiplex ad .b., ut 8 ad 4. Iungatur ipsi .a. unitas et vocetur numerus inde proveniens .c. qui est 9. Patet ex hoc quod .c. est multiplex superparticularis ad .b. Dupletur tacta proportio, ut dicamus quantum ad numeros extremos designatos per litteras tactas, quater quattuor, et fiunt 16, quater novem et fiunt 36, novies novem et exeunt 81. Disponantur haec sic: 16 36 81. Patet hic ex dupla sesquiquarta geminata productam sexquisextam decimam. Idem patet hic 2 4 5, 4 10 25. Hic ex dupla sesqualtera nascitur sextupla sesquiquarta.

Inquiramus consequenter multiplicem superparticularem quae bis sumpta multiplicem componat superpartientem.

Sumatur igitur aliquis numerus impar, ut ternarius, et vocetur .a. Dupletur .a. et provenit senarius qui vocetur .b. Iungatur illi unitas, et provenit septenarius qui dicatur .c. Planum est .c. esse multiplicem superparticularem ad .a. Geminetur illa proportio quae est inter .c. et .a. et proveniunt inde numeri sequentes: 9 21 49. Et vocetur primus [120] .d., secundus .e., tertius .f. Est inter tactos terminos duplex superparticularis proportio geminata, scilicet duplex sesquitertia. Videatur igitur quae sit proportio inter extremos terminos qui sunt .f. et <.d.>. Illa est multiplex superpartiens, quia quintupla superquadripartiens. Inquisita est igitur proportio multiplex superparticularis quae, geminata, multiplicem componit superpartientem. Idem in aliis multis exemplis posset declarari.

| [P1, 131v in marg.] Capitulum XLVI.

Inquisitio multiplicis <superpartientis quae duplicata multiplicem superparticularem componat>.

Multiplicem superpartientem perscrutari quae, duplicata, multiplicem superparticularem componat. Sit numerus impar, puta ternarius, et vocetur .a. Dupletur et provenit inde senarius qui sit .b. Cui iungatur binarius et provenit octonarius qui dicatur .c. Dico .c. esse multiplicem superpartientem ad .a. Geminetur proportio quae est inter .c. et .a. in numeris sic: ter tria sunt 9, ter octo sunt 24, octies octo 64, et ordinentur sic: 9 24 64. Et vocetur primus .d., secundus .e., tertius .f. Dico quod inter .f. et .d. est multiplex superparticularis proportio, quia septemcupla sesquinona quae nascitur ex multiplici superpartiente duplicata.

Ulterius multiplicem superpartientem inquiramus ex qua geminata multiplex superpartiens proveniat.

Sit numerus impar quinarius, et vocetur .b. Dupletur et fit denarius, qui sit .c. Iungatur ipsi se quaternarius et fiunt 14 qui vocetur .d. Dico inter .b. et .d. esse proportionem multiplicem superpartientem, scilicet duplam superquadripartientem. Haec proportio geminetur, et exibunt numeri sequentes: 25 70 196. Inter positos extremos terminos iacet [121] proportio multiplex superpartiens, scilicet septemcupla super 21 partiens vicesimas quintas, ex geminata dupla <superquadripartiente> proportione quintas. Et est advertendum quod omnes proportiones quae nascuntur ex proportionibus aequalibus geminatis, quaecumque sunt illae, divisibiles sunt in partes aequales, sive sint simplices, sive compositae.

Sed tangamus ad hoc aliquas propositiones quas ex causa reservavimus.

Capitulum XLVII.

Si duae multiplices proportiones <coniungantur, composita ex illis erit multiplex>.

Si duae multiplices proportiones coniungantur, composita erit multiplex.

Illae enim proportiones, simul iunctae, multiplicem componunt proportionem quarum quaelibet a numero denominatur aliquo. Sic est de qualibet multiplici, ut dupla a duali numero, tripla a ternario, quadrupla a quaternario, sic de ceteris (superparticulares vero denominantur a parte, superpartientes a partibus, et, tam istae, quam illae, tanto sunt maiores quanto maiorem recipiunt denominationem).

Item illae proportiones, simul iunctae, multiplicem componunt in quarum qualibet minor terminus maiorem numerat | [P2, 161r in marg.] vel mensurat cui comparatur. Sic est de qualibet proportione multiplici. Confirmari potest tacta propositio per quandam, aliam noni libri Iordani propositionem quae talis est: Omnis proportio, ex duabus composita, ex ductu unius earum in reliquam producitur, ut, si sint duae proportiones simul iunctae et continuatae, ut .a.b.c., dicendum est proportionem, quae est .a. et .c., compositam esse ex ea quae est inter .a. et .b. et ea quae est inter .b. et .c. Et illa composita proportio [122] fit et noscitur ex ductu unius illarum in reliquam. Hoc est ut denominatio ipsius composite sumatur ex ductu denominationis unius in denominationem alterius. Hoc autem in terminis numeralibus clarius patet.

Sint hi termini: 2 4 12. Iunguntur hic duae multiplices proportiones ad invicem, dupla cum tripla, ex quibus componitur ea quae est inter extremos positos terminos. Modo dico quod illa mixta proportio producitur et eius scitur denominatio ex ductu denominationis alterius illarum partium in reliquam. Ter enim duo, vel bis tria, sunt sex. Ex tripla igitur proportione cum dupla provenit sextupla proportio, quae est inter 12 et 2. Similiter, ex duplici tripla proportione componitur noncupla proportio, ut hic patet: 1 3 9, et, ex dupla cum quadrupla, octupla, ut hic: 2 4 16.

Cum igitur quaelibet multiplex proportio ab aliquo numero denominetur, si ad invicem plures coniungantur et una ducatur in aliam secundum suam denominationem, proveniet numerus a quo composita ex omnibus denominabitur, et ille erit multiplex. Et hoc tenere videtur etiam si plures quam duae invicem coniungantur multiplices proportiones, sive illae similes sint, sive dissimiles. Quodsi sint plures quam duae, ad duas possunt reduci.

Est autem intelligendum universaliter verum esse quod, ex multiplicibus sibi iunctis et continuatis in medio vel mediis terminis, nascitur multiplex proportio inter extremos terminos. Non autem, si fuerint proportiones multiplices discontinuatae, ut patet si triplae proportioni, quae est inter 15 et 5, iungatur una dupla discontinua proportio. Et sit ea quae est inter 4 et 2. Numerus enim, qui est 15, non est multiplex binario. Si tamen ipsi 15 iungeretur una continua dupla proportio, teneret posita proportio ut hic: 5 15 30

Item notandum quod bene ex aliis proportionibus, simul iunctis, quandoque nascitur multiplex proportio, sed hoc non tenet universaliter, nisi in casu in quo unitas tenet alterum extremum ex multiplicibus proportionibus respectu cuius sumuntur minimi numeri proportionum quarumcumque multiplicium. Si igitur disponantur hi multiplices termini: 1 3, inter quos est tripla proportio, dico quod quaecumque iungatur et continuetur illi, sive sit multiplex, sive superparticularis, sive superpartiens, sive multiplex superparticularis, [123] sive multiplex superpartiens, nascetur, inter extremos terminos, multiplex proportio, quia numerus omnis ad unitatem multiplex est. Non sic esset si multiplici proportioni, pro minore termino, poneretur binarius vel quicumque numerus alius.

Capitulum XLVIII.

Si duae aequales multiplices coniungantur, <composita ex illis erit multiplex>.

| [P1, 132r in marg.] Si intervallum multiplex binario multiplicetur, id quod fit ex tali multiplicatione intervallum multiplex <erit>.

Haec propositio ponitur in quarto Boethii libro.

Per intervallum multiplex, intelligo proportionem multiplicem quae binario multiplicatur, cum eadem continuatur et geminatur per interpositionem medii termini proportionem eandem habentis ad minorem terminorum illorum, cum illa quae est maioris ad ipsam.

Addit autem haec propositio super praecedentem, quia prima loquitur indefinite cum dicitur: "Si duae multiplices proportiones coniungantur, et cetera." Unde posset illa propositio verificari de duabus inaequalibus multiplicibus, etiam si non esset vera de duabus multiplcibus aequalibus, sicut superparticularis proportio bene componitur ex inaequalibus superparticularibus, non autem ex aequalibus. Et ideo non superflue probendum proponitur, quod si duae aequales multiplices coniungantur, quae nascitur ex illis, multiplex est. Hoc autem, etsi per praedicta possit esse manifestum, non est tamen spernanda Boethii deductio.

Sit, inquit, multiplex intervallum b.c., ita quod .b. sit multiplex eius quod est .c., et fiat ut .c. ad .b., ita .b. ad .d. Quoniam igitur .b. multiplex est eius quod est .c., oportet ut .c. terminus mensuret vel numeret terminum qui est .b. bis, ter, quater, vel deinceps. Tenet haec consequentia per diffinitionem numeri multiplicis de cuius ratione est, ut suum submultiplicem pluries contineat bis, si sit duplex, ter si [124] triplex, quater si quadruplex, sic de ceteris. Quodsi .c. metiatur .b., oportet ut .b. metiatur .d., quia similis est proportio ipsius .c. ad .b. et .b. ad .d. Item, si .c. mensuret .b., oportet ut .d. etiam metiatur, quia est ibi geminata multiplex proportio. Et haec patent per illud quod prius probatum est, quod ubi sunt termini | [P2, 161v in marg.] continue proportionales, si primus numeret secundum, oportet ut numeret ultimum et ceteros intermedios, si plures sint. Et haec Boethius ad numeros sic applicat: Sit, inquit, .b. ad .c. duplum, ut binarius ad unitatem, et fiat, ut .c. ad .b., ita .b. ad .d. Erit igitur, secundum hoc, .d. quaternarius. Cum igitur .b. sit multiplex ad .c., id est binarius ad unitatem, multiplex erit .d. ad .b., idest quaternarius ad binarium. Multiplex est igitur .d. ad .c., idest quaternarius ad unitatem. Est enim quadruplex unitatis et binario multiplicata est medietas, scilicet intervallum .b.c.

Capitulum XLVIIII.

Si ex duabus aequalibus proportionibus <multiplex nascatur proportio, illae multiplices extiterunt>.

Si intervallum binario multiplicatum multiplex effecerit intervallum, illud intervallum sic multiplicatum multiplex erit.

Haec propositio Boethii est quasi conversa prioris. Visum est proportionem multiplicem nasci ex duabus aequalibus multiplicibus. Sed potestne nasci multiplex proportio ex aliis aequalibus proportionibus quam ex multiplicibus? Habetur per hanc propositionem quod non.

Sit igitur quaedam proportio .c.b. fiatque consimilis proportio inter .b.d. cum ea quae est inter .c.b. Ponatur ulterius quod .d. sit multiplex ad .c. Dico, ad hoc, sequi .b. esse multiplex ad .c. et .d. ad .b. Nam cum .d., ut tu ponis, est multiplex ad .c., oportet ut .c. metiatur .d., ut ex praedictis [125] patet, et, cum eadem sit proportio inter .b. et .c. et inter .d. et .b., oportet ut .c. metiatur .b., et .b., .d. Ostensum enim est supra quod, si sint tres termini in continua proportione, si primus vel minor mensuret maiorem, qui est ultimus, ipse idem mensurabit secundum vel medium. Hoc autem non est possibile, nisi medius terminus multiplex sit ad minorem et ultimus ad medium.

Hoc autem sic patet in numeris:

Sit .c. unitas, .d. vero sit numerus ex multiplicata .b.c. veniens, id est quaternarius, qui multiplex est unitatis quae est .c., quia quadruplus. Et, quoniam hic quadruplus ex duplicata .b.c. proportione generatur, .b.c. proportio dimidium eius erit; .b.c. igitur proportio dupla est. Sed omne duplum multiplex est, sicut omnis homo animal. Erit igitur .b.c. proportio multiplex, similiter et .d.b.

Haec est Boethii deductio. Si commentator vel expositor <propositionum> Iordani, quae dicit in terminis litteralibus, ad numeros applicaret, sicut facit Boethius, esset eius clarior doctrina.

Item de dictis talem Boethius ponit descriptionem:

[CSMIII/3:125; text: Multiplex, quia duplex, .a. .b. .c. 4, 2, 1, Multiplex proportio, quia quadrupla] [JACSP3B 02GF]

[126] Est autem notandum quod ea, quae tacta sunt de numero duplici, tenent in ceteris multiplicitatis speciebus, quia, si proportio tripla geminetur, nascens inde proportio multiplex est, ut patet inter sequentes terminos: 2 6 18. Et consimiliter est in ceteris multiplicibus speciebus, sed, ex proportione dupla geminata, quadrupla provenit proportio, ex tripla geminata, noncupla, quia ter tria | [P1, 132v in marg.] sunt 9, ex quadrupla geminata, decupla sexta, ut hic: 2 8 32, quia quater quattuor sedecim sunt.

Capitulum L.

<Quod multiplex proportio in aequales dividi non potest nisi in multiplices>.

Multiplex proportio in aliquot aequales proportiones distribui non potest, nisi in multiplices.

Haec propositio satis ad praecedentes consequitur. Ostensum enim est multiplicem proportionem componibilem esse ex multiplicibus proportionibus, tam inaequalibus quam aequalibus. Est autem aliquid resolubile in his ex quibus componitur. Divisibilis igitur est multiplex proportio in proportiones aequales, sed non nisi in multiplices, quia non componitur ex aequalibus proportionibus, | [P2, 162r in marg.] nisi dumtaxat ex multiplicibus. Et ex hoc patet quod esse divisibile in proportiones aequales non competit omnibus proportionibus multiplicibus, sed illis solis, quae ex aequalibus componuntur sui generis proportionibus. Dupla igitur in partes aequales indivisibilis est. Similiter tripla, quintupla, sextupla, et multae aliae.

Iam igitur patet proportiones multiplices mixtas et simplices aliquas similiter et superpartientes, divisibiles esse in partes aequales, sed differenter, quia multiplex simplex tantumdem in proportiones sui generis, multiplex autem superparticularis [127] in duas superparticulares, et aliquae in duas superpartiente, quia tam ex his quam ex illis potest componi, sicut visum est, multiplex vero superpartiens in superpartientes tantum modo, non in superparticulares, quia superparticularis nulla geminata multiplicem superpartientem producit, sed vel multiplicem superparticularem (quod soli convenit sesqualterae), vel superpartientem simplicem (quod aliis convenit superparticularibus, ut est visum, proportionibus). Multiplex superparticularis potest dividi in multiplicem superparticularem et in multiplicem superpartientem; et similiter multiplex superpartiens, ut ex dictis patet. Similiter superpartiens simplex scindi potest tam in aequales superpartientes quam superparticulares.

Visum est igitur, de proportionibus multiplicibus, et de superpartientibus, et de mixtis ex multiplicibus et superparticularibus atque superpartientibus, qualiter se habeant ad posse dividi in aequales proportiones, quia de numero omnium illarum proportionum reperiuntur aliquae sic divisibiles, aliquae minime.

Descendamus nunc ad superparticulares proportiones simplices de quarum divisione principalius loqui volebamus. Hae autem, quantum ad hoc, a praedictis multum sunt distinctae, quia nulli earum competit in proportiones aequales quascumque posse scindi. Propter quam autem causam hoc sit, ut poterimus, inquiremus, et rationes aliorum, quas de hoc reperimus, prout eas intelligimus, apponemus hic.

Capitulum LI.

Demonstratio Archytae <superparticularem proportionem in aequales partes non esse divisibilem>.

Superparticularis proportio scindi in aequa, medio proportionaliter interposito numero, non potest.

Hic, per "numerum in medio proportionaliter interpositum", intelligatur numerus aliquis medians inter terminos [128] alicuius proportionis, sic quod, quae est proportio illius ad minorem terminum, eadem est proportio maioris termini ad ipsum. Et per numerum medium proportionaliter interpositum idem semper intelligatur ulterius ne tactam expositionem oporteat saepe repetere.

Ponitur assumpta propositio tertio libro Musicae Boethii quam Archytas demonstrare sic nititur. Illi proportioni repugnat in partes aequales dividi cuius minimi vel primi termini sola distinguuntur unitate. Sic est de minimis terminis cuiuscumque superparticularis proportionis. Ideo et cetera.

Maior patet, quia ad hoc, ut aliqua proportio divisibilis sit in partes aequales, necessario requiritur ut inter terminos illius proportionis mediet aliquis numerus proportionaliter. Et hoc magis ex sequentibus dictis fiet manifestum. Dividens enim a divisibili vel divisibilibus distinguitur. Ideo terminus dividens proportionem, quae est inter aliquos terminos, distinctus esse debet ab illis. Nec fit illa divisio per medios extrinsecos, qui non clauduntur inter illos terminos, inter quos iacet illa divisibilis proportio, quae non fit causaliter, effective ab illis, sed potius subiective, nec medium est ipsa extrema. Cum igitur inter terminos sola unitate distinctos nullum cadat medium, quia tales termini immediate se consequuntur, proportio contenta inter tales terminos indivisibilis est in partes aequales.

Minor assumptae rationis, licet videatur satis manifesta, ab Archyta sic probari videtur: Si primi numeri proportionis superparticularis non unitate sola distinguantur, distinguuntur numero. Cum igitur, de natura superparticularis proportionis, existat ut differentia, quae est inter tales terminos, utrumque terminorum illorum mensuret, numerus igitur mensurabit minimos terminos superparticularis proportionis (quod est oppositio in adiecto, quia ista non stant simul). Probatum enim est, supra, minimos terminos alicuius proportionis esse incommensurabiles. Sic implicaretur ibi contradictio quod essent minimi et non minimi. Haec sic deducit Archytas: Minimorum numerorum superparticularis proportionis, cum sint inaequales, maior minorem superat in aliqua sui parte. Illa, vel est unitas, et habetur tunc propositum, | [P1, 133r in marg.] scilicet quod termini illi unitate sola distinguuntur, ut sunt numeri in naturali numerorum serie dispositi, vel pars illa numerus est, et tunc, ut est tactum, numerus mensurabit terminos minimos superparticularis habitudinis, quod stare non potest, ut visum [129] est (tunc etiam idem numerus numeraret numerum parem et imparem immediate se consequentes). Minimi igitur numeri superparticularis proportionis unitate sola distinguuntur.

Non cadit igitur inter eos numerus medius proportionaliter illam dividens habitudinem, et, si ita est de primis vel minimis numeris superparticularis proportionis, concludit ex hoc Archytas ita esse de ceteris terminis superparticularis proportionis. Quod si non possit inter illos aliquis medius | [P2, 162v in marg.] terminus proportionaliter collocari, superparticularis igitur proportio in duas aequales partes indivisibilis est. Haec sic figurentur:

(Vide p. 130).

Tacta est Archytae demonstratio quam Boethius reprehendens dicit quod est nimium fluxa. Idcirco enim in superparticulari, secundum Archytam, nullus medius terminus cadit, qui aequaliter dividat proportionem, quoniam minimi in eadem proportione sola differunt unitate, quasi etiam non in multiplici minimi eandem unitatis differentiam sortiantur, cum plures videamus esse multiplices praeter eos, qui in radicibus collocati sunt, inter quos medius terminus scindens aequaliter eandem proportionem possit aptari. Addendum igitur erat ita evenire, ut Archytas putat, in sola superparticulari proportione, non autem universaliter est illud dicendum.

Haec sunt verba Boethii, quibus demonstrationem culpat Archytae, quia non assignat causam generalem quare in superparticulari proportione non cadat medius aliquis terminus proportionaliter, vel quare superparticularis proportio in partes aequales sit indivisibilis, quia competit alicui multiplici proportioni, scilicet duplici, ut minimi ipsius termini distinguantur unitate sola. Et tamen multae multiplices proportiones in aequas partes sunt divisibiles et cadit ibi terminus qui scindit proportiones illas in partes aequales.

Item sunt multae proportiones indivisibiles in partes aequales quibus causa, quam assignat Archytas, non convenit, quia minimi termini proportionum illarum non unitate distinguuntur. Et sic, videtur considerantia Archytae in superparticularibus tenere gratia materiae, non gratia formae, generaliter in omnibus indivisibilibus proportionibus. Possent

[130] [CSMIII/3:130; text: Minimi numeri superparticularis proportionis, quia sesquitertiae, Minimorum numerorum differentia quae est unitas, .a. .d. .b. 6, 3, 1, 2, 4, Superparticularis proportio, quia sesqualtera] [JACSP3B 03GF]

[131] autem aliqualiter Archytae dicta collocari, quia, etsi competat alteri proportioni quam superparticulari, ut minimi termini unitate sola distinguantur, nulli tamen competit ut ambo termini illi numeri sint.

Item hoc tantum uni competit multiplici proportioni, scilicet duplae, quod omnibus inest superparticularibus proportionibus.

Item generaliter cunctis illis repugnat proportionibus ut inter terminos illarum nullus cadat numerus proportionaliter et, per consequens, quod indivisibiles sint in partes aequales. Hinc est quod duplici, a sua tota specie, repugnat in partes aequales partiri, quia minimi eius termini sola distinguuntur unitate, licet de hoc speciales aliae reddi possint causae. Est autem causa, quam ponit Archytas, generalis, quantum ad omnes superparticulares proportiones. Et hoc sufficere debuit Archytae, non quod per hoc intenderet causam assignare generaliter de omni proportione quare indivisibilis est in partes aequales, vel quare inter terminos illarum nullus terminus cadere possit medius qui in partes dividat illas aequales.

Capitulum LII.

<Demonstratio Boethii superparticularem proportionem in partes aequales esse indivisibilem>.

Superparticularis intervalli medius numerus neque unus neque plures proportionaliter intervenient.

Est hic advertendum Boethium, libro tertio Musicae suae capitulo <undecimo>, in quo narrat prius positam Archytae demonstrationem, promittere se firmiter demonstraturum superparticularem proportionem in aequa scindi non posse. [132] Non apparet autem, in Musica sua, locus in quo expressius hoc facere videatur quam ille ubi assumptam ponit propositionem, hoc est in secundo capitulo libri quarti. Ideo, ut possumus, quam ponit hic, tangamus demonstrationem, ut appareat in quo cum Archyta conveniat, et quid super ipsum addat.

Intelligit autem Boethius, per "intervallum superparticulare", proportionem superparticularem. Quod autem dicit "numerus medius proportionaliter", exponatur ut prius. Quod vero dicit "neque unus, neque plures", videtur, per hoc, insinuare proportionem superparticularem, neque esse divisibilem in duas tantum partes aequales, neque in plures, scilicet in tres, | [P2, 163r in marg.] quattuor, et sic deinceps.

Videtur autem Boethius sic arguere: Illa proportio in aequa scindi non potest inter cuius terminos medius numerus, neque unus, neque plures, proportionaliter potest intervenire. Superparticularis est huiusmodi. Ideo et cetera.

Maior supponitur, tamquam vera et clara.

Minorem sic probare videtur: Inter terminos | [P1, 133v in marg.] illos, neque unus neque plures numeri proportionaliter mediare possunt, quorum minor, si tollatur a maiore, quod relinquitur mensura communis terminorum illorum est. Sic est de terminis superparticularis proportionis.

Ponit etiam aliam probationem, referens se ad minimos numeros superparticularis proportionis, qui sola unitate distinguuntur, quae mensura illorum est. Quodsi non distinguerentur unitate sola, unitas esset divisibilis. Haec videtur Boethii ratio, sed specialius processum eius videamus:

Sit, inquit, .b.c. proportio superparticularis et, in eadem proportione superparticulari, minimi numeri sint .e.g. Qui eidem eiusdem proportionis sunt primi numeri, et <sunt> primi et minimi. Sola igitur unitate distinguuntur, quod generaliter verum est de primis terminis superparticularis proportionis, quia in naturali ordine numerorum et immediate se consequuntur. Est igitur unitas mensura communis illorum; .g. igitur si auferatur ab .e., relinquitur mensura communis quae est unitas. Quocirca, nullus inter .e. atque .g. incidet numerus qui sit minor quam .e., et non sit .g., vel sit maior quam .g., et non sit .e. Hoc est: non incidet numerus [133] distinctus ab illis, quia sola unitas interest inter .e. et .g. Unitas autem est indivisibilis. Quanti autem numeri incident proportionaliter in proportionibus superparticularibus inter ipsarum minimos numeros, tot etiam incident inter ceteros numeros eiusdem proportionis qui minimi numeri non sunt, sed secundarii vel compositi, ut nominantur ab illis. Cum igitur nullus numerus inter .e. atque .g., qui minimi sunt superparticulares, possit intervenire propter dictas causas, nullus etiam inter .b. atque .c. proportionaliter cadet, qui sunt numeri secundarii superparticularis habitudinis. Dico "proportionaliter", quia bene cadunt medii termini inter terminos secundarios superparticulares et tanto plures quanto sunt maiores, non qui dividant unquam proportionem illam in partes aequales.

Et, descendens Boethius ad numeros et in numeris, inquit: Sit quaelibet superparticularis proportio, ut sesqualtera inter 15 et 10. In eadem vero proportione minimi numeri tres et duo. Aufero de tribus binarium. Fit quod relinquitur unitas eademque utrosque metitur, quia bis unum duo sunt, ter unum tria. Nullus erit igitur inter binarium ternariumque numerus, qui sit binario maior, et non sit trinarius, vel sit minor ternario, et non sit binarius (hoc est: non cadit inter illos numerus aliquis distinctus ab illis), alioquin unitas divideretur et faceret numerum qui mediaret inter binarium et ternarium, maior existens binario et minor ternario, a quolibet illorum distinctus, quod est inconveniens magnum. Sic igitur probatum est inter minimos numeros sesqualterae proportionis nullum numerum mediare proportionaliter. Quare nec inter quoscumque secundarios eiusdem proportionis. Et si ita est, nec inter 10 quidem atque 15, qui sesqualteram continent proportionem, quisquam invenietur numerus qui talem ad 10 obtineat proportionem, qualem ad 10 tenent 15.

Haec est Boethii deductio quam ad Archytae deductionem conferamus.

Videtur quod, utique supponant, illam proportionem indivisibilem esse in partes aequales duas vel plures inter cuius terminos nec unus numerus, nec plures cadere possunt proportionaliter, exponendo sicut prius. Et illud suppositum verum est, nec patitur instantiam. Nituntur autem tam Archytas, quam Boethius, probare ita esse de proportionibus [134] superparticularibus, et, in probando hoc, ad minimos numeros superparticularium proportionum descendunt, probando quod, inter illos, nullus numerus proportionaliter intervenire potest, quia sola distinguuntur unitate. Sed imponere videtur Boethius Archytae tenuisse illam causam esse generalem, quare inter aliquos numeros nullus mediat terminus proportionaliter pro quanto differunt unitate sola, cum illa non sit generalis causa, sicut tactum est prius. In probando autem quod, inter minimos terminos superparticularis proportionis, nullus interveniat numerus proportionaliter, praeter Archytae probationem, quae bona est, hanc addit Boethius in qua se fundare videtur, quod, si minor terminus tollatur a maiore, qui remanet numerus mensura communis amborum terminorum est. Et hoc verum est in singulis terminis superparticularibus, quasi ex hoc sic arguat inter illos terminos nullo modo cadere potest medius terminus proportionaliter, a quorum maiore, si dematur minor, mensura communis remanet illorum. Sic generaliter est de terminis cuiuscumque superparticularis proportionis. Item, quod minimi numeri superparticularis proportionis sola distinguantur unitate, probat Boethius per hoc, quia alias unitas esset divisibilis et inveniretur numerus, inter numeros immediate naturaliter sese consequentes, ab illis distinctus. Quod per hoc dat intelligere, quia nec esset minor illorum, nec maior.

Item conveniunt Archytas et Boethius in hoc quod supponunt pro vero et manifesto (quia non probant hoc), quod, si inter terminos superparticularis proportionis minimos, non cadat unus vel plures numeri proportionaliter, similiter nec inter quoscumque alios eiusdem proportionis terminos.

Sed hoc, forsitan, | [P2, 163v in marg.] aliquibus dubium videbitur, quia non videtur esse simile de minimis terminis superparticularibus et de secundariis, vel ex minimis compositis, quia inter secundarios semper unus vel plures cadunt termini medii, inter minimos vero nullus. Non potest autem intercidere terminus aliquis inter numeros alicuius proportionis, quin ad hoc sequatur divisio proportionis illius vel in duas partes, si interponatur numerus unus, vel in plures, si plures, et, secundum hoc, proportio superparticularis, etsi indivisibilis sit, ut respicit minimos suos terminos, | [P1, 134r in marg.] est tamen eadem proportio divisibilis ut scundarios respicit numeros. Instabitur [135] forsan fortius quia, cum minimi termini superparticulares sola distinguantur unitate, et per consequens nullus inter illos <mediet> numerus, non plus per minimos illos terminos videtur posse probari proportionem superparticularem esse indivisibilem in partes aequales quam in partes inaequales, cum illi termini nec in has, nec in illas ipsam secant. Et tamen nullae sunt superparticulares proportiones quin divisibiles sint in partes inaequales.

Dicendum ad ista, et primo, quod, si repugnet minimis terminis alicuius cuiuscumque proportionis non posse dividi in partes aequales, repugnare habet aliis quibuscumque terminis secundariis, in quibus eadem consistit proportio. Et hoc patet primo exemplariter, quia videmus in omnibus proportionibus de quibus certum est ipsas esse divisibiles in partes aequales, quod, si illud competit secundariis terminis talium proportionum, competit similiter et minimis, vel e converso. Patet hoc de quadrupla, de noncupla et de singulis aliis consimilibus, tam multiplicibus quam superpartientibus, quam multis aliis in proportionibus a superparticularibus, quibus repugnat scindi in partes aequales. Repugnat hoc eis, et quantum ad ipsorum minimos numeros, et quantum ad quoscumque secundarios, in quibus similis iacet proportio. Patet hoc de dupla, de tripla, quintupla et sextupla proportionibus et ceteris omnibus consimilibus multiplicibus superpartientibus et mixtis. Et hoc rationi videtur esse consonum, quia proprietates oppositae eidem minime competunt speciei, sed, quod proportio aliqua sit divisibilis in partes aequales, vel quod non sit divisibilis in aequales partes, opponuntur. Ideo, cum proportio aliqua eiusdem sit speciei, ut respicit suos terminos minimos et quoscumque alios secundarios (puta sesqualtera, sesquitertia, vel quaecumque alia), si repugnet ei divisio in partes aequales, ut minimos vel primos suos respicit terminos, repugnavit hoc eidem proportioni, ut respicit quoscumque terminos alios, in quibus illa eadem servatur proportio, et e converso, et consimiliter, si repugnet terminis minimis ne mediet inter illos numerus aliquis proportionaliter, repugnabit hoc aliis quibuscumque terminis eiusdem proportionis. Et hoc in omnibus proportionibus tenet generaliter.

[136] Item minimi termini alicuius proportionis radices sunt illius proportionis, a quibus ceteri descendunt. Ideo, quod eis repugnat, et ceteris repugnare habet, si illa repugnantia sit per se et a tota specie, et non quasi per accidens.

Dicendum est ulterius non esse simile de divisione alicuius proportionis in partes aequales, et in partes inaequales, quia convenit omni proportioni, secundum suam speciem, ut sit divisibilis in partes inaequales, etiam ei quae divisibilis est in partes aequales; sed non convenit omni proportioni ut sit divisibilis in partes aequales; et, cui hoc convenit, inest illi generaliter, quantum ad omnes suos terminos et minimos et secundarios; et, cui repugnat divisibile esse in partes aequales, repugnat hoc illi proportioni generaliter, quantum ad omnes suos terminos radicales et alios. Sed non sic est de divisione alicuius proportionis in partes inaequales, quia competit hoc omnibus secundariis terminis cuiuscumque proportionis, quia semper inter illos aliqui mediant termini, unus vel plures; sed aliquibus minimis terminis hoc repugnat, ut sunt minimi numeri superparticularium proportionum generaliter, quia inter illos nullus mediat numerus. Ex quibus patet quod, per minimos terminos superparticulares, reddi potest causa aliqua quare repugnet tali proportioni, ne, inter terminos suos, cadat numerus aliquis proportionaliter, et, per consequens, ne proportio illa indivisibilis sit in partes aequales a sua tota specie. Ex hoc tamen non habetur ut repugnet illi proportioni divisio in partes inaequales, quantum ad suam speciem, quia ex terminis illis generari possunt termini alii inter quos eadem servatur proportio, et, cum, inter tales secundarios terminos, unus vel plures medient termini, apparebit, per illos, divisio proportionis illius in partes inaequales.

Item instabitur forsitan contra causam specialem, quam assignare videtur Boethius, quare inter terminos superparticulares nullus mediet numerus proportionaliter, quia illa non plus videtur generalis, quam ea quam assignavit Archytas, quia non convenit omnibus proportionibus in partibus aequalibus indivisibilibus, ut aliis a superparticularibus, ut sunt multae multiplices et superpartientes, quia, minore termino sublato a maiore, qui remanet terminus mensura communis non est terminorum illorum, ut patet in tripla proportione [137] quantum ad terminos sequentes: 2 6. Si enim binarius tollatur a senario, relinquitur | [P2, 164r in marg.] quaternarius qui <neutrorum> numerorum priorum mensura est. Idem patet in quintupla proportione, quantum ad terminos sequentes: 3 15, in superbipartiente, quantum ad hos numeros: 3 5, in supertriparitiente, ut hic: 4 7.

Propterea, notandum est varias esse passiones vel proprietates: quaedam speciales <sunt> quae uni competunt speciei, ut risibile respectu hominis, et talis per causam propriam de homine demonstratur, scilicet per hominis definitionem; aliae sunt communes, quae distinctis specie vel genere competunt subiectis et, harum, quaedam sunt quae, per nullam causam unam nisi pure aequivocam, insunt illis, sicut est, secundum aliquos, mensurabile sumptum absolute (hoc enim competit numeris ratione per unitatis lineae et, talibus continuis permanentibus, ratione puncti, tempori, ratione instantis vel nunc). Et si illae causae sunt penitus aequivocae, non potest talis passio de omnibus illis una demonstratione demonstrari. Aliae sunt communes passiones per causam unam univocam pluribus subiectis competentes, ut sentire pluribus animalibus; et haec per causam unam, de omnibus illis, potest demonstrari. Sunt et aliae communes passiones, quae distinctis insunt subiectis per causam unam analogam, ut est, secundum aliquos, transmutata proportio, similiter et proportio quae proprius | [P1, 134v in marg.] numeris, quantum continuis, videtur competere, cum illis videatur competere per naturam unitatis.

De numero autem communium passionum constat esse proportionem aliquam divisibilem esse in partes aequales. Competit enim distinctis non modo specie, sed genere; nec videtur illis competere aequivoce pure. Si enim sic esset, Boethius non increpasset Architam, quod assignavisse putasset de illa causam communem quae tamen communis non est, quasi velit ex hoc Boethius insinuasse quod fit aliqua causa communis, propter quam passio illa affirmative <est> sumpta vel negative, per quam ipsa convenit quibus convenit, vel removetur ab illis quibus non inest. Et causa illa, secundum ipsum, videtur esse quod illi proportioni convenit in partes aequas distingui inter cuius terminos unus vel plures mediant numeri proportionaliter.

[138] Haec enim causa illius proprietatis videtur esse praecisa, communis, et adaequata. Inesse enim videtur illi soli proportioni se omni, et semper divisibile esse in partes aequales inter cuius terminos reperibilis est numerus, unus vel plures proportionalis vel proportionales. Et, cum privatio per habitum cognoscatur, et negatio per affirmationem, illa proportio indivisibilis est in partes aequales, in qua dicta repugnat causa. Et hoc est quod Boethius in sua demonstratione probaturum se proponit, scilicet quod dicta causa generalis, quare proportio aliqua diivsibilis sit in partes aequales, repugnat superparticulari proportioni, cum dicit quod superparticularis proportionis medius numerus neque unus neque plures proportionaliter intervenire possunt. Videtur enim argumentum suum ad enthymema sic reduci: "Superparticularis intervalli medius numerus, neque unus, neque plures, proportionaliter intervenient. Ergo, superparticularis proportio indivisibilis est in partes aequales". Supponit hic Boethius, in antecedente, causam generalem, quare proportio aliqua, quaecumque sit illa, divisibilis sit in partes aequales. Unde tactam consequentiam non probat, sed habet eam pro evidenti. Sed probat antecedens, et, in illius probatione, causam reddit specialem, quare, in superparticulari proportione, medius numerus, neque unus, neque plures, proportionaliter possunt intervenire. Illa autem causa generali, qua Boethius utitur ad probandum proportionem superparticularem esse indivisibilem in partes aequales, potest vel debet aliquis uti, nisi meliorem inveniat, ad probandum duplam proportionem, triplam, quintuplam, sic de consimilibus, indivisibiles <esse> in partes aequales. Sed, in applicatione, quantum ad illas speciales proportiones, et in probando sic esse, specialis causa debet reddi. Licet enim effectus communis causam arguat communem, tamen per causas communes, nisi appropriatae sint, non debet fieri demonstratio, quia demonstratio scientiam adgenerat in actu, communia vero in potentia. Ex his videtur demonstratio Boethii potior quam Archytae:

[139] [CSMIII/3:139; text: Superparticularis proportio, quia sesqualtera in terminis secundariis, Minimi numeri superparticulares, quia sesqualterae proportionis, Communis mensura, .b. .e. 1, .g. .c. 15, 3, 2, 10] [JACSP3B 04GF]

| [P2, 164v in marg.] Capitulum LIII.

<Rationes aliae quod superparticularis proportio in partes aequales sit indivisibilis>.

Ad confirmationem positarum rationum ut amplius haec appareat materia ad idem, quaedam aliae tangantur rationes.

Proponit Iordanus, libro suo IX, propositione LXI, quod nulla superparticulares proportio in aliquod aequales proportiones est divisibilis. Hoc expositor sic probare videtur, quia, si ita esset, minimi termini superparticularis proportionis essent commensurabiles, quod est inconveniens. Dicit enim sic: Sit inter .a. et .d. proportio superparticularis. Ponaturque unus vel duo medii si possibile est. Sintque .b. et .c. Sint autem minimi eiusdem proportionis .e.f.g.h. Et quia .h. est ad .e. sicut .d. ad .a., tunc .h. continue continebit .e. et eius partem quae sit .z. Numerabit igitur .z., .e. et .h. Ergo .h. et .e. sunt commensurabiles, quod est contrarium praemissis, quia supra probatum est minimos terminos proportionum esse [140] incommensurabiles, quia contra se primos. Haec deductio supponere videtur quod, si superparticularis proportio divisibilis esset in partes aequales, sequeretur ad hoc quod minimi termini superparticulares non distinguerentur sola unitate sed numero. Et, si ita esset, maior minorem superaret in aliqua illius parte numerali, et tunc illi essent commensurabiles.

Item proportio illa indivisibilis est in partes aequales, quae ex partibus aequalibus componi non potest. Superparticularis est huiusmodi quia, si sic, vel ex mixtis, vel ex multiplicibus, vel ex superparticularibus, vel ex superpartientibus. Non ex mixtis, et ex multiplicibus, ut satis planum est (quia tunc superparticularis maior esset mixta proportione et multiplici). Non ex superparticularibus (dictum enim est supra quod superparticularium sola sesqualtera multiplicem superparticularem procreat duplicata, omnis altera superpartientem). Quodsi ex nulla geminata superparticulari nasci possit aliqua superparticularis, | [P1, 135r in marg.] multo minus, ut videtur, nec nasci potest ex aliqua superpartiente geminata, tum quia superpartientes, ut communiter, maiores sunt superparticularibus, tum quia dissimiliores eis, et in habentibus symbolum facilior est transitus, tamen propter causas alias.

Item, si ex continuatis similibus proportionibus posset superparticularis componi proportio, geometrica continua medietas locum habere posset inter terminos superparticulares extremos talis medietatis, quod nunquam accidit. Verum est quod aliqua medietas geometrica continua potest dici superparticularis, inspiciendo ad proportiones aliquas superparticulares continuatas, non inspiciendo ad proportionem terminorum extremorum qui nascuntur inde, quia illa nunquam est superparticularis. Statim enim quod incipit esse continuatio superparticularis proportionis, quantum ad duas, tres vel plures, et si maneat superparticularis inter duos et duos terminos immediate sibi succedentes, deficit tamen superparticularis proportio inter primum et tertium terminum, vel primum et quartum, et quoscumque alios praeter quam ad secundum sibi proximum. Iuxta hoc ad idem arguitur sic: Illa proportio indivisibilis est in proportiones aequales cuius termini nullo modo surgere possunt ad multiplicationem duorum inaequalium terminorum quorum quilibet in se ducitur. [141] Superparticularis proportio est huiusmodi, quia talis multiplicatio, vel fit per numeros inaequales secundarios in proportione quam continent, et hoc nullo modo videtur possibile, quia termini inde venientes omnino videntur exire vel transcendere limites terminorum superparticularium, vel fit hoc per numeros inaequales minimos in proportione quam includunt, et cum illi sint contra se primi termini inde venientes, erunt incommensurabiles secundum quod supra probatum est capitulo XXVII et, per consequens, non erunt secundarii proportionis alicuius superparticularis. Non videntur etiam minimi, cum inter eos mediet aliquis numerus distinctus ab extremis illis numeris, quod repugnat minimis numeris superparticularibus qui unitate sola distinguuntur. Est igitur impossibile proportionem superparticularem in partes aequales partiri, cum ad hoc sequatur impossibile vel impossibilia plura (quia nec esset hoc possibile inter terminos proportionis superparticularis primos vel minimos simpliciter, nec secundarios). Quodsi per multiplicationem terminorum radicalium vel primorum alicuius proportionis nequeunt nasci termini aliqui superparticulares, satis ex hoc sequi videtur quod nec per quoscumque secundarios.

Item, quod per multiplicationem aliquorum terminorum tactam non possint nasci termini superparticulares, ex prius tactis patet, quia termini, per quos fieret illa multiplicatio, nec possent esse compositi, nec multiplices, nec superparticulares, nec superpartientes.

Videtur autem tacta ratio generalis ad dandum causam aliquam de omni proportione indivisibili in partes aequales propter quid hoc fiat, sicut opposita ratio causa est quare proportio aliqua divisibilis sit in partes aequales. Si enim quaeratur quare quadrupla proportio divisibilis sit in partes aequales, potest responderi quia termini eius surgunt ex multiplicatione duorum terminorum inaequalium. Sumantur enim hi termini: l 2. Dictatur sic semel unum unum est, bis duo quattuor sunt. Ergo proportio quae est inter quattuor et unum, divisibilis est in partes aequales. Quodsi quis habere vult terminum proportionaliter mediantem inter illos, ducat primum vel minimum terminum in secundum, sic semel duo et sunt duo qui sic disponantur: 1 2 4. Et idem | [P2, 165r in marg.] apparet in noncupla proportione et ceteris in partes aequales divisibilibus, sive sint multiplices, sive superpartientes, sive [142] mixtae. Si quaeratur igitur quare dupla proportio, tripla, quincupla, et huiusmodi, indivisibiles <sint> in partes aequales, dicetur quia termini talium proportionum nullo modo nascuntur ad multiplicationem prius tactam quorumcumque duorum terminorum. Est autem haec causa generalis connexa cum prius tacta, quia impossibile est quod mediet numerus aliquis proportionaliter inter duos aliquos terminos quin termini illi nascantur ex multiplicatione duorum aliorum terminorum secundum tactum modum, et, e converso, si unus vel plures numeri medient proportionaliter inter aliquos terminos, illi proveniunt ex multiplicatione duorum aliorum terminorum. Et consimiliter est de causa opposita in proportionibus indivisibilibus in partes aequales.

Adhuc tangantur aliquae rationes quae, etsi non sunt demonstrationes, sunt tamen qualescumque huius propositi manifestationes.

Illa proportio in duas aequales indivisibilis est proportiones quae in multis convenit cum numero impari, primo et incomposito, quibus in partes aequales omnino repugnat dividi. Superparticularis proportio est huiusmodi in minimis suis numeris, quia, sicut numerus impar abundat a numero pari sibi proximo vel superatur ab eodem in unitate, sic in superparticularitate dux comitem in unitate superat. Igitur, sicut ex numero impari cum pari numquam nascitur numerus divisibilis in partes aequales, quia semper provenit inde numerus impar, sic ex habitudine minimorum terminorum superparticularium inter se non provenit proportio divisibilis in partes aequales. Item numeri impares primi et incompositi ex nullis aequalibus numeris componi possunt qui bene ceteros per sui | [P1, 135v in marg.] multiplicationem componunt. Sic nec superparticulares.

Item resumendo causam communem prius positam, arguitur sic: Illa proportio, inter cuius terminos neque unus, neque plures termini proportionaliter mediare possunt, indivisibilis est in partes aequales. Superparticularis est huiusmodi. Quod sic probatur: Inter illos terminos nullus proportionaliter numerus mediare potest quorum maior minorem superat in unica minoris parte aliquota. Talis est superparticularis proportio in quo videtur mutari ipsam naturam non tantum numerorum primorum et imparium, sed naturam unitatis quae magis est conformis et magis appropriatur numeris [143] imparibus quam paribus. Nam, secundum Boethium, et tactum est libro primo, sicut numerorum parium binarius princeps et radix est, sic unitas imparium. Multiplex enim proportio et superpartiens, secundum suum nomen, magis videntur multitudinem respicere. Nam multiplex dicitur qui multotiens minorem continet cui comparatur; superpartiens, quia super plures partes a subsuperpartiente abundat. Natura igitur terminorum, quorum maior minorem superat in parte una, nullo modo permittit mediationem alicuius termini proportionalis, qui scilicet talem habeat proportionem ad minorem terminum, qualem habet maior ad illum. Sed, si sunt ibi termini mediantes, dividunt semper proportionem illam in partes inaequales, et hoc facit illa una pars in qua maior minorem superat, ut est pars media minoris, tertia, quarta, quinta, sic deinceps. Nullae enim duae aequales partes proportionaliter videntur aequari uni mediae parti, tertiae vel quartae, quia parti uni, ut una est, nullae aliae duae aequari habent. Unitas enim geminari potest, triplari vel alias multiplicari quae tamen ex partibus distinctis, cum indivisibilis sit, non componitur, et, licet unitas sit indivisibilis in partes tam aequales quam inaequales, in quo distinguitur a natura superparticularis proportionis, si tamen detur per impossibile ipsam esse divisibilem, videtur quod potius ipsa in partes divideretur inaequales quam aequales, cum magis conformetur numero impari quam pari et novae proportioni superparticulari, ut stat. Adhuc in minimis suis terminis repugnat dividi tam in partes aequales quam in partes inaequales, cum illa pars, in qua maior minorum superat, et sit una, et sit unitas.

In aliis autem secundariis terminis, illa pars, in qua maior vincit minorem, bene est una, sed non est unitas. Ideo divisibilis est superparticularis proportio, ut stat in secundariis terminis, quia, inter illos, numerus aliquis mediat, sed illa divisio solum est in partes inaequales, ut saepe dictum est et probatum, quia non potest hoc fieri per partes aequales superparticulares, de quibus magis forsitan videretur et, cum in paucioribus via, magis declaremus ad hoc istud, ubi medius unus ponitur terminus inter numeros superparticularem proportionem continentes qui in duas superparticulares proportiones dividat illam. Et gratia exempli ponantur hi tres [144] termini: 18 15 12. Et vocetur primus .a., secundus .b., tertius .c. Est igitur inter .a. et .c. superparticularis proportio quam dividit in duas proportiones superparticulares terminus medius qui est .b. Modo dico quod illae nullo modo possunt esse aequales tum quia alias periret illa medietatis arithmeticae famosa proprietas quod in minoribus numeris maior est proportio et in maioribus minor, tum quia inaequalitas partium | [P2, 165v in marg.] inaequalitatem arguit proportionum. Pars autem quinta et quarta sunt inaequales in quantum idem totum respiciunt et maior est alicuius totius pars quarta quam quinta. Non est igitur aequalis proportio inter .a. et .b. et inter .b. et .c., quia nec aequalis denominatio (prima enim, quae est sesquiquinta, minor est quam secunda, quae est sesquiquarta), nec duae sesquiquintae proportiones possent complere sesqualteram et duae sesquiquartae superant illam; et suo modo est de quibuscumque terminis aliis superparticularibus.

Consimiliter, si superparticularis proportio in superpartientes dividatur, oportet quod illae sint inaequales, sicut et partes in quibus terminorum illorum unus alium superat proportionaliter. Oportet, inquam, necessario ut sint inaequales si debeat manere superparticularis proportio inter extremos terminos illarum plurium proportionum. Hoc ostendunt hi termini: 15 13 10, et hi: <28> 25 23 21. Inaequales enim sunt proportiones superpartientes quae, in positos terminis, superparticulares dividunt proportiones, et consimiliter esset in quibuscumque terminis aliis.

Causa igitur, quare repugnet proportioni superparticulari ne inter terminos suos cadant numeri aliqui proportionaliter, et, per consequens, ne ipsa divisibilis sit in partes aequales, videtur esse ea (quae tacta est) quae a propria quidditate proportionis superparticularis sumpta est. Proprietates enim vel passiones, quae totam sequuntur speciem, ex propriis principiis manant sui subiecti. Nec dico tactam causam esse generalem simpliciter quantum ad omnem proportionem indivisibilem in partes aequales, sed est generalis quantum ad hoc quod in quibuscumque proportionibus reperitur dicta causa, reperitur dicta proprietas, et, quia reperitur in omnibus [145] superpartientibus, ideo repugnat proportioni superparticulari secundum totum suum ambitum et genus ne inter terminos eius medient unus vel plures numeri proportionaliter et, per consequens, ne huius proportiones divisibiles sint in partes aequales duas vel plures. Et sic causa illa | [P1, 136r in marg.] et est generalis et specialis; generalis, quantum ad omnes proportiones superparticulares; specialis, quia sic illis competit quod non ceteris a superparticularibus quibus tamen repugnat ne medient inter terminos proportionum illarum unus vel plures numeri proportionaliter et, per consequens, ne sint divisibiles in partes aequales quemadmodum nec superparticulares.

Ideo oportet in illis aliam assignare causam specialem. Nec requiritur ut sit generalis quantum ad omnes illas, sicut haec generalis est quantum ad omnes superparticulares. Unde laboraverunt doctores ad inquirendum causam vel causas quare repugnet omni superparticulari in partes aequales scindi, non autem omni multiplici, non omni superpartiente, non omni mixtae. Et videtur sine praeiudicio cuiuscumque, inter causas speciales assignatas quare repugnet proportioni superparticulari ne inter terminos eius interveniant unus numerus vel plures proportionaliter et, per consequens, ne in partes aequales sit divisibilis, illa esse principalior et potior quae ultimo tacta est, quia ipsa videtur fundamentum aliarum.

Unde est enim quod minimi numeri superparticularis proportionis unitate sola distinguantur, nisi quia de ratione superparticularis proportionis est ut maior numerus minorem vincat in unica illius aliquota parte? Est autem unitas pars aliquota numeri cuiuslibet et minima, et hinc est ut cuiuslibet superparticularis proportionis termini finaliter resolvantur in tales duos terminos qui sola distinguantur unitate qui, cum in minores resolvi non possint, minimi sunt et primi in singulis proportionibus illis. Ex eadem etiam venit radice quod, si minor terminus superparticularis proportionis tollatur a maiore, qui remanet numerus mensura communis illorum est. Si ergo quaeratur quare inter terminos qui sunt: 6 et 4, 8 et 6, vel quoscumque alios superparticulares, nec unus, nec plures numeri proportionaliter cadere possint et, per consequens, proportiones tales indivisibiles sunt in partes aequales, responderi poterit: quia maior terminorum minorem continet et, cum hoc, unicam illius partem, hanc vel illam, scilicet mediam, tertiam vel quartam, sic de aliis. Et videtur [146] quod responsiones specificari possint ut, si quaeratur de terminis sesqualteris quibuscumque quare nullus numerus proportionaliter possit mediare, dicetur: quia maior terminorum illorum vincit minorem in media illius parte; et, de terminis sesquitertiis: quia maior superat minorem in tertia illius parte, et consimiliter respondebitur de ceteris, ut, quare non est sesquioctava proportio divisibilis in aequas partes: quia maior terminus illius proportionis minorem vincit in octava illius parte.

Et, secundum hoc, de singulis speciebus, ut videtur, speciales fieri possunt demonstrationes quae tamen eisdem innituntur communibus principiis. Nonne Boethius speciales ponit rationes de sesquioctava proportione quod inter terminos eius nullus mediet numerus proportionaliter, ut tangetur postea, ut ex hoc habeat et concludat proportionem illam indivisibilem esse in partes aequales et, ex hoc, ulterius convincat tonum indivisibilem esse in partes aequales, | [P2, 166r in marg.] vel semitonia aequalia? Et consimiliter rationes speciales adduci possent de aliis superparticularibus specialibus proportionibus, si enim medium in demonstratione potissima est definitio, et puto non quaecumque, sed subiecti, quamvis aliqui teneant quod definitio passionis, alii quod aggregata ex illis, ut videri habet in secundo Posteriorum, cum cuilibet speciei sua propria respondeat definitio, sicut et quidditas poterit aliqua passio, quae pluribus inest speciebus, de qualibet illarum specialiter per illius definitionem demonstrari.

Et haec nunc dicta sufficiant quare repugnet proportioni superparticulari in aequas scindi partes. De qua materia adhuc infra dicemus aliqua cum propter toni divisionem ad proportionem sesquioctavam descendemus.

[147] Capitulum LIIII.

Quod proportio non multiplex <geminata neque multiplicem neque superparticularem procreet proportionem>.

Si intervallum non multiplex binario multiplicetur, nec multiplex est, nec superparticulare quod inde provenit.

Haec propositio Boethii est quae satis concludi potest ex prius dictis de compositione multiplicis proportionis et superparticularis. Probatum enim est prius quod omne intervallum multiplex binario multiplicatum multiplicem generat proportionem. Probatum est etiam quod multiplex proportio in aliquot aequales proportiones dividi non potest nisi in multiplices. Ex his sequitur quod, si intervallum non multiplex binario multiplicetur (hoc est: si proportio quam multiplex geminetur), proportio inde proveniens non est multiplex, quia multiplex ex nullis aequalibus proportionibus nasci potest nisi ex multiplicibus. Quod autem illa proportio, quae nascitur ex aliqua proportione geminata non multiplice, non sit superparticularis, patet per hoc quod probatum est superparticularem proportionem indivisibilem esse in partes aequales et, per consequens, incomponibilem non solum ex non multiplicibus, sed nec multiplicibus aequalibus. Hoc autem sic deducit Boethius: Sit, inquit, intervallum non multiplex .b.c. et sit ut .c. ad .b. sic .b. ad .d. (hoc est: in eadem non multiplici proportione in qua se habet .c. ad .b. se habeat .b. ad .d.; hoc est: contineatur inter .c. et .d. una non multiplex proportio geminata). Dico ad hoc sequi quoniam .d. eius quod est .c. neque multiplex est, neque superparticulare. Non est multiplex, quia, cum inter .b. et .c. sit proportio non multiplex, similiter inter .d. et .b., .c. nec numerat .b., nec .d., et, per consequens, non potest .d. esse multiplex ad .c. in proportione enim non multiplici, sive fuerit superparticularis, sive superpartiens, minor terminus maiorem non mensurat. Non est etiam .d. superparticularis ad .c., quia superparticularis proportio | [P1, 136v in marg.] ex aequalibus non componitur. Et applicat haec [148] Boethius ad numeros. Sit, inquit, non multiplex intervallum 6 ad 4, fiatque ut sint 4 and 6, ita 6 ad alium aliquem numerum. Hic erit novenarius qui quaternarii neque multiplex est (supple simplex), neque superparticularis. Est enim multiplex sesquiquartus. Ponit autem Boethius aliam propositionem quae est quasi conversa prioris quae talis est: Si intervallum binario multiplicetur atque id, quod ex tali multiplicatione creatur, multiplex non sit, ipsum quoque, quod binario multiplicatur, non erit multiplex. Propositio ista satis patet ex praecedenti. Nam, si proportio illa nullo modo potest esse multiplex, quae ex proportione non multiplici geminata producitur, constat ex hoc, quasi e converso, quodsi sit aliqua proportio non multiplex ex aliqua geminata proportione progenita, quod illa geminata proportio non est multiplex, quia, si fuisset multiplex, proportionem multiplicem procreasset. Sed deducit hanc Boethius sic: Sit intervallum .b.c., fiatque ut .c. ad .b. ita .b. ad quodam tertium, et sit .d., et ponatur quod .d. non sit multiplex eius quod est .c., Dico ex hoc sequi, quoniam nec .b. erit multiplex eius quod est .c., similiter nec .d. ipsius .b., quia, si .b. fuisset multiplex eius quod est .c. (et est binario multiplicatum), sequeretur quod .d. multiplex esset ad .c., quia ex multiplici geminato non producitur nisi multiplex (nam, in talibus, semper minor numerus ceteros mensurat). Cum autem .d. non sit multiplex ad .c. propositum, non fuit igitur .b. multiplex ad .c., similiter nec .d. ad .b., quia similis est proportio inter .d. et .b., et inter .b. et .c. propositum. Et istud in eisdem numeris, qui prius positi sunt, declarari posset. Unde, licet duabus conclusionibus duas Boethius ponat figuras, quia tamen similes sunt, causa brevitatis, unam ponamus:

| [P2, 166v in marg.] [CSMIII/3:148; text: Intervallum nec multiplex simplex, nec superparticulare, Non multiplex, quia sesqualtera, .d. .b. .c. 9, 6, 4] [JACSP3B 04GF]

[149] Ex dictis patet quod nec superparticularis geminata proportio, nec superpartiens multiplicem inducunt proportionem, quia nec hic, nec ibi minor numerus mensurat numerum maiorem cui comparatur.

Capitulum LV.

Quod tonus non est divisibilis in partes aequales.

Dubitatum est ab Antiquis et ab aliquibus nostri temporis musicis de toni partibus quae semitonia nuncupamus, aliis dicentibus illa esse aequalia, aliis quod inaequalia.

Posuit enim Aristoxenus diatessaron constare ex tonis duobus et semitonio integro, diapente ex tribus tonis et integra toni medietate. Ex quibus sequitur diapason ex sex tonis constare, et bis diatessaron ex quinque. Haec autem prius multipliciter sunt improbata. Est etiam ostensum multis viis illud semitonium, quod includit diatessaron ultra duos tonos, non esse integram toni dimidietatem. Sed, qui ad Aristoxeni positionem sequitur tonum esse divisibilem in partes integras et aequales, ad illius improbationem sufficere non videntur rationes illae, quibus est probatum semitonium, inclusum cum duobus tonis in diatessaron, esse minus integra toni medietate. Sunt enim aliqua divisibilia in partes aequales et in partes inaequales, de quorum numero sunt aliquae consonantiae et aliquae proportiones. Ideo, quod saepe promisimus et propter quod principalius multa de intervallis diximus, impleamus, scilicet nos ostensuros tonum non esse divisibilem in duo semitonia omnino aequalia, quae sint integrae toni dimidietates. Hoc autem ex iam probatis satis concludi potest. Et proptera brevius hoc expediatur.

Arguitur igitur sic: Toni proportio indivisibilis est in partes aequales, ergo similiter et tonus. Consequentiam tactam habuerunt Antiqui pro certa et manifesta, in tantum quod, propter magnam connexionem alicuius consonantiae cum sua [150] numerali proportione, unum saepe ponant pro reliquo. Dicit enim Philolaus diesim describens quod est spatium quo maior est sesquitertia proportio duobus tonis, id est duabus sesquioctavis proportionibus. Et infra: Comma vero est spatium quo maior est sesquioctava proportio duabus diesibus, id est duabus diesialibus proportionibus. Et hunc modum saepe Boethius tenet. Haec igitur omnino se consequuntur ut, si proportio aliqua indivisibilis est in partes aequales, similiter et consonantia super illam fundata. Nec invenitur de hoc instantia. Res enim suo conformatur fundamento, similiter si proportio aliqua divisibilis sit in partes aequales, et consonantia super illam fundata. Unde constat Aristoxenum errasse, quia de consonantiis, ipsarum distinctionibus et divisionibus iudicare per sensum nimis voluit et non per ipsarum numerales | [P1, 137r in marg.] fundamentales proportiones.

Quod autem toni proportio in partes aequales sit indivisibilis patet, quia probatum est prius multipliciter superparticularem proportionem indivisibilem esse in partes aequales. Et hoc competit omni proportioni superparticulari. Est autem sesquioctava proportio, in qua tonus fundatur, superparticularis. Ipsa igitur in partes aequales est indivisibilis. Sed, quia, praeter illas probationes, Boethius, circa principium libri tertii Musicae suae, de sesquioctava proportione specialiter probat quod ipsa indivisibilis est in partes aequales, eius demonstrationem, ut possumus et eam intelligimus, hic apponamus:

Inter terminos sesquioctavae proportionis nullus numerus proportionaliter cadit. Ergo proportio sesquioctava indivisibilis est in partes aequales. Quod autem, inter terminos sesquioctavos, nullus numerus mediet proportionaliter, patet de minimis vel primis numeris illius proportionis qui sunt octo et novem, quia immediate se consequuntur et unitate sola distinguuntur. Sumantur igitur minimi numeri secundarii, in quibus eadem maneat proportio, ut habeatur | [P2, 167r in marg.] aliquis numerus medians inter terminos sesquioctavos. Et illi sunt 16 et 18. Mediat autem inter illos unus terminus, scilicet 17. Unde disponantur sic: 16 17 18. Modo dicendum est illum medium numerum non dividere proportionem sesquioctavam, quae est inter terminos illos extremos, in partes duas aequales, sed in partes vel proportiones inaequales, ut sunt sexta decima et septima decima quae inaequales sunt, tum quia differunt [151] specie suo modo, sicut sesqualtera et sesquitertia, tum quia una minor est alia, scilicet ssquisexta decima quam sesquiseptima decima, quia, salva aequalitate differentiarum, sicut est hic, in minoribus numeris maior est proportio, et in maioribus minor, tum quia excessus in maiore parte maiorem arguit proportionem. Maior autem est pars sexta decima parte septima decima. Superat enim illam in sexta decima parte unitatis et eiusdem totius divisi in partes decem et septem et in partes decem et sex. Maior est pars sexta decima quam septima decima.

Item, si illae proportiones essent aequales, consimili ratione omnes proximae proportiones superparticulares in suis minimis terminis essent aequales. Arguatur igitur sic: Si sesquioctava proportio, quae est inter tactos terminos, esset divisibilis in duas partes aequales, oporteret quod aliqua tactarum proportionum esset integra sesquioctavae proportionis medietas, vel, si non, oporteret ut inter illas caderet una proportio quae esset sesquioctavae proportionis vera medietas. Sed neutrum horum est verum, ideo et cetera.

Antecedens patet ex praedictis, quia, cum aliqua proportio divisibilis est in partes aequales, oportet necessario ut, inter terminos illius proportionis, mediet aliquis numerus proportionaliter. Sed falsitas consequentis et antecedens, sive consequentia, aliqualiter probentur sic: Sit .a. 16, .c. 17, .b. vero 18. Dico quod medietas integra tactae sesquioctavae proportionis nullo modo cadet inter .c. ac .b., idest proportio quam signant .c.b., scilicet sesquiseptima decima, nullo modo est integra illius sesquioctavae proportionis medietas, ut probabitur. Est autem .c.b. proportio minor proportione .a.c., idest proportio sesquiseptima decima minor est proportione sesquisexta decima, ut patebit, licet <hoc> iam probatum sit. Quodsi una illarum maior est alia, inaequales igitur sunt et, per consequens, non sunt integrae medietates sesquioctavae proportionis, quia si ita esset, deberent esse aequales. Et, cum illae non sint integrae suquioctavae proportionis medietates, si alia aliqua sit huiusmodi, oportet quod ipsa mediet inter illas, quae vocetur .d.b., vel .a.b. .d.b. igitur proportio, vel .a.d. proportio, quae ponitur importare medietatem integram sesquioctavae proportionis, oportet ut sit maior .c.b. proportione, quia probabitur illam esse minorem [152] integra sesquioctavae proportionis medietate, et quod ipsa etiam proportio .c.b. est minor proportione quae est .a.c. Item oportet quod .d.b. proportio sit minor proportione .a.c., quia probabitur .a.c. proportionem maiorem esse integra toni medietate vel proportionis sesquioctavae. Est autem .a.c. proportio sesquisexta decima, .c.b. vero sesquiseptima decima. Si ergo dare est integram toni vel sesquioctavae proportionis medietatem, illa cadet inter sesquisextam decimam et sesquiseptimam decimam, minor existens sesquisexta decima, maior vero sesquiseptima decima. Sed hoc in integro numero nullo modo potest inveniri, quia tunc inter 18 et 16 caderet unus numerus distinctus a 17, qui scilicet esset minor quam 18 et non esset 17, et esset maior quam 16, et non esset 17. Hoc autem non est possibile. Et, si sic, non est igitur dare aliquam proportionem mediam inter sesquiseptimam decimam et sesquisextam decimam, quia illi nullus integer respondet numerus qui scilicet eandem proportionem habeat ad 16 cum ea quae est ipsorum 18 ad numerum illum.

Indivisibilis igitur est proportio sesquioctava in partes duas aequales. Sed iam probetur quod nec sesquisexta decima proportio, nec sesquiseptima decima sit integrae toni vel sesquioctavae proportionis medietates. Hoc autem ostenditur ex eo quod alias tactum est, quia, omne dimidium bis auctum, si est integrum dimidium, integre et praecise reddit suum totum. Si vero transcendit, tunc illud per se sumptum superat | [P1, 137v in marg.] illius totius integrum dimidium. Si vero ad totum suum non attingit ipsum, minus est integra illius totius medietate. Superat autem proportio sesquisexta decima geminata toni proportionem ad quam etiam non provenit sesquiseptima decima duplicata proportio. Dico igitur sesquisextam decimam proportionem non esse integram toni vel sesquioctavae proportionis medietatem, quia si ita esset, inter 16 et 18 non esset sesquioctava proportio sed inter 16 et 18 et, cum hoc, sextam decimam partem unitatis, quia, si, cum proportione sesquisexta decima, quae est inter 17 et 16, quaeratur una consimilis illi continua quae sit ad 17, oportet ut numeri, qui est 17, sumatur sexta decima pars. Illa autem est unitas et unitatis decima sexta pars, quia 17 superant 16 in unitate. Est autem unitas sexta decima pars ipsorum 16. Si ergo unitatem unitatisque partem decimam sextam numero qui est | [P2, 167v in marg.] 17 coniungamus, fient 18 et pars unitatis sexta decima. Sed, [153] si 18 et pars sexta decima unitatis comparentur numero qui est 16, superabitur toni mensura et sesquioctava proportio, cum, ad 16, solus numerus, qui est 18, sesquioctavam custodiat proportionem. Sic igitur patet quod sesquisexta decima proportio bis aucta tonum et sesquioctavam transcendit proportionem. Ex quo sequitur ut non sit integrum toni dimidium vel sesquioctavae proportionis, sed amplius, cum bis aucta dicta proportio tonum vel sesquioctavam transcendat proportionem. Duae enim unitates et unitatis sexta decima pars in terminis praedictis unam sesquioctavam superat proportionem. Quocirca, si sesquisexta decima proportio non est integrum toni dimidium vel sesquioctavae proportionis, nulla maior alia poterit esse toni vel sesquioctavae proportionis integrum dimidium, quia illa geminata amplius tonum vel eius excederet proportionem, quam faciat sesquisexta decima geminata proportio. Consequenter probetur quod sesquiseptima decima proportio, quae immediate sesquisextam decimam consequitur, non sit integra toni vel eius proportionis medietas, per hoc quod ipsa geminata ad sesquioctavam non provenit proportionem. Duae enim sesquiseptimae decimae partes non attingunt ad unam sesquioctavam. Deest enim octava pars unitatis. Non enim 19 ad 17 complent sesquioctavam proportionem, quia deest octava pars unitatis. Nam septimi decimi numeri pars octava sunt duo et octava pars unitatis. Duo autem si addantur ad 17 et octava pars unitatis, fient 19 et octava pars unitatis. Haec est, puto, Boethii deductio qua probat sesquioctavam proportionem indivisibilem esse in partes aequales, similiter et tonum. Habet enim hoc quasi pro eodem, cum unum saepe ponat pro alio. Describit hoc Boethius in figura sic:

[CSMIII/3:153; text: Sesquioctava proportio in qua fundatur tonus, Sesquisexta decima proportio, Sesquiseptima decima proportio, a. .d. .c. .b. 16, 17, 18] [JACSP3B 04GF]

[154] Capitulum LVI.

<Amplior expositio aliquorum dictorum>.

Ad maiorem evidentiam praedictorum quaedam notanda sunt, primo circa hoc quod dicit Boethius sesquisextam decimam proportionem geminatam superare sesquioctavam proportionem in sexta decima parte unitatis; sesquiseptima <decima>, similiter duplicata, videtur vinci a sesquioctava in sexta decima parte unitatis.

Possent haec magis apparere, si proportiones illae in numeris geminarentur sic:

Numerus qui est 16 ducatur in se ipsum, et provenit inde numerus qui est 256. Item tactus numerus, idest 16, qui est .a. ducatur in numerum .c., qui est 17, et exit inde numerus qui est 272. Item numerus qui est c. multiplicetur per se ipsum, et fit inde numerus qui est 289. Qui sic disponantur: 289 272 256. Hic, duae continuae ponuntur sesquisextae decimae proportiones, quarum una est inter primum terminum et medium et alia inter illum medium numerum et minorem terminum. Quae enim est proportio inter 17 et 16, eadem est inter tactos terminos primum et secundum, secundum et tertium. Notetur igitur proportio extremorum positorum, et invenietur ipsam superare sesquioctavam proportionem in unitate. Illa enim est inter terminos sequentes: 288 256. Et in hoc patet dictum Boethii verum esse quod si in terminis illis qui sunt 16 et 17 duae continuarentur sesquisextae decimae proportiones, illae superarent sesquioctavam in sexta decima parte unitatis. Termini enim nunc positi per terminos illos primos aucti sunt.

Item, ad videndum duas sesquiseptimas decimas continuas proportiones in terminis prius tactis qui sunt .c. et .b., scilicet 17 et 18, deficere | [P2, 168r in marg.] a sesquioctava proportione in sexta decima parte unitatis, multiplicetur termini illi sicut et priores. Et proveniunt inde sequentes termini, scilicet

324 306 289.

Sunt hic duae continuae sesquiseptimae decimae proportiones. Illae autem non attingunt ad unam sesquioctavam, quia deficit unitas. Est enim sesquioctava proportio inter | [P1, 138r in marg.] 324 et 288. Maior enim horum minorem superat in numero qui est 36, qui est octava pars praecisa minoris et nona maioris.

[ante 155] [CSMIII/3:ante155; text: Duae sesquioctavae continuae proportiones vel duo toni super 17 partiens proportio, Duae sesquiseptimae decimae continuae proportiones non complentes sesquioctavam, quia deficit unitas. Est autem, inter terminos qui sunt .a. <et> .c., super 35 partiens proportio ducentesimas octuagesimas nonas, quae maior est sesquinona proportione, minor sesquioctava ut ex his patere potest terminis, qui sunt: .324.289.<350>.315.280.35. Est inter duos primos terminos super 35 partiens proportio, inter tertium et quartum <sesquinona>, inter quartum et quintum sesquioctava. Sextus autem numerus importat differentiam duorum primorum terminorum. Tonus vel sesquioctava proportio; Sesquidecima sexta proportio, Duae continuae sesquisextae decimae proportiones in suis primis numeris. Hae superant sesquioctavam, in terminis positis, in unitate. Est autem, inter terminos qui sunt .c. et .f., super 33 partiens proportio ducentesimas quinquagesimas sextas, quae maior est sesquioctava, minor vero sesquiseptima, ut ex terminis sequentibus apparere potest, qui sunt: .289.256.297.264.231.33. Est autem inter primos duos terminos super 33 partiens proportio, inter tertium et quartum sesquioctava, inter quartum et quintum sesquiseptima. Sextus vero numerus primorum duorum numerorum differentia est..b. .e. 306, 272, .d. 288, Sesquidecima septima proportio, Sesquiseptima decima proportio, Sesquisexta decima proportio, Sesquidecima decima proportio, Toni sesquioctava proportio, Tonus vel sesquioctava proportio] [JACSP3B 05GF]

[155] Hi autem numeri cum prioribus coniungantur et sic figurentur; et vocetur primus, ad partem dextram, .a., secundus .b., tertius .c., quartus (qui extra ordinem directum aliorum est) .d., quintus .e., sextus .f.

(Vide descriptionem in tabulu seorsum addita).

Patet ex priore descriptione, duas sesquidecimas sextas proportiones, quae continentur inter numeros qui sunt .c. et .f., superare proportionem unam sesquioctavam, quae habetur inter .d. et .f., in sexta decima parte unitatis. Superat enim numerus qui est .c. numerum qui est .d. in unitate, quae unitatis excrescentia provenit ex multiplicatione primorum terminorum sesquisextae decimae proportionis per 16. Nam sexdecim partes unitatis unam complent unitatem. Item, patet ibi duas sesquiseptimas decimas proportiones unam sesquioctavam non complere, quia deficit sexta decima pars unitatis. Unde fit ut numerus, qui est .a., non sit sesquioctavus ad numerum, qui est .c., a quo distat duabus sesquiseptimis decimis continuis proportionibus, sed a numero, qui est .d., a quo distat duabus proportionibus, una sesquiseptima decima et una sesquisexta decima. Quantum igitur duae sesquisextae decimae proportiones superant unam sesquioctavam, tantum superat una sesquioctava duas sesquiseptimas decimas. Hoc autem unde provenit, nisi quia una sesquisexta decima superat unam sesquiseptimam decimam in sextadecima parte unitatis.

Item in tacta figura notatur quae sit proportio inter extremos terminos duarum sesquidecimarum | [P2, 168v in marg.] septimarum proportionum et sesquidecimarum sextarum, et, cum illae sint superpartientes, tangitur illarum comparatio ad superparticulares proportiones. Sed cum numerus ille, qui est .c., a quo distat numerus, qui est .a., duabus sesquidecimis septimis proportionibus, careat octava parte praecisa et, per consequens, non respondeat ei numerus integer sesquioctavus, ut planius appareat sesquioctavam proportionem superare duas <sesquiseptimas decimas>, vel <sesquisextam decimam> sesquiseptimam decimam in sexta decima parte unitatis, multiplicentur per octonarium tacti numeri qui sunt .a.b.c. Et [156] proveniunt, ex hoc, numeri sequentes: 2592 2448 2312. Continentur inter hos tres numeros duae continuae sesquiseptimae decimae proportiones, sicut inter priores. Iungatur, minori numerorum horum, octava sua pars; et exit inde numerus, qui est 2601. Qui cum aliis ordinetur sic:

2601 2592 2448 2312,

et vocetur primus .g., secundus .h., tertius .i., quartus .k. Dico igitur inter .g. et .k. proportionem contineri sesquioctavam, inter .h. et .k. duas sesquiseptimas decimas. superat autem numerus qui est .g. numerum qui est .h. in novem unitatibus. Ex quo patet intentum, scilicet sesquioctavam proportionem superare duas <sesquidecimas septimas>, vel sesquisextam decimam sesquiseptimam decimam in sexta decima parte unitatis. Ex priore enim multiplicatione illius excrescentiae una provenit | [P1, 138v in marg.] unitas. Ex ulteriore vero multiplicatione, quae per octonarium facta est, octo nascuntur unitates. Ex his igitur patet quod tantum superat una sesquioctava proportio duas <sesquiseptimas decimas>, quantum duae sesquisextae decimae vincunt unam sesquioctavam. Hoc autem totum provenit quia superat sesquisexta decima proportio sesquiseptimam decimam in sexta decima parte unitatis. Sesquisexta decima autem proportio cum sesquiseptima decima complent unam sesquioctavam.

Ulterius declarandum est unam sesquioctavam duas decimas septimas partes superare in octava parte unitatis. Et hoc patet:

Primo, quia, sicut dictum est, octava pars ipsorum 17 sunt duae unitates et octava pars unitatis.

Secundo, quia, sicut est dictum, sesquiseptima decima cum sesquisexta decima unam complent sesquioctavam. Se habent autem 18 ad 17 in sesquiseptima decima proportione, 19 autem ad 18 in habitudine sesquioctava decima. Quae superatur ab una sesquisexta decima in octava parte unitatis. Sexta decima enim pars ipsorum 18 unitas est et sexta decima pars duarum unitatum. Duarum autem unitatum pars sexta decima facit octavam partem unitatis. Ad hoc igitur ut 19 ad 17 unam sesquioctavam compleant, octava pars requiritur unitatis.

Tertio, patet idem si, per octonarium, 17 et 19 augeantur. Proveniunt enim ex hoc sequentes termini: 152 136. [157] Iungatur minori octava sua pars, et exit numerus qui est 153. Et hic cum aliis sic disponatur: 153 152 136. Vocetur primus horum terminorum .l., secundus .m., tertius .n. Est autem inter .l. et .n. terminos sesquioctava proportio. Inter .m. et .n. eadem est proportio cum ea quae est inter 19 et 17, quae est superbipartiens decimas septimas. Quod autem .l. numerus superet numerum qui est .m. in unitate provenit ex hoc, quod sesquioctava proportio superat proportionem quae est inter 19 et 17 in octava parte unitatis. Hoc autem inde nascitur quia, sicut sesquisexta decima proportio superat sesquiseptima decima in sextadecima parte unitatis, sic eadem sesquisexta decima maior est una sesquidecima octava in octava parte unitatis.

Ex his patet dissimile esse de duabus sesquiseptimis decimis proportionibus et duabus septimis decimis partibus. Et hoc probat distincta proportio, quia prima est super 35 partiens ducentesimas octuagesimas nonas, secunda superbipartiens decimas septimas. Et prima maior est quam secunda, quantum sesquiseptima decima proportio maior est una sesquioctava decima; et hinc est, quod duae sesquiseptimae decimae proportiones magis appropinquent ad unam sesquioctavam quam duae septimae decimae partes. Stant igitur simul, ut una sesquioctava abundet a duabus sesquiseptimis decimis proportionibus in sextadecima parte unitatis, a duabus vero septimis decimis partibus in octava parte unitatis. Hoc autem facit excessus proportionis sesquiseptimae decimae super proportionem sesquioctavam decimam.

Haec ut amplius pateant, numeri notentur sequentes: 324 323 306 289 288. Et vocentur, sicut prius dictum est, primus .a., tertius .b., quartus .c., quintus .d. Secundus, qui praedictis adiunctus est, vocetur .e. Continentur inter .a. et .c. duae continuae sesquiseptimae decimae proportiones. Inter .e. et .c. est eadem proportio sicut inter 19 et 17. Quod igitur numerus qui est .a. superet numerum qui est .e. in unitate provenit ex ea excrescentia, qua duae sesquiseptimae decimae proportiones superant duas septimas decimas partes, sive, ex eo, quod una sesquiseptima decima vincit unam sesquioctavam decimam, et inde est, quod consimiliter, proportionaliter, duae sesquisextae decimae proportiones duas superant ipsorum sextas decimas partes, idest proportionem sesquioctavam, quae est inter 18 et 16. Hoc autem ex ea venit radice qua sesquisexta decima proportio sesquiseptimam decimam vincit [158] proportionem. Patet, ex dictis, excessus duarum sesquisextarum decimarum proportionum super unam sesquioctavam, et unius sesquioctavae super duas sesquiseptimas decimas | [P2, 169r in marg.] et duarum sesquiseptimarum decimarum super duas ipsorum septemdecim unitates, quae omnia proveniunt ex excessu sesquisextae decimae proportionis super sesquiseptimam decimam, et sesquiseptimae decimae super sesquioctavam decimam.

Est autem, iuxta hoc, notandum quod, sicut una sesquioctava proportionem superat superbipartientem decimas septimas in octava parte unitatis, sicut visum est, sic una sesquioctava vincit unam sesquinonam (quae est inter 20 et 18) in octava parte duarum unitatum, hoc est in quarta parte unitatis, una sesquioctava unam superbipartientem decimas nonas (quae est inter 21 et 19) in octava parte trium unitatum, una sesquioctava unam sesquidecimam (in terminis qui sunt 22 et 20) in octava parte quattuor unitatum, et sic deinceps.

Notandum autem quod 20 et 18 sunt primi secundarii numeri sesquinonae proportionis. Minimi vero numeri istius proportionis sunt 10 et 9. Sesquioctava autem proportio, quae est inter 9 et 8, superat proportionem quae est inter 10 et 9, in octava parte unitatis; eam, quae est inter 11 et 10 in octava parte duarum unitatum; eam, quae est inter 12 et 11, in octava parte trium unitatum; eam, quae est inter 13 et 12, in octava parte quattuor unitatum, et, per consequens, in primis secundariis numeris sesquiduaedecimae proportionis, quae sunt 26 et 24, superatur tacta proportio a sesquioctava in octava parte octo unitatum, hoc est in unitate. Hoc manifeste patet inter terminos sequentes: 27 26 24. | [P1, 139r in marg.] Inter extremos hos numeros est sesquioctava proportio, inter medium et minorem sesquiduodecima.

Consimiliter haec omnia paterent in numeris, si termini primi secundarii illarum proportionum sumerentur et per octonarium augerentur. In secundariis enim primis terminis tactarum habitudinum, ubi superat sesquioctava proportio aliam proportionem in octava parte duarum unitatum, facta multiplicatione per octonarium numerorum illius proportionis, provenit numerus sesquioctavus superans alium in duabus unitatibus. Hoc ostendunt numeri sequentes:

144 160 162.

[159] Inter extremos hos numeros est sesquioctava proportio, inter medium et minorem terminum sesquinona, qualis est inter 20 et 18. In secundariis vero primis terminis in quibus sesquioctava proportio superat aliam in octava parte trium unitatum tacta facta multiplicatione, numerus sesquioctavus numerum superat superbipartientem decimas nonas in tribus unitatibus ut ex numeris patet sequentibus: 152 168 171. Est inter hos extremos terminos proportio sesquioctava, inter medium et minorem superbipartiens decimas nonas, sicut inter 21 et 19. Quodsi proportio sesquioctava maior sit alia in octava parte quattuor unitatum, facta multiplicatione per octonarium terminorum secundariorum primorum illius proportionis, numerus sesquioctavus numerum sesquidecimum superabit in quattuor unitatibus, sic deinceps.

Locutus sum autem de secundariis primis terminis tactarum proportionum, quia secus est de aliis. Ubi enim, in primis secundariis terminis, proportio sesquioctava superat aliam in octava parte duarum unitatum, in minimis et omnino primis numeris illius proportionis, ut sunt 10 et 9, sesquioctavus terminus alium superat in octava parte unitatis unius. Hoc probatur per terminos sequentes: 72 80 81. Est, inter extremos positos numeros, sesquioctava proportio, inter medium et minorem sesquinona. In primis vero minimis terminis, sesquioctava proportio maior est sesquidecima in octava parte duarum unitatum, quae duas procreant unitates, si termini illi per octonarium augeantur, ut patet hic: 80 88 90, sic deinceps.

Potest autem doctrina haec et ad alias superparticulares extendi proportiones ut dicamus sesqualteram proportionem sesquitertiam in primis suis minimis terminis sumptam superare in medietate unitatis. In primis vero secundariis terminis in unitate, in secundis secundariis in duabus unitatibus, et sic ulterius. Sesqualtera vero proportio, quantum ad primos et minimos terminos, maior est sesquiquarta in medietate duarum unitatum, sesquiquinta in medietate trium unitatum, sesquisexta in medietate quattuor unitatum, sic deinceps. Consimiliter de sesquitertia respectu sesquiquartae et sesquiquintae, ac ceteris, potest dici.

[160] Item, potest ex dictis concludi quod, ubi sunt duae superparticulares proportiones immediate se consequentes, maior minorem superat in parte tot unitatum <quot> fuerint in minore numero maioris proportionis, ut, cum sesquiseptima decima proportio immediate sequatur sesquisextam decimam in primis terminis qui sunt: 16 17 18, proportio sesquisexta decima proportionem sesquiseptimam decimam superat in sexta decima parte unitatis et, secundum hoc, sesquiseptima decima proportio maior est sesquioctava decima in septima decima parte unitatis, et haec, quam sesquidecima nona in decima octava parte unitatis, et sic deinceps. Et, si hoc generaliter verum est, sesqualtera proportio maior est sesquitertia, si in minimis et primis suis sumantur terminis in media parte unitatis, sesquitertia sesquiquarta in tertia parte unitatis, sesquiquarta sesquiquinta in quarta parte unitatis, et sic ulterius.

Iuxta hoc diligenter est notandum quod etsi unitas omni unitati sit aequalis absolute loquendo, et ut eundem respicit numerum, non sic autem ut pars est alterius et alterius numeri. | [P2, 169v in marg.] Binarii enim duae unitates sunt aequales, et ternarii tres inter se, et quaternarii quattuor, sic de aliis. Unitas, tantum ut est pars talis numeri, ut puta binarii, et ut est pars alterius numeri, ut ternarii, quaternarii, vel cuiuscumque alterius, proportionaliter multum distinguitur, quia, cum alicuius eiusdem totius alia sit pars media, alia tertia, alia quarta, sic consequenter, secus erit de unitate, ut est pars media praecisa alicuius numeri, et ut est pars tertia, quarta vel quinta. Et ideo, cum eiusdem totius maior sit pars media quam tertia, et tertia quam quarta, et haec quam quinta, sic communiter, proportionaliter, unitas est pars maior ubi est pars media numeri alicuius quam ubi est pars tertia, quarta, quinta vel sexta. Et hinc provenit ut maior sit proportio inter 3 et 2 quam inter 4 et 3, et inter 4 et 3 quam inter 5 et 4, et sic semper vadant illae proportiones secundum diminutionem, quamvis in omnibus illis maior terminus minorem superet in sola unitate. Et sicut est de unitate, ita proportionaliter est de binario, ternario et ceteris numeralibus partibus. Est enim binarius maior pars ut est pars media totius alicuius, puta quaternarii, quam ut est pars tertia, quarta vel quinta, scilicet senarii, octonarii et denarii, et ideo maior est proportio inter quattuor et duo quam inter sex et quattuor, [161] et haec maior, quam ea quae est inter octo et sex, et sic de ceteris. Manente siquidem aequalitate differentiarum in minoribus numeris maior | [P1, 139v in marg.] est proportio, et in maioribus minor, et sic aequalitas differentiarum aequalitatem variat proportionum. Et idcirco, prius, in probando duas illas proportiones, scilicet sesquisextam decimam et sesquiseptimam decimam non esse aequales, non est processum ad geminationem differentiae quae inter illas est, sed potius ad geminationem illarum proportionum. Quodsi aliqualiter possit probari, de sesquiseptima decima, per geminationem partis septimae decimae, quod ipsa non sit ipsius sesquioctavae proportionis integra medietas, sed minus, hoc tum videtur non minus probari per illius proportionis geminationem et modus hic utrinque prius in exemplis tactus est.

Est ulterius notandum quod illud idem, quod probatum est de sesquioctava proportione, scilicet quod ipsa indivisibilis est in partes aequales, probari potest de tono, quia, si tonus divisibilis est in partes aequales, tunc semitonia, quae eius partes sunt, diesis scilicet et apotome, vel sunt inaequalia vel, si non, tunc est dare aliquod aliud semitonium quod mediet inter illa. Sed neutrum horum verum est. Probatum enim est prius dicta semitonia aequalia esse quia unum maius est alio, superans aliud in commate, et quod in distinctis et inaequalibus fundatur proportionibus. Probatum etiam est unum illorum, scilicet apotome, maius esse integra toni medietate, aliud vero minus, scilicet diesis, nec est dare aliquod aliud semitonium ab illis quod mediet inter illa, minus existens quam apotome, et non sit diesis, vel maius quam diesis, et non sit apotome, quia illius in numeris integris nulla certa respondet proportio; alias, sesquioctava proportio divisibilis esset in partes aequales. Non est autem ponenda consonantia, cui, in numeris, notabilis, certa non respondeat proportio. Nec stat aedificium sine fundamento.

Adhuc, notandum est quod, si et dari non possit proportio superparticularis media inter sesquisextam decimam et sesquiseptimam decimam, videtur tamen quod, inter has, aliqua superpartiens proportio mediare potest. Ostensum enim est, supra, commatis proportionem mediare inter sesquiseptuagesimam tertiam et sesquiseptuagesimam quartam quae sunt superparticulares immediate se consequentes. Item, ostensum [162] est semitonii minoris proportionem mediare inter sesquioctavam decimam et sesquinonam decimam. Adhuc, visum est tritoni et semitritoni proportiones mediare inter sesquitertiam et sesqualteram, sicut illae consonantiae mediant inter diatessaron et diapente. Possunt etiam multae superpartientes proportiones mediare inter duas multiplices immediatas, ut est visum de duplici et triplici, de triplici et quadruplici, sicut multae mediant consonantiae inter diapason et diapente cum diapason et inter hanc et bis diapason. Sed superpartientes proportiones, mediantes inter superparticulares immediatas quascumque, simplices sunt; quae vero mediant inter duplices, compositae; et huius causa prius posita est.

Nec ex his unquam sequitur proportionem quamcumque superparticularem divisibilem esse in partes integras aequales, et ideo, quantumcumque possit reperiri superpartiens aliqua proportio medians quoquomodo inter sesquisextam decimam et sesquiseptimam decimam, illa tamen non dividit sesquioctavam proportionem in integras medietates. Semper enim, plus vel minus importat integra proportionis illius medietate. Et est hic intelligendum quod proportio superpartiens medians inter sesquisextam decimam et sesquiseptimam decimam, quaecumque sit illa, etsi ipsa ex integro non dividat sesquioctavam proportionem in duas medietates, ipsa tamen minus deficit a medietate sesquioctavae proportionis quam sesquisexta decima et sesquiseptima decima. Unde dictum est quod, | [P2, 170r in marg.] integrum toni dimidium si esset, eius proportio mediaret inter sesquisextam decimam et sesquiseptimam decimam proportiones.

Tactae vero proportiones, scilicet sesquisexta decima et sesquiseptima decima, minus deficiunt a sesquioctavae proportiones medietate quam proportiones semitoniorum, <dieseos> scilicet et <apotomes>. Illae enim mediant inter terminos illos sesquioctavos, qui sunt 18 et 16, non istae, et una illarum, scilicet sesquisexta decima, superat medietatem sesquioctavae proportionis, si esset, in medietate decimae sextae partis unitatis, et, in tali medietate, sesquiseptima decima deficit ab eadem ipsius sesquioctavae proportionis medietate. Semitonium vero maius integrum semitonium, si esset, superat in [163] schismate, id est dimidietate commatis, et in eadem medietate minus semitonium superatur ab integro semitonio.

Haec sint dicta ad expositionem qualemcumque verborum Boethii, in quibus si defeci, ruditati deputetur meae, quia non sufficio ad plene capiendam tam arduam materiam quae multas requirit cogitationes, multas numerorum collationes. Sed accedant, ad tantum perscrutandam materiam, subtiles clerici, in numeris experti, clarum et profundum habentes ingenium in talibus. Si amatores musicae sint theoriae, delectentur. Ludant hi in numerorum proportionibus, in variis et stupendis numerorum comparationibus. Ingrediantur et egrediantur, et pascua invenient. Ibi ruminent, pulsent et fodiant, et proportionum naturas penetrent, et thesauros huius nobilis scientiae non modicos fructusque mirabiles reperient. Sed Speculi Musicae liber terminetur hic tertius.

Explicit tertius liber Speculi Musicae.