Back to top

[1] Speculum musicae

| [P1, 140r in marg.] Incipiunt capitula libri quarti Speculi musicae

I. Prooemium intentionem continens dicendorum.

II. Consonantiarum comparatio quantum ad convenientias ipsarum generales.

III. Consonantiarum collatio quantum ad aliquas specialiores convenientias.

IIII. Consonantiarum collatio quantum ad ipsarum nominationes.

V. Consonantiarum collatio quoad distinctos sonos.

VI. Consonantiarum collatio quantum ad ipsarum distinctas mixtiones.

VII. Consonantiarum collatio quantum ad distinctas ipsarum proportiones.

VIII. Consonantiarum collatio ut auditum respiciunt.

VIIII. Consonantiarum collatio quantum ad intentionem et remissionem.

X. Consonantiarum collatio quantum ad positionem vel situm quem habent in monochordo.

XI. Consonantiarum collatio quantum ad praxim vel usum ipsarum.

XII. Consonantiarum collatio quantum ad simplicitatem ipsarum et compositionem.

XIII. Consonantiarum collatio quantum ad totum et partem.

XIIII. Consonantiarum in partes distinctio.

XV. Consonantiarum collatio quantum ad intervalla.

XVI. Consonantiarum collatio quoad species.

XVII. Collatio specierum <quantum> ad intervalla.

[2] XVIII. Quod consonantiae inter se sint ordinatae.

XVIIII. Consonantiarum <collatio quantum ad ordinem> prioritatis et posterioritatis.

XX. Ordo consonantiarum quantum ad aliquas naturae prioritates.

XXI. Diversae acceptiones de perfecto.

XXII. Unde res suam sumat perfectionem.

XXIII. Quod diapason ceteras vocum inaequalium praecedat consonantias.

XXIIII. Ordo consonantiarum secundum Ptolomaeum.

XXV. Ordo consonantiarum secundum Eubulidem et Hippasum.

XXVI. Ordo consonantiarum secundum Nicomachum.

XXVII. Unde trahunt consonantiae suam perfectionem.

XXVIII. Ordo consonantiarum quantum ad gradus essentiales generales.

XXVIIII. Ordo consonantiarum generis multiplicis et superparticularis quantum ad gradus earum specificos.

XXX. Quod non sic potest ordo taxari perfectionis inter consonantias proportionum superpartientium et mixtarum, sicut multiplicium et superparticularium.

XXXI. Quid sit concordia et quid discordia.

XXXII. Concordiae distinctio.

XXXIII. Concordiae perfectae divisio.

XXXIIII. Quae sit perfectior concordia et quibus competat consonantiis.

XXXV. Quae sit perfectissima concordia et quibus aptetur consonantiis.

XXXVI. Concordia media quae sit et quibus insit consonantiis.

XXXVII. Imperfectae concordiae descriptio et quibus competat consonantiis.

XXXVIII. Discordia quid sit et qualiter distinguatur.

XXXVIIII. Quae sit discordia perfecta et de quibus dicatur consonantiis.

XL. Quae sit media discordia et quae sit imperfecta et quibus insint consonantiis.

XLI. Quae sint causae concordiae, et quae discordiae in vocibus mixtis.

| [P2, 170v in marg.] XLII. Unisonus quare optimam et perfectissimam dicat concordiam.

[3] XLIII. Diapason et bis diapason inter consonantias vocum inaequalium quare perfectiorem importent concordiam.

XLIIII. Quare post concordias aequisonas, diapente, diatessaron et aliae quaedam inter consonas reponantur.

XLV Cur semiditonum et ditonum alias, quia prius tactas, intermedias concordias ordinamus.

XLVI. Quarum consonantiarum voces imperfectae concordant et quare.

XLVII. Discordia in consonantiis unde proveniat et quae sint perfectae discordiae.

| [P1, 140v in marg.] XLVIII. Assignatio causarum mediarum et imperfectarum discordiarum.

XLVIIII. Qualiter in monochordo concordiae cum discordiis mixtim disponuntur.

L. Concordiarum comparatio quantum ad cadentiam.

LI. Concordiarum collatio quoad partitionem.

Expliciunt capitula quarti libri Speculi Musicae.

[5] | [P1, 141r in marg.] Incipit liber quartus Speculi Musicae

Capitulum I.

Prooemium intentionem continens dicendorum.

Ordo poscit naturalis ut absoluta rei cognitio collativam antecedat. Hinc est ut ipsius sensus communis sensatione naturaliter prior sit sensuum particularium sensatio. Ille enim sensibilia generum diversorum ad invicem valet comparare, quia noscit illa, non sic sensus particulares vel exteriores. Non enim valet visus inter lumen sonumque discernere similiter nec auditus. Hic enim lumen, non sonum, agnoscit, ille sonum, non lumen, percipit. Hinc etiam est ut respectus relativus rem supponat absolutam.

Quia igitur de consonantiis absolute iam dictum est, ulterius de eisdem collative discutere poterimus. Nec videatur tractatus hic superfluus. Auget enim consonantiarum notitiam et de eisdem firmiorem affert memoriam. Nec indignetur lector si qua prius tacta resumantur. Confert enim doctrinae secundum Boethium aliqua prius dicta breviter recolligere et praestare memoriae cum quadam diversitate tractatus. Et multi in scientiis modos non omiserunt recapitulatorios. Nonne de eisdem cibariis fercula distincta parantur gustui, ut quod sapit uno modo magis sapiat et altero, et sic amplius satietur appetitus? Quid prohibet quin sic fieri possit ex parte intellectus? Etiam species aromaticae, cum plus teruntur, plus redolent. Comparabuntur autem hic ad invicem consonantiae quantum ad convenientias ipsarum generales et differentias, quantum ad intentionem et remissionem, quantum ad ordinem, quantum ad simplicitatem et compositionem, quantum ad totum et partem, quantum ad intervalla, quantum ad species, quantum ad perfectionem et imperfectionem, et quantum ad aliquas alias proportiones prout occurrent et ostendent capitula.

[6] Capitulum II.

Consonantiarum comparatio quantum ad convenientias ipsarum generales.

Consonantiae communiter sumptae, sicut generaliter in nomine consonantiae conveniunt, sic et in his quae ad consonantiam generaliter sumptam requiruntur, quia de illis aequivoce pure non dicitur. Et ideo, cum ad consonantiam requiratur vox vel sonus non solum unus sed plures et ipsorum mixtio et correspondens in numeris proportio, generaliter in his consonantiae conveniunt et in hoc etiam quod determinatum respiciunt sensum, scilicet auditum.

Dico igitur omnes consonantias in hoc convenire quod sonum respiciunt tamquam materiale principium ipsarum, nec ad eas sonus sufficit unus sed plures et distincti, ut tactum est supra, libro secundo. Omnis igitur consonantia in hoc convenit cum alia ut ad minus suam ad consistentiam duos distinctos requirat sonos, simul vel successive prolatos, miscibiles ad invicem vel mixtos, sive mixtio illa suavis sit et placeat auditui, sive non. Illam autem mixtionem supra vocavimus harmonicam modulationem quae ad causam formalem pertinet consonantiae, ut soni ad materialem.

Item in hoc omnes conveniunt consonantiae quia sonorum cuiuslibet mixtio ad aliquam certam in numeris reducibilis est proportionem.

| [P2, 171r in marg.] Item, in hoc proportionaliter conveniunt quod maioribus consonantiis maiores in numeris habitudines correspondent et minores minoribus. Et ideo, comparatis duabus vel pluribus consonantiis, bene sequitur: "Haec est maior illa; ergo proportio eius maior est proportione alterius". Dico autem consonantiam altera maiorem esse cuius extremae voces ad invicem magis distant proportionaliter, ut supra expositum est, vel quae plures et maiores in se claudit partes. Continet autem maior minorem ut totum integrale suam partem materialiter, scilicet et non formaliter, ut diapente diatessaron, diatessaron ditonum, qui semiditonum, qui tonum, qui semitonium.

Item, sicut quaelibet consonantia duos distinctos requirit sonos invicem miscibiles vel mixtos, sic cuiuslibet consonantiae [7] proportio duos distinctos poscit numeros invicem comparatos.

Item conveniunt in hoc quod consonantia vocum vel sonorum similium vel aequalium proportionem requirit terminorum aequalium, et consonantia vocum inaequalium habitudinem numerorum inaequalium. Hinc est quod ceterae omnes consonantiae ab unisono, sicut voces habent inaequales, sic ipsarum proportiones numeros inaequales, et, sicut vocum inaequalium consonantiae una grossior est vel gravior, alia acutior, sic, numerorum inaequalium correspondentium, alter est maior qui graviori <respondeat> voci, alter minor qui acutiori.

Item in hoc omnes conveniunt consonantiae quia sic auditum respiciunt, quod non alium sensum. Sunt enim obiectum non visus, non olfactus, non gustus, non tactus, sed, quantum ad sensus exteriores, solius auditus.

| [P1, 141v in marg.] Capitulum III.

Consonantiarum collatio quantum ad aliquas specialiores convenientias.

Quamvis autem multae specialiores convenientiae possent inter consonantias assignari, sufficiat tamen de illis aliquas tangere.

Conveniunt omnes consonantiae praecedentes diapason in hoc quod in simplicibus fundantur proportionibus, et similiter diapason, diapente cum diapason, bis diapason, diapente cum bis diapason, ter diapason, tonus cum ter diapason. Ceterae omnes quae scilicet sequuntur diapason, de quibus prius executum est, in proportionibus fundantur mixtis, quarum quinque mixtae sunt ex multiplici et superparticulari, ut dupla sesquiquarta, quae est toni cum diapason, quadrupla sesqualtera, quae est toni cum bis diapason, quintupla sesquisexta decima, quae est ditoni cum bis diapason, quintupla sesquitertia quae est diatessaron cum bis diapason, septemcupla sesquinona, quae est semiditoni cum diapente et bis diapason. Ceterae vero sunt mixtae ex multiplici et superpartiente, quae sunt 21, et longum esset eas repetere.

[8] Item, quantum ad fundatas in simplicibus proportionibus, in genere proportionis conveniunt diapente, diatessaron et tonus, quia in superparticularibus fundantur proportionibus.

Item, quantum ad simplices, in genere proportionis conveniunt diapason, diapente cum diapason, bis diapason, diapente cum bis diapason, ter diapason, tonus cum ter diapason. Hae enim sex in multiplici locantur genere. Ceterae vero simplices in superpartiente, ut comma, semitonia minus et maius, tonus minor et maximus, semiditonus, ditonus, semitritonus, tritonus, diesis cum diapente, semitonium maius cum diapente vel tetratonus, tonus cum diapente, semiditonus cum diapente, pentatonus, ditonus cum diapente.

Item, conveniunt omnes consonantiae diapason praecedentes quia minores sunt quam sit diapason, sicut illarum proportiones minores sunt quam sit dupla proportio quae maior est quacumque simplici proportione superparticulari vel superpartiente.

Item, diapason, diapente et diatessaron conveniunt in primitate, quia primae consonantiae secundum Boethium, et ab illis fluunt species, ut dicetur infra.

Item, secundum Ptolomaeum, diapason et bis diapason conveniunt in hoc quod earum voces sunt aequisonae. Ipsarum vero diapente, diatessaron, diapente cum diapason, et diatessaron cum diapason voces sunt consonae.

Item, conveniunt inter se consonantiae in superparticularibus fundatae proportionibus, quia nulla illarum divisibilis est in partes aequales. Hoc autem aliquibus competit quae in multiplicibus fundantur habitudinibus, et aliquibus quae in superpartientibus, sed non omnibus.

Item, consonantiae omnes ex consimilibus mixtae partibus conveniunt in hoc quod divisibiles sunt in partes aequales duas, si ex duabus, ut ditonus ex duobus tonis, semitritonus ex duobus semiditonis, semiditonus cum diapente ex bis diatessaron, tonus cum diapason ex bis diapente, bis diapason, et consimiles; vel sunt divisibiles in tres partes aequales si ex tribus aequalibus componantur, ut tritonus, semiditonus cum diapason, et consimiles; vel in quattuor, ut tetratonus et consimiles, et sic de ceteris.

Item, convenit diapente cum consonantiis in multiplicibus [9] fundatis proportionibus, quia cuicumque illarum iungatur semper. Nascitur inde consonantia in multipli proportione fundata, vel mixta ex multiplici et superparticulari, | [P2, 171v in marg.] et nunquam ex multiplici et superpartiente, quia sola superparticularium proportio sesqualtera est quae cum nulla multiplice multiplicem superpartientem producit. In hac autem tacta proprietate convenire videtur diapente cum diapason, quia diapason cum nulla consonantia in superpartiente fundata proportione procreare potest consonantiam in multiplici proportione fundatam.

Item, conveniunt consonantiae superparticularium proportionum inter se et cum consonantiis superpartientium proportionum, quia nulla illarum in se geminata vel cum quacumque illarum iuncta potest attingere ad diapente cum diapason quae in tripla ponitur proportione. Secundum illud, omnis superparticularis cum qualibet superpartiente proportionem tripla minorem constituit.

Adhuc, conveniunt consonantiae superparticularium proportionum inter se et cum consonantiis superpartientium proportionum, quia nulla illarum in se geminata consonantiam inducere potest in multiplici proportione fundatam, quia intervallum non multiplex in se geminatum nunquam inducit intervallum multiplex. Non enim potest multiplex proportio distribui in proportiones aequales nisi in multiplices.

Item, consonantiae omnes quamvis in nomine conveniant, pro quanto consonantia dicitur a consonando, id est simul sonando, non tamen, ut dicitur a consonando, id est concordando; sed hoc illis tantum competit quarum voces simul prolatae suavem sensui placentemque miscent sonum, quibus magis proprie nomen videtur competere consonantiae, quas solas Antiqui aliqui vocaverunt consonantias, de quibus principalius tractaverunt, quae sunt aequisonae vel consonae.

Capitulum IIII.

Consonantiarum collatio quantum ad ipsarum nominationes.

Comparatae sunt consonantiae quantum ad ipsarum quasdam generales et specialiores convenientias. Ulterius conferantur quantum ad ipsarum differentias: primo, quantum [10] ad distinctionem earum in nominibus; secundo, in vocibus; | [P1, 142r in marg.] tertio, in vocum suarum mixtionibus; quinto, in numeralibus proportionibus; et sic ulterius, ut tituli capitulorum ostendent.

Consonantiae igitur, etsi in nomine consonantiae generaliter conveniant, tamen in specialibus distinguuntur nominibus, et illarum quaedam a vicinitate vocum suarum nomen sumpsit, ut unisonus, alia a perfecta suarum vocum distantia, aliquae a numero vocum inclusarum, ut diatessaron a quattuor, diapente a quinque. Et illa denominatio multum extenditur.

Quantum enim ad hoc, illa quae duas includit voces perfecte distantes, faciliter dicibiles, ut tonus, dicitur una secunda, quae tres una tertia, ut semiditonus, ditonus, quae sex una sexta, quae septem una septima, quae octo una octava, ut diapason, sic de aliis. Item, diapason ab integritate, totalitate, vel perfectione, quam importat, sic dicitur, quia omnes consonantias proportionum simplicium, superparticularium, vel superpartientium in se claudit, quibus utitur in planis suis cantibus Sancta Mater Nostra Ecclesia.

Quantum ad immediatas vocum extremarum coniunctiones, aliae ab aequalitate partium quas includunt nominantur, ut ditonus, tritonus: ditonus a duobus tonis, tritonus a tribus, tetratonus a quattuor, pentatonus a quinque, hexatonus a sex, et, quotquot sunt consonantiae ex partibus aequalibus mixtae, ab illis denominantur, ut bis diapason, bis diatessaron, bis diapente; quaedam a partibus suis inaequalibus nomen trahunt, ut semitonium cum diapente, tonus cum diapente, semiditonus cum diapente, ditonus cum diapente, et quae sequuntur diapason, a diapason et partibus, quas addunt super diapason, ut semitonium maius vel minus cum diapason, tonus cum diapason, sic de aliis, ubi potest adverti tres esse consonantias in denominationibus multarum aliarum venientes, ut tonus in his quae diatessaron antecedunt, diapente in his quae mediant inter ipsam et diapason (nisi ex aequalibus surgant partibus), diapason quantum ad eas quae ipsam sequuntur. Quae autem mediant inter diatessaron et diapente non sumunt nomen a diatessaron, quia una illarum, scilicet semitritonus, superat diatessaron in minore semitonio, alia, scilicet tritonus, in maiore; a semitoniis autem non solent consonantiae nuncupari.

Item, consonantiae aliquae nominantur ab aliis non quas includunt, sed quarum partes sunt et ad quas non attingunt ut semitonia, quia imperfecti sunt toni, non quod sint integrae [11] toni medietates. Nam, si ita esset, sicut ditonus dicitur a "dia", quod est "duo", et "tonus", sic tonus dici deberet "disemitonium" quia duo semitonia aequalia in se contineret. Item, hoc modo dicitur semiditonus, id est imperfectus ditonus, et semitritonus imperfectus tritonus.

Item consonantiae aliquae a suis nominantur proportionibus; secundum quem modum, diapason dicitur una dupla, diatessaron una sesquitertia, diapente una sesqualtera, sic de ceteris.

Capitulum V.

Consonantiarum collatio quoad distinctos sonos.

Omnis consonantia etsi ad minus requirit duos sonos, tamen distincte distinctos, quia quaedam aequales, ut unisonus, ceterae omnes inaequales, in quibus non est aequalis sed inaequalis vocum extremarum distantia. Non enim est possibile ut voces | [P2, 172r in marg.] aequaliter distantes distinctas faciant consonantias. Sed ad distinctionem consonantiarum requiritur distincta inaequalitas vocum; alia enim est vocum inaequalitas in semitoniis, alia in tono, alia in semiditono et in ditono. Et hoc ex illarum patet vocibus, quia alia acuminis et gravitatis inaequalitas est inter mi et fa ascendendo et e converso descendendo, alia inter fa et mi ascendendo, vel mi fa descendendo, alia inter re mi, mi re, sic de ceteris. Hinc est quod, quanto maior est inaequalitas distantia vocum alicuius consonantiae, tanto inter illas est distantia maior in acumine et gravitate. Cum hoc tamen stat quod distinctae consonantiae cum unisono, quantum ad gravitatem, possint convenire, similiter et quantum ad acumen, ut diatessaron et diapente, incipere possunt in ut vel re, et in sol vel la terminari. Sed, si in gravitate conveniant, oportet ut in acumine distinguantur, vel e converso. Item consonantiae, quamvis in hac conveniant generaliter, quod duos extremos requirunt sonos, distinguuntur tamen, quantum ad intermedios, quia quaedam plures, quaedam pauciores, ut diatessaron duos extremos et duos intermedios, diapente tres intermedios et duos extremos. [12] Item, quarundam consonantiarum voces sunt suaves et dulces et aliquarum rudes, et harum et illarum quaedam plus, quaedam minus. Item aliquarum voces faciles sunt ad pronuntiandum, et aliarum difficiles secundum magis et minus.

Capitulum VI.

Consonantiarum collatio quantum ad ipsarum distinctas mixtiones.

Distinctarum consonantiarum mixtiones distinctae sunt. Si enim omnium consonantiarum soni sunt distincti, ut tactum est, et illorum mixtiones sunt distinctae, siquidem ex aliis miscibilibus alia resultat mixtio. Has autem mixtiones prius harmonicas nominavimus sonorum modulationes. Est igitur alia mixtio sonorum aequalium et sonorum inaequalium. Et harum, sicut quaedam ab alia distincta est in vocum inaequalitate, sic in mixtione, seu harmonica modulatione. Aliam enim importat diesis, aliam apotome, aliam tonus, aliam semiditonus, sic de ceteris, quia sonorum inaequalium distantia alia est inter mi et fa ascendendo et e converso descendendo, et inter fa et mi ascendendo et mi fa descendendo, | [P1, 142v in marg.] alia inter re et mi, alia inter re et fa, sic de ceteris. Quod autem mi et fa faciant aliam mixtionem et consonantiam quam re et mi, et re mi quam re fa, et haec quam re sol et quam re la, non venit ex natura rerum simul sonantium, sed ex alia et alia inaequalitatis distantia vocum illarum et ex alia proportione nervorum, chordarum vel fistularum, campanarum vel malleorum, sicut Pythagoras in pondere didicit malleorum.

Duo igitur vel plures homines, quantumcumque bonas habeant voces et concordantes, consonantiarum mutare nequeunt naturas ut de una faciant aliam, de bona <malam>, quia facere non possunt ut una mixtio et una proportio sit alia. Stante enim vera minoris semitonii distantia inter mi fa, et vera toni distantia inter fa sol, quod una sit alia, facere nequeunt. Potest tamen consonantia aliqua melior vel minus mala iuxta bonam apparere quam si sumatur per se, et a bonis cantoribus et vocibus quam a malis.

Consonantia igitur quaelibet cum importat formaliter mixtionem, seu harmonicum modulationem vocum suarum, tot [13] sunt distinctae consonantiae formaliter, quot distinctarum vocum formales variae sunt mixtiones ad ceteras et determinatas reducibiles proportiones, ac, per hoc, quaelibet consonantia formaliter una in se est et, ab alia qualibet, specifice distincta, sicut vocum suarum mixtio seu harmonica modulatio. Unde tonus sic importat harmonicam modulationem formaliter quam faciunt re mi ascendendo vel mi re descendendo, ut, quantumcumque minimum plus vel minus ascendatur vel descendatur, tollitur debita toni mixtio, tollitur et corrumpitur talis consonantia; et consimiliter est de ceteris. Et inde est ut flebiles et ineptae voces destruant consonantias.

Capitulum VII.

Consonantiarum collatio quantum ad distinctas ipsarum proportiones.

Sicut consonantia quaelibet ab alia distincta est in sonis requisitis et in mixtione inde proveniente, sic et in proportione illi respondente.

Sunt enim haec tria inter se connexa et ad invicem sese consequentia, scilicet, ad distinctionem sonorum, distinctio mixtionum, et, ad illam, distinctio proportionum numeralium. Nec est possible duabus distinctis consonantiis unam indistinctam respondere proportionem, nec uni consonantiae formaliter unquam plures et distinctae respondent habitudines numerales.

Uni tamen consonantiae, ratione suarum partium, plures respondere possunt partiales proportiones, secundum quod plures includit partiales consonantias; et illae partiales proportiones, simul iunctae, proportionem inducunt | [P2, 172v in marg.] illius consonantiae, sicut illae partiales consonantiae, simul sumptae, illam reddunt consonantiam, ut saepe visum est supra, libro secundo.

Convenit autem proportio numeralis in multis, mixtioni, quae est in sonis:

Primo, quantum ad aequalitatem et inaequalitatem, quia mixtioni sonorum aequalium, ut est in unisono, proportio respondet numerorum aequalium, et, mixtioni sonorum inaequalium, numerorum inaequalium habitudo.

[14] Secundo, quantum ad maioritatem et minoritatem, quantum ad hoc, quod maiori consonantiae maior respondet proportio, et, minori, minor, ut maior respondet ipsi diapente quam diatessaron, et, diatessaron, maior quam tono; sic de ceteris.

Tertio, quantum ad simplicitatem et compositionem, quia consonantiae simplici simplex proportio, compositae composita.

Quarto, quantum ad divisionem in partes integrales, quia, si consonantia divisibiles est in partes aequales, et illius proportio similiter (etsi hoc repugnat consonantiae alicui, et illius proportioni).

Quinto, quia, in quot particulares consonantias est divisibilis aliqua consonantia, et illius proportio in tot partiales habitudines.

Sexto, quantum ad perfectionem et imperfectionem, quia, ut communiter perfectiori consonantiae perfectior respondet, in numeris proportio.

Interest tamen inter mixtionem, quae est in sonis, et proportionem illi respondentem in numeris:

Primo, quantum ad obiectum, quia percipit sensus tanquam obiectum proprium, non sic illius proportionem in numeris.

Secundo, quia sonorum mixtio subiectum habet aerem vel aquam, non sic numerorum proportio, et sic differunt quantum ad obiectum et subiectum.

Tertio, quia, cuilibet consonantiae mixtioni, sua certa respondet in numeris proportio, sed non, cuilibet certae proportioni numerali, respondet certa sonorum mixtio. Unde fit ut proportiones numerales multo plures sint quam sonorum mixtiones consonantias facientes.

Quarto, quia consonantiae, quanto sunt minores, tanto voces earum minus sunt distantes. Patet hoc de commate et semitoniis respectu aliarum; non sic autem est de ipsarum numeralibus proportionibus. Consonantiae enim minimae in minimis non possunt fundari numeris. Item, licet consonantiae, tanto sint maiores, quanto voces earum extremae minus sunt distantes, proportiones tamen numerales non sic.

Quinto, quia, inter extremas voces aliquarum consonantiarum, mediant aliquae voces, qualitercumque decantentur altius vel minus alte, et illarum inter aliquas, plures, inter [15] alias, pauciores, prout sunt maiores vel minores. Non est tamen sic inter omnes numeros proportionum, nam, inter voces extremas ipsius diapente, tres mediant voces, inter terminos autem sesqualterae proportionis, | [P1, 143r in marg.] illi consonantiae respondentis, quandoque nullus mediat numerus, ut patet hic: 3 et 2 (qui minimi sunt numeri tactae proportionis), quandoque unus, ut inter hos: 6 4; quandoque duo, ut hic: 9 6; quandoque tres, ut hic: 12 8. Nec hic termini mediantes continent proportiones consonantiarum in diapente contentarum, ut sunt tres toni cum minori semitonio. Sunt tamen reperibiles tales sesqualterae proportionis termini, quorum numeri mediantes proportiones continent inclusas in diapente, ut visum est supra, libro secundo, de sequentibus terminis sesqualterae proportionis qui sunt: 729 486. Item, possunt inveniri multi termini sesqualterae proportionis, multas continentes proportiones, quibus nullae respondent consonantiae. Et quod est dictum de diapente, de aliis consimiliter intelligatur.

Sexto, quia soni facientes consonantiam debent esse approximati, ut sit inter illos quasi quidam contactus et mixtio; non sic autem est de numeris proportionalibus.

Septimo, quia sonorum mixtio magis est intrinseca ratione consonantiae quam ipsius naturalis proportio.

Octavo, quia multi consonantias noscunt, qui ipsarum non noverunt numerales habitudines.

Capitulum VIII.

Consonantiarum collatio ut auditum respiciunt.

Omnis consonantia, quamvis obiectum sit auditus, ad quaslibet tamen non aequaliter afficitur, sicut nec ad simplices sonos. Proportionaliter enim sic auditus ad sonos se habet, ut visus ad colores, olfactus ad odores, gustus ad sapores, tactus ad qualitates primas. Non omnes autem colores vel, ut generalius loquar, non omnia visibilia placent aequaliter visui, odorabilia olfactui, gustabilia gustui, tangibilia tactui.

Displicent autem auditui soni nimis subiti et grossi, terribiles et nimis alti, ut est ictus tonitrui, et huiusmodi, qui auditui sunt improportionati. Excellentiae enim sensibilium [16] sensus corrumpunt. Nam, cum sensus sit virtus organica et passiva, cum obiecto suo proportionem requirit. Et, sicut auditus aliter et aliter ad distinctos simplices afficitur sonos, similiter et ad sonos mixtos, qui consonantias faciunt vel important. Unde fit ut, generaliter sumendo consonantias, quaedam auditui placeant, quaedam ipsum offendant, et, inter has et illas, quaedam plus, quaedam minus, quaedam mediocriter.

Actus enim activorum in patiente sunt et disposito. Cum enim animalium quaedam in sonis delectentur musicis et quaedam non, secundum plus et minus, similiter aliqui homines in consonantiis et cantibus | [P2, 173r in marg.] delectantur, aliqui non, vel modicum. Quin potius! in eis tristantur. Etiam eisdem hominibus placent, uno tempore, aliquae consonantiae et aliqui cantus, et, in alio, displicent secundum varias dispositiones et affectiones. Et distinctae gentes in distinctis cantibus et consonantiis delectantur, quaedam in acutioribus, quaedam in gravioribus, quaedam in dulcioribus et perfectioribus, aliae in imperfectioribus et rudioribus, quaedam in laetioribus, et quaedam in tristioribus. Appetit enim se musica conformare diversis hominum statibus et dispositionibus, prout tangit Boethius in prologo Musicae suae, nam, ut ipse dicit: Amica est similitudo et dissimilitudo odiosa, nec bene miscentur mollia duris. Ideo gaudet gens modis sibi convenientibus et tristatur in aliis. Unde, secundum Isidorum, in veneratione divina competunt hymni, in nuptiis, hymenaei; in funeribus, threni ad tibias <decantabantur>; in <conviviis>, lyra vel cithara conferebatur.

Consonantiae igitur communiter sumptae quandam, ut auditum respiciunt, distinctionem sumunt, ut aliquae dulciter suaviterque illi se faciant, quarum scilicet voces concordantes sunt secundum plus et minus, aliae minime, quarum dicuntur voces discordantes minus vel plus. Nec tamen hae, ex hoc, amittere debent nomen consonantiae communiter sumptae, nam illas distinctas sonorum mixtiones auditus non efficit, sed agnoscit et discernit, sicut est de saporum mixtionibus respectu gustus, ut supra, libro secundo, tactum est. Potentia enim passiva distinctionem in obiecto suo non causat, sed [17] distinctio potentiarum noscitur ex actibus, et actuum ex obiectis. Quamvis autem, in aliquibus consonantiis, delectetur sensus, et tristetur in aliis, omnium tamen cognitio placet intellectui. Delectationi enim, quae est secundum sensum, bene est aliquid contrarium; non ei, quae est secundum intellectum, qui non est virtus organica.

Capitulum VIIII.

Consonantiarum collatio quantum ad intentionem et remissionem.

Cum, in <consonantiis> vocum inaequalium, altera vocum gravis sit, acuta reliqua, denominationem quamdam distinctam, secundum hoc, consonantiae recipiunt, ut una dicatur gravis vel remissa, alia acuta vel intensa.

Dicitur autem consonantia aliqua remissa vel gravis, quando descensus vel processus fit ab acuta illius voce ad gravem vel remissam, acuta vero vel intensa, quando fit e converso, ut dicitur diatessaron gravis vel remissa, si de la la descendatur in mi, de sol, in re, de fa in ut, acuta vero vel intensa, si e converso fiat. Et consimiliter est de ceteris vocum inaequalium consonantiis.

| [P1, 143v in marg.] Fit igitur talis denominatio, non a voce a qua quis incipit, sed ad quam tendit, prout motus denominatur non a termino a quo sed ad quem. Est autem eadem consonantia, sive quis ascendat de re in mi, sive de mi descendat in re. Utrobique enim tonus est, quamvis secundum primum modum dicatur tonus intensus et, secundum alium, tonus remissus. Et consimiliter in aliis est consonantiis. Et sic, hae distinctae denominationes eandem respiciunt consonantiam, aliter et aliter, ut tactum est, sumptam. Adhuc, hae denominationes potius respicere videntur consonantiam pro vocibus suis successive prolatis sumptam, quam simul, nisi quis dicat quod, si sint duo cantantes, quorum unus dicat re et alius, simul cum illo, ad quintam desuper dicat la, talis consonantia quae est diapente et dicitur intensa quantum ad la, remissa quantum ad re. Vel, si dicatur talis consonantia intensa ab illo qui dicit re, remissa a dicente la, fiet tunc denominatio a principio, non a fine, quod non videtur conveniens.

[18] Patet, ex dictis, intentionem et remissionem non habere locum in vocibus unisonantibus, sed in inaequalibus. Sed potest extendi denominatio haec ad sonantes chordas. Chorda enim intendi dicitur, cum percussa sonat altius, remitti, cum bassius. Quamvis autem intendi et remitti de eadem dicatur consonantia, non est tamen omnino eadem numeralis proportio intensae respondens et remissae, quia, intensae, respondere videtur proportio maioris inaequalitatis, remissae vero, proportio minoris inaequalitatis, quia maior numerus sesqualterae proportionis graviori respondet voci, minor autem, altiori. Est autem <maioris> inaequalitatis proportio maioris termini ad minorem, ut ternarii ad binarium sesqualtera proportio est; e converso vero, subsesqualtera, scilicet binarii ad ternarium. Sed hae duae proportiones sic sunt connexae ut una nullo modo possit esse sine reliqua, quia relative se habent ad invicem, sicut duplum et dimidium. Potest tamen dici quod, sicut, in consonantia intensa et remissa, eaedem sunt voces et distinctae denominationes, sic illis eisdem respondent numeri, sed sunt distinctae relationes.

Capitulum X.

Consonantiarum collatio quantum ad positionem vel situm quem habent in monochordo.

In nostro monochordo sive in gammatis compositione, quaedam consonantiarum magis proprie, quaedam minus continentur. Et quaedam in locis certis, quaedam non sic, quaedam in pluribus, quaedam in paucioribus, et quaedam nullum situm habent ibi, | [P2, 175v in marg.] nisi falsa nos iuvemus musica.

Dico igitur quod extendendo monochordum nostrum a Gammaut usque in ela, et non ultra, diatessaron 17 vicibus ibi contineri videtur. Nec est aliqua consonantia quae totiens ibi situetur (et intelligo monochordum nostrum ordinatum esse secundum genus diatonicum). Diapason ibi 14 in locis reperitur, diesis in 7 locis. Sunt autem tres consonantiae quarum quaelibet ibi semel reperitur, scilicet apotome cum diapason, apotome cum bis diapason, tonus cum diapente et bis [19] diapason. Sex vero sunt consonantiae, quarum quaelibet bis in dicto monochordo vel <gammate> continetur, scilicet apotome, semitritonus cum diapason, tritonus cum diapason, ditonus cum diapente et diapason, diesis cum bis diapason, diapente cum bis diapason. Item, ibidem quaeliet sequentium, scilicet semiditonus cum bis diapason, diatessaron cum bis diapason, ter habetur. Item, sunt quattuor consonantiae quarum quaelibet quater ibi reperitur, hae scilicet semitritonus, tritonus, diesis cum diapente et diapason, tonus cum bis diapason. Item, ditonus cum diapente quinquies ibi continetur, similiter diesis cum diapason, et similiter tonus cum diapente et diapason. Item, quaelibet trium sequentium quae sunt ditonus cum diapason, semiditonus cum diapente et diapason, bis diapason, ibi sex in locis invenitur. Item, octies diesis cum diapente continetur ibidem, similiter semiditonus cum diapason et diapente cum diapason. Item, quattuor sequentium quaelibet locis in decem reperitur ibidem quae sunt ditonus, tonus cum diapente, tonus cum diapason, diatessaron cum diapason. Item, semiditonus duodecies ibi reperitur, et similiter semiditonus cum diapente. Item, trium sequentium quae sunt unisonus, tonus, diapente quaelibet in gammate decem et quinque vicibus reperitur.

Tactae consonantiae 36 satis proprie in nostro continentur monochordo et totiens ut dictum est et nostris notis possunt notari, excepto quod modus notandi <apotomen> inusitatus est.

Adhuc, ut amplius tactarum consonantiarum numerus in memoria firmetur, dicimus quod illarum tres sunt quarum quaelibet semel continetur ibi, sex quarum quaelibet bis, duae quarum quaelibet ter, quattuor quarum quaelibet quater, tres quarum quaelibet quinquies, tres quarum quaelibet <sexies>, una quae septies, scilicet diesis, tres quarum quaelibet octies, quattuor quarum quaelibet decies, duae quarum quaelibet duodecies, una quae quattuordecies, scilicet diapason, tres quarum quaelibet quindecies, una quae <septemdecies>.

Praeter has autem sunt duodecim aliae consonantiae, de quibus libro secundo dictum est, quae praecedunt tonum cum diapente et bis diapason et sunt hae: comma, minor tonus, maximus tonus, tetratonus vel apotome cum diapente, pentatonus, [20], hexatonus, apotome cum diapente et diapason, apotome cum | [P1, 144r in marg.] bis diapason, semitritonus cum bis diapason, tritonus cum bis diapason, diesis cum diapente et bis diapason, apotome cum diapente et bis diapason.

Istae duodecim consonantiae, qualitercumque claudantur in gammate, non habent tamen ibi loca certa nec valent ibi notari vel signari nisi falsificetur dispositio monochordi nostri. Nec fuit hoc necessarium, cum nulla harum utamur. Sed ipsarum non est spernenda theoria. Tractat autem Boethius aliqualiter de quattuor illarum, proportiones numerales ipsarum assignando. Assignat enim numeros commatis continentes proportionem; item, continentes proportionem minoris toni; item, pentatoni et hexatoni.

Non feci autem mentionem hic de consonantiis quae sequuntur tonum cum diapente et bis diapason, quia exeunt monochordum quo utimur communiter, quod extenditur a Gammaut in ela et non ultra. Nam, si extendatur monochordum usque in tonum cum ter diapason, aliquae consonantiae prius tactae pluries ibi continerentur quam sit dictum.

Capitulum XI.

Consonantiarum collatio quantum ad praxim vel usum ipsarum.

Etsi multas tetigerimus consonantias, quia 48, praeter tria quae superant tonum cum diapente et bis diapason, non omnes tamen in usu nostro sunt practico, nec de omnibus illis communiter auctores musici tractaverunt. Sunt autem, quantum ad cantum pertinet, in usu, solae, quae locum certum unum vel plura in nostro continent monochordo, ipso manente salvo non corrupto, sed non omnes.

In cantu enim plano et ecclesiastico videtur esse usus illarum tantum, quae antecedunt et includuntur in diapason et similiter ipsius diapason, prout illarum voces extremae, gravis cum acuta, immediate se sequuntur, non quin cantus ecclesiastiques altius supra finem ascendere poscit quam ad diapason non immediate, sed mediantibus prioribus consonantiis.

[21] Item non omnes illae, quae diapason minores sunt, in usu sunt, sed illarum tredecim (computando cum illis unisonum et diapason) hae scilicet: unisonus, diesis, tonus, semiditonus, ditonus, diatessaron, tritonus, diapente, diesis cum diapente, tonus cum diapente, semiditonus cum diapente, ditonus cum diapente, diapason.

Remanent autem septem, in diapason inclusae, quibus non utimur per se, scilicet comma, apotome, tonus minor, tonus maximus, semitritonus, tetratonus et pentatonus. Harum solus semitritonus notari potest convenientius. Unde ipsum in aliquo cantu repperi ecclesiastico. Sed rarissime reperitur, sicut et tritonus, propter duritiam et inaptitudinem pronuntiandi voces illarum consonantiarum.

| [P2, 174r in marg.] Sunt enim consonantiae illae in frequentiore usu quarum voces aliqualiter concordant et faciles ad cantandum sunt. Tactis consonantiis, quibus utitur musica plana, omnibus vel aliquibus utitur et mensurabilis in suis discantibus et, cum hoc aliis, quae transcendunt diapason, ut tono cum diapason, quam vocant unam nonam vel bis diapente; item, semiditono cum diapason, quarum quaelibet vocatur una decima; item, diatessaron cum diapason, quae est una undecima; diapente cum diapason, una scilicet duodecima; item, bis diapason, quae est una quinta decima. Hac rarissime cantores utuntur, propter magnam vocum suarum distantiam, quamvis aequisonae sint. Ceteris vero consonantiis, usum in cantibus secundum vocem humanam, non percepi.

Locutus sum autem de usu consonantiarum ad genus pertinentium diatonicum, non chromaticum, non enharmoniacum, quia nec chromaticum, nec enharmoniacum genus convenit voci humanae, quidquid sit de instrumentis musicis artificialibus. Quis, enim secundum vocem humanam, apte per se et distincte valet <apotomen> cantare, quod pertinet ad genus chromaticum, et, adhuc minus, diesim, in partes duas dividere, quod ad cantum pertinet enharmoniacum, ut ex sequenti libro, Deo dante, magis apparebit?

Et est notandum quod, praedictarum consonantiarum, sex sunt quae in frequentiore sunt usu praeter unisonum, hae scilicet: diesis, tonus, semiditonus, ditonus, diatessaron et [22] diapente. Et, de istis sex loquens, Guido dicit quod sex sunt vocum regulares coniunctiones in depositione et in elevatione, hoc est in descensu vel ascensu. Ceteras autem vocum inaequalium coniunctiones, quae scilicet superant diapente, vocat irregulares, de quibus dicit quod nusquam reperiuntur.

Hoc autem, etsi pro tempore ipsius Guidonis verum erat, non tamen pro moderno tempore. Reperiuntur enim nunc aliae vocum inaequalium coniunctiones in aliquibus cantibus ecclesiaticis; unde, in prosa vel sequentia, quae sic incipit: Veni Sancte Spiritus, et emitte coelitus Lucis tuae radium, et cetera, reperitur coniunctio vocum, inter quas est tonus cum diapente, et, earum, inter quas est semiditonus cum diapente, earum etiam, inter quas est diapason. In multis etiam cantibus invenitur coniunctio vocum, inter quas est diesis cum diapente; unde, in antiphonis tertii modi vel toni incipiunt Saeculorum ad sextam vocem supra finem antiphonae, ut infra videndum est libro sexto. Ditonus autem cum diapente tunc, secundum rem invenitur, cum quis de semiditono cum diapente cupit immediate duplam seu diapason tangere; tunc enim semiditonus cum diapente sic intendi videtur ut fiat ditonus cum diapente qui proximior est ipsi diapason, sicut cum quis dicit: re re ut et alius, simul cum illo, dicit: re fa sol; quamvis regulariter inter re fa sit semiditonus, sic tamen intendit fa, ut faciat ibi ditonum et amplius accedat ad diapente.

Secundum quod dictum est, non omnes consonantiae, de quibus | [P1, 144v in marg.] prius tractatum est, quantum ad cantum vocis humanae, sunt in usu, quia quarundam voces nimis distant, nec facilis sunt pronuntiationis, nec concordant. Omnes tamen tactae consonantiae ad musicam pertinere possunt speculativam, quae ad plura videtur extendere se quam practica.

Capitulum XII.

Consonantiarum collatio quantum ad simplicitatem ipsarum et compositionem.

Simplex dicitur uno modo quod est indivisibile, partibus carens, quomodo punctus simplex dicitur, quia punctus est, cuius pars non est, secundum Euclidem. Et unitas simplex [23] dicitur, quia unitati, ut unitas est, repugnat divisio; sed punctus positionem habet in continuo, non unitas.

Simplex igitur, ut sic dicitur, <est> illud quod est sine plica partium in se inclusarum. Et distinguitur, secundum Hugutionem, simplex a simplo, quia simplex caret parte, simplum vero partes habet, non qualescumque, sed eiusdem generis, ut unum homogeneum dicitur simplum quod scilicet est eiusdem naturae secundum partem et totum, ut elementum ignis, aeris, aquae vel terrae simplum est, quia quaelibet pars sui totius recipit denominationem. Quaelibet enim pars ignis, ignis est; quaelibet aeris, aer; sic de ceteris elementis. Et hoc modo linea <est> quid simplum, quia quaelibet pars quantitativa lineae linea est, et quaelibet pars continui est quid continuum, et quaelibet pars carnis, caro. Sed sumitur unum istorum pro reliquo; unde dicuntur enim elementa non solum simpla sed simplicia.

Si ergo sumatur simplex pro eo quod est indivisible et caret partibus, tunc gradus maioris et maioris simplicitatis veniet ex gradu maioris et maioris indivisionis et, per consequens, modo contrario, gradus amplioris et amplioris compositionis proveniet ex gradu amplioris et amplioris divisionis.

Est autem multiplex divisio et, per consequens, multiplex compositio quaedam in partes quantitativas homogeneas, prout aqua, vel aliud elementum seu continuum, in partes suas dividuntur, aliud in <neutrogeneas>, ut manus | [P2, 174v in marg.] in carnem, venas et digitos.

Alia est divisio in actum et potentiam, alia in materiam et formam. Simplex igitur si dicat omnimodam indivisionem materialem et quantitativam excludatque quarumcumque partium inclusionem, in nullo toto locum habet et talis simplicitas, materiam et quantitatem etsi respiciat, non tamen omnem.

Alio igitur modo sumitur simplicitas, alicuius rei ex parte scilicet formae. Natura enim formae simplex est, quia dat esse actuale et unum esse a quocumque alio distinctum, quomodo [24] proportionaliter unitas naturam dicit simplicem, et illa a forma est, unde dicit auctor sex principiorum quod forma est compositioni contingens simplici et invariabili essentia consistens.

Res igitur aliqua, quantum est ex parte formae suae, indivisibilis est. Divisio enim in forma corruptio rei est, sicut et divisio in esse. Ideo gradus formarum saltem specificarum numeris assimilatur. Dico igitur multo aliter iudicandum esse de simplicitate et compositione consonantiarum et similiter de maiori gradu simplicitatis vel compositionis, inspiciendo ad primum modum simplicitatis prius tactum, et inspiciendo ad secundum. Quantum autem ad primum modum, si stricte sumatur nulla consonantia simplex est cum quaelibet duas requirat voces simul mixtas dura vel suavi, secundum sensus iudicium, mixtione, est tamen, quantum ad hoc, consonantia tanto minus mixta quanto minor est et quanto minores et pauciores includit in se partes, ut comma quam diesis, diesis quam apotome, sic de ceteris, prout earum voces extremae minus et minus a se sunt distantes.

Sed, quamvis inter consonantias vocum inaequalium, comma sit minima (minimum autem et simplicissimum in aliquo genere rationem habeat metri et mensurae, respectu illorum quae illius generis sunt), dicit tamen Philosophus quod, in musica, diesis metrum est, forte quia diesis notior est consonantia quam sit comma. Metrum autem ducere debet in notitiam eorum quorum metrum est. Quamvis autem comma ceteris consonantiis minus sit composita, est tamen inter omnes magis componibilis, quia in singulis consonantiis vocum inaequalium includitur.

Si vero de simplicitate consonantiarium loquamur, prout respicit formam earum, quae est ipsarum vocum mixtio vel harmonica modulatio, sic videtur posse dici quamlibet, secundum formam suam specificam, esse simplicem, prout quaelibet, in se, una est et a quacumque alia specifice distincta, sive voces earum minus, sive magis distent, sive plures et maiores, sive pauciores includant in se partes et, cum omnis forma, sicut dat esse, sic dat unum esse, sicut unitati repugnat divisio, sic et rei, quantum est ex parte suae formae. Divisio [25] enim in esse corruptio rei est et, per consequens, divisio in forma, quia ipsa est quae dat esse et, quantum ad hoc, consonantiae numeris assimilantur, quia sicut, ad additionem unitatis vel subtractionem numeri, semper forma specifica variatur, similiter, per additionem vel subtractionem alicuius consonantiae quantumcumque minimae ab alia, fit specifica variatio prioris consonantiae. Comparatio enim vocum aliquarum extremarum vel ipsarum ad invicem collatio (sive magis, sive minus distent ab invicem), circonscribendo per intellectum ab illis omnes intermedias voces, quotquot inter illas cadere possunt, importat | [P1, 145r in marg.] illius consonantiae formalem causam, quae est illius consonantiae harmonica modulatio. Sed de hac materia dictum est libro secundo, capitulo De Diatassaron cum Diapason.

Cum igitur omnis consonantia formaliter et specifice sit distincta ab aliqua quacumque, nulla formaliter mixta est ex pluribus, similiter nec proportio, similiter nec numerus. Hoc tamen non obstante, dicuntur aliquae consonantiae mixtae similiter et proportiones, similiter et numeri. Mixtae dicuntur illae quae superant diapason et non fundantur in proportionibus multiplicibus, ut illae quae mediant inter diapason et diapente cum diapason et inter hanc et bis diapason, inter hanc et diapente cum bis diapason, et inter hanc et ter diapason, quia fundantur in proportionibus mixtis ex multiplici et superparticulari, vel ex multiplici et superpartiente. Quae proportiones mixtae dicuntur ex aliis quas continent et ex quibus consurgunt, non quod formaliter quamlibet earum contineant, sed nec aliquam illarum. Non enim proportio, quae est inter 9 et 4, quae dicitur dupla sesquiquarta, est formaliter dupla, quia tunc novenarius contineret quaternarium bis praecise et nihil ultra. Et planum est ipsam formaliter non esse sesquiquartam; et, quantum ad hoc, simile est de aliis. Quodsi tales proportiones dicantur alicubi mixtae formaliter, fit hoc forsitan ratione distinctionis ab aliis, quas includunt, et, propter penuriam nominum propriorum, ab aliis nominantur, a quibus tamen specifice distinguuntur et suo modo. Sic est de consonantiis, quas vocamus compositas, et de numeris compositis, qui sequuntur denarium, ut sunt undecim, duodecim, et consimiles.

[26] Dico igitur aliter iudicandum esse de simplicitate et compositione consonantiarum, inspiciendo ad simplicitatem primo modo sumptam, quae materiam et quantitatem respicit, et inspiciendo ad eam quae ex parte formae venit. Comma enim, quantum ad consonantias, vocum inaequalium, secundum illum primum modum, est simplicissima consonantia, | [P2, 175r in marg.] vel, ut verius loquamur, minus composita, deinde diesis, hinc apotome, et sic consequenter, prout minores sunt et voces earum extremae minus inter se distantes, secundum quod pauciores includunt partes et minores. Quantum autem ad alium modum simplicitatis, non est comma ceteris consonantiis vocum inaequalium simplicior, sed diapason, deinde ceterae, prout voces earum extremae magis ad invicem uniuntur et concordant.

Nec est inconveniens aliquam consonantiam alia magis et minus esse simplicem secundum diversos simplicitatis modos, vel minus et magis compositam. Et, cum proportio alicuius consonantiae ad formalem illius rationem reducatur secundum gradum maioris et maioris unitatis in proportionibus, gradus est maioris et maioris simplicitatis in consonantiis. Et, quantum ad hoc, simpliciores sunt quae in simplicibus fundantur proportionibus <quam> in mixtis; earum vero, quae in mixtis, illae, quae in mixtis ex multiplici et superparticulari, his, quae in mixtis ex multiplici et superpartiente.

Potest autem ex dictis inferri nullam consonantiam simplicem esse, quantum est ex parte materiae, cum quaelibet duas requirat voces, quamlibet autem simplicem esse, quantum est ex parte formae; item, quod aequatur generaliter quantum ad aliquem modum compositionis, similiter et quantum ad aliquem modum simplicitatis, licet inspiciendo gradus ipsarum specificos, quaedam minus, quaedam magis compositae censeantur, quaedam simpliciores, quaedam minus iudicentur. Item, consonantias considerare possumus non modo quantum ad ipsarum materiale per se vel formale, sed simul quantum ad utrumque et, ut sic omnes sunt compositae; item, sicut tactum est prius de commate, quod, etsi sit minima et minus composita materialiter, est tamen cum ceteris vocum inaequalium componibilis.

Similiter tenendum est de reliquis minoribus consonantiis. [27] Quanto enim consonantia vocum inaequalium minor est, tanto cum pluribus componitur, et, quanto maior cum paucioribus.

Item possemus loqui de simplicitate et compositione consonantiarum inspiciendo ad denominationes ipsarum. Et sufficiat quod dictum est de hoc supra, libro secundo, in tractatu De Diapason.

Capitulum XIII.

Consonantiarum collatio quantum ad totum et partem.

Totum, ad praesens, sumatur pro toto universali et pro toto integrali.

Et cuilibet toti sua pars respondet.

Consonantia, generaliter sumpta, rationem totius universalis habet ad consonantias omnes. Unde, respectu ipsius, quaelibet pars subiectiva est, eius recipiens praedicationem, et quantum ad nomen, et quantum ad rationem consonantiae generalem quae omnibus competit consonantiis, ut ratio generis omnibus speciebus suis.

Si vero de toto loquamur integrali et de sua parte, sic consonantia rationem totius habet ad illas quas includit et illae respectu illius rationem partis. Et, quantum ad hoc, eadem consonantia, respectu diversarum, potest habere rationem partis et totius, sicut manus totius corporis vel etiam brachii pars est, digitorum vero totum. Similiter diatessaron pars est, respectu diapente et respectu ceterarum consonantiarum quae maiores sunt quam sit diapente; sed habet diatessaron rationem totius ad omnes consonantias vocum inaequalium, quarum maior est, scilicet ad ditonum, semiditonum et ceteras sub his contentas. Quodsi sit aliqua consonantia, quae in priores et minores resolvi non possit, sintque voces eius inaequales, illa, ut sic,. respectu nullius, rationem gerit totius integralis. Quin | [P1, 145v in marg.] potius! Cum minima sit inter ceteras, rationem partis habet ad omnes (et huiusmodi consonantia comma est). Habet igitur diesis rationem totius, respectu commae, partis vero, respectu <apotomes>; apotome rationem partis, respectu toni minoris vel minimi, et ille, respectu toni perfecti quo utimur. Et sic, consequenter, [28] semper minor consonantia rationem partis habet respectu maioris quae ipsam continet et in aliquo superat. Unde fit ut consonantia, quanto minor est, tanto plurium pars integralis est, et, quanto maior, tanto plures partes continet.

Et sicut est de consonantiis, suo modo, sic est de ipsarum numeralibus proportionibus. Habet enim proportio rationem totius ad illam quam includit, partis, ad illam qua incontinetur.

Nec ex tali maiore vel minore totalitate debet argui maior formalis compositio vel minor inter consonantias vel ipsarum proportiones. Potest autem consonantia quaelibet habere rationem totius integralis ad voces et mixtionem quam requirit quomodo etiam unisonus et comma rationem totius habent.

Capitulum XIIII.

Consonantiarum in partes distinctio.

Cum omne totum divisibile sit in partes quas continet, aliud totum in alias partes divisibile est, totum universale in partes subiectivas, integrale in integrales, potentiale in potentiales, sic de aliis. Consonantia igitur, generaliter sumpta, ut habet rationem totius universalis, potest multas recipere distinctiones quae tangunt vel ipsarum voces vel ipsarum mixtiones, aut numerales earum proportiones, aut aliquas proprietates.

Consonantiarum igitur aut voces sunt aequales (sic est unisonus), aut inaequales (sic ceterae omnes); consonantiarum autem vocum inaequalium, aliae aequisonae, | [P2, 175v in marg.] ut diapason et bis diapason, aliae consonae, ut diapente, diatessaron, diapente cum diapason (et cum his, secundum Ptolomaeum, iungitur diatessaron cum diapason), aliae prope consonae, quae non perfecte discordant, ut tonus, semiditonus, ditonus, et consimiles ad melos aptae, aliae dissonae, quae per se sumptae perfecte discordant, ut semitonia, tritonus, et huiusmodi.

Item consonantiarum aliae simplices sunt, aliae compositae, intelligendo sicut prius expositum est. Simplicium autem aut voces unisonae sunt, et sic est unisonus, aut non unisonae, et hae vel fundantur in proportionibus multiplicibus, vel superparticularibus, vel superpartientibus. Et, si in multiplicibus, [29] vel in dupla (sic est diapason), vel in tripla (sic est diapente cum diapason), vel in quadrupla (sic bis diapason), vel in sextupla (sic diapente cum bis diapason), vel in octupla (sic ter diapason), vel in noncupla (sic est tonus cum ter diapason). Si vero in proportionibus fundantur superparticularibus, aut in prima, scilicet sesqualtera (sic est diapente), aut in secunda (sic est diatessaron), vel in septima, scilicet sesquioctava (sic est tonus quo utimur). Praeter has autem nulla alia consonantia in superparticularibus fundatur proportionibus.

Si autem in proportionibus fundentur superpartientibus, sic, exceptis diapente, diatessaron et tono, sunt omnes aliae quae diapason antecedunt, ut comma, diesis, apotome, tonus minor et maximus, semiditonus, ditonus, semitritonus, tritonus, diesis cum diapente, apotome cum diapente vel tetratonus, tonus cum diapente, semiditonus cum diapente, pentatonus, ditonus cum diapente.

Si vero in mixtis fundentur habitudinibus, aut mixtis ex multiplici et superparticulari, et tunc vel in dupla sesquiquarta (sic est tonus cum diapason), vel in quadrupla sesqualtera (sic est tonus cum bis diapason), vel in quintupla sesquisexta decima (sic ditonus cum bis diapason), vel in quintupla sesquitertia (sic est diatessaron cum bis diapason), vel in septupla sesquinona (sic semiditonus cum diapente et bis diapason); sic sunt quinque consonantiae fundatae in proportionibus mixtis ex multiplici et superparticulari. Ceterae omnes consonantiae in mixtis fundatae proportionibus radicantur in mixtis ex multiplici et superpartiente, et sunt 21 quas longum esset repetere; de quibus omnibus prius dictum est libro secundo.

Item consonantiarum quaedam voces habet similes vel aequales, ut unisonus, quaedam non, et istarum quaedam partes habent aequales, ut ditonus, quaedam non, tales scilicet quae, aliquotiens sumptae, praecise reddant illas. Earum autem quae partes aliquas habent aequales, vel duas, vel tres, vel quattuor, <vel> quinque, vel sex. Et, si duas, illae vel sunt semitonia, vel toni, vel semiditoni, vel ditoni, diatessaron, tritoni, diapente, vel tonus cum diapente, semiditonus cum diapente, sive bis diatessaron, vel partes illae duae sunt, diapason et diapason, sic de consimilibus.

[30] Quodsi partes aequales duae, in quas consonantia aliqua divisibilis est, sunt semitonia, vel minus, sic est tonus minor, vel maius, sic tonus maior; si toni, sic ditonus, si semiditoni, sic semitritonus, si ditoni, sic tetratonus, si diatessaron, sic semiditonus cum diapente, si tritoni, sic haxatonus, si diapente, sic tonus cum diapason vel bis diapente, si tonus cum diapente, sic tritonus cum diapason, si semiditonus cum diapente, sic diesis cum diapente et diapason (et haec eadem consonantia divisibilis est in bis diatessaron ex una parte et bis diatessaron ex alia, quia in quater diatessaron), si diapason, sic bis diapason, si tonus cum diapason, sic | [P1, 146r in marg.] ditonus cum bis diapason (quae consonantia similiter divisibilis est in bis diapente ex parte una et bis diapente ex altera, similiter in quater diapente), si semiditonus cum diapason, sic est semitritonus cum bis diapason, si ditonus cum diapason, sic est semitonium maius cum diapente et bis diapason sive tetratonus cum bis diapason, si diatessaron cum diapason, sic est semiditonus cum diapente et bis diapason (continet enim haec consonantia 14 tonos cum 6 minoribus semitoniis), item, si diapente cum diapason, sic est tonus cum ter diapason (continet enim 16 tonos cum 6 minoribus semitoniis). Sic, inter consonantias, de quibus aliquid prius dictum est, sunt 16 divisibiles in partes duas aequales, similiter et ipsarum proportiones.

Est autem notandum quod, quamvis, inspiciendo ad naturam cuiuslibet sonsonantiae, quaelibet geminari possit, triplari vel aliter in se multiplicari, ex geminatione tamen quarundam surgunt consonantiae a praedeterminatis, aliae magis extraneae, minus notabiles. Ideo de illis nihil dictum est.

Inter consonantias, de quibus tractavimus, sunt quinque divisibiles in tres partes aequales praecisas, scilicet tritonus in tres tonos, hexatonus in tres ditonos, semiditonus cum diapason in ter diatessaron, tonus cum diapente et diapason in ter diapente, semitritonus cum bis diapason in semiditonum cum diapente ter sumptum (continet enim semitritonus cum bis diapason 12 tonos cum 6 minoribus semitoniis).

Item, inter consonantias, de quibus prius libro secundo dictum est, reperiuntur tres in partes quattuor aequales divisibiles, [31] scilicet tetratonus in tonos quattuor, diesis cum diapente et diapason in quater diatessaron, ditonus cum bis diapason in quater diapente.

Item, in numero consonantiarum, de quibus aliquid prius diximus, duae sunt divisibiles in quinque partes aequales, scilicet pentatonus in quinque tonos, semitonium minus cum bis diapason in quinquies | [P2, 176r in marg.] diatessaron.

Adhuc, de numero consonantiarum illarum, de quibus exsecuti sumus prius, sunt duae divisibiles in sex partes aequales, scilicet hexatonus in sex tonos, semitritonus cum bis diapason in sexies diatessaron.

Quamvis autem 16 sint consonantiae in duas partes aequales divisibiles, quinque in tres, tres in quattuor, duae in quinque et duae in sex, non sunt tamen nisi 21 consonantiae distinctae in partes aequales divisibiles, quia illae tres quae sunt divisibiles in quattuor partes aequales, et illae duae, quae in sex, sunt similiter divisibiles in duas, et illarum quinque, quae divisibiles sunt in tres partes, duae sunt divisibiles, tam in duas partes aequales, quam in sex. Et secundum hoc, consonantiarum divisibilium in partes aequales quinque sunt, quae in plures partes aequales divisibiles sunt, scilicet tetratonus in duas et in quattuor, similiter diesis cum diapente et diapason in duas et in quattuor, et ditonus cum bis diapason in duas et in quattuor, hexatonus vero in duas, in tres et in sex, et similiter semitritonus cum bis diapason in duas, in tres et in sex.

Ceterarum autem consonantiarum nulla tales partes habet aequales quae, aliquotiens sumptae, praecise suum totum reddant. Dico "praecise", quia bene habent partes aliquas aequales, ut semitonia tria vel quattuor commata, diatessaron duos tonos, diapente tres, sic de consimilibus. Sed dictae partes quotienscumque sumantur, nunquam dictas consonantias praecise constituunt. Consonantiarum igitur indivisibilium in partes aequales praecisas, sicut expositum est, quaedam sunt quae etiam nec sunt in partes inaequales praecisas divisibiles, quae scilicet, per se, sint consonantiae et, simul iunctae, illas praecise reddant consonantias, ut sunt comma, diesis et apotome; et differunt, quia comma nullas partiales consonantias includit, cum sit omnium minima, et non est dare minus minimo in genere eodem, et totum maius [32] est sua parte; diesis autem et apotome, licet includant commata, comma tamen, quotienscumque sumatur, ter, quater, vel amplius, nec diesim, nec <apotomen> praecise valet constituere, quia diesis aliquid includit ultra tria commata, nec pervenit ad quattuor, apotome aliquid ultra quattuor, nec attingit ad quinque. Illud autem quod hic semitonia includunt ultra commata cum sit minus commate, rationem non habet consonantiae, nec ex commate cum illa excrescentia conficitur per se consonantia aliqua.

Ceterae consonantiae a praetactis in partes inaequales divisibiles sunt, ut tonus quo utimur in diesim et <apotomen>. Quae partes, simul iunctae, praecise tonum reddunt, semiditonus in tonum et diesim, vel in duo minora semitonia et in maius, diatessaron in semiditonum et tonum, in ditonum et diesim, in tria minora semitonia et duo maiora, et sic de aliis, quae, quanto sunt maiores, tanto in maiores inaequales partes sunt divisibiles et in plures. Quodsi bene has examinavi, ipsae videntur esse 26. Hoc autem potest quis probare et de his et de aliis, si inspiciat de qualibet consonantia quot tonos et quot minora continent semitonia, et ibi non modicum cogitare oportet. Ideo rogo lectorem parcat mihi, ubi defecero, et hoc opus velit corrigere.

Item cum quaelibet consonantia ab alia specifice sit distincta, dividi potest quaelibet, sicut et ceterae species, in singularia sub illis contenta in quibus salvantur, et de quibus dicuntur, ut tonus in tonum, qui est inter ut et <re> ascendendo vel descendendo, et, in tonum, qui est inter re et mi, fa et sol, sol et la; semiditonus, | [P1, 146v in marg.] in eum, qui est inter re fa et inter mi sol; ditonus, inter eum, qui est inter ut mi et inter fa la; sic de ceteris. Positae sunt aliquae consonantiarum distinctiones ut rationem habet totius universalis. Possent poni aliae, sed, ad praesens, quae tactae sunt, sufficiant.

Quamvis autem divisio, qua dicitur: "Consonantiarum aliae distinguibiles sunt in partes aequales, aliae minime", ad totum pertineat universale, divisio tamen qua haec, puta "Ditonus vel tritonus in partes distinguitur aequales", haec vero scilicet: "tonus vel semiditonus in partes inaequales" ad totum pertinet integrale, quod de suis non praedicatur partibus, sicut totum universale.

Est autem notandum quod, ut communiter, consonantia, partes habens aequales, habet et partes inaequales quae praecise ipsam reddant, sicut ipsius partes inaequales, paucis [33] exceptis (ut tono minore et maiore). Sed non convertitur ut hae, quae divisibiles sunt in partes inaequales, sint etiam divisibiles in partes aequales quae, aliquotiens sumptae, praecise consonantias illas constituant.

Capitulum XV.

Collatio consonantiarum quantum ad intervalla.

Possunt consonantiae conferri ad invicem, quoad vocum suarum intervalla. Vocatur autem intervallum, ut ad propositum pertinet, distantia vocis a voce, sicut in numeris illud dicitur differentia in quo unus numerus ab alio distinguitur. Et ideo sicut, inter numeros aequales (ut puta inter duo et duo), differentia locum non habet, sic inter voces aequales intervallum locum non tenet, unde voces similes vel aequales dicuntur illae, quae sunt sine intervallo prolatae, | [P2, 176v in marg.] ut illae, quae ad unisonum pertinent. Habet igitur intervallum locum inter voces inaequales vel dissimiles quarum una gravis est vel acuta, respectu alterius.

Potest autem intervallum vocum sumi tripliciter: uno modo, pro distantia vel differentia vocum extremarum alicuius consonantiae; secundo modo, pro distantia vocum immediate se habentium inclusarum in aliqua consonantia; tertio modo, pro distantia non modo vocum immediatarum alicuius consonantiae, sed quarumcumque inter se comparatarum.

Quantum ad primum modum, unius consonantiae unum est tamen intervallum, et, sicut quaelibet consonantia ab aliqua quacumque distincta est, sic intervallum vocum suarum distinctum est ab intervallo vocum cuiuscumque alterius consonantiae. Et, secundum hoc, diesis aliud importat intervallum, aliud apotome, aliud tonus, aliud semiditonus, sic de ceteris, quia distantia vocum ipsius diesis, quae sunt mi fa ascendendo vel fa mi descendendo alia est a distantia vocum ipsius <apotomes>, quae sunt fa mi ascendendo, et mi fa descendendo; alia etiam est distantia vocum ipsius toni, quae sunt re mi ascendendo, et mi re descendendo; alia nihilominus est vocum distantia ipsius semiditoni, quae sunt re fa ascendendo, et fa re descendendo; sic de ceteris.

[34] Si vero sumatur intervallum secundo modo, fit in consonantia duas tantum voces includente, in qua scilicet inter extremas voces nulla mediat vox, secundum usum, unum tantum intervallum est, ut in semitoniis et tonis. In illa vero in qua tres sunt voces, duae extremae et una intermedia, duo sunt intervalla, vel, secundum aliquos, duo spatia, ut in semiditono et ditono; includit enim semiditonus tres voces quae sunt re mi fa: est unum intervallum inter re et mi, quae voces immediate se consequunter; aliud inter mi et fa; similiter ditoni voces quae sunt ut re mi, duo claudunt intervalla, unum inter ut re, reliquum inter re mi. Ubi autem sunt quattuor voces, duae extremae et duae intermediae, ut in diatessaron ut re mi fa, tria sunt intervalla: unum inter ut re, aliud inter re mi, tertium inter mi fa. Ubi autem quinque sunt voces, quattuor sunt intervalla vel spatia, ut in diapente. Et, generaliter loquendo, sumendo intervalla modo secundo qui dictus est, quaelibet consonantia quot habet voces, tot intervalla, una excepta.

Si vero sumatur intervallum tertio modo, scilicet pro distantia et comparatione vocum quarumcumque consonantiae alicuius, inter se sive immediate distent, sive mediate secundum plus et minus, sic, consonantiae, plures habentis voces duabus, plura competunt intervalla, quam secundum duos priores modos. Tunc enim numerus intervallorum vel numerum excedit vocum, et tanto amplius quanto in consonantia plures voces sunt, vel aequatur illi (aequatur enim in consonantia trium vocum, ut in ditono et semiditono; ubi autem quattuor vel plures sunt voces, plura sunt intervalla quam fuerint voces). Dico ergo, quantum ad hoc, quod, cum in semiditono tres sint voces, erunt ibi tria intervalla, quia prima vox comparari potest ad mediam et ad tertiam, et sic sunt duo intervalla, aut media ad tertiam, sic sunt tria. Ubi autem quattuor sunt voces, ut in diatessaron et in tritono, sex sunt intervalla, quia prima vox comparari potest voci secundae, voci tertiae et quartae; sic sunt tria intervalla; item, vox secunda combinari potest cum voce tertia et cum quarta, | [P1, 147r in marg.] et tertia cum quarta, et sic sunt sex intervalla. Ubi autem quinque sunt voces, ut in diapente, decem sunt intervalla, quia prima vox iungi potest secundae, tertiae, quartae et quintae; item, secunda tertiae, quartae et quintae; item, tertia quartae et quintae; item, quarta quintae; et sic decem ibi

[35] [CSMIII/4:35; text: [P2 177r. in marg.] Diapente decem habet intervalla, Quartum intervallum, Diatessaron sex habet intervalla, Tertium intervallum, Diatessaron, Septimum intervallum, Semiditonus habet tria intervalla, Secundum intervallum, Semiditonus, Sextum intervallum, Ditonus tria habet intervalla, Nonum intervallum, Tonus, unum intervallum, Primum intervallum, Diesis, Quintum intervallum, Octavum intervallum, Decimum intervallum, solre, lami, faut, solreut, lamire, .D. .E. .F. .G. .a.] [JACSP4 01GF]

[36] considerari possunt intervalla et abundat diapente a diatessaron in quattuor intervallis, et hoc provenit ex additione quintae vocis super quartam. Quodsi quintae voci iungatur sexta, ut in tono cum diapente, erunt ibi quindecim intervalla. Ubi autem septem sunt voces, viginti una sunt intervalla, ut in semiditono cum diapente vel in ditono cum diapente. Ubi vero sunt octo voces, ut in diapason, imaginari possunt octo et viginti intervalla.

Si igitur diligenter advertere velimus, quantum ad hunc tertium loquendi modum, de consonantiarum intervallis, inveniemus consonantiam trium vocum superare consonantiam duarum vocum in duobus intervallis eamque quattuor illam quae trium in tribus, et quae quinque eam quae quattuor in quattuor, illam quae sex eam quae quinque in quinque, quae septem illam quae sex in sex, et quae octo eam quae septem in septem; et, sic deinceps, maior minorem sibi proximam in tot intervallis, quot sunt voces in consonantia minore. Sufficiat autem, de his, exemplum ponere in consonantia, quae est diapente, in litteris et vocibus monochordi:

| [P2, 177r in marg.] (Vide p. 35) [cf. JACSP4 01GF]

Per exemplum positum apparere potest, non solum de diapente quod habeat decem intervalla, sed de diatessaron quod habeat sex, ditonus tria, similiter et semiditonus, tonus unum et similiter diesis. Adhuc, ut intentum magis appareat, aliud in notatis vocibus ponatur exemplum:

[CSMIII/4:36] [JACSP4 02GF]

Est autem notandum nos distinxisse consonantiarum intervalla combinando voces illarum in ascendendo. Idem autem posset fieri comparando voces illarum in descendendo, et habebit, quantum ad hoc, consonantia tot intervalla in descendendo, sicut in ascendendo, quia tot fieri possunt vocum coniunctiones ex una parte sicut ex altera. Unde, in exemplo posito, tanguntur decem intervalla ipsius diapente in ascendendo [37] et, postea, totidem tanguntur in descendendo. Ulterius, quae divisim posuimus, ponamus et coniunctim sic:

[CSMIII/4:37] [JACSP4 02GF]

Ulterius, notandum est quod istas diversas combinationes vocum alicuius consonantiae, quas intervalla vocavimus, possumus vocare vocum coniunctiones. Unde, in exemplis positis, tot sunt vocum coniunctiones, quot intervalla.

Notandum, ulterius, quod "intervallum" potest sumi aliter quam ipsum sumpserimus. Sumit enim Boethius "intervallum" pro "proportione" et quandoque pro "consonantia". Et, secundum hoc, distinguuntur | [P1, 147v in marg.] et numerantur intervalla ex distinctis proportionibus et consonantiis.

Et, quantum ad hoc, in diapente posita descriptione assignata non sunt decem intervalla, sed sex, quia tantum sex notatae sunt ibi distinctae consonantiae, quibus sex distinctae numerales respondent proportiones, computando cum illis diapente; et illae sex consonantiae sunt hae: diesis, tonus, semiditonus, ditonus, diatessaron, et diapente. Sed, quia tonus ibidem ter continetur, et in locis distinctis, et sub vocibus aliis et aliis, tam ascendendo, quam descendendo, scilicet re mi, mi re; fa sol, sol fa; sol la, la sol; semiditonus bis, scilicet re fa, fa re; mi sol, sol mi; et diatessaron bis, scilicet re sol, sol re; mi la, la mi, ideo, cum sint ibi distinctarum vocum in locis distinctis decem coniunctiones, dictum est ibi decem intervalla contineri.

Si tamen loqui vellemus de cunctis consonantiis antecedentibus diapente, sive sint in usu, sive non, sive distincte et expresse in nostro contineantur | [P2, 177v in marg.] monochordo, sive non, erunt in diapente non modo decem intervalla, sed plura, quia dictum prius est de undecim consonantiis, minoribus quam sit diapente, vocum inaequalium.

Adhuc notandum est quod ubi est maior distantia vocum extremarum, non est semper maior numerus intervallorum, sed quandoque minor, ut patet de semitritono et tritono, quia numerus maior et maior intervallorum venit ex maiore et maiore numero vocum.

[38] Capitulum XVI.

Consonantiarum collatio quoad species

Quia, de speciebus materiae materia de intervallis cognata est, aliquid hic de speciebus adiungamus.

Est autem species, ut hic sumitur secundum Boethium, quaedam positio propriam habens formam secundum unumquodque genus in uniuscuiusque proportionis consonantiam facientis terminis constituta. Dicitur autem species "positio", idest situs vel ordinatio vocum habens propriam et debitam formam secundum unumquodque genus, positio, inquam, constituta in terminis uniuscuiusque proportionis consonantiam facientis.

Secundum positam descriptionem, videtur Boethius velle proportionem habere se ad consonantiam in genere causae efficientis, quia dicit proportionis consonantiam facientis. Secundum Philosophum autem, ut tangetur infra, proportio respectu consonantiae, ad causam pertinet formalem. Sed, forsitan, Boethius de effectu causae formalis loquitur, vel, quod proportio ad consonantiam se habeat in genere causae efficientis, non est intelligendum de proportione quae est vocum mixtio vel unio, quia illa est ipsa causa formalis ipsius consonantiae, sed de proportione numerorum vel rerum sonantium.

Item per hoc quod dicit proportionis consonantiam facientis, innuere videtur non omnem proportionem facere consonantiam. Multo enim maior est numerus proportionum numeralium quam consonantiarum musicalium.

Item, quamvis dicat positionem, quae species est, habere formam secundum unumquodque genus, applicat tamen Boethius species ad tres consonantias, dumtaxat scilicet ad diatessaron, ad diapente et ad diapason, quas vocat primas consonantias. Dicit autem Boethius diatessaron tres habere species, diapente quattuor, diapason septem, quibus tamen Ptolomaeus octavam adiunxit.

[39] Exemplificat autem Boethius de illis in notis graecis et antiquis de quibus infra dicemus aliquid. Sed sufficiat nunc exemplificare de his in litteris latinis nostri monochordi, quibus etiam quandoque Boethius utitur, sed pluribus quam nos et aliquando simplicibus, aliquando geminatis.

In taxando autem tres species ipsius diatessaron, quattuor sumamus litteras: .G. septimam, quae est Gsolreut in spatio; .F. sextam, quae est Ffaut in regula; .E. quintam, quae est Elami in spatio; .D. quartam, quae est Dsolre. His suppositis, prima et principalis species diatessaron in descendendo, quantum ad tactas litteras vel claves, est ab .G. septima ad .D. quartam, secunda ab .F., sexta ad .C. tertiam, tertia ab .E., quinta ad .B. secundam. Huc usque diatessaron species progrediuntur et non ultra.

Ipsius autem diapente quattuor species sic sumantur: prima et principalis sit ab .a. octava in .D. quartam; secunda, a .G. septima in .C., tertiam; tertia, ab .F. sexta in .B. secundam; quarta, ab .E. quinta in .A. primam. Et est notandum quod oethius, pro .a. octava, ponit .H., quae <octava> est inter litteras latinas. Nos autem, in nostro monochordo, non utimur nisi septem latinis litteris et una graeca. Pro .G. enim latina, in Gammaut, ponimus [Gamma] graecam.

Ipsius vero diapason septem species sic in descendendo formentur. Prima sit a .g. quarta decima in .G. septimam; secunda, ab .f. tertia decima ad .F. sextam; tertia, ab .e. duodecima ad .E. quintam; quarta, a .d. undecima ad .D. quartam; quinta, a .c. decima ad .C. tertiam; sexta, a .[sqb]. nonam ad .B. secundam; septima, ab .a. octava ad .A. primam. Et si quis his voluerit octavam iungere, illa erit a .G. septima ad [Gamma] graecam. Ubi autem ponimus .g. quartam decimam, Boethius ponit .O. quae est nete hyperboleon et terminatur illa prima species in .G., quae est mese. Sed de his alias erit sermo.

Sic igitur, quantum ad tres tactas consonantias, quaelibet habet tot species quot voces, una excepta. Nam, secundum Boethium, semper una minus erit quam fuerint voces. Ideo, cum in diatessaron quattuor sint voces, erunt ibi tres species; in diapente, quattuor ubi quinque sunt voces; | [P1, 148r in marg.] in diapason, septem, quia voces octo. Nam, secundum eundem Boethium, [40] de ratione speciei est ut habeat ad minus duas voces de principali consonantia cuius ordinatur species. Hoc autem non esset verum, si in diatessaron essent quattuor species, in diapente quinque, in diapason octo. Et hoc declarare sufficiat in diatessaron speciebus et vocibus.

Sumamus igitur diatessaron, quae est inter .G. septimam et .D. quartam. Cum diatessaron, ubicumque reperiatur, quattuor recludat voces duos tonos cum dimidio continentes, illae, quae in dicta diatessaron continentur, quibus utimur, sunt sol fa mi re. Sit ergo prima et principalis species inter sol et re, secunda inter .F. sextam et .C. tertiam, idest inter fa et ut descendendo, tertia inter .E. quintam et .B. secundam, hoc est inter mi, vel la de Elami in spatio, et mi de Bmi. Dico igitur si, ulterius, ab ultima voce principalis diatessaron prius tactae, quae est re ipsius Dsolre, taxetur una species ipsius diatessaron, ut ab illa descendatur in .A. primam, scilicet in Are, non pertinet illa ad species ipsius diatessaron, quae est inter .G. septimam ad .D. quartam, quia non habet nisi vocem unam illius diatessaron. Patet autem, ex | [P2, 178r in marg.] dictis, principalem speciem in se continere quattuor voces illius diatessaron cuius species taxantur, secunda tres, tertia duas.

Est autem notandum quod inter primam vocem primae vel principalis speciei ipsius diatessaron et ultimam tertiae speciei est <semitonium> cum diapente, et patet inter .G. septimam et .B. secundam. Inter primam autem vocem quattuor specierum ipsius diapente et ultimam quartae speciei, diapason continetur; patet hoc inter .a. octavam et .A. primam. Sed ipsius diapason primae speciei prima vox, ad septimae speciei vocem ultimam, semiditonum cum diapente et diapason continet.

Notandum est ulterius quod, quamvis Boethius dictas species <ordinet> in descendendo, nihil videtur inconveniens si etiam taxentur in ascendendo, ut prima species ipsius diatessaron sit a .C. tertia ad .F. sextam, secunda a .D. quarta ad .G. septimam, tertia ab .E. quinta ad .a. octavam; et non procedunt ultra tactae diatessaron species. Consimili modo, in ascendendo, possunt taxari ipsius diapente species et ipsius diapason.

Quamvis autem de ratione speciei alicuius consonantiae sit includere ad minus duas voces ipsius principalis speciei, et, [41] quantum ad hoc, diapason non <habeat> nisi septem species, annexuit tamen Ptolomaeus ipsi diapason speciem unam ut haberet diapason species octo. Hoc autem duabus ex causis videtur esse factum. Una est quia, secundum Antiquos, modi vel toni sumuntur et numerantur secundum species ipsius diapason; habuit igitur diapason octo species ut octo modis responderent. Alia causa potest esse, ut, inter primam vocem speciei primae ipsius diapason et ultimam ultimae, esset bis diapason, quae est maxima consonantia, secundum Antiquos. Item, gratia haec potuit ipsi diapason fieri, propter ipsius excellentiam. Qualiter autem, secundum octo species ipsius diapason, octo modi vel toni distinguantur, dicetur infra cum de tonis, secundum Antiquos et secundum Modernos, tractabitur.

Declarat autem Boethius, quod praedictarum consonantiarum, quaedam species voces habent stabiles, et quod quaedam instabiles vel mobiles, secundum diversas tetrachordorum descriptiones, de quibus infra tractabitur.

Licet autem Boethius species ad tres applicet tantum consonantias, ut est dictum, Guido tamen monachus applicat eas ad plures, quia ad minus semitonium, ad tonum, ad semiditonum, ad ditonum, ad diatessaron, ad diapente, ad diapason. Assignat autem minore semitonio speciem unam, ipsi tono unam, semiditono duas, ditono unam, diatessaron tres, diapente quattuor, diapason septem vel octo. Unde, secundum ipsum, praeter species ipsius diapason, duodecim sunt species consonantiarum iam dictarum quae praecedunt diapason.

De his autem omnibus in litteris monochordi nostri subscribantur sic exempla:

[P1, 148v in marg.]

[P2, 178v in marg.]

(Vide p. 42) [cf. JACSP4 03GF]

Circa dicta, posset quispiam dubitare, quare ipsi semiditono duae species assignentur, ditono vero sola una. Ad hoc duae possunt reddi causae:

[42] [CSMIII/4:42; text: Diesis, Sola species, Toni, Semiditoni, Duae species, Ditoni, Diatessaron, Tres species ipsius diatessaron, Diapente, Quattuor species ipsius diapente, [P1 148v. in marg.] <Diapason>, [P2 178v. in marg.] Octo species ipsius diapason, ut, re, mi, fa, sol, la .A. .B. .C. .D. .E. .F. .G. .a. .[sqb]. .c. .d. .e. .f. .g. .aa.] [JACSP4 03GF]

[43] Una est, quia duo sunt modi distincti proferendi semiditonum, quantum ad voces intermedias, unus dicendo re mi fa, ubi in ascendendo primo ponitur tonus, secundo diesis (in descendendo fit e converso). Alius modus est dicendo mi fa sol; hic, in ascendendo, primo ponitur minus semitonium, secundo tonus (e converso in descendendo). Sed, in ditono, semper est idem modus, et ascendendo et descendendo, sive dicamus ut re mi, mi re ut, sive fa sol la, la sol fa. Semper enim ibi processus est de tono in tonum, quia ditonus ex duabus partibus aequalibus componitur, scilicet ex tono et tono; semiditonus vero ex inaequalibus, scilicet ex tono et minore semitonio.

Alia causa est, quia, inter gravem vocem primae speciei ipsius semiditoni et acutam secundae speciei ipsius semiditoni, est diatessaron, quae est consonantia generaliter ab omnibus musicis antiquis et modernis concessa facilisque pronuntiationis; et multis in locis in nostro monochordo continetur. Sed, si ditono duae dentur species inter vocem gravem primae speciei et acutam secundae, tritonus erit, qui est consonantia rudis, difficilis pronuntiationis; et in paucis monochordi reperitur locis.

Capitulum XVII.

Collatio specierum <quantum> ad intervalla

Dictum est materiam specierum cognatam esse materiae intervallorum.

Conveniunt enim inter se:

Primo, quia tam species quam intervalla dicunt vocum inclusarum in aliqua consonantia coniunctiones.

Secundo, quia important quasdam consonantias.

Tertio, quia, inspiciendo ad modum, secundum quem prius sumpsimus intervalla, qui magis proprius videtur, idem est numerus specierum et intervallorum, excepto ditono, cui sola species assignatur, duo vero intervalla.

Quarto, quia <nosse> haec utile est exercitatumque esse [44] in his et in illis, et impromptu scire cantare consonantiarum species et intervalla. Unde dicit Guido: Qui enim non novit diversas species consonantiarum, quomodo noverit diversitates harmoniarum?

Sed distinguuntur hae in multis:

Primo, quia voces intervallorum alicuius consonantiae nunquam exeunt voces extremas consonantiae cuius sunt (hoc autem de speciebus verum non est).

Secundo, quia intervalla proprie sumpta, scilicet pro secundo modo prius tacto, dicunt ut communiter partiales consonantias, respectu illius, cuius sunt, inclusas, scilicet in illa, et ab illa distinctas; species vero non sic, sed eandem dicunt consonantiam cum ea, cuius sunt, quia omnes species ipsius diatessaron resonant diatessaron, et omnes species ipsius diapente, diapente, et diapason, diapason (consonantiae enim alicuius species texere est consonantiam illam multiplicare).

Tertio, quia intervallum omnibus competit consonantiis vocum inaequalium, species autem paucis, secundum Boethium.

Quarto, quia pluribus modis sumitur intervallum vocum quam specierum.

Quinto, quia, si sumatur intervallum secundum tertium modum prius tactum, maior est numerus intervallorum quam specierum.

| [P2, 179r in marg.] <Capitulum XVIII.

Quod consonantiae inter se sint ordinatae>.

Ordo videtur esse rerum plurium naturalis quaedam annexa vel consequens, conveniens dispositio.

Unde Augustinus, libro De Civitate Dei: Ordo, inquit, est parium impariumque rerum sua unicuique tribuens dispositio. Et, forsitan, per "res pares", res intelligit aequales, ne ordinem excludat inter divinas personas, inter quas ordo est, summa tamen aequalitas; in illa enim excellentissima Trinitate, Pater dicitur prima persona, Filius media vel secunda, Spiritus Sanctus tertia. Haec autem nomina primum, secundum [45] et tertium ordinem important, et, per res impares, forsan res intelligit dissimiles specifice, proprietatibus absolutis distinctas, ut est in creaturis.

Deus autem cum in se ad intra summe sit ordinatus, res ad extra sub quodam naturali produxit | [P1, 149r in marg.] ordine. Unde Philosophus circa finem <undecimi> libri Metaphysicae: Res, inquit, nolunt male disponi, quia unus rerum omnium est princeps, scilicet: Deus ipse qui est primum et principalissimum ens a quo, secundum eundem Philosophum, derivatum est esse in aliis, his quidem clarius, his autem obscurius. Essent autem entia nunc bene disposita si convenienti carerent ordine.

Dicit autem: "his quidem clarius, his autem obscurius", quia quaedam plus, quaedam minus de bonitate recipiunt divina; quaedam magis, quaedam minus sunt perfecta. Unde Plato, Timaei libro primo, vult quod Deus, qui optimus est, cuncta sibi similia, prout uniuscuiusque natura capax beatitudinis esse potuit, efficere voluit.

Sic autem ordo naturas concomitatur rerum, ut dicat Philosophus, libro De Auditu Naturali, qui communiter dicitur liber Physicorum, nihil inordinatum esse earum quae natura et secundum naturam fiunt. Natura enim in omnibus causa ordinationis est. Hoc approbans, Boethius, quarto De Consolatione, ait: Est enim, quod ordinem retinet, servatque naturam; quod vero ab hac deficit, esse, quod in eo situm est, derelinquit. Et beatus Dionysius sic res ordinatas esse voluit, ut infima per media reduci diceret in suprema.

Cum autem ordo, secundum dicta, naturalis quaedam sit rerum dispositio, natura autem, secundum Philosophum, dicatur de materia, de forma, et de composito, potest, secundum hoc, multiplex in rebus attendi ordo, quidam secundum materiam, alius secundum formam, et alius secundum totum aggregatum ex his, sive compositum. Est autem quidam ordo per se qui locum habet inter species, seu inter gradus specificos, alius per accidens, qui inter individua vel gradus individuales. [46] Potest autem ordo attendi inter aliqua in ratione originis, et talis ordo potest esse sine priore et posteriore, ut est inter divinas emanationes et personas, inter quas, ut in symbolo dicitur Athanasii, nihil est prius aut posterius. In illis enim, nec prioritas attendi potest ratione essentiae divinae quae una est et simplicissima, nec ratione relationis cum relative sint simul natura. Simultas autem prioritatem excludit, et, de prioritate durationis vel temporis, planum est quod in divinis locum non habeat.

Utrum autem prioritas originis naturae vel aliqua alia habeant ibi locum, alterius speculationis est.

Dico ulterius quod attendi potest ordo inter aliqua, ratione prioritatis et posterioritatis, ratione simplicitatis et compositionis, ratione totius et partis, ratione principii et principati, causae et causati. Et cum multiplex sit causa in ratione istius vel illius materialis, scilicet formalis efficientis et finalis, adhuc, inter aliqua, potest considerari ordo in ratione perfectionis et imperfectionis. Cum ergo ordo naturam concomiter annectetur vel sequatur, rerum, et maxime specifice distinctarum, salvabitur ordo inter consonantias musicales, quae multae sunt specificeque distinguuntur. Ibi enim dicitur esse confusio, ubi sine ordine multitudo est.

Tangatur igitur consonantiarum ordo et primo prioritatis et posterioritatis.

Capitulum XVIIII.

Consonantiarum collatio <quantum> ad ordinem prioritatis et posterioritatis.

Ad videndum consonantiarum quae sint priores et quae posteriores, de priore distinguatur.

Dicitur autem prius uno modo secundum tempus. Est enim tempus, ut libro primo tactum est, mora motus secundum prius et posterius. Et, cum in tempore duae sint partes, praeteritum scilicet et futurum, quae per nunc vel instans copulantur, potest, secundum has, prius et posterius in tempore dupliciter sumi; uno modo, quantum ad praeteritum; alio [47] modo quantum ad futurum. Quantum ad primum, illud dicitur prius in tempore quod est <antiquius>, quod, scilicet, a praesente nunc est remotius quo modo Noe prior est quam Abraham, et hic quam Ysaac, et Ysaac quam Iacob. Quantum autem ad futurum, est quasi e converso, quia illud est prius quod est praesenti nunc propinquius, ut, respectu horae nonae, prior est hora tertia quam sexta. Hoc ergo modo sumitur prius duratione.

Alio modo sumitur prius natura, secundum quem modum causa prior est effectu suo.

Tertio modo sumitur prius origine, quo modo in creaturis pater prior est filio suo.

Quarto modo sumitur prius a quo non convertitur consequentia, ut animal dicitur prius homine, leone, vel equo.

Quinto modo sumitur prius quod est melius, dignius et honorabilius secundum quem modum homo prior est asino ac ceteris animalium speciebus.

Secundum hos diversos modos prioris, vel horum aliquos, potest aliqua consonantia dici prior alia. Quantum enim ad prius, quod est antiquius, secundum aliquos, diapason, diapente, diatessaron et tonus ceteris consonantiis videntur esse priores, quia prius inventae, prius usitatae, cum homines musica | [P2, 179v in marg.] simplici ac modesta fungebantur in quattuor numeris vel chordis, dictas quattuor consonantias describentes, ut primus nervus et quartus diapason, medii inter se tonum, atque ad extremos diapente et diatessaron haberent. Nihil vero in eis, ut refert Boethius, esset inconsonum.

Hoc | [P1, 149v in marg.] autem quadrichordum, ut refert Nicomachus, duravit usque ad Orpheum inventumque fuit, ut dicitur, a Mercurio. Tactae quattuor consonantiae sunt illae quarum Pythagoras proportiones certas reperit in quattuor malleorum ponderibus. Qui enim duodecim libras continebat in pondere ad illum qui sex, diapason resonabat; et qui duodecim ad eum qui octo, diapente, similiter et qui novem ad eum qui sex; item qui duodecim ad eum qui novem, diatessaron, et consimiliter qui octo ad eum qui sex; cui vero novem ad eum qui octo, tonum.

Consimiles autem proportiones, quantum ad tactas quattuor consonantias, quas Pythagoras in malleorum ponderibus [48] adinvenit, Mercurius in nervis vel chordis quadrichordi, quantum ad longitudinem et brevitatem, observavit. Extremae enim chordae ad invicem duplam continebant proportionem in qua fundatur diapason, duae intermediae sesquioctavam in qua tonus, maxima ad tertiam sibi proximam sesqualteram in qua diapente, et consimiliter secunda ad quartam; maxima vero ad sibi proximam immediatam sesquitertiam in qua diatessaron, et similiter tertia ad quartam.

Ut autem in exemplo ponendo magis haec pateant, vocetur chorda maxima, quae est prima, .a., secunda .b., tertia .c., quarta .d., apponaturque primae chordae numerus qui est 12, secundae 9, tertiae 8, quartae 6, et sic describantur:

(Vide p. 49) [cf. JACSP4 04GF]

Est autem notandum quod convenienter dicitur posita descriptio quadrichordum vel tetrachordum, tum quia quattuor continet chordas, tum quia quattuor continet consonantias, et istud in multis distinguitur ab illo quod postea, secundum tria melorum genera, multipliciter describetur. Semper enim ibi chordae extremae diatessaron habent ad invicem, hic vero diapason. Adhuc, quantum ad intermedias chordas, hic et ibi distinctio magna est. Est etiam notandum quod Boethius refert, inter chordas descripti quadrichordi, nihil inconsonum contineri et, per consequens, voces, inter quas tonus est, inconsonae non sunt. Et tamen Ptolomaeus tonum non ponit inter consonantias consonas. Dimittendo autem tonum, dicit Boethius, libro Musicae suae quarto, tres primas consonantias esse diapason, diapente et diatessaron. Secundum tactum igitur modum prioritatis, illae consonantiae sunt priores quarum usus antiquior est, et, quantum ad hoc, simile videtur esse de consonantiis et de citharae chordis. Primo enim pauciores habuit chordas, postea, successu temporis, plures et plures. Consimiliter, ut videtur in principio, cantores paucis utebantur consonantiis, nunc autem multis.

[49] [CSMIII/4:49; text: Quadrichordum quattuor continens consonantias. Dupla proportio, .a. 12, .b. 9, .c. 8, .d. 6, Diatessaron, sesquitertia proportio, Tonus, sesquioctava proportio, Diapente, sesqualtera proportio, Diapason, dupla proportio] [JACSP4 04GF]

[50] <Capitulum XX.

Ordo consonantiarum quantum ad aliquas naturae prioritates.>

Ad videndum consonantiarum ordinem qui sumitur ex prioritate naturae, quid sit talis prioritas videatur et qualiter distinguatur. Prioritas naturae in creaturis est cum, secundum aliquem modum, naturae res una prior est alia. Hac prioritate subiecta prior est omni accidente, subiectum suis accidentibus propriis et communibus, absolutum et fundamentum respectu fundato in ipso. Naturaliter enim prius est independens dependente. Item naturaliter pars videtur esse prior toto, simplex composito, principium principiato, causa causato. Et cum causa sit quadruplex (materialis, formalis, efficiens et finalis), potest aliquid dici prius naturaliter alio vel secundum causam materialem, formalem, efficientem vel finalem secundum alteram causarum dictarum, vel secundum plures. Dicitur autem natura de materia, de forma et de composito ex his.

Distinguuntur autem non modicum ad invicem ordo qui sumitur ex prioritate materiae et qui ex prioritate formae. Primus enim secundum viam procedit imperfectionis de quo aliquid nunc dicemus, alius secundum viam perfectionis de quo infra tractabitur. Si igitur loquamur de ordine | [P2, 180r in marg.] prioritatis naturalis consonantiarum ut materiam vel materialem respicit conditionem, sic alia prior est illa quae minor est, illa scilicet quae rationem partis ad aliam habet, quae simplicior est materiali simplicitate, quae aliam non supponit sed potius e converso. Et hoc modo comma prior est omni consonantia vocum inaequalium, quia minima omnium, postea diesis, hinc apotome, deinde tonus | [P1, 150v in marg.] minor, sic consequenter, prout patet circa finem libri secundi ubi resumuntur omnes consonantiae de quibus ibi tractatum est.

Causa autem brevitatis, ne oporteat de hoc distincta facere capitula illi prioritati naturali, quae venit ex parte materiae vel materialium conditionum, illam prioritatem coniunxi, qua pars praecedit totum simplex materiali simplicitate compositum, quia modi hi prioritatis videntur ad invicem connexi. [51] Adhuc ad hunc ordinem reducatur prioritas causae materialis prout litterae syllabas praecedunt et elementum elementatum vel mixtum. Item ad tactam prioritatem pertinere videtur illa, a qua non convertitur subsistendi consequentia, pro quanto ubi est totum integrale et pars, non e converso, non quod una consonantia praedicetur de alia, sed quod minor in maiore continetur. Est autem intelligendum quod ordo, qui tactus est, inter consonantiarum species valde certus est. Satis enim certitudinaliter scire possumus duarum vel plurium consonantiarum quarumcumque, inter se comparatarum, quae maior est et quae minor et in quo maior minorem superet, saltem, quantum ad partes illas, quae per se sumptae distinctas dicunt consonantias, quibus certe in numeris respondent proportiones, ut cum semiditonus tonum superet in diesi et tonus similiter apotome in diesi, apotome diesim in commate, sic de consimilibus. Quod etiam tonus minor superet <apotomen> certum est, quia duo minora semitonia vincunt maius in duobus commatibus et amplius; quae excrescentia consonantiam per se non facit, quia illi in numeris nulla certa proportio respondere videtur.

Videtur autem ordo nunc tactus consonantiarum assimilari ordini numerorum, quo maior minorem superat. Et illorum ordinum quilibet certus et manifestus est. Item, quantum ad ordinem prioritatis naturalis, materialis, voces alicuius consonantiae priores sunt ipsarum ad invicem mixtione. Adhuc, secundum tactum modum prioritatis, consonantia prior est proprietatibus suis communibus et propriis.

Capitulum XXI.

Diversae acceptiones de perfecto.

Actum est de prioritate consonantiarum quam habent secundum viam quandam imperfectionis.

Dicamus de ea quae ordinem respicit perfectionis.

Ad hoc autem sciendum, expedit tangere diversas acceptiones perfectionis et perfecti et in quo vel in quibus rei iaceat perfectio.

Dicitur uno modo perfectum cui nihil deest quod ad naturam suam pertineat et in quo nihil est diminutum nihilque [52] superfluum. Quo modo definitionem dicimus perfectam, si, per essentialia, totam quidditatem exprimat definiti et cum eo convertatur.

Item dicitur perfectum idem quod et integrum et completum, ut domus dicitur perfecta, quando integre partes suas habet et ea quae ad ipsam pertinent; et hoc modo in creaturis dicitur perfectum perfecte factum secundum nominis derivationem vel compositionem.

Item sumitur perfectum pro bono, prout dicitur bonum et perfectum idem, sicut totum et perfectum; et hic modus transfertur ad mala ut dicatur calumniator bonus et perfectus et latro bonus et perfectus pro quanto tales non deficiunt in his quae ad talia pertinent opera mala et, quantum ad hoc, gradus maioris et minoris bonitatis.

Item dicitur perfectum quod ad finem attingit ad quem est et quod potest in finem ad quem ordinatur, ut clavis dicitur perfecta quando bene aperit et dividit dura, et cutellus quando bene scindit.

Item dicitur perfectum quod in finem ordinatur bonum, et, tanto perfectius, quanto ad finem meliorem disponitur et ordinatur, ut virtutes theologiae et infusae, quantum hae, quae ex propriis naturalibus sunt acquisitae, perfectiores dicuntur.

Item quoddam est perfectum simpliciter omnino illimitatum, extra omne genus existens, quo modo solus Deus perfectus est, in quo omnis coexistit perfectio unittissime et simplicissime sine quacumque reali compositione. In eo idem enim sunt esse potentem, sapientem et bonum, sic de aliis attributalibus perfectionibus. Aliud est perfectum secundum quid, quia dicit vel importat quandam perfectionem limitatam, quae vel est perfectio generis, vel speciei. Et talis perfectio, quae sumitur secundum gradus generales vel specificos, dicitur perfectio essentialis; illa autem, quae sumitur a proprietatibus accidentalibus, propriis vel communibus, dicitur accidentalis.

[53] Capitulum XXII.

Unde res suam sumat perfectionem.

Cum duplex sit perfectio, essentialis et accidentalis, essentialem trahit res ab eo quod de essentia sua est, accidentalem ab eo quod accidentaliter sibi inest. Sunt autem de intrinseca ratione rei materialis materia et forma. Ab altero igitur illorum vel ab utroque videtur res suam perfectionem essentialem trahere, non a materia quae dicitur prope in hoc principium | [P2, 180v in marg.] corruptionis, transmutationis et mutabilitatis.

Et, quantum est de materia prima, res per ipsam est in pura potentia ad esse quod a forma recipit per quam actuatur et perficitur. Naturaliter enim formam appetit materia sicut temporale bonum et suam perfectionem in perfectum desiderat; unde imperfectionis ordo sibi ascribitur, quia nata est primo perfici formis imperfectioribus, deinde perfectioribus, ut formis elementorum, deinde mixti imperfecti, postea mixti perfectioris, primo inanimati, inde animati, prout ex libris naturalibus patet Philosophi. Quod autem una materia | [P1, 150v in marg.] perfectior dicatur altera, non est intelligendum de prima, sed de secundaria et proxima secundum quod dicitur quod alius actus alterius est materiae, et hoc a forma venit.

Cum enim actus activorum in patiente sint et disposito, perfectior forma perfectiorem requirit materiam, proximam et melius organizatam. Trahit igitur res essentialem suam perfectionem principaliter a sua forma essentiali tanquam a principio quo. Ideo gradus maioris et maioris perfectionis essentialis inest rebus ex ordine maioris et maioris perfectionis in essentialibus formis. Cum autem forma sit operationis principium et accidentia in cognitionem ducant, quidquid est, arguitur forma tanto perfectior quanto principium est perfectioris operationis et plurium, ut forma hominis quam bruti, et bruti quam plantae, plantae quam lapidis.

Communiter etiam in rebus perfectioribus perfectiores sunt passiones vel proprietates. Concessit tamen rerum actor Deus rebus aliquibus imperfectioribus proprietates quasdam nobiliores et perfectiores.

[54] Potest autem prioritas perfectionis essentialis attendi quantum ad gradus generales vel quantum ad specificos. Et species ad genus comparari possunt vel inter se. Si ad genus, sic, cum sint coaequae in naturae generis participatione, videbuntur ut sint coaequae in perfectione quam trahant ex genere. Si vero inter se, quantum ad gradus specificos et distinctos quos important, conferantur, sic: in essentiali perfectione, distinctae sunt in tantum ut videatur sentire Philosophus in toto universo duas species aequalis perfectionis nullatenus reperiri.

Et, si ita est de facto, utrum tamen Deus hoc facere possit, inquirere nunc habeo.

Potest enim de potentia sua absoluta facere quicquid contradictionem non implicat. Subest enim sibi, cum voluerit, posse, ut dicitur in Libro Sapientiae. Sed cum mundum et quae in mundo sunt de potentia sua ordinatissima condiderit, sicut species formaliter distinctae sunt, sic et in perfectione ut quaelibet in alio et alio gradu divinam imitetur perfectionem et habeat aliam et aliam in Deo ideam. Et quantum ad hoc, intelligi videtur illud Philosophi dictum: aequivocationes latent in generibus pro quanto genus per prius secundum viam perfectionis dicitur de specie una quantum de alia quae analogiae prioritas nasci videtur, non ex ea parte qua species genus respiciunt, quod, inquit, et univoce de qualibet patet et cuius natura tota salvatur in qualibet, sed ex ea parte qua species inter se, secundum gradus suos proprios et specificos, conferuntur. Unde altera differentiarum, qua genus dividitur et in species descendit, quantum est ex parte nominis, rationem dicit positivam, altera negativam vel privativam. Patet cum dicitur substantiarum alia corporea, alia incorporea, corporum aliud animatum, aliud inanimatum, animalium aliud rationale, aliud irrationale. Hoc autem nonne ideo fit quia species ad invicem in perfectione sunt distinctae vel quia proprie et specifice differentiae nobis sunt ignotae, vel propter aliam causam, nec fit hoc quia species positiva per aliquid privativum in esse suo specifico constituatur? Nam, ut ait Simplicius super Aristotelis Praedicamenta, nomen ipsum non facit privationem, sed res.

[55] Quamvis autem de aliqua specie sciri possit ipsam perfectiorem esse ceteris speciebus sub eodem genere contentis, ut homo inter species animalis, albedo inter species coloris, gradum tamen perfectionis omnium specierum sub generibus contentarum vel totius universi, quis novit nisi qui eas condidit?

Cum autem substantia sub genere latitudinem contineat graduum specifice distinctorum, videtur etiam species substantiae, saltem materialis, sub se continere latitudinem graduum individualium, alias sub specie vel non esset nisi unum individuum, vel, si essent plura ipsa numeraliter, essentialiter essent indistincta ut, secundum hoc, esset una anima in cunctis hominibus; quod est omnino falsum. Unde multum erravit ille commentator Averois intellectum unum in numero ponens in omnibus hominibus.

Comparari autem individua sic videntur ad speciem, ut species ad genus. Species autem ad genus comparatae etsi sint aequales quantum ad perfectionem quam importat genus in quo conveniunt, in quo indistinctae sunt, ut inter se tamen conferuntur, sicut formaliter specifice distinguuntur, sic ab invicem in perfectione, quantum ad gradus specificos, separantur.

Forsitan etiam sic tenent aliqui de individuis sub specie contentis quod ipsa scilicet, ut ad speciem conferuntur, in perfectione, quae est secundum gradum specificum, conveniunt et aequalia sunt; quantum tamen ad gradus individuales, in individuali perfectione distincta sunt et inaequalia. Si sic intelligi debeat articulus ille Parisius condemnatus quod anima Christi non sit perfectior aut nobilior anima, inde error quia, quantum ad proprietates accidentales, naturales et infusas, | [P2, 181r in marg.] nulli dubium fideli est. Nec distinctio in forma, quantum ad gradus individuales, speciem variat, sed ea quae est secundum gradus specificos, et, sicut gradus specificus in specie athoma vel specialissima indivisibilis est divisione specifica, sic individualis in genere substantiae indivisibilis est divisione individuali, non iam continens in se latitudinem plurium graduum individualium. Ideo forma substantialis individualis haec signata, puta anima huius equi vel leonis, non suscipit magis et minus; non est in potentia ad perfectiorem | [P1, 151r in marg.] vel [56] minus perfectum gradum in eadem forma, sed in hoc equo vel leone manet eadem anima in numero quantum diu vivunt, et, quantum ad hoc, intelligatur illud dictum Philosophi quod proprium est substantiae non suscipere magis et minus ut exponatur sic. Proprium est substantiae quae est una numero, ut, manens una numero numerositate formae, secundum determinatum et signatum gradum individualem substantialem, non suscipiat magis et minus, sicut proprietatem maxime propriam substantiae dicit Philosophus intelligendam esse de unitate numerali: Maxime, inquit, proprium est substantiae, cum sit una numero, quod susceptibilis est contrariorum, quantum ad formas accidentales; cui tamen repugnat ut, una numero manens, secundum formam distinctos gradus suscipiat individuales substantiales. Et in hoc multum distinguitur forma substantialis ab accidentali. Ad accidentalem enim dicitur esse motus, non ad substantialem. Accidentalis dicitur suscipere magis et minus, non sic substantialis. Accidentalis enim forma, secundum opinionem multorum, cum movetur et intenditur de imperfectiore gradu ad perfectiorem, vel e contrario, remittitur et movetur de perfectiore gradu ad imperfectiorem, manet una numero et stant simul gradus illi quantum ad illud positivum quod dicunt. Sed duo gradus formales substantiales et individuales sunt duae formae. Nequeunt facere formam unam numeralem. Cum enim mutatio fit de forma una substantiali ad aliam, adveniente secunda, non manet prior, sed corrumpitur, quamvis materia, prima quae immediatum subiectum est formae substantialis, maneat una numero sub utroque termino. Sed materiam hanc perfecte perscrutari negotii alterius est.

Haec enim ex incidenti propter ea tacta sunt quia, si individua sub specie athoma in genere substantiae secundum magis et minus perfectum perfectione individuali formali distinguantur, inter illa poterit assignari triplex perfectionis essentialis ordo: unus quantum ad gradus generales, secundum quem homo perfectior est quantitate et lapide; alius quantum ad gradus specificos quo modo homo perfectior est leone; tertius quantum ad gradus individuales quo modo dicatur unus homo perfectior alio. Sed quidquid sit de substantia in aliquibus accidentibus tacti gradus locum habent. [57] Albedo enim secundum suum genus praedicamentale perfectior videtur esse quam linea, scilicet qualitas quam quantitas. Dicitur enim qualitas sequi compositum principaliter ratione formae, quantitas ratione materiae. Item albedo, quantum ad gradum specificum, perfectior est ingredine, quia plus habet de lumine et haec albedo perfectior esse potest alia albedine individuali perfectione. Ad ordinem autem perfectionis qui sumitur a forma reduci videtur ordo simplicitatis formalis et maioris et maioris actualitatis. Quod enim ex parte formae simplicius est hoc actualius ens et perfectius.

Item quod opus dicatur alio perfectius quia a perfectiori procedit agente ad causam formalem reduci potest quia in agente perfectiori perfectior est virtus agendi quae a forma est. Ideo opera immediate producta adeo dicuntur perfecta ut dicitur de vino ex aquis facto in nuptiis. Dei enim perfecta sunt opera, ut habetur in Deuteronomio.

Item quod cyphus ex argento dicatur perfectior vel praeciosior illo qui est ex stanno, plumbo vel cupro, non venit ex parte materiae tantum, sed formae. Illa enim non dicunt solam materiam sed mixtum ex materia et forma, quia forma artificialis non materiam tantum sed formam praesupponit substantialem. Dicitur autem argentum in gradu naturae perfectius plumbo, stanno vel etiam cupro.

Item quod aliquid trahit perfectionem ab integritate vel totalitate a toto composito ex materia et forma videtur procedere principalius tamen a forma.

Item quod a bonitate trahat res perfectionem suam maiorem vel minorem si bonum convertatur cum ente, reducitur talis perfectio ad illam quae a forma est tanquam ad principium quolibet ad totum compositum tanquam ad principium quod.

Quodammodo etiam perfectio quae est a fine reduci potest in eam quae a forma est in quantum ens perfectius in perfectiorem finem natum est ordinari. Accidentalem autem perfectionem, ut est dictum, trahit res a suis proprietatibus accidentalibus, a propriis magis quam a communibus et, quantum ad hoc, res quae alia perfectior est essentiali perfectione, quantum ad aliquam accidentalem proprietatem vel aliquas imperfectior illa est. Et hoc in multis patet animalium speciebus, individua etiam sub specie substantia, et, si dicantur [58] aequalia in perfectione essentiali, possunt tamen esse inaequalia in perfectione accidentali quantum ad multa.

Docet hoc experientia inter homines quantum ad potentias animales sensitivas et intellectivas, quantum ad actus, quantum ad virtutes acquisitas et infusas et quandoque qui alio perfectior est in visu, in auditu imperfectior est, vel e converso, et qui altero melioris aut perfectioris ingenii vel intellectus est, in memoria illo imperfectior existit. Multa varietas talis reperitur. Natura etiam angelica licet perfectior sit humana, tradidit tamen Deus multo ampliorem gratiam naturae humanae in Christo quam cuicumque angelo, similiter et beatae Mariae Matri | [P2, 181v in marg.] Christi quae super choros angelorum exaltata praedicatur.

Capitulum XXIII.

Quod diapason ceteras vocum inaequalium praecedat consonantias.

Sed iam ad consonantiarum ordinem secundum perfectionis viam descendamus, et primo tangemus ordinem quarundam consonantiarum, specialiter de quibus Antiqui tractaverunt; secundo, sumendo consonantiam generalius, tangemus ordinem non modo earum de quarum ordine locuti sunt Antiqui, | [P1, 151v in marg.] sed quarundam aliarum.

Cum autem quinque sint consonantiae de quarum ordine disserunt Antiqui, scilicet diapason, diapente cum diapason, bis diapason, diapente et diatessaron quibus sextam superaddit Ptolomaeus, scilicet diatessaron cum diapason, tangemus illud, primo in quo conveniunt, quantum ad ordinem tactarum consonantiarum; secundo, illud tangemus, in quo dissentiunt.

Conveniunt autem, quantum ad diapason, quam ceteris praeponunt consonantiis. Illa enim consonantia, secundum Ptolomaeum, ceteris praecedit cuius voces magis uniuntur; sic est de vocibus ipsius diapason. Talem enim, ut ait, diapason efficit coniunctionem, ut, etsi sint duo nervi, tamen tamen unus atque idem nervus videatur. Idem infra: una paene diapason vocula est talisque consonantia ut unum quodammodo [59] effingat sonum. Idem infra: symphonia diapason quamcumque aliam susceperit, consonantiam servat eam nec inmutat nec ex consona dissonam reddit. Hoc autem inest ei ex perfectione sua. Eandem symphoniam confirmans Nicomachus Pythagoricus: Haec, inquit, ponenda est maxime suavis esse consonantia cuius proprietatem sensus apertior comprehendit. Quale est enim unumquodque per semetipsum, tale etiam deprenhenditur sensu. Si igitur cunctis notior est ea consonantia quae in duplicitate consistit, non est dubium primam omnium esse diapason consonantiam meritoque excellere quia cognitione praecedat.

Experimentum enim sermonum verorum est ut consentiant rebus sensatis. Quod autem dupla proportio ceteris sit prior et notior per Ptolomaeum confirmatur sic: Illud in quo duplum superat dimidium aequale est ipsi dimidio; binarius enim primus duplus suum dimidium sive subduplum, idest unitatem, vincit unitate, quaternarius binarium binario, senarius ternarium ternario, sic de ceteris duplicibus proportionibus. Hoc autem nulli alii competit proportioni. Unde iure duplex proportio aequisonae coaptatur, id est diapason.

Item consonantia quae est diapason sola est, secundum Nicomachum, quae nullam habet contrariam positionem, sed ceteris quasi fundamentum praeponitur.

Item diapason in ea fundatur proportione quae immediatius procedit ab aequalitate et in eam per prius resolvitur; et in hoc rationabile est, quia voces suae viciniores sunt unisonis. Unde dicit Ptolomaeus: Quoniam igitur univocis comparationibus proximae sunt aequisonae, necesse est ut aequis numeris musicis ea numerorum inaequalitas adiungatur quae est proxima aequis. Est autem iuxta aequalitatem numerorum ea quae est dupla, nam et prima multiplicitatis species est et maior numerus, cum minorem supervenit, aequo eum ipsi minori transcendit, ut duo unum uno transgrediuntur. Est autem notandum quod Ptolomaeus convenientius dicit duplam proportionem esse iuxta aequalitatem, idest proximam aequalitati, non quod fundetur in vera aequalitate in qua solus unisonus radicatur. Ideo autem dicit quod illa numerorum inaequalitas, in qua dupla iacet comparatio sive proportio, [60] proximior est aequis proportionibus, quia voces ipsius diapason viciniores sunt vocibus unisonis, quia inter voces inaequales amplius uniuntur et concordant, et sic suo modo, sicut est in consonantiarum vocibus, sic est in correspondentibus numeralibus proportionibus.

In signum autem quod ipsius diapason voces amplius concordent et uniantur inter se, concessum est eis eandem respondere litteram in dispositione consonantiarum monochordi, sicut Guido testatur Monachus, et in hoc aequaliter cum vocibus convenit unisonis quibus una respondet littera in clavibus simplicibus vocum plurium, ut sunt Cfaut, Dsolre, Gsolreut, alamire. Voces enim ipsius alamire, quae sunt la mi re, inter se habent unisonum et eis una respondet littera quae est a. Similiter vocibus ipsius diapason quae est inter Are et alamire, eadem respondet littera quae est a; et consimiliter est aliis clavibus inter quas diapason est, quia litteras habent consimiles. Sed voces unisonantes unam et eandem respiciunt clavem et unam litteram non repetitam; ipsius vero diapason voces distinctas habent claves in quibus eadem iteratur littera, licet aliter figuretur.

Item ipsius unisoni voces vel ambae sunt in spatio, vel regula. Ipsius vero diapason soni, si unus est in spatio, alter in regula est. Haec autem distinctionem denotant inter unisonum et diapason et quod voces in unisono magis uniuntur quam in diapason. Illae enim aequales sunt, hae inaequales.

Concorditer igitur tenent doctores diapason ceteras consonantias vocum inaequalium praecedere et loqui videntur de ordine qui attenditur secundum viam perfectionis. Praeponunt enim ipsam aliis ratione bonae commixtionis et unionis vocum suarum, et ratione proportionis. Hae autem ad formam ipsius pertinent. A forma autem, sicut dictum est, ordo taxatur perfectionis, sicut a materia gradus imperfectionis secundum quem, secundum Boethium, comma ceteras vocum inaequalium praecedit consonantias.

[61] <Capitulum XXIIII.

Ordo consonantiarum secundum Ptolomaeum.>

Antiqui musici de ordine diapason quam ceteris consonantiis vocum inaequalium, ut est dictum, anteponunt, consentiunt. De ordine vero ceterarum prius tactarum diversas tenent sententias.

| [P1, 152r in marg.] Ordinat enim sic eas Ptolomaeus: diapason, bis diapason, diapente, diatessaron, diapente cum diapason, diatessaron cum diapason. Quare diapason ceteris praeordinet, iam tactum est.

Post diapason immediate ponit bis diapason, quia voces eius, secundum ipsum, aequisonant, et ideo ceteris praeponitur quia voces illarum non sunt aequisonae, sed consonae. Plus autem concordant voces aequisonae quam consonae.

Item diapente et diatessaron praeponit aliis duabus quae sunt diapente cum diapason, diatessaron cum diapason, quia duae priores sunt simplices et consonae, aliae compositae ex aequisonis et consonantibus. Simplex autem compositum videtur praecedere.

Diapente praeponit ipsi diatessaron, forsitan ratione proportionis et concordiae melioris. Et propter easdem rationes forsan praeponit diapente cum diapason ipsi diatessaron cum diapason. Quare autem hanc consonantiam in ordine ponit aliarum, dictum est, libro secundo, in Tractatu de dicta Consonantia.

Videtur igitur Ptolomaeus in ordinando consonantias attendere non tantum ad ordinem proportionum ipsarum sed in eis salvare vult sensus iudicium. Probat enim quae meliores et quae minus ex instrumento musico, ut tangit Boethius in fine quarti libri Musicae suae.

Item inspicit ad simplicitatem et compositionem, et sic partim aspicit ad proportionem, partim ad concordiam, partim ad simplicitatem et mixtionem. Si enim ad ordinem proportionum in quibus tactae consonantiae radicantur tantum aspiceret, bis diapason non praeordinaret ipsi diapente cum diapason, cum tripla proportio praecedat quadruplam.

[62] Item, quantum ad proportiones, diapente cum diapason praecedit tam diapente quam diatessaron, quia tripla proportio praecedit sesqualteram et sesquitertiam. Quod autem diapente cum diapason vocat consonantiam compositam, non est hoc intelligendum inspiciendo ad proportionem illius, quia illa simplex est scilicet proportio tripla, sed ad eius denominationem, quia composita est ex una consonantia aequisona, scilicet ex diapason, et ex altera consona, scilicet diapente.

Secus est de diatessaron cum diapason, quia illa composita est, et secundum suum nomen, et secundum suam proportionem quae est dupla superbipartiens, in qua se habent octo ad tres. Unde consonantia haec iure postrema est inter tactas, quia ratione proportionis concordiae minoris et amplioris compositionis. Etiam, ratione proportionis, ceteri doctores antiqui alii a Ptolomaeo excludunt dictam consonantiam a numero ceterarum, ut visum est libro secundo.

Capitulum XXV.

Ordo consonantiarum secundum Eubulidem et Hippasum.

Eubulides et Hippasus, secundum Boethium, consonantias sic ordinant: diapason, diapente, diapente cum diapason, diatessaron, bis diapason. Hi consonantias tactas sic ordinant attendentes principaliter ad ipsarum proportiones.

Ponunt enim diapente post diapason, quia duplum non potest esse sine dimidio. Unde volunt hi quod sesqualterum immediate sequatur duplum, ut ternarius qui primus sesqualter est immediate sequitur primum duplum, scilicet binarium. Aiunt enim hi multiplicitatis augmenta superparticularitatis diminutioni rato ordine respondere, ut non omnes multiplices omnes superparticulares praecedant proportiones. Quidnam enim alius est sesqualterum nisi quod in eo superat subsesqualterum quod est illius dimidium, ut ternarius binarium in unitate, quae binarii dimidium est, et similiter senarius quaternarium in binario qui quaternarii medietas est, sic de ceteris? Ex hoc autem patet impossible esse sesqualteram [63] proportionem ad imparem numerum terminari, quia numerus impar integra caret medietate. Item nullus numerus impar potest ad alium quemcumque duplex esse. Omnis enim sesqualter numerum, cui comparatur, in integra illius superat medietate.

Post sesqualteram autem proportionem ponunt hi doctores triplam. Ternarius enim ad unitatem, triplex est qui sesqualter est ad binarium, et, cum immediatius binarium respiciat et sequatur quam unitatem, videtur sesqualtera proportio triplam praecedere. Quod autem tripla proportio quadruplam et sesquitertiam praecedat habitudines, sic patet: Proposito enim aliquo numero, nihil facilius est quam illius duplum oculo vel animo contueri, post dupli autem iudicium, dimidii, ut scilicet illi iungatur numerus qui in medietate vincat illum, post dimidii, tripli, post tripli, partis tertiae, deinde quadrupli. Tripla igitur proportio sesqualteram immediate consequitur secundum tactorum doctorum opinionem, sicut consideratio partis tertiae immediate sequitur considerationem partis mediae.

Hinc est etiam ut tripla proportio sesquitertiam antecedat. Ternarius enim sesqualter est binario quantum superat in parte media, triplex vero, unitati, quae eius pars tertia est. Sed praecedit tripla proportio sesquitertiam, quia ternarius qui primus triplex est praecedit quaternarium qui sesquitertius primus est, et, cum quaternarius immediatius ad ternarium comparetur ad quem | [P2, 182r in marg.] sesquitertius est, quantum ad unitatem ad quam est quadruplex, praecedet sesquitertia proportio quadruplam.

Secundum hos igitur doctores, quadruplex sic se videtur habere ad sesquitertium, ut triplex ad sesqualterum, nam, sicut sesqualter partem respicit mediam, triplex tertiam, sic sesquitertius partem tertiam, quadruplus partem quartam. Et sicut additio partis mediae ad duplam facit proportionem triplam, sic additio tertiae partis ad triplam proportionem inducit quadruplam. Quia igitur, secundum Eubulidem et Hippasum, ordo proportionum hic est: duplum, sesqualterum, triplum, sesquitertium, quadruplum, erit ordo consonantiarum talis: diapason, diapente, diapason <cum> diapente, diatessaron, bis diapason.

Non faciunt hi doctores | [P1, 152v in marg.] mentionem de diatessaron cum diapason, quia non recipitur, secundum eos, inter consonantias.

[64] Capitulum XXVI.

Consonantiarum ordo secundum Nicomachum.

Nicomachus autem Pythagoricus tactas consonantias sic ordinat: diapason, diapente cum diapason, bis diapason, diapente, diatessaron. Et hic quidem sic eas disponitur, ad ipsarum aspiciens proportiones sicut Eubulides et Hippasus, sed hic aliud sentit de tactarum proportionum ordine quam illi.

Praeponit enim omnes multiplices proportiones cunctis comparationibus superparticularibus, tum quia multiplex quilibet in primis suis terminis simplicem respicit unitatem quod nulli superparticulari convenit proportioni, tum quia immediatius nascitur ab aequalitate et in ipsam reducitur. Tum est quia una multiplicitatis species secundum directum ordinem nascitur ex alia, ut tripla ex dupla, quadrupla ex tripla, sic de aliis, ut libro primo visum est.

Superparticularium autem proportionum nulla nascitur ex alia superparticulari, sed quaelibet ex aliqua nascitur multiplici, non secundum ordinem directum, sed conversum, ut sesquateri ex conversis duplicibus, sesquitertii ex conversis triplicibus.

Dicit igitur Nicomachus melius vel convenientius etiam omnes multiplices proportiones praecedere ipsas quascumque superparticulares. Nec sequitur si ternarius immediatius comparetur binario quam unitati, quod proportio ternarii ad binarium prior sit et perfectior proportione ternarii ad unitatem. Immediatius enim comparatur senarius ad quinarium quam ad quaternarium, nec tamem proportio senarii ad quinarium prior est proportione senarii ad quaternarium. Praecedit enim sesqualtera proportio non tantum sesquiquintam, sed sesquiquartam et sesquitertiam. Cum enim unitas prior sit et simplicior binario, prior et perfectior comparatio est illa <qua> quaternarius unitati comparatur quacum confertur binario. Et consimiliter comparatio quaternarii ad unitatem prior est ea quae comparatur ternario. Hunc igitur [65] consonantiae tenent ordinem quem dederint multiplicitatis augmenta et superparticularitatis habitudinis detrimenta.

Secundum hoc igitur consonantiae in multiplicibus fundatae proportionibus ceteras antecedunt et hunc tenent ordinem quem ipsarum tenent proportiones. Et consimiliter est de eis quae in superparticularibus fundantur comparationibus.

Sunt autem tres consonantiae in multiplicibus fundatae proportionibus, scilicet diapason quae in dupla, diapente cum diapason in tripla, bis diapason in quadrupla. Cum igitur duplam proportionem immediate sequatur tripla, et triplam quadrupla, post diapason sequetur immediate diapente cum diapason et, post hanc, bis diapason, deinde diapente; postremo, inter tactas quinque consonantias, ponitur diatessaron. Haec enim in sesquitertia fundatur habitudine, diapente in sesqualtera quae prior est et perfectior est quam sit sesquitertia.

Iste doctor mentionem non facit de diatessaron cum diapason, quia non reputat ipsam esse consonantiam, sed illas dumtaxat quae in multiplicibus et superparticularibus proportionibus, non eas quae in superpartientibus vel quae in mixtis.

Quamvis autem tonus in superparticulari ponatur habitudine, ipsum tamen tacti doctores inter tactas consonantias non ordinant, forsitan quia proportio eius ab aliis superparticularibus sesqualtera sesquitertiaque discontinuatur et voces eius minus concordant quam ipsius diapente et diatessaron quarum proportiones sunt perfectiores et primi numeri ipsarum unitati propinquiores.

Capitulum XXVII.

Unde trahunt consonantiae suam perfectionem.

Prius visum est generaliter res unde trahat perfectionem et quae sunt perfectionis acceptiones. Nunc, antequam consonantiae generaliter secundum perfectionis viam disponantur, in quo specialiter ipsarum iaceat perfectio perscrutetur.

[66] Inter alia duplicem esse perfectionem tetigimus: essentialem scilicet, et accidentalem, et quod essentialem trahit res ex principiis suis essentialibus, non ex materia principaliter, sed ex forma vel utroque, accidentalem vero a proprietatibus communibus vel propriis.

Cum igitur essentialia consonantiae principia soni sint et ipsorum mixtio quae est harmonica modulatio, | [P2, 183r in marg.] gerunt autem soni vicem materiae, et ipsorum debita mixtio vicem formae, sicut visum est libro secundo. Trahit igitur consonantia perfectionem essentialem, qualem habet, non a sonis suis absolute, sed ab ipsorum convenienti mixtione vel unione, ad quam pertinet etiam illius mixtionis maior et maior simplicitas, maior et maior proportionis perfectio. Ad haec enim inspexerunt praetacti doctores consonantias disponendo, scilicet ad sonorum unionem maiorem et maiorem simplicitatem et proportionem.

Et quod proportio ad causam formalem consonantiae pertineat, ex Aristotele probari potest. Nam, <quarto> Metaphysicae loquens de causa formali et quidquid erat esse rei, de hoc exemplificans dicit ut eius quod est diapason duo ad unum vult dicere proportionem duorum ad unum quae est dupla, causam esse formalem et quidquid | [P1, 153r in marg.] erat esse ipsius diapason.

Sed potest intelligi tripliciter proportio dupli ad dimidium: primo, prout respicit terminos numerales, ad res sonoras non contractos; secundo, ut respicit res sonoras, puta duas cytharae, psalterii vel viellae chordas, duplam inter se proportionem continentes; tertio, pro mixtione sonorum quorum unus est quasi duplus, in duplo grossior alio.

Hi autem tres proportionis duplae modi, etsi ad invicem sint distincti, sunt tamen multum connexi, et si quilibet illorum non sit ipsa forma vel modulatio harmonica ipsius diapason, ad ipsum tamen pertinet et per quemlibet illorum diapason cognoscitur et a ceteris consonantiis distinguitur. Sicut autem se habet proportio duorum ad unum ad diapason, sic tria ad duo ad diapente et quattuor ad tria ad diatessaron, et [67] sic de ceteris consonantiarum proportionibus. Non inconvenienter igitur gradus perfectionis maioris et maioris, etiam essentialis in consonantiis multis ex gradibus perfectionis amplioris et amplioris taxari potest ex ipsarum proportionibus specificis.

Hic enim modus eas ordinandi certior inter alios videtur et clarior et ad quem Antiqui magis inspexerunt. Et quidmirum cum proportio et id quod pertinet ad ipsam sit id quod de consonantiis magis inquiritur? Concorditer enim tenentes Antiqui diapason, diapente cum diapason, bis diapason, diapente et diatessaron esse consonantias et non plures, secundum Nicomachum et quosdam alios, quia viderunt ita esse in re, quod scilicet voces illarum invicem magis uniuntur et concordant. Unde hoc proveniat causam, ut potuerunt, inquirentes, ad illarum accedentes proportiones, repererunt illas ceteris esse perfectiores, notiores et simpliciores, quia amplius ad simplicem accedunt unitatem, immediatius ab aequalitate nascuntur et in eandem revertuntur.

Apparet autem proportionum tactarum quinque consonantiarum maior perfectio ex earum generibus et ex specierum gradibus, quia multiplices proportiones et superparticulares, secundum suum genus, ceteris sunt perfectiores: dupla, tripla, quadrupla inter multiplices, sesqualtera et sesquitertia inter superparticulares.

Sed an omnes multiplices superparticulares praecedant vel non ab Antiquis dubitatum fuit.

Tenuit enim Nicomachus quod sic: Melius, inquit, est omnes multiplices proportiones praecedere, superparticulares sequi.

Eubulides vero et Hippasus sesqualteram proportionem ponunt ante triplam et sesquitertiam ante quadruplam, tum quia media pars tertiam praecedit et tertia quartam. Sesqualter autem subsesqualterum in parte vincit media, ut ternarius binarium in unitate, sesquitertius subsesquitertium in parte tertia ut quaternarius ternarium, triplex vero subtriplicem in parte tertia ut ternarius unitatem, quadruplex subquadruplum in parte quarta ut quaternarius unitatem; tum [68] quia ternarius immediatius binario comparatur ad quem sesqualter est, quam unitati, ad quam est triplex, et quaternarius ternario quam unitati. Item non immediatius sesqualtera proportio nascitur ab aequalitate quam tripla et in ipsam resolvitur, quia tam haec quam illa, mediante dupla, et consimiliter sesquitertia et quadrupla, mediante tripla.

Sed his non obstantibus rationabilior videtur Nicomachi sententia:

Primo, quia quilibet multiplex, quantum ad primos et minimos suos terminos, unitatem respicit ad quam terminatur et refertur, quae simplex et indivisibilis est, omnem antecedens multitudinem et compositionem (hoc autem nulli competit superparticulari sed ad numerum quilibet superparticularis terminatur);

Secundo, quia quilibet submultiplex est pars aliquota sui multiplicis ut, aliquotiens sumptus, ipsum praecise reddat et ad ipsius unitatem revertatur (hoc autem nulli competit subsuperparticulari quia subsuperparticularis pars aliquota non potest esse sui particularis);

Tertio, quia cum totum perfectius sit parte, perfectius est in toto quam in parte superparticulari (multiplex autem suum submultiplicem in toto superat quia continet ipsum plus quam semel; superparticularis vero suum superparticularem in parte vincit aliqua, media, tertia vel quarta);

Quarto, quia nullus superparticularis ab aequalitate nascitur vel in ipsam resolvitur nisi mediante multiplici (nullus multiplex, mediante quocumque superparticulari, sed immediate vel mediante multiplici);

Quinto, quia quilibet multiplex ab aequalitate nascitur et resolvitur in eam secundum directum ordinem (superparticularis vero quilibet secundum ordinem conversum);

Sexto, quia multiplex quilibet in suis primis et minimis terminis ex aequalitate, secundum illa tria praecepta primo libro tacta, nasci potest et in ipsam reverti (hoc | [P2, 183v in marg.] autem nulli prorsus superparticulari valet inesse [69] ut, quantum ad primos suos vel minimos terminos, nascatur ab aequalitate et revertatur in ipsam; et huius ratio est quia, in primis terminis superparticularibus, nullo modo continuari | [P1, 153v in marg.] possunt duae vel plures similes superparticulares habitudines).

Ex his causis vel aliis quae tangi possent, videntur proportiones multiplices, secundum suum genus, superparticulares, secundum viam perfectionis, praecedere.

Patet etiam ex dictis aliqualiter responsio ad ea quae in oppositum tacta sunt. Quod enim pars media partem praecedat tertiam concedatur in eodem toto et ubi fit uniformis comparatio ut, in senario, ternarius, qui pars eius est media, praecedit binarium qui eiusdem totius pars est tertia. Ideo comparatio senarii ad ternarium prior est et perfectior comparatione senarii ad binarium, et inde est ut dupla proportio perfectior sit quam tripla, et haec quam quadrupla, et sic in infinitum vadunt multiplices proportiones ad minorem et minorem perfectionem quantum ad talem considerationem. Superat igitur duplex numerus suum subduplum in media subdupli parte, quia bis continet ipsum; triplex vero numerus suum subtriplum in tertia subtripli parte, quia ter illum continet; quadruplex in quarta, quintuplex in quinta, sic deinceps. Sesqualter autem subsesqualterum in media parte superat non sesqualteri, sed subsesqualteri. Ideo longe est alia comparatio dupli ad partem mediam et sesqualteri, et tripli ad partem tertiam et sesquitertii, sed praecedit sesqualtera proportio sesquitertium, sicut comparatio mediae partis tertiae partis comparationem; et procedunt, secundum hoc, superparticulares in infinitum proportiones eundo gradatim ad minus et minus perfectas in genere illo.

Quantum igitur ad multiplices proportiones, quae minor est, illa et perfectior, et, quae maior, imperfectior. Quantum vero ad superparticulares, e converso est, quia inter eas, quae maior est, ipsa est perfectior. Sed conveniunt, quia, cum tam illae quam istae procedant in infinitum ibi et hic in perfectissima status est, non autem in imperfectissima. Est enim [70] dare, inter multiplices, perfectissimam, scilicet duplam, quae minima est inter omnes, et, inter superparticulares, perfectissimam, scilicet sesqualteram, quae inter omnes sui generis maior est.

Sed nec inter multiplices, nec inter superparticulares est dare imperfectissimam cum in infinitum procedant multiplices ascendendo, et superparticulares descendendo. Quod autem mediatius ternarius binarium respiciat quam unitatem, non arguit perfectiorem esse proportionem ternarii ad binarium quam ternarii ad unitatem; alias perfectior esset habitudo quaternarii ad ternarium quam ad binarium, et sic sesquitertia proportio perfectior esset non tantum quadrupla sed dupla proportione. Quod nullus unquam posuit. Tenent enim omnes duplam proportionem perfectiorem esse non modo cunctis superparticularibus habitudinibus, sed similiter cunctis multiplicibus.

Item, licet sesqualteri aeque immediate nascantur ab aequalitate et in ipsam revertantur, sicut triplices (non tamen aequaliter, sed modo perfectiori triplices quam sesqualteri, ut visum est, et consimiliter triplices quam sesquitertii), ex his patet gradus perfectionis proportionum multiplicium inter se et ad superparticulares, et superparticularium inter se.

Sicut autem proportiones multiplices superparticularibus sunt perfectiores, sic superparticulares superpartientibus. Sed perfectionis gradus inter superpartientes non sic notus est, non sic certus sicut inter multiplices et inter superparticulares, quantum ad illarum species. Videntur tamen simplices superpartientes, secundum suum genus, mixtas proportiones praecedere ratione simplicitatis suae, et mixtae ex multiplici et superparticulari mixtas ex multiplici et superpartiente.

Non inconvenienter igitur videtur posse taxari perfectionis ordo inter consonantias ex ipsarum proportionibus, cum proportio ad causam ipsarum formalem reducatur. Talis autem ordo sumi poterit quantum ad gradus proportionis generales et quantum ad specificos vel speciales, prout gradus perfectionis etiam essentialis potest attendi quantum ad hos et illos gradus.

Item nonnullam bonitatem vel perfectionem trahere videntur consonantiae suis a causis materialibus, sonis vel vocibus. Dicitur enim unum psalterium vel organum alio melius vel perfectius non solum ratione melioris dispositionis [71] in uno quam in altero, sed ratione chordarum quae melius sonant et consonantias reddant meliores in uno psalterio quam in reliquo; et similiter est de fistulis in organo isto vel illo, quantum etiam ad voces melius cantat unus alio, melius concordant unius voces quam alterius.

Item, a causa efficiente proxima vel remota, perfectionem aliquam sumere videtur consonantia. Eandem enim viellam dicitur unus perfectius sonare alio et in eodem organo unus perfectius et melius alio ludere; et unus alio melius cantat non solum quia meliorem habeat vocem, sed melius noscit cantandi artem. Sed haec videntur posse reduci ad consonantiae rationem formalem, ut ad principium quo, vel, ad principium quod, scilicet ad totum aggregatum.

Item trahit consonantia perfectionem aliquam a fine, sive finis eius sit speculatio intellectum respiciens, sive usus vel praxis respiciens sensum. Quarundam enim magis placet intellectui cognitio, quarundam minus. Unde aliquarum, quarum usus per se non est, speculatio placet, ut commatis vel alterius; quantum etiam ad praxim et sensum, quaedam perfectiores, quaedam minus | [P2, 184r in marg.] iudicantur. Alii ad has, alii ad alias magis disponuntur. | [P1, 154r in marg.] Placent aliquibus dulciores, aliis rudiores. Quantum autem ad proprietates accidentales aliquas, contigit aliquando consonantias quasdam esse perfectiores alia, quae, secundum proportiones suas et gradus essentiales, imperfectiores sunt illa, ut bis diapente cum diapason vel diapente per se quam haec et diatessaron.

Capitulum XXVIII.

Ordo consonantiarum quantum ad gradus essentiales generales.

Prosequamur ulterius de consonantiarum generaliter sumptarum ordine disponanturque quantum ad ipsarum gradus essentiales generales primo, deinde speciales vel specificos. Postea comparabimus eas quantum ad minorem et maiorem concordiam, quantum ad maiorem et minorem discordiam.

Consonantias generaliter sumptas secundum perfectionis viam ordinare videtur difficile. Hoc autem probat opinionum diversitas. Cum enim antiqui valentes doctores de paucarum [72] ordine consonantiarum dissentiant, quanto magis, si illas omnes, de quibus dictum est, ordinassent, dissensissent.

Sed, si ad consonantiarum aspiciamus proportiones secundum ea quae tacta sunt quantum ad perfectiones quas ex suis proximis trahunt generibus, ipsas disponere aliqualiter videtur facile, non sic quantum ad ipsarum gradus specificos, maxime quoad illas quae in superpartientibus vel quae in mixtis fundantur comparationibus. Possunt autem consonantiae considerari ut ad nomen consonantiae generalissime sumptum vel ad ipsius rationem generalissime sumptam comparantur et ut sic inter ipsas; ordo non est sic, nec inter species, ut suum respiciunt genus. Si enim aequales sunt et coaequae ut sint sub genere, aequales sunt in perfectione quam importat genus in quo conveniunt, quod de ipsis univoce praedicatur. Adhuc possunt invicem conferre consonantiae ut in distinctis et propriis locantur generibus et ut sic potest inter ipsas ordo quidam etiam essentialis perfectionis intueri.

Hoc autem ex ipsarum proportionibus magis erit manifestum. Proportionum quaedam est terminorum aequalium, quaedam terminorum inaequalium; et quae est terminorum aequalium ulterius nec in genera nec in species distinguitur; quae vero terminorum est inaequalium in genera vel in species subalternas maioris et minoris inaequalitatis dividitur. Adhuc tam maioris quam minoris inaequalitatis proportio sub se quinque genera continet vel species subalternas, ut sunt, quantum ad genus maioris inaequalitatis, proportio multiplex, superparticularis, superpartiens, multiplex superparticularis, multiplex superpartiens.

Ista distincta proportionum genera in perfectione, quam important secundum suum genus, distinguuntur essentialiter secundum gradus generales, scilicet sicut species sub eis contentae ut inter se comparantur quantum ad gradus specificos. Sicut enim unitas via perfectionis et simplicitatis omnem praecedit multitudinem et aequalitas omnem inaequalitatem, sic proportio cuiusdam aequalitatis praecedere videtur inaequalitatis quamcumque proportionem. Nam inter proportiones terminorum inaequalium taxatur ordo perfectionis secundum maiorem et maiorem approximationem ad ipsam aequalitatem.

Ideo, sicut tactum est, inter proportiones perfectionis ordo talis inest: aequalitas, multiplicitas, superparticularitas, superpartientitas, multiplicitas superparticularis, multiplicitas superpartiens.

[73] Haec ad consonantias applicantes, dicimus sic: Consonantiae fundantur aut in proportione cuiusdam aequalitatis sonorum suorum, ut unisonus, aut cuiusdam inaequalitatis, ut omnes aliae quae vel fundantur in proportione multiplici, ut diapason cum aliquibus aliis, aut superparticulari, ut diapente, diatessaron et tonus, aut superpartiente, ut semiditonus, ditonus et ceterae quaedam, aut multiplici superparticulari, ut tonus cum diapason et aliae quaedam, aut multiplici surperpartiente, ut semiditonus cum diapason, ditonus cum diapason et aliae multae.

Secundum hoc, igitur, inter consonantias perfectionis ordo taxabitur talis ut primo, inter omnes, ponatur unisonus; secundo, diapason cum ceteris quae in multiplici ponuntur genere; tertio, diapente, diatessaron et tonus (hae solae in superparticulari genere locantur); quarto, semiditonus, ditonus et ceterae praecedentes diapason; quinto, tonus cum diapason cum aliis in multiplici superparticulari proportione fundatis; sexto, semiditonus cum diapason cum ceteris fundatis in genere multiplicitatis superpartientis.

Quare autem unisonus ceteras omnes praecedat consonantias, specialius libro secundo tactum est. Quodsi perfectio simpliciter locum aliquem habet inter consonantias magis videtur competere ipsi unisono quam alicui alteri. Haec enim, etsi de numero sit consonantiarum, prima tamen omnium existens atque sola per se a cunctis aliis condistincta quasi absoluta, extra genus omnium aliarum, sicut eius proportio extra genus aliarum omnium proportionum, collocatur, sicut species aliqua contra genera multa ad modum quo rationale animal, quod est homo, a cunctis aliis animalibus, inter quae genera multa sunt, distinguitur, aliud enim volatile, aliud aquatile, aliud terrestre, sub quibus etiam et alia subsunt animalium irrationalium genera.

Quidquid enim dicat Porphyrius quod sumus animalia rationabilia, nos et dii, secundum "mortale" additum nobis, separat nos a diis. Et Chalcidius super Timaeum Platonis: demones sunt animalia aermaga animo passiva, mente aeterna. Quicquid igitur <isti> dicant et quidam alii Antiqui | [P2, 184v in marg.] qui illam tenuerunt opinionem, verius videtur angelos bonos et malos | [P1, 154v in marg.] nec esse animalia (quia tunc essent corruptibiles, cum animal dicatur animal propter sensum tactus), nec esse rationales [74] proprie prout rationale distinguitur contra intellectuale, quia tunc intelligerent per discursum et ex fantasmatibus, si animalia essent. Sed sunt substantiae intellectuales incorporeae et incorruptibiles non habentes corpora sibi naturaliter unita quae informent, sicut homo qui essentialiter importat aliquid mixtum ex anima rationali et corpore organizato sibi proprio, non angelis. Unde Dominus in Evangelio: Palpate et videte: <quia> spiritus carnem, et ossa non habet, sicut me videtis habere. Et in Psalmo: Qui facis angelos tuos, spiritus. Nec mortale in homine habet rationem propriae et specificae differentiae, cum sequatur conditionem materiae, quae principium est corruptionis, non conditionem formae hominis, scilicet animae rationalis quae est incorruptibilis et immortalis, licet sit adnihilabilis et quaelibet creatura.

Haec incidentaliter propterea tacta sunt, quia sicut animal rationale, quod est homo, est species athoma, distincta contra omnia alia animalia irrationabilia inter quae multa sunt genera, et ipse homo cunctis animalibus prior est et perfectior, sic unisonus inter consonantias species athoma est, divisa a cunctis inter quas multa sunt genera, et tamen haec consonantiarum species, quae est unisonus, ceteris omnibus prior est atque perfectior.

Post unisonum autem quantum ad tactum ordinem, immediate ponuntur hae consonantiae quae in multiplicibus fundantur proportionibus, deinde quae in superparticularibus, postea ceterae, sicut tactum est.

Qualis autem ordo sit inter eas quae in multiplici locantur genere ut inter se comparantur, dicetur in proximo capitulo; similiter de illis quae in superparticularibus.

Si ergo quaeratur quare diapente cum diapason, bis diapason et ceterae generis eiusdem, ut sunt diapente cum bis diapason, quae fundatur in sextupla proportione, ter diapason in octupla, tonus cum ter diapason in noncupla, praecedant diapente, diatessaron et tonum, et hae tres ceteras omnes, ut semiditonum, ditonum, tritonum, secundum tactam viam responderi poterit, quia proportio multiplex, secundum suum genus, prior est et perfectior quam sit superparticularis, et haec quam superpartiens, et haec quam mixta ex prioribus.

Inspiciendo tamen ad aliquas proprietates et ad usum, nihil prohibet diapente, diatessaron, tonum, semiditonum, ditonum perfectiores esse quam sit diapente cum bis diapason, [75] ter diapason et tonus cum ter diapason, vel etiam quam diapente cum diapason et quam bis diapason, quia illae facilioris sunt cantus vel pronuntiationis quam istae quarum voces nimis ab invicem distant et non sunt in usu sicut priores, vel aspiciendo et ad alias quasdam proprietates et ad aliquam simplicitatem et compositionem, unde, quae secundum tactum ordinem sunt priores, secundum illas proprietates erunt posteriores.

Est autem advertendum quod ordo consonantiarum, qui tactus est, non taxatur secundum quod maiores et maiores sunt, vel earum proportiones. Tunc enim quanto maiores essent, tanto perfectiores et omnes illae, quae diapason superarent, cunctis illis perfectiores essent quae diapason antecedunt. Essent etiam perfectiores mixtae proportiones quam simplices et multae superpartientes quibuscumque superparticularibus, cum e converso fit ut superparticularis proportio secundum suum genus quamcumque praecedat superpartientem.

Capitulum XXVIIII.

Ordo consonantiarum generis multiplicis et superparticularis quantum ad gradus earum specificos.

Consonantiae in multiplicibus et in superparticularibus fundatae generibus, quantum ad gradus ipsarum specificos, aut ad genus suum proximum operantur, aut inter se: si primo modo, aequalis ut sic sunt perfectionis, sicut aliae species suis generibus comparatae; si vero comparentur inter se, sic in eis perfectionis ordo reperitur. Hic autem si taxetur ex ipsarum proportionibus specificis quantum ad multiplices, talis erit diapason, diapente cum diapason, bis diapason. His autem alias tres iungere possumus quae sunt diapente cum bis diapason, ter diapason, tonus cum ter diapason (hae enim tres in proportionibus fundantur multiplicibus).

Praeponitur autem ceteris omnibus diapason ratione suae proportionis duplae, scilicet quae ceteris perfectior est et propter causas prius dictas.

[76] Secundo ponitur diapente cum diapason, non ratione sui nominis, sed suae proportionis, scilicet triplae quae immediate inter multiplices duplam sequitur proportionem et post duplam prima omnium immediate terminatur ad simplicem unitatem et directo ordine reducitur ad aequalitatem. Verum est inter diapason et diapente cum diapason multas mediare consonantias, sed harum nulla in multiplici genere locatur, sed in mixto ex multiplici et superparticulari, vel superpartiente.

Tertio, bis diapason ordinatur ratione suae proportionis, quia directo ordine inter multiplices proportiones triplam | [P1, 155r in marg.] immediate sequitur quadrupla. Quod enim Ptolomaeus hanc priori praeposuit et ipsam immediate post diapason disposuit, non fecit hoc ratione suae proportionis numeralis, sed vocum suarum amplioris unionis, | [P2, 185r in marg.] unde vocavit hanc aequisonam, praecedentem vero consonam. Quodsi voces ipsius bis diapason amplius concordent quam diapente cum diapason, singulare est hoc in ea, cum communiter in ceteris consonantiis proportionum multiplicium et superparticularium perfectiori proportioni concordia respondeat perfectior. Sic enim est in diapason, in diapente, in diatessaron et <in> tono. Huius autem singularitatis causam ignoro nisi sit altera earum quae tactae sunt libro secundo in Tractatu de Bis Diapason et quia consonantia imperfectior alia, quantum ad gradus specificos et essentiales, potest esse perfectior quantum ad aliquas proprietates.

Post bis diapason, quantum ad consonantias multiplicium proportionum, ponitur diapente cum bis diapason, cuius proportio a prioribus discontinuatur, quia in sextupla comparatione fundatur.

Mediat autem quinquipla proportio inter quadruplam et sextuplam. Sed in quinquipla nulla fundatur consonantia. Mediaret enim inter semiditonum cum bis diapason et ditonum cum bis diapason. Non habemus autem aliquam consonantiam inter has mediantem. Quodsi esset, ipsa proportionem quadruplam superviginti partientem, in qua fundatur semiditonus cum bis diapason, superaret in superseptipartiente proportione centesimas vicesimas octavas, ut patet in terminis sequentibus: 135 128 27. Est inter extremos positos terminos quinquipla proportio, inter primum et medium terminum superseptipartiens proportio centesimas vicesimas [77] octavas, inter medium terminum et minorem quadrupla super viginti partiens vicesimas septimas. Sed si esset aliqua consonantia in quinquipla fundata proportione, ipsa superaretur a proportione ditoni cum bis diapason quae est quinquipla sesquisextadecima proportione, ut ostendunt sequentes termini: 81 80 16. Est enim inter medium et minimum terminum quiquipla proportio, inter primum et medium sesquioctuagesima. Ex his autem manifeste concludi potest semitonium maius, quod est apotome, non fundari in proportione sesquisextadecima, quia tunc ditonus cum bis diapason superaret consonantiam in quiquipla proportione fundatam in semitonio maiore. Hoc autem falsum est, cum quinquipla proportio vincat proportionem semiditoni cum bis diapason in super<septi>partiente proportione centesimas vicesimas octavas. Ditonus autem cum bis diapason superat semiditonum cum bis diapason in maiore semitonio. Vel clarius potest dici quod suo modo, cum sic sit in consonantiis, sicut in ipsarum proportionibus, et e converso, semiditonus cum bis diapason fundaretur in quinquipla proportione, cum ditonus cum bis diapason fundetur in quinquipla sextadecima proportione. Proportio autem sesquisexta decima parte est ea in qua maius semitonium radicatur in quo praecise ditonus superat semiditonum.

Igitur, quantum ad consonantias in multiplicibus fundatas habitudinibus, post bis diapason immediate ponitur diapente cum bis diapason quae primo ad simplicem multiplicem reddit proportionem inter eas quae sequuntur bis diapason, sicut diapente cum diapason, quantum ad eas quae diapason sequuntur.

Post diapente cum bis diapason locatur ter diapason quae consonantia in octupla fundatur proportione et sic a priore discontinuatur, quia nullam habemus consonantiam in septupla proportione fundatam. Mediaret enim inter tonum cum diapente et bis diapason cuius proportio est septupla sesquinona et, secundum hoc, illa consonantia, medians inter dictas consonantias, semitonium minus, in quo semiditonus superat tonum, divideret. Superat autem septupla sesquinona proportio septuplam in sesquisexagesima tertia proportione, ut ex numeris patet sequentibus: 64 63 9. Est inter medium terminorum positorum et minorem septupla proportio, quia maior minorem septies habet praecise. Inter [78] extremos terminos est septupla sesquinona proportio, inter primum et medium sesquisexagesima tertia proportio. Sed superatur sextupla supertripartiens quartas proportio, in qua fundatur tonus cum diapente et bis diapason, a septupla in sesquivicesima <septima> proportione, ut patet hic: 28 27 4. Inter extremos hos terminos septupla consistit proportio inter maiorem et medium sesquivicesima (seu sesquivigesima) septima, inter medium et minorem sextupla supertripartiens quartas; ideo et cetera. Ter diapason igitur, quantum ad consonantias multiplicium proportionum, immediate sequitur diapente cum bis diapason.

Post ter diapason sequitur tonus cum bis diapason, quae consonantia in noncupla fundatur habitudine. Haec ultima maximaque consonantia est inter eas de quibus aliquid prius dictum est.

Sunt igitur sex consonantiae multiplicium proportionum, ordinem tenentes qui tactus est, ab ipsarum sumptum proportionibus quae | [P1, 155v in marg.] bene in senario ponuntur numero qui perfectus est, ex omnibus suis constans partibus aliquotis.

Proportiones autem multiplices, secundum suum genus, ceteris sunt perfectiores.

Nec dico quin sint aliae consonantiae in natura possibiles in multiplicibus fundatae proportionibus, ut diapente cum ter diapason in proportione duodecupla (patet hoc in terminis | [P2, 185v in marg.] his: 48 6 4), diapente cum diatessaron et ter diapason, sive quater diapason, in sextadecupla proportione, prout continetur in sequentibus numeris: 48 6 4 3. Sed de his et aliis talibus in natura possibilitatem insinuare sufficiat.

Dico ulterius quod inter consonantias superparticularium proportionum, etsi non sit perfectionis ordo, ut ad genus suum conferuntur proximum, ut tamen inter se, quantum ad gradus specificos, comparantur invicem, ordinantur. Sunt autem tres quarum ordo, secundum ipsarum specificas proportiones, talis est: diapente, diatessaron, et tonus quo utimur.

Primo igitur inter has ponitur diapente, quia fundatur in sesqualtera proportione quae prior est et perfectior est inter omnes superparticulares et voces eius magis concordant inter cunctas in superparticularibus habitudinibus radicatas.

[79] Secundo loco ponitur diatessaron sesquitertiam habentem proportionem quae post sesqualteram perfectior <est> inter superparticulares et immediate sequitur illam.

Tertio loco disponitur tonus qui, forsitan, quia discontinuatur a praedictis et elongatur nimis et eius proportio quae est sesquioctava a praedictis, scilicet sesqualtera et sesquitertia, multum recedit longeque minus voces eius concordant quam praecedentium, inter consonantias ab Antiquis non disponitur.

Istae sunt tres consonantiae solae in superparticularibus fundatae proportionibus. Ante diapente enim nulla est possibilis maior consonantia quae in superparticulari fundetur genere, quia sesqualteram proportionem nulla maior superparticularis praecedit, nec est aliqua possibilis quae mediet inter diapente et diatessaron et fundetur in superparticulari proportione, quia nulla superparticularis habitudo mediat inter sesqualteram et sesquitertiam.

Utrum autem inter diatessaron et tonum aliqua sit possibilis consonantia in proportione superparticulari fundata similiter et post tonum? Dicendum possibile esse chordas vel res alias sonoras, inter quas est sesquiquarta, sesquiquinta, sesquinona, sesquisextadecima, vel alia superparticularis proportio commixtionem facere sonoram, sed ex commixtione talium non nascitur consonantia qua utamur, quia ad illas non nascuntur toni integri vel semitonia, sed aliquid plus vel minus. Unde ex mixtione sonorum sesquiquartae proportionis nascitur sonoritas maior tono cum semitonio, minor tamen tonis duobus. Hoc apparet ex his quae dicta sunt libro secundo in capitulo De Semiditono et Ditono, ubi proportiones consonantiarum istarum ad superparticulares, inter quas mediant, comparantur. Consimiliter commixtiones aliarum proportionum superparticularium a sesqualtera, sesquitertia et sesquioctava, quia ineptae sunt et confusae, sensui displicentes, ad pronuntiandum inhabiles, in numero consonantiarum receptae non sunt. Ideo increpatur Architas a Ptolomaeo et Boethio, quia in descriptione tetrachordarum talibus usus est mixtionibus, ut quinto patebit libro.

[80] Haec autem praeter ea quae dicta sunt ut amplius appareat, quare et Pythagorici in solis multiplicibus et superparticularibus proportionibus non in omnibus sed in dupla, tripla, quadrupla, sesqualtera, sesquitertia et sesquioctava musicales consonantias fundari dixerint, non in superpartientibus, non in mixtis, auctoris Quaestionum in Musica verba licet recitare:

Causa, inquit, quare in multiplicibus et superparticularibus consonantiae fundentur musicales connumerabilitas est atque commensuratio. Sua enim commensurabilitate quodammodo sic cognatae sunt ut in mundo, in mobilibus, in potentiis non sint aliqua quae sibi concorditer copulentur, si non haec germana proportionum habitudo.

Est autem connumerale et commensurabile ubi maior terminus aliquotiens sumptus suum praecise, cui comparatur, reddit totum. Patet in multiplicibus, ut in duplicibus minor bis sumptus suum reddit maiorem, in triplicibus ter, in quadruplicibus quater.

In superparticularibus vero, pars, in qua maior vincit minorem, aliquotiens sumpta, metitur utrumque ut in sesqualteris bis sumpta minorem facit, ter sumpta maiorem, in sesquitertiis, ter sumpta minorem, quater maiorem, semperque ibi differentia qua maior minorem superat mensura communis duorum illorum est.

Haec autem commensurabilitas nec in superpartientibus, nec in mixtis locum habet: non in superpartientibus, ut sunt 5 et 3, vel 7 et 3. Ibi enim nec minor maiorem metitur, ut in multiplicibus, nec differentia maioris ad minorem mensura communis illorum est sicut in superparticularibus. Idem patet in mixtis, ut sunt duo ad quinque, qui est duplus sesqualter, ut sunt 2 ad 7 qui est triplus sesqualter. Idem fit in multiplici superpartiente, ut sunt 3 ad 8 qui est duplex superbipartiens, ut sunt 3 ad 11 qui est triplex superbipartiens.

Vides igitur ut huiusmodi proportiones nec simpla quantitate, nec suis differentiis metiantur, nec partibus, quibus differunt, augmentantur, nec in eas resolvuntur atque idcirco inconnumerati et <in>commensurati iure nominentur. | [P1, 156r in marg.] Porro, sicut oculis torta ac recta discernimus et quaelibet <visui> [81] <subiacentia>, ita, cum praefatis natura nostra partibus compacta constet, voces commensurabilibus intervallis convenientes auditum oblectant. Ceterae sunt dissonae.

Nec solum commensuratio et magna cognatio locum habent in multiplicibus et superparticularibus proportionibus ut quaelibet per se sumitur, sed ut ad invicem comparantur. Nam ex sesqualtero et sesquitertio duplum provenit, ex duplo et sesqualtero triplum, ex triplo et sesquitertio quadruplum. Adhuc triplum ad duplum sesqualterum est, quadruplum ad triplum sesquitertium, quintuplum ad quadruplum sesquiquartum, sextuplum ad quintuplum sesquiquintum, et sic in infinitum superparticulares cum multiplicibus, et e converso, connectuntur ut, non immerito, ex utrisque simul musica procreari dicatur.

Constat igitur convenientes sonos ex convenientibus sibi numeris concordiam sumere.

Ulterius dicit hic actor quod ultra quadruplum concinentiarum modus non extenditur, quia hunc modum sonis natura tribuit ut, si per singula septennarum vocum discrimina singulae diapason disponantur, iam ultra progredi duplae symphoniae non possint. Ideo etiam, infra partem tertiam, idest epitritum, coartantur intervalla, quia proportiones minores, ut sesquiquarta, sesquiquinta, et huiusmodi, nec cum duobus tonis, nec cum tono, cum dimidio, sunt commensurabiles, sed semper plus vel minus inducunt in sonis, nisi quod solum sesquioctavum intervallum admittitur, quia respondet sibi verus et integer tonus cuius proportio solius sesqualteri et sesquitertii comparatione procreatur. Igitur solis sesquioctavis cum sesqualteris et sesquitertiis, commensurabilitas est.

Sola rursus sesqualtera et sesquitertia intervalla cum duplis, triplis et quadruplis commensurata sunt, quibus illorum complentur intervalla. Sesquiquartis vero ac sesquiquintis ac reliquis decrescentibus intervallis, nec cum duplo, nec cum triplo, nec cum quadruplo quicquam commensurationis est. Idcirco praeter musicam seponuntur.

[82] Ut autem hoc pateat, a duodenario, quo minimo numero potest explicari, incipiam. Is numerus enim viginti quattuor numerum sui quantitate bis metitur, parte sui dimidia XVIII, parte sui tertia XVI, parte sui quarta XV. Sed XVIII numerus, qui est ad XII sesqualter, fit ad XXIIII epitriti ratione commensurabilis. Porro XVI, numerus qui est ad XII epitritus, fit ad XXIIII sesqualtera ratione commensuratus; XV vero numerus qui ad XII sesquiquartus est, cum XXIIII commensuratus non est sed supertripartiente forma inconsonus. Vides igitur, quia mox, ut intra sesquitertium intervalla coartari decipiunt communem rationem superparticulares cum duplis non habent.

Haec sunt verba sed abbreviata tacti doctoris qui vult commensurabilitatem proportionum causam esse consonantiae, incommensurabilitatem dissonantiae. Haec autem commensurabilitas in multiplicibus et superparticularibus proportionibus nascitur ex rationibus libro tactis primo et secundo propter quas Pythagorici in solis multiplicibus et superparticularibus, et si non in omnibus, fundari dixerunt consonantias musicales.

Sed videtur aliquibus multiplicem esse commensurabilitatem, unam quae respicit proportiones numerales, de qua dictum est, aliam quae sonorum mixtiones. Et haec duplex est: una communior, alia specialior.

Prima harum duarum certum requirit numerum tonorum et semitoniorum in consonantiis quae semitonia transcendunt et tonum, ut nihil plus, nihil minus contineant, utque aliqua sonorum mixtio includat comma praecise, nihil ultra, nihil minus, ut semitonium minus vel maius, vel tonum, vel tonum cum semitonio minore, vel duos tonos, vel duos tonos cum uno minore semitonio, ut diatessaron, vel tres tonos ut tritonus, vel tres tonos cum minore semitonio, ut diapente, sic de ceteris consonantiis de quibus actum est.

Alia est vocum commensuratio, priorem praesupponens, superaddens dulcem vocum concordiam sensui placentem. Modo dico quod, ad hoc, ut aliqua vocum commixtio consonantiam importet qua utamur et quae in nostro contineatur monochordo, requiritur ut observet primam tactam vocum commensurationem et quia talis vocum commensuratio stat in [83] multis sonorum mixtionibus quibus certae respondent superpartientes proportiones, simplices vel mixtae, ut est comma, semitonium minus vel maius, semiditonus, ditonus et huismodi quas omnino non refutat sensus, recipiuntur tales mixtiones in numero consonantiarum sumptarum communiter.

Aliae vero sonorum mixtiones, quibus tacta commensuratio non convenit, a numero consonantiarum quibus utimur penitus excluduntur quamvis ceterae numerorum eis respondeant proportiones, etiam commensurabilium. Sic enim quandoque fit ut commensurabilitati numerorum in aliquibus superparticularibus et multiplicibus proportionibus nulla praedictarum respondeat commensuratio vocum, ut sesquiquartae proportioni et quintuplae quae nascitur ex quadrupla et sesquiquarta, quia talis mixtio continet aliquid ultra tonum cum minore semitonio nec pervenit ad tonos duos, et consimiliter est de sesquiquinta, sesquisexta et ceteris cunctis superparticularibus habitudinibus, | [P1, 156v in marg.] tribus tandem exceptis, idest sesqualtera, sesquitertia et sesquioctava.

Etiam quod dictum est de quintupla verificatur de septupla quae per sesquisextam sextuplae iunctam inducitur, nam ad septuplam proportionem sequitur sonorum mixtio medians inter tonum cum diapente et bis diapason et semiditonum cum diapente et bis diapason. Et, secundum hoc, esset aliqua consonantia quae superaret tonum, nec tamen attingeret ad semiditonum. Talem autem vocum incommensurabilitatem supra, libro secundo, cum tractaretur de his quae ad consonantiam qua utamur requiruntur, dedimus intelligere per vocum incertam et confusam mixtionem. Dixi autem "consonantia qua utamur", quia in illis incommensurabilibus vocibus vel sonis bene est mixtio talis qualis. Et tales ineptae mixtiones amplius apparerent in chordis sonoris secundum tactas proportiones sesquiquartas, sesquiquintas, et consimiles dispositis.

Aliae sunt consonantiae in quibus tres tactae salvantur commensurationes, ut illae quinque quas solas Pythagorici consonantias vocaverunt, id est diapason, diapente cum diapason, bis diapason, diapente, diatessaron. His excellentissime nomen competit symphoniae. Iam, ex dictis, patet solam numerorum commensurationem ad consonantiam minime sufficere, sed concurrit ad hoc commensuratio in sonis, ut habeat consonantia aliquid quod respiciat tam in intellectum quam etiam sensum salventurque in ea duo illa quae ad harmonicam concurrunt regulam, iudicium, scilicet intellectus, quantum ad commensurabilem numerorum proportionem, iudicium etiam sensus quantum ad convenientem sonorum mixtionem ut, ibi, sic ratio proportiones inveniat quod sonorum mixtionibus inde provenientibus sensus consentiat.

[84] Haec autem harmonica regula, quantum ad mixtiones sonorum inaequalium, veritatem habet de tactis quinque consonantiis quibus tamen adiungitur tonus propter tactas rationes, et illae consonantiae tanto sunt perfectiores quanto et ipsarum commensurationes in numeris et sonis.

Non videtur autem inconveniens si cum diapason, diapente cum diapason et bis diapason, tres aliae iungantur consonantiae, de quibus aliquid actum est, quae in multiplicibus fundantur proportionibus, ut sunt diapente cum bis diapason, ter diapason, et tonus cum ter diapason, quia in his, puto, tres tactae salvantur commensurationes, etsi non aeque perfecte, ut in ceteris. Sed propterea in usu non sunt, quia nimis altae sunt, vocis humanae possibilitatem superantes.

Et, secundum hoc, multiplicium proportionum consonantiae in senario sunt numero qui perfectus est. Sic convenienter consonantiae superparticularium proportionum in numero sunt ternario, qui perfectus est. De tribus enim, secundum Philosophum, primo dicitur omne; omne autem et totum et perfectum idem, et omnis perfectio in tribus consistit ad imitationem perfectissimae Trinitatis in Divinis Personis. Unde, in creatura qualibet trinitas repraesentatur divina per partes imaginis expressius, vel per partes vestigii imperfectius et obscurius.

Sunt igitur novem consonantiae, quantum est ex parte proportionum ipsarum ceteris priores, ceteris perfectiores, etsi non quantum ad aliquas proprietates et usum, et illarum sex in multiplicibus fundantur proportionibus, tres vero in superparticularibus quae simul resumantur. Et exemplificetur de ipsis sic:

(Vide p. 85) [cf. JACSP4 05GF]

Sic igitur positus est ordo consonantiarum fundatarum in multiplicibus et superparticularibus proportionibus, qui longe alius est ab eo qui taxatus est secundum viam imperfectionis. Secundum illum enim, consonantia quae hic ceteris est posterior, cunctis hic positis est prior.

Praeter tactas novem consonantias, ceterae omnes in superpartientibus vel mixtis fundantur proportionibus.

[85] [CSMIII/4:85; text: G, Diapason, Diapente cum diapason, Bis diapason, [P1 157r in marg.] Diapente cum bis diapason, Ter diapason, Tonus cum ter diapason, [P2 186r in marg.] Diapente, Diatessaron, Tonus] [JACSP4 05GF]

[86] Est autem advertendum, quantum ad exempla novem consonantiarum, quod voces superiores in exemplo cuiuslibet consonantiae quam exprimit littera medians inferioribus debent combinari, prima superior cum prima inferiore, secunda cum secunda, sic de aliis. Unde tot sunt voces inferius quot superius.

Quare autem non ordinavimus consonantias proportionum superpartientium et mixtarum secundum earum proportiones, sicut praecedentes secundum gradum maioris et minoris perfectionis, consequenter inquiratur.

<Capitulum XXX.

Quod non sic potest ordo taxari perfectionis inter consonantias proportionum superpartientium et mixtarum, sicut multiplicium et superparticularium.>

Illae consonantiae convenienter, secundum perfectionis viam a proportionibus sumptam, valent ordinari, quarum non modo notae sunt proportiones sed etiam gradus maioris et maioris perfectionis inter illas notus et certus est. Hoc autem de solis illis consonantiis verum videtur quas iam disposuimus, quae scilicet in multiplicibus vel superparticularibus locantur generibus, non de ceteris quae in mixtis et in superpartientibus. Et quod ita sit declaretur primo de superpartientibus comparationibus, deinde de mixtis.

Gradus perfectionis inter proportiones superpartientes aut attenditur procedendo ad minores et minores proportiones sicut est in multiplicibus in quibus tanto proportio perfectior est quanto minor (quae enim inter illas est minima ipsa est perfectissima, sicut est proportio dupla et quae respectu alterius est maior et imperfectior), aut attenditur perfectionis gradus inter dictas proportiones secundum processum ad maiores et maiores habitudines, ut est inter superparticulares proportiones (in eis enim quae est respectu alterius maior et perfectior). Ideo sesqualtera proportio, quae maxima est inter illas, ipsa perfectissima est.

[87] Convenienter autem perfectionis status in multiplicibus consistit in minima, in superparticularibus in maxima, ut quae sit perfectissima, tam ibi quam hic notum esset, quia vadit in infinitum, hic et ibi, processus ad imperfectiores ut non sit dare imperfectissimam in actu, cum non sit assignare maximam inter multiplices, nec minimam inter superparticulares.

Superpartientium autem proportionum, etsi, quantum ad aliquas ipsarum comparationes, quae sit maior et quae sit minor sciri possit et certum sit et clarum, non sic tamen quantum ad omnes, quia, quae uno modo ceteris sunt maiores, secundum alium modum illis sunt minores.

Dictum enim est supra, libro tertio, quod inter superpartientes duplex considerari potest ordo:

Quidam secundum quod superpartiens in pluribus et pluribus suum subsuperpartientem | [P1, 157v in marg.] superat partibus, scilicet, in duabus, in superbipartientibus, ut hic: 5 3; in tribus, in supertripartientibus, ut hic: 7 4, in quattuor, in superquadripartientibus, ut hic: 9 5, sic deinceps.

Alius, prout in quolibet tacto genere ad maiores et maiores itur numeros, ut quantum ad superbipartientes est superbipartiens tertias inter 5 et 3, superbipartiens quintas inter 7 et 5, | [P2, 186v in marg.] superbipartiens septimas inter 9 et 7, superbipartiens nonas inter ll et 9, sic ulterius; similiter, quantum ad supertripartientes supertripartiens quartas inter 7 et 4, supertripartiens quintas inter 8 et 5, supertripartiens septimas inter 10 et 7, sic ulterius.

Et consimiliter est de superquadripartientibus, superquinquipartientibus, et sic deinceps de talibus generibus vel sub alterius speciebus.

Modo dico quod, quantum ad priorem iam tactum ordinem, ascensus est ad maiorem et maiorem proportionem. Maior enim est proportio supertripartiens, in quantum supertripartiens quam superbipartiens, et superquadripartiens quam supertripartiens, superquinquipartiens superquadripartiente, sic ulterius. Tactus ordo similis est discretae quantitati processuique numeri multiplicis.

Quod autem, secundum tactum ordinem, processus sit ad maiores et maiores proportiones, praeter ea quae alias de hoc dicta sunt, sic patet: Maior est proportio inter 7 et 4 quam inter 5 et 3, et inter 9 et 5 quam inter 7 et 4, sic ulterius. [88] Dictum enim est supra, libro tertio, proportionem quamcumque superpartientem minorem esse quacumque multiplici proportione etiam quam sit dupla quae inter multiplices, ut saepe dictum est, minima est.

Hoc principium nobis ad multa valere potest. Arguatur sic: Illa superpartiens proportio maior est alia quae de prope magis ad duplam accedit quam ea quae minus. Sed proportio, quae est inter 9 et 5, magis accedit ad duplam, quae est inter 10 et 5, quam ea, quae est inter 7 et 4, ad duplam, quae est inter 8 et 4; et haec, quae est inter 7 et 4, ea, quae est inter 5 et 3, ad duplam existentem inter 6 et 3. Ad hoc enim, ut superquadripartiens proportio quae est inter 9 et 5, reducatur vel attingat ad duplam, quae est inter 10 et 5, sufficit sesquinona proportio. Ad hoc vero ut supertripartiens habitudo, quae est inter 7 et 4 ad duplam proveniat existentem inter 8 et 4, sesquiseptima deest proportio quae maior est quam sit sesquinona, et, ad hoc, maior est sesquiquinta quam sesquiseptima. Ipsa autem sesquiquinta iuncta superbipartienti, quae est inter 5 et 3, provenit ad duplam existentem inter 6 et 3.

Tactus ergo processus ad maiores et maiores proportiones superpartientes videtur satis esse certus ut maior sit supertripartiens superbipartiente et superquadripartiens supertripartiente, et sic ulterius procedat maioritas.

Quantum autem ad alium tactum ordinem, secundum quem, in quolibet tacto genere processus est ad maiores et maiores numeros, servata differentia eadem inter illos, ut, quantum ad superbipartientes, est quidam superbipartiens tertias, ut quinque se habent ad tria, alius superbipartiens quintas inter 7 et 5, alius superbipartiens septimas inter 9 et 7, sic in infinitum, dico processum hunc, quantum ad gradus maioritatis, esse contrarium praecedenti, quia fit hic descensus ad minores, minores et minores proportiones, licet fiat ascensus ad numeros maiores et maiores. Maior enim proportio est superbipartiens tertias quam superbipartiens quintas, et haec maior est quam superbipartiens septimas, et sic in infinitum vadit processus ille secundum diminutionem. Et hoc patet non solum per illius arithmeticae medietatis [89] proprietatem quod, servata aequalitate differentiarum, in minoribus numeris maior est proportio et in maioribus minor, sed per principium prius tactum. Minus enim distat a dupla proportione superbipartiens tertias, quae est inter 5 et 3, quam superbipartiens quintas, quae est inter 7 et 5, et haec quam superbipartiens septimas quae iacet inter 9 et 7. Et hic processus, qui tendit ad minores et minores proportiones, satis certus est.

Quantum autem ad hunc processum, est dare maximam proportionem in quolibet tacto genere, non autem minimam. Inter superbipartientes maxima est superbipartiens tertias, inter supertripartientes supertripartiens quartas, inter superquadripartientes superquadripartiens quintas, sic de ceteris. Qualis enim est processus in superbipartientibus, talis est in aliis speciebus vel generibus. Sed, quantum ad alium ordinem prius tactum, e converso est, quia secundum illum dare est minimam, non maximam. Minima enim est superbipartiens.

Possunt autem tacti superpartientium proportionum ordines ad invicem multipliciter combinari: uno modo, superbipartientes proportiones inter se, vel supertripartientes inter se, vel superquadripartientes, sic de ceteris, et, quantum ad hoc, satis potest sciri quae maior est et quae minor, ut est dictum.

Alio modo, comparari possunt superbipartientes ad supertripartientes vel ad superquadripartientes, vel ceteras alias species.

Et hoc potest multipliciter fieri:

Uno modo regularius: prima species superbipartientium primae speciei supertripartientium vel primae speciei superquadripartientium, sic de ceteris, vel secunda secundae, tertia tertiae, quarta quartae, sic ulterius, et secundum hunc comparationis modum sciri potest duarum proportionum quae sit maior | [P2, 187r in marg.] et quae minor. Maior enim est prima species superquadripartientium, scilicet superquadripartiens quintas, quam prima species supertripartientium, scilicet quam supertripartiens quartas, et haec quam superbipartiens tertias. Adhuc secundum hanc comparationem, maior est supertripartiens | [P1, 158r in marg.] quintas quam superbipartiens quintas. Et consimiliter maior est tertia species supertripartientium tertia specie superbipartientium, et quarta quartae, quinta quintae, sic de ceteris. Et quod ita sit ex principio prius tacto potest sciri.

[90] Aliter autem superbipartientes supertripartientibus et aliis ceteris speciebus possunt comparari, quia prima species superbipartientium secundae, tertiae, sic de ceteris, vel secunda species, tertia, quarta vel quinta, sic de aliis conferri potest primae speciei supertripartientium proportionum, vel primae superquadripartientium sic de consimilibus comparationibus.

Et, quantum ad tales comparationes, grandis intricatio reperitur inter eas ut non sit semper facile indicare duarum talium proportionum quae sit maior et quae minor. Quamvis enim prima species superbipartientium proportionum minorem importet proportionem quam prima species supertripartientium, et haec quam prima species superquadripartientium, sic de ceteris, ut est dictum, primae tamen speciei super<bi>partientis habitudinis proportio maior est proportione secundae speciei supertripartientis comparationis. Maior enim est proportio superbipartiens tertias quae est inter 5 et 3, quam supertripartiens quintas, quae est inter 8 et 5 et quam supertripartiens septimas, quae est inter 10 et 7. Licet igitur supertripartiens proportio, in quantum supertripartiens maior sit proportione superbipartiente, non est tamen omnis supertripartiens maior omni superbipartiente, etiam nec omnis superquadripartiens, superquinquipartiens, supersextipartiens, vel ultra procedas. Video enim quod supertredecimpartiens, quae est inter 27 et 14, longe maior est quam sit superquinquipartiens quae consistit inter 11 et 6. Et tamen proportio minoris semitonii longe minor est proportione semiditoni. Fundatur autem semitonium minus in habitudine super 13 partiente, semiditonus autem in proportione superquinquipartiente. Sed provenit illud quia proportio superquinquipartiens vicesimas septimas, quae est inter 32 et 27, in qua fundatur semiditonus, satis maior est quam sit proportio super 13 partiens ducentesimas quadragesimas tertias in qua diesis radicatur.

Magna est igitur intricatio inter superpartientes proportiones, nec est facile iudicare de qualibet altericuique comparatae an maior illa sit vel potius minor. Quae enim, secundum unum modum, videtur altera maior, sed, alium modum, est minor quam illa. Si igitur perfectionis gradus inter [91] consonantias superpartientium proportionum ex earum taxetur proportionibus, sive ex maioritate, sive ex minoritate, cum ordo proportionum illarum, quantum ad multa, nimium sit intricatus et non clarus, nec erit, secundum hoc, consonantiarum illarum, secundum viam perfectionis, ordo manifestus.

Item, quantum ad consonantias multiplicium proportionum et superparticularium, videmus communiter illas esse perfectiores quae in perfectioribus fundantur proportionibus, sive maior perfectio arguatur ex minore proportione, ut in multiplicibus, sive ex maiore, ut in superparticularibus. Sic autem non est de consonantiis superpartientium proportionum, quia communiter nec maioritas proportionis superpartientis arguit consonantiam in ipsa fundatam esse perfectiorem, nec minoritas (non maioritas, quia tunc tritonus perfectior esset consonantia vel minus imperfecta quam semiditonus et quam ditonus; nec minoritas arguit hoc, cum semitonia maiorem important discordiam quam semiditonus). Ex his videtur gradum perfectionis consonantiarum superpartientium proportionum ab earundem proportionibus sumptum ad plenum, nec clarum esse, nec facilem.

Quodsi ita est de consonantiis proportionum simplicium superpartientium, multo amplius idem videtur de consonantiis in mixtis fundatis proportionibus, quia, inter mixtas proportiones, non pauciores sed plures continentur intricationes quam in simplicibus. Quandoque enim proportio quae maior est ratione multiplicitatis, minor est alia ratione superparticularitatis vel superpartientitatis, vel e converso.

Et idcirco quia doctrina <prudentium> debet esse facilis, forsitan antiqui musici doctores non solum consonantias proportionum superpartientium, proportionum etiam mixtarum, non ordinaverunt, sed nec ipsas esse consonantias reputaverunt. Sufficiat igitur de illis ordo prius tactus, quem habent secundum viam imperfectionis, quia ille magis eis videtur competere ut, cum sint imperfectae, eis imperfectionis ordo respondeat, eis sufficiat, eis adaptetur, quamvis inter illas aliquae perfectius, aliquae minus discordent, ut tangetur.

[92] Capitulum XXXI.

Quid sit concordia et quid discordia.

Antequam de consonantiis, quantum ad concordiam et discordiam, disseratur, quid hic sint et qualiter distinguantur, videatur.

Concordia generaliter sumpta, prout extenditur ad perfectam, imperfectam et mediam, est sonorum distinctorum simul tempore productorum placens apud sensum permixtio. Importat vocalis vel sonora concordia, secundum quod de ea nunc loquimur, mixtionem sonorum distinctorum duorum vel plurium, sicut consonantia. Nec proprie miscentur | [P2, 187v in marg.] ad invicem soni, nisi chordae tempore simul sint producti.

Non sufficit autem hoc ad concordiam nisi talium sonorum mixtio placeat et grata sit auditui. Et, in hoc, concordia distinguitur a discordia. Est enim discordia sonorum distinctorum simul tempore productorum apud sensum dura displicensque permixtio.

Igitur tam concordia quam discordia dicunt quandam vocum vel sonorum mixtionem. Quod si placeat auditui, ad sonos bene dispositos dicitur concordia, si non discordia. Et quod placeat venit ex apta convenientia et proportione vocum miscibilium. Quod vero displiceat ex opposita provenit causa, quia non sunt illae voces apte natae invicem | [P1, 158v in marg.] misceri vel uniri unione quae nata sit sensui.

Ideo cum mixtio sit miscibilium alteratorum unio, magis proprie locum habet in vocibus concordantibus quam in discordantibus. Miscibilia enim in mixto non manent sub propriis formis sed alteruntur et fit unum tertium ex illis quod mixtum dicitur, ut patet in materialibus elementis. Suo autem modo sic fit in concordantibus simul venientibus ad auditum distinctis sonis.

Non sic autem est de sonis discordantibus sed, propter repugnantiam unius ad alterum, quilibet quasi per se, sub propria forma, sine alteratione, nititur sensui se facere et, propterea, sensui displicet illorum sensatio. Dicuntur tamen tales soni misceri pro quanto simul se faciunt in medio et apud auditum, quia simul tempore causati sunt sed non miscentur ad concordiam, sed discordiam.

[93] Quamvis autem sensus iudicet aliquos sonos concordare, aliquos non, et, quantum ad concordantes, aliquos magis, aliquos minus concordare dicat, et similiter in discordantibus, non est tamen sensus causa concordiae in concordantibus, nec discordiae in discordantibus, sed provenit hoc naturali ex proportione miscibilium vocum vel in proportione ex partibus principalibus talium consonantiarum, seu causis aliis essentialibus vel accidentalibus, quas etsi non noscat sensus, percipere potest eas intellectus.

Discernit igitur sensus inter sonos concordantes et discordantes, sed propter quid proveniat, hoc ignorat.

Capitulum XXXII.

Concordiae distinctio.

Concordia, secundum auctores musicos, in perfectam, imperfectam et mediam distinguitur.

Perfecta concordia est sonorum distinctorum sibi permixtorum unitorumque veniens ad aurem dulcis et uniformis iucundaque melodia. Vel sic describatur: "Concordia est distinctorum sonorum sibimet permixtorum se compatientium harmonia dulciter ad aurem uniformiterque proveniens."

Per hoc quod concordia requirit sonos distinctos invicem permixtos, satis datur intelligi sonos concordiam facientes simul esse productos; alias invicem proprie non essent permixti.

Additur autem "se compatientium", ut, per haec et alia quae sequuntur, concordia separatur a discordia in qua, etsi distincti soni qualitercumque misceantur, non tamen ad concordiam faciendam se <compatiuntur>, quia repugnat ipsorum naturae.

Additur ulterius "dulciter ad aurem uniformiterque proveniens", quia soni concordantes non tantum inter se, quantum in natura sua est, se compatiuntur, sed etiam apud auditum cuius sunt obiectum. Quod datur intelligi per hoc quod apud [94] illum dulciter suaviterque proveniunt. Unde fit ut, propter bonam ipsorum unionem, unus alium non praeveniat, sed uniformiter illi praesentetur ut unus ex illis tertius mixtus fiat sonus gratus sensui in ipso delectationem inducens, si sit ad hoc dispositus. Non enim bona saporum confectio mala censenda est, etsi febricitanti non placeat; sic nec sonorum bona commixtio mala est, quamvis sensum ad hoc indispositum laedat. Actus enim in patiente sunt disposito.

Est autem intelligendum quod positae concordiae descriptiones multum conveniunt cum his quas de consonantia ponit Boethius, et tactae sunt supra. Intendit enim Boethius solas illas describere consonantias quarum concordant voces. Nam in illarum altera ponitur concordia in recto quasi loco generis cum dicitur: Consonantia est dissimilium inter se vocum in unum redacta concordia, et, secundum hoc, concordia, si sit ibi vera definitio, de essentia est consonantiarum descriptarum; huic autem satis alia, quantum ad rem, concordat definitio qua dicitur: Consonantia est acuti soni gravisque mixtura suaviter uniformiterque auribus accidens.

Dantur autem definitiones illae de perfectis et appropriatis consonantiis quae ab omnibus Antiquis et Modernis in consonantiarum numero receptae sunt, et quibus in numeris perfectiores respondent proportiones, multiplices scilicet vel superparticulares, quae magis ad unitatem et aequalitatem accedunt. Quodsi Antiqui illas consonantias reputaverint perfectas quibus tactae competunt descriptiones, nos confidentius illas poterimus perfectas reputare concordias quibus iam positae descriptiones conveniunt.

Capitulum XXXIII.

Concordiae perfectae divisio.

Quia concordia dicit mixtionem sonorum distinctorum inter se et apud auditum se compatientium, tanto maior est concordia quanto soni amplius uniuntur et se compatiuntur. Idcirco recipit concordia, etiam perfecta, comparationis [95] | [P2, 188r in marg.] gradus ut quaedam sit perfecta, quaedam perfectior, et quaedam perfectissima, vel quaedam bona, alia melior, alia optima.

Perfecta concordia illa est quae prius est descripta, et, quantum ad primum gradum perfectionis, illis videtur competere vocibus quas consonas vocat Ptolomaeus, de quibus ait: Consonae voces sunt quae compositum permixtumque, suavem | [P1, 159v in marg.] tamen, efficiunt sonum.

In quibus verbis videntur tangi tria inter alia requisita ad perfectam concordiam.

Requirit enim sonos distinctos invicem compositos. Nec sufficit hoc, sed oportet illos esse perfecte mixtos, quantum in natura eorum est, quia nati sunt simul se compati et uniri, licet inaequales sint et distincti. Ideo fit ex illis unum tertium perfecte mixtum, hinc est ut dulciter et suaviter se faciant apud sensum.

Sub hoc gradu primo perfectae concordiae, tres continentur consonantiae, scilicet diapente, diapason cum diapente et diatessaron. Hae sunt, quae a Ptolomaeo vocantur consonae, a consonando id est concordando dictae. Has igitur quas Antiqui in numero consonantiarum specialiter et stricte sumptarum (prout a consonando, idest concordando, nomen trahunt) posuerunt, in numero perfectarum concordiarum nos ponimus. Uti enim illis secure possumus in discantibus, sed ponimus eas in primo gradu concordiarum perfectarum, quia ceterae inter perfectas concordias ponendae ampliorem dicunt concordiam. Ponit autem Ptolomaeus diatessaron cum <diapason> in numero tactarum consonantiarum cui non consentiunt ceteri musici, ut alias tactum est. Non inconvenienter autem, cum consonantiis consonis iam dictis quas inter perfectas ponimus concordias, si essent in usu, iungi possunt diapente cum bis diapason, ter diapason, tonus cum ter diapason. Forsan enim omnes soni, quantum in se est, concordant, quibus simplex multiplex respondet proportio. Unde dicit Franco Teutonicus quod tam concordantiae quam discordiae sumi possunt in infinitum, sed non sunt in usu tactae tres consonantiae propter nimiam vocum suarum distantiam.

[96] Capitulum XXXIIII.

Quae sit perfectior concordia et quibus competat consonantiis.

Perfectior vel melior concordia est illa in qua voces inaequales sic miscentur ut, ex illis, unus atque simplex quodammodo sonus efficiatur. Inde fit, secundum Ptolomaeum, ut concordia haec, quam in secundo perfectionis gradu reponimus, sonis vel vocibus aequisonis adaptetur, de quibus sic loquitur: Aequisonae, inquit, sunt quae simul pulsae unum ex duobus atque simplicem quodammodo efficiunt sonum. Continet autem aequisona concordia duas sub se consonantias, scilicet diapason et bis diapason. Unde Boethius: Igitur aequisonae quidem sunt diapason ac bis diapason, quoniam earum temperamento mixturaque unus ac simplex quodammodo efficitur sonus, per comparationem scilicet ad ceteros inaequales sonos, non per comparationem ad sonos penitus aequales, ut est in unisono.

Vocantur igitur dictae consonantiae vel concordiae aequisonae (non quod requirant voces aequales, sed ratione suae perfectae mixtionis), quae maxime inter voces inaequales accedunt ad illam simplicissimam unionem quae vocibus competit vere aequalibus.

Inter dictas autem aequisonas concordias, perfectior est diapason, ratione suae proportionis et multarum laudabilium ipsius proprietatem. Unde Ptolomaeus: Diapason consonantia talem efficit coniunctionem ut, etsi sint duo nervi, tamen unus atque idem nervus esse videatur.

Ideo, secundum Guidonem, vocibus eius in monochordo consimilis respondet littera.

Diapason enim paene una vocula est talisque consonantia ut unum quodammodo effingat sonum. Unde diapason in genere consonantiarum vocum inaequalium, et quantum ad proportionem et quantum ad concordiae bonitatem, obtinet principatum, ut de ipsa dicat Nicomachus: Haec enim ponenda [97] est maxime suavis esse consonantia, cuius proprietatem sensus apertior comprehendit. Quale enim est unumquodque per semetipsum, tale etiam deprehenditur sensu. Si igitur cunctis notior est ea consonantia quae in duplicitate consistit, non est dubium primam omnium esse diapason consonantiam meritoque excellere, quia cognitione praecedat. Unde Boethius dicit diapason consonantiam cunctarum esse optimam.

Ideo, propter diapason excellentem concordiam, quidam musicae doctores, cum loquuntur de sonorum concordiis, hanc cum unisono iungunt, ponentes has duas solas perfectam importare concordiam, sed, cum diapason voces requirat inaequales, non unisonantes, ab unisono, quantum ad concordiam, multum distinguitur et in gradu alio, iuxta sententiam Ptolomaei, situatur.

Iungitur autem, quantum ad concordiam, bis diapason cum diapason, quamvis enim triplum mediet inter duplum et quadruplum, quia tum quadruplum nascitur ex bis duplo, triplum ex duplo et sesqualtero. Est autem dupla proportio perfectior proportione sesqualtera. Erit, quantum ad hanc considerationem, quadruplum perfectius triplo et consimiliter bis diapason perfectiorem importabit concordiam quam diapente cum bis diapason. Maius enim videtur nasci ex aequisona geminata quam ex aequisona et consona. Quod igitur, quantum ad concordiam, inter consonantias vocum inaequalium post diapason ordinetur immediate bis diapason et vocetur aequisona, trahere videtur hoc a diapason quae in ea geminatur.

His duabus consonantiis uti secure possumus | [P1, 159v in marg.] in discantibus, sed raro utimur ea quae est bis diapason | [P2, 188v in marg.] propter magnam distantiam vocum suarum. Unde, secundum Antiquos, sicut diapason est prima consonantia multiplicium proportionum, sic bis diapason ultima et altissima, quantum scilicet ad usum in discantibus. His enim consonantiis quae sequuntur bis diapason, vel nunquam, vel rarissime nos iuvamus in cantibus mensuratis.

[98] Capitulum XXXV.

Quae sit perfectissima concordia et quibus aptetur consonantiis.

Optima vel perfectissima concordia est in qua distincti soni sic miscentur ut vix sensus inter illos possit discernere, sed quasi sonus unus appareat vel vox una ex duabus vel pluribus. Istae sunt voces illae quas vocat Ptolomaeus unisonas, quia, secundum ipsum, unum atque eundem simul ac sigillatim pulsae reddunt sonum modo quo alias est expositum.

Quod autem in unisono distincti sunt soni et non unus omnino simplex tangit Ptolomaeus cum dicit: Voces inter se vel unisonae sunt, vel non unisonae, et infra: Unisonae sunt quae unum atque eundem, et cetera. Unde de his in plurali numero loquitur. Perfectissima igitur concordia de vocibus vel sonis dicitur unisonis, quia illi maxime invicem uniuntur propter ipsorum veram aequalitatem, quia unus alio gravior non est, vel altior. Unde Ptolomaeus: Unisonae sunt voces quarum sonus unus est nihil in gravi, vel in acuto. Sic secundum eundem: Non unisonae sunt quando est alia gravior, alia acutior. Potest tamen unisonus salvari cum altera vocum grossior est, altera gracilior, sicut quandoque contingit inter plures simul cantantes; et idem potest accidere in distinctis instrumentis.

Haec concordia nullam secum compatitur dissonantiam, nullam prorsus inaequalitatem in ascensu vel descensu. Unde, in signum unitatis et aequalitatis, distinctae voces suae in clave una gammatis se compatiuntur simplici et unius in alteram mutatio fieri potest regularis quae nullis aliis competit consonantiarum vocibus.

Habet autem locum inter voces clavium gravium, acutarum et superacutarum. Haec concordantia fundamentum est ceterarum concordiarum, sicut unisonus aliarum consonantiarum, nec in distinctas dividitur species, sicut nec unisonus. Et, cum superlativorum conditio sit ut rebus sui generis comparata omnibus superferantur et uni soli conveniant hanc observans naturam, perfectissima concordia convenit uni soli [99] consonantiae, scilicet unisono quae simplicissimam inter omnes dicit mixtionem et prima alias omnes praecedens, sicut unitas omnem numerum et aequalitas omnem inaequalitatem.

Perfectissima igitur concordia, vel optima, una est, perfectiores duae, perfectae, quantum ad eas quae in usu sunt, tres. Recedere enim ab unitate accedere est ad multitudinem plus et plus, et hae, cum perfectae sint, numerus eis respondet senarius qui est primus perfectus.

Quamvis autem unisonus optimam et perfectissimam simpliciter importet concordiam, diapason tamen in genere concordiarum vocum inaequalium perfectissima est. Ideo unisonus et diapason finis et terminus principalis dicuntur omnium organorum.

Sed, quantum ad concordias perfectas vocum inaequalium iam tactarum, tres sunt quibus in discantibus amplius utimur, scilicet diapason, diapente et diatessaron. Ideo, secundum aliquos, dicuntur genera generalissima omnium consonantiarum, et supra dictum est has tres esse primas et principales ex quibus species ordiuntur.

Vocum igitur concordiam perfectam facientium aliae sunt unisonae ad unisonum pertinentes, aliae aequisonae ut diapason et bis diapason, aliae consonae ut diapente, diapason cum diapente et diatessaron. Quibus si placet, iungantur diapente cum bis diapason, ter diapason, tonus cum ter diapason.

Capitulum XXXVI.

Concordia media quae sit et quibus insit consonantiis.

Concordia media est cum voces simul prolatae, differre multum ab auditu dinoscuntur; placent tamen sibi. Hae videntur illae voces quas Ptolomaeus vocat <emmeles> quae, etsi non sint perfecte consonae, possunt tamen recte aptari ad melos, quia partes sunt principaliores aliquarum perfectarum concordiarum, ut semiditonus et ditonus.

His duabus inter non perfectas concordias in discantibus amplior est usus. Placet enim multis una tertia, si dulciter in loco suo, scilicet ante unisonum vel diapente, decantetur. [100] Etiam ponuntur ab aliquibus in discantuum principiis. Hae concordiae quodammodo mediant inter perfectas et imperfectas.

Ponunt autem alii dictas consonantias inter imperfecte concordantes, diapente vero et diatessaron inter medias concordias. Hic autem sine praeiudicio secus disponuntur. Cum enim antiqui musici videantur quasi idem intelligere per consonantiam et per concordiam, concordiam perfectam extendimus ad omnes illas vocum mixtiones quas communiter vocabant consonantias, ut sunt hae quae in multiplicibus vel superparticularibus fundantur proportionibus, praeter tonum.

| [P1, 160r in marg.] Ceteras omnes vocat Boethius dissonantias vel discordias, quae scilicet nec in multiplicibus, nec in superparticularibus fundantur habitudinibus. Dicit enim quod in illis nulla sonorum | [P2, 189r in marg.] concordia procreatur (quod intelligendum est "perfecta").

Cum tactis autem mediis concordantiis, semiditono scilicet et ditono, quantum ad aliquam considerationem, videntur posse iungi hae, scilicet tonus cum diapason, tonus cum bis diapason, ditonus cum bis diapason, diatessaron cum bis diapason, semiditonus cum diapente et bis diapason. Et secundum hoc essent VII mediae concordiae, quarum tres primae sunt in usu.

Est autem notandum quod aliqui moderni doctores, de concordantiis tractantes, parum vel nihil loquuntur de illis quae diapason sequuntur.

Capitulum XXXVII.

Imperfectae concordiae descriptio et quibus competat consonantiis.

Imperfecta concordia tunc fieri dicitur cum voces, simul prolatae, multum ab auditu differre noscuntur, aliqualiter tamen concordant, ut sunt tonus qui est una secunda, tonus cum diapente una sexta, semiditonus cum diapente, semiditonus cum diapason, ditonus cum diapason, diatessaron cum diapason, tonus cum diapente et diapason, semiditonus [101] cum diapente et diapason, semiditonus cum bis diapason, tonus cum diapente et bis diapason: sic X. Sed, in discantibus, raro vel nunquam utimur nisi sex primis.

Tactae sunt igitur XXVI consonantiae concordantes, IX perfectae, VII mediae, X imperfectae.

Ponitur hic tonus inter imperfectas concordias, quem ponunt aliqui inter discordias. Quamvis enim ex partibus pure discordantibus componatur, scilicet ex semitoniis, illae tamen inaequales sunt, et in proportione fundatur superparticulari. Et, si enim ex partibus aequalibus pure discordantibus nunquam sequi videatur nisi discordia, non sic tamen ex inaequalibus. Quantum enim ad concordias vocum inaequalium, nulla est ita perfecta quin habeat partes inaequales discordantes ipsam reddentes, nec tamen illa causa per se est, <quantum> ad illas, <qua> ex ipsarum mixtione bona sequatur concordia.

Et, licet XXVI tactae sint concordiae, illarum tamen XV aliqualis usus est in discantibus. Quantum enim ad perfectas, VI sunt quibus utimur, scilicet unisono, diapason, bis diapason, diapente, diapason cum diapente, diatessaron. Rarissime tamen utimur bis diapason, propter vocum suarum distantiam.

Quantum autem ad medias concordias, tres in usu sunt, scilicet semiditonus, ditonus, tonus cum diapason vel bis diapente.

Quantum vero ad imperfectas, VI, scilicet tonus, tonus cum diapente, semiditonus cum diapente, semiditonus cum diapason, ditonus cum diapason, quarum quaelibet est una decima, diatessaron cum diapason una undecima.

Et sic inter concordias remanent undecim quarum, quantum ad praxim, vel rarissimus vel nullus est usus, non ex defectu concordiae, sed vel propter distantiam nimiam vocum illarum, vel propter difficultatem illas proferendi et modum inconsuetum. Illarum autem tres inter perfectas repositae sunt concordias, ut diapente cum bis diapason, ter diapason, tonus cum ter diapason; quattuor inter medias, scilicet tonus cum bis diapason, ditonus cum bis diapason, diatessaron cum bis diapason, semiditonus cum diapente et bis diapason.

[102] Forsitan autem consonantiae aliquae, positae in numero mediarum concordiarum, in numero ponendae sunt concordiarum et imperfectarum, et e contrario. Ponunt autem alii pauciores concordias quam hic, vel quia de illis loquuntur quae antecedunt diapason et aliquas ponunt inter discordias, saltem imperfectas, quae ponuntur hic inter concordias, vel quia illi de paucioribus loquuntur consonantiis quam nos, et de illis, quibus frequentius utimur.

Ceterae consonantiae a praedictis dissonantiae sunt, idest discordantes importantes voces, licet secundum magis et minus, et de illis consequenter agatur.

Quantum autem ad concordantes consonantias, quae et quot sint perfectae et quis ipsarum ordo, certum magis videtur quam de mediis et imperfectis concordiis. Si enim ad simplicitatem inspiceremus proportionum, illae quae diapason antecedunt eas praecederent quae sequuntur ipsam diapason, ut tonus, semiditonus, ditonus, tonus cum diapente, semiditonus cum diapente, dicerentur mediae concordiae, et quae sequuntur diapason, propter mixtam ipsarum proportionem, concordiae ponerentur imperfectae; et, quantum ad hoc, essent quinque mediae concordiae, et XII imperfectae.

Capitulum XXXVIII.

Discordia quid sit et qualiter distinguatur.

Visum est quid sit concordia, qualiter distinguatur et quibus competat consonantiis. De discordia prosequamur quam Antiqui vocant dissonantiam, sicut communiter per consonantiam intelligunt concordiam.

Est autem discordia, sicut est tactum, sonorum distinctorum simul prolatorum apud sensum insuavis displicensque commixtio. Vel sufficiat Boethii descriptio quam sub nomine ponit dissonantiae: Dissonantia, inquit, est duorum sonorum sibi permixtorum ad aurem veniens aspera atque iniucunda percussio. Nam dum sibimet misceri nolunt et quodammodo integer | [P2, 189v in marg.] uterque nititur pervenire, cumque alter alteri officit, ad sensum uterque insuaviter transmittitur.

[103] Haec descriptio aliqualiter exponitur supra, libro secundo, et, ut dicitur ibi, per illam descriptionem tangit Boethius duplicem esse sonorum mixtionem, unam asperam, insuavem et duram | [P1, 160v in marg.] sensui displicentem et ipsum offendentem: quae discordiae competit; aliam, suavem et dulcem, sensui placentem: quae concordiam inducit.

Dicit igitur: dissonantia est percussio, idest sensatio, cognitio, vel perceptio duorum vel plurium sonorum, inaequalium scilicet.

Dicit autem duorum, quia unus, nec sufficit ad discordiam, nec ad concordiam; unde sequitur sibimet permixtorum, quod de uno sono penitus in distincto verificari nequit.

Permixtorum autem non qualitercumque, quia non dulci, non suavi permixtione, sed aspera, rudi et insuavi.

Unde sequitur veniens ad aurem aspera atque iniucunda. Quare aspera et iniucunda? Quia sibimet misceri nolunt mixtione, scilicet concordi, suavi et iuncunda quae placeat auditui, quia propter repugnantiam quam habent inter se non sunt apti, nati iucundam facere mixtionem apud sensum ut, apud eum, fiat ex illis unus tertius sonus apte mixtus, sed quodammodo quilibet sonus, acsi esset solus, non cum alio iunctus, integer ad sensum nititur et quasi contendit pervenire, cumque alter sonus alteri officiat, idest noceat, et quasi unus alterum impediat, ad sensum uterque insuaviter transmittitur, quia non sunt apti, nati invicem ad concordiam uniri.

Dividunt autem doctores discordiam in perfectam et in imperfectam. Sed cum tot modis dicatur unum oppositorum ut reliquum, si concordia distinguitur in perfectam, in mediam et in imperfectam, consimiliter, ut videtur, discordia distingui poterit in perfectam, mediam et imperfectam.

Capitulum XXXVIIII.

Quae sit discordia perfecta et de quibus dicatur consonantiis.

Discordia perfecta est pura vel nimia discordia quando scilicet duae voces, simul prolatae, duram nimis et asperam secundum sensum dicit mixtionem, ut sunt illae voces [104] quas Ptolomaeus dissonas vocat, quae non permiscent sonos, sed insuaviter feriunt sensum, ut sunt commatis voces, semitoniorum, diesis et <apotomes> cum divisim et per se proferuntur, item toni minoris et maioris, tritoni, tetratoni, pentatoni, hexatoni.

Hoc enim generaliter verum videtur, ut, licet minus semitonium per se prolatum perfectam importet discordiam, nulla tamen sine ipso uno vel pluribus cum tono vel tonis perfecta sit concordia. Hinc est ut ex puris tonis nulla perfecta reperiatur concordia, sed potius perfecta discordia, ditono excepto.

Videntur autem esse XV perfectae discordiae, octo quae antecedunt diapason et in simplicibus fundantur proportionibus, et illae iam tactae sunt, scilicet comma, diesis, apotome, tonus minor, tonus maior vel maximus, tritonus, maius semitonium cum diapente sive tetratonus, et pentatonus; et VII quae sequuntur diapason, in mixtis fundatae proportionibus, scilicet hexatonus sive comma cum diapason, maius semitonium cum diapason, tritonus cum diapason, maius semitonium cum diapente et diapason, maius semitonium cum bis diapason, tritonus cum bis diapason, maius semitonium cum diapente et bis diapason.

Hae consonantiae, inter alias postea tangendas, perfectiorem importare videntur discordiam ex causis infra tangendis. Secundum magis et minus enim recipere potest imperfecta discordia gradus, sicut perfecta concordia. Puto enim apotome maiorem dicere discordiam quam diesim, et tonum maiorem vel maximum quam minorem vel minimum.

Capitulum XL.

Quae sit media discordia et quae sit imperfecta et quibus insint consonantiis.

Media discordia est sonorum distinctorum apud sensum dura collisio, sed non tanta sicut imperfecta discordia. Et videtur VII inesse consonantiis quae sunt: diesis cum diapason, semitritonus cum diapason, diesis cum diapente et diapason, ditonus cum diapente et diapason, diesis cum bis [105] diapason, semitritonus cum bis diapason, diesis cum diapente et bis diapason.

Hae VII dissonantiae aliqualiter mediare videntur inter perfectas discordias et imperfectas. Minus enim ipsarum voces discordare videntur quam praecedentium, magis tamen quam sequentium imperfectam discordiam importantium propter causas infra ponendas.

Est autem imperfecta discordia cum plures voces sic miscentur ut discordent apud sensum, sed minus perfecte. Videtur autem tribus consonantiis competere, scilicet semitritono, minori semitonio cum diapente, ditono cum diapente. Hae dicuntur imperfectam includere discordiam quia inter discordias minus dissonare videntur et ad concordiam, saltem imperfectam, magis inclinari.

Unde quidam inter imperfectas discordias ponunt tonum, tonum cum diapente, semiditonum cum diapente, quas tres posuimus inter concordias, saltem imperfectas vel medias. Cum enim illis nonnunquam utamur in discantibus et a digniore fieri debeat denominatio, potius eas vocavi concordias quam discordias. Sed illi quasi idem intelligunt per imperfectam discordiam quod nos per imperfectam concordiam.

Habemus igitur XXV consonantias | [P2, 190r in marg.] discordantes: XV perfectas, VII medias, III imperfectas. Habebamus autem XXVI symphonias concordantes. Hae simul sunt LI, de quibus omnibus sigillatim | [P1, 161r in marg.] libro secundo tractatum est.

Est autem notandum quod omnis discordia perfecta, media et imperfecta fundatur in proportione superpartiente, vel in mixta ex multiplici et superpartiente et nulla, quantum ad illas de quibus sumus locuti, in multiplici et superparticulari.

Forsan autem omnes tactae consonantiae XXV perfectam important discordiam, licet secundum magis et minus, et aliquae, quae positae sunt inter medias discordias, poni possunt cum perfectis discordiis et similiter de imperfectis respectu mediarum, et e converso.

De tactis XXV discordiis sunt XI in simplicibus superpartientibus fundatae proportionibus quae scilicet antecedunt diapason, et illarum octo sunt perfectae, tres imperfectae, et sunt XIIII in mixtis proportionibus ex multiplici et superpartienti radicatae, VII perfectae et VII mediae.

[106] Capitulum XLI.

Quae sint causae concordiae, et quae discordiae in vocibus mixtis.

Concordiarum et discordiarum in vocibus et quare hae meliores, illae minus causas assignare facile mihi non est. Usus enim et ars docuit quod sapit omnis homo maxime in practicis. Ego autem musicis artificialibus instrumentis usus non sum, quorum tamen usus, una cum arte musicae, non modicum praebet experimentum ad securius et verius iudicandum communiter de consonantiis quae maioris concordiae sunt et quae minoris, et similiter de discordiis. Sed practici musici, solum usum habentes, etsi de his bene iudicent et prompte, causas tamen assignare nesciunt, nisi per artem invenitur. Utinam in his et aliis dictis et dicendis essem veridicus.

Dico ea quae mihi videntur, et, ubi opiniones reperio, eam sequor quam puto veriorem.

Videtur mihi quod, in consonantiis, communiter concordia melior et melior, perfectior et perfectior, proveniat ex perfectiori et perfectiori proportione et ex perfectiori partium principalium talis vel talis consonantiae mixtione et, per oppositum, peior et peior discordia venit ex imperfectiori et imperfectiori proportione sonorum mixtorum et partium principalium. Et ista se communiter consequuntur.

Satis enim communiter consonantia perfectioris proportionis partes principales habet perfectiores ipsam componentes et reddentes, sicut illius proportio proportiones partiales perfectiores. Hae autem quidditatem respicere videntur consonantiarum formam quantum ad proportiones, materiam proximam quantum ad partes tales vel tales invicem miscibiles. Quantum autem ad proportiones multiplices et superparticulares, etsi certus et notus sit perfectionis ordo, non sic tamen est de superpartientibus et mixtis. Ideo, ad iudicandum, de consonantiis in proportionibus fundatis superpartientibus et in mixtis quae sint concordantes et quae non, quae magis, quae minus, ad ipsarum partes, ad proprietates aliquas, signa vel effectus oportebit aspicere.

Videmus autem nullam consonantiam perfectae concordiae in proportione superpartiente vel in mixta fundatam. Adhuc communiter videmus consonantiarum concordantium voces faciliter esse dicibiles vel cantabiles quantum in natura sua est, nisi hoc impediat nimia vocum aliquarum distantia. [107] In discordantibus vero, vel non sunt secundum vocem humanam faciliter vel communiter dicibiles, vel quasi impossibiles ad cantandum, sed magis et minus. Haec autem unde proveniant, nisi quia concordantes voces aptae, natae sunt simul misceri vel uniri, discordantes non.

Sed specialiter ad consonantias descendamus et primo de unisono breviter loquamur.

Capitulum XLII.

Unisonus quare optimam et perfectissimam dicat concordiam.

Quamvis tactae sint causae quare unisonum optimam dixerimus importare concordiam, non pigeat tamen illarum aliquas repetere.

Cum concordia vocum dicat unionem, ipsa tanto maior est quanto voces amplius et simplicius sunt ad invicem unibiles. Sunt autem ad invicem magis et simplicius unibiles voces similes vel aequales quam dissimiles et inaequales. Amplius enim et simplicius unitur aqua aquae, terra terrae, aer aeri, ignis igni quam aqua terrae vel terra aeri. Etiam aqua facilius et citius miscetur aeri et aer igni quam aqua igni et terra aeri. In habentibus enim symbolum, facilior est transitus, licet nec tamen dicere volo quod simile sit omnino de unione aquae cum aqua et de unione vocum aequalium inter se.

Cum igitur in unisono voces sint similes vel aequales, in ceteris omnibus consonantiis inaequales, maxime, perfectissime et simplicissime miscentur voces in unisono. Quod igitur voces unisonantes simpliciter perfectissimam dicunt concordiam, venit ex proportione vocum quae ceteris omnibus prior est et simplicior. In ceteris enim proportionibus, gradus maioris et maioris simplicitatis et proportionis taxatur ex ampliore et immediatiore accessu ad aequalitatem. Item venit hoc ex aequalitate vel similitudine vocum suarum. Sic enim unisonus ex vocibus surgit aequalibus, quod non ex aliquibus consonantiis partialibus aequalibus vel inaequalibus, quod nulli | [P1, 161v in marg.] alii competit concordiae et, in argumentum huius, vocibus | [P2, 190v in marg.] unisonantibus in compositione gammatis, una simplex respondet clavis et potest esse unius in alteram mutatio, quod ceteris nullis competit consonantiis.

[108] Capitulum XLIII.

Diapason et bis diapason <inter consonantias vocum inaequalium quare perfectiorem importent concordiam.>

Inter consonantias inaequalium vocum, illae ceteris, quoad concordiam, praeferuntur quae in multiplicibus et primis superparticularibus proportionibus radicantur. Hoc autem unde venit, nisi quia proportiones illae ceteris inaequalium terminorum proportionibus simpliciores sunt et perfectiores, quia magis accedunt ad unitatem et aequalitatem, ut supra probatum est. Ideo, Nicomachus Peripateticus illas solas vocum mixtiones consonantias reputavit quae in tactis fundantur proportionibus (idem autem, ut videtur, per consonantias et concordias intellexit).

Adhuc, consonantiae, in tactis fundatae proportionibus, partes principales ipsas reddentes habent perfectiores. Quare igitur diapason post unisonum perfectiorem dicat concordiam, imo optimam, omnium consonantiarum vocum inaequalium, nisi ratione suae proportionis duplae quae prima est perfectissima et simplicissima inter omnes proportiones numerorum inaequalium, ratione etiam partium suarum! Constat enim ex duabus perfectis inaequalibus concordiis, scilicet ex diapente et diatessaron, et convenientius est ut diapente inferius, diatessaron superius decantentur.

Post diapason, quantum ad concordiam, ponitur bis diapason ratione suae proportionis, non absolute, sed pro quanto surgit ex duabus duplis vel ex dupla gammata et ratione partium suarum principalium quae sunt bis diapason, diapente cum diapason et diatessaron, et sic componitur ex una aequisona geminata et ex duabus consonis inaequalibus (nec est aliqua perfecta concordia in usu existens in duas aequales divisibilis partes, nisi bis diapason; sunt tamen aliquae concordiae non perfecte in duas aequales partes partibiles, ut semiditonus cum diapente in bis diatessaron, tonus cum diapason in bis diapente, et aliae quaedam).

Hae duae consonantiae aequisonae, propter excellentiam concordiae nuncupantur.

[109] Capitulum XLIIII.

Quare post concordias aequisonas, <diapente, diatessaron et aliae quaedam inter consonas reponantur.>

Post consonatias aequisonas, quantum ad concordiam, illas perfectiores reputamus et inter perfectas ordinamus quas Ptolomaeus consonas nuncupat, quae sunt diapente, diatessaron, diapente cum diapason, quibus tres alias adiunximus, scilicet diapente cum bis diapason, ter diapason, tonum cum ter diapason; hoc, propterea quia in perfectioribus, post aequisonas, fundantur proportionibus, quia vel in primis et in perfectissimis superparticularibus, ut diapente in sesqualtera, diatessaron in sesquitertia, vel in multiplicibus, ut diapente cum diapason in tripla, diapente cum bis diapason in sextupla (ut se <habent> sex ad unitatem), ter diapason in octupla (ut octonarius ad unitatem se habet), tonus cum ter diapason in noncupla (ut IX comparantur ad unitatem). Ceterae autem omnes, excepto tono, in superpartientibus vel in mixtis locantur generibus.

Item, ex concordantibus partibus componuntur, quia vel ex his quas Ptolomaeus vocat emmeles, quia sunt aptae melo, idest dulcedini vel concordiae, ut diatessaron componitur ex semiditono et tono, diapente ex ditono et semiditono, vel ex consona et melo apta, ut diapente ex diatessaron et tono, et similiter tonus cum ter diapason, vel ex aequisona et consona, ut diapente cum diapason et diapente cum bis diapason, vel ex aequisona triplata, ut ter diapason. Hae sunt quae nomen commune, quasi proprium, sibi retinuerunt, ut consonae, idest concordantes, vocarentur. Aliae enim perfectae concordiae vocis propriis vocantur nominibus, quia quaedam unisonae, aliae aequisonae.

Quis autem sit ordo perfectionis inter tactas consonas concordias, idest quae ipsarum magis et quae minus concordent? Si per ipsarum proportiones de hoc iudicetur, aliud et aliud secundum varias Antiquorum sententias iudicabitur:

Nicomachus enim, puto, diapente cum diapason praeponeret ipsi diapente et diatessaron.

Eubulides vero et Hippasus diapente praeponerent ipsi diapente cum diapason et, in loco tertio, ponerent diatessaron.

[110] Ptolomaeus primo diapente, secundo diatessaron, tertio diapente cum diapason disponeret.

De aliis autem tribus non loquuntur.

Conveniunt hi doctores in hoc quod concorditer praeponunt diapente ipsi diatessaron et rationabiliter (sive enim ad proportiones, sive inspiciatur ad partes principaliores, sive ad sensus iudicium, reperietur diapente symphoniam ipsi diatessaron esse praeferendam). Sed, quantum ad diapente, respectu ipsius diapente cum diapason, dissentiunt Nicomachus et Ptolomaeus:

Praeponit enim Ptolomaeus diapente ipsi diapente cum diapason ratione simplicitatis.

Nicomachus vero eas e converso disponit, quia proportionem triplam, cum sit multiplex et simplex, sesqualterae praeponit proportioni; etiam diapente cum diapason ex perfectioribus constat partibus quam diapente.

| [P1, 162r; P2, 191r in marg.] <Capitulum XLV.

Cur semiditonum et ditonum alias, quia prius tactas, inter medias concordias ordinamus.>

Ceterarum consonantiarum a praedixtis nullam perfectam ponimus importare concordiam. Concordant tamen aliquae aliae ab illis et illarum quaedam magis quas inter medias disponimus concordias, aliquae minus quas ponimus <in> imperfectas.

Dictum est autem septem esse consonantias medias concordias importantes, scilicet semiditonum, ditonum, tonum cum diapason, tonum cum bis diapason, ditonum cum bis diapason, diatessaron cum bis diapason, semiditonum cum diapente et bis diapason. Hae propterea mediae dicuntur concordiae, quia, inspiciendo ad aliquas conditiones, ceteris, quas imperfectas vocamus, videntur potiores et sic, quodammodo, mediant inter perfectas et imperfectas concordias.

Hoc autem venire videtur ex ipsarum proportionibus et partibus aliquibus. Semiditonus et ditonus, etsi fundentur in [111] proportionibus superpartientibus, illae tamen sunt simpliciores vel minores, etiam minime, inter proportiones superpartientes consonantiarum concordantium. Sunt enim semiditonus et ditonus primae et minimae consonantiae superpartium proportionum quarum concordent voces. Item, istae inter alias magis sunt in usu et facilioris sunt cantus. Item, istae sunt partes principaliores aliquarum perfectarum concordiarum. Sunt enim quaedam tertiae findentes diapente quae a multis, in discantibus, libenter audiuntur, si in loco debito convenienter decantentur.

Videntur autem ipsius semiditoni voces dulcius sonare quamvis constet ex tono et minore semitonio; sed ditonus constat ex duabus partibus aequalibus, semiditonus ex inaequalibus, quarum quaelibet per se facilis est cantus, et videtur minus semitonium magis esse natum aptum tono vel tonis uniri ad concordiam faciendam quam tonus tono sine semitonio. Nullam enim vocum inaequalium perfectam habemus concordiam sine tacto semitonio, uno vel pluribus, et ex minore semitonio perfectae iuncto discordiae, perfecta provenit concordia; patet de diesi cum tritono. Nascitur enim inde diapente. Hoc tamen per accidens est et non per se ut perfecta concordia ex perfectis nascatur discordiis, sed ex concordiis perfectis vel imperfectis.

Possunt autem generaliter omnes concordiae dici imperfectae quae non sunt de numero perfectarum concordiarum prius tactarum, quamvis ipsarum aliquae dicantur mediae et quaedam imperfectae. Item ditonus supra semiditonum addit semitonium maius quod perfectam importat de se discordiam. Quidquid autem sit de media vel imperfecta concordia, sicut infradicetur, perfecta discordia perfectae iuncta concordiae, seu e converso, discordiam parit.

Post semiditonum et ditonum ponuntur tonus cum diapason, tonus cum bis diapason et ceterae prius tactae inter medias concordias ratione proportionum suarum quae, quantum est, ex parte superparticularitatis praecedunt aliarum consonantiarum proportiones mixtas. Miscentur enim ex multiplici et superparticulari, aliae ex multiplici et superpartiente, et, si placet, ratione etiam partium.

Inter mixtas igitur consonantias concordantes, primo ponitur tonus cum diapason. Post diapason enim haec est prima consonantia cuius voces concordant. Haec consonantia [112] in multiplici superparticulari fundatur proportione, scilicet in dupla sesquiquarta, ut se habent 9 ad 4. Item componitur ex consonantia aequisona et melo apta, scilicet ex diapason et tono ex quibus denominatur partibus. Item ex consona geminata, scilicet ex bis diapente. Item ex concordia imperfecta et media, scilicet ex semiditono cum diapente et ditono. Haec est una nona ex duabus quintis composita, unde voces eius extremae melius concordare videntur quando mediat inter illas una quinta et illa findit eam in partes aequales, vel una octava sub vel supra.

Postea ponitur tonus cum bis diapason ratione suae proportionis quae est multiplex superparticularis, quia quadrupla sesqualtera, ut se habent 9 ad 2. Item ratione partium suarum principalium, ut sunt bis diapason et tonus, ter diapente et diatessaron.

Deinde sequitur ditonus cum bis diapason propter suam proportionem quae est multiplex superparticularis, quia quintupla sesquisextadecima, ut se habent 81 ad 16, et ratione suarum partium quae sunt bis diapason et ditonus et quater diapente.

Deinde sesquitur diatessaron cum bis diapason, quia fundatur in proportione multiplici superparticulari, quia in quintupla sesquitertia in qua se habent 16 ad 3, et partes suae sunt bis diapason et diatessaron, quinquies diatessaron et ditonus.

Ultimo ponitur semiditonus cum diapente et bis diapason, quia fundatur in multiplici superparticulari proportione, scilicet in septupla sesquinona in qua se habent 64 ad 9, et partes habet concordantes a quibus nominatur.

Harum quattuor ultimarum in discantibus non utimur, puto non ob defectum concordiae, sed vocum suarum distantiam nimiam.

Capitulum XLVI.

Quarum consonantiarum voces imperfectae concordant <et quare.>

Ultimo disponuntur inter concordias consonantiae quae imperfectam importare dicuntur concordiam; et sunt 10, ut est dictum, scilicet tonus, tonus cum diapente, semiditonus [113] cum diapente, semiditonus cum diapason, ditonus cum diapason, diatessaron cum diapason, tonus cum diapente | [P1, 162v in marg.] et diapason, semiditonus cum diapente et diapason, semiditonus cum bis diapason, tonus cum diapente et bis diapason.

Tactae consonantiae, tono excepto, fundantur in proportionibus superpartientibus vel in mixtis ex multiplici et superpartienti.

Quod tonus inter concordias reponatur, videtur venire ex ipsius proportione, quae est superparticularis; item, propter perfectam | [P2, 191v in marg.] distantiam vocum suarum faciliter dicibilium. Hoc enim satis communiter videmus ut nulla consonantia discordiam importet cuius voces perfectam includant distantiam faciliter pronuntiabilem, nisi impediat hoc nimia vocum distantia.

Est autem tonus prima vel minima consonantia cuius voces concordiam important, sed inter perfectas non ponitur concordias, vel quia ex solis miscetur partibus secundum se discordantibus, inaequalibus tamen, scilicet ex semitonio minore et maiore, vel propter imperfectionem suae proportionis, quia non continuatur cum primis superparticularibus, sed nimis distat ab eis. Unde forsitan, si haberemus consonantias fundatas in proportionibus superparticularibus mediantibus inter sesquitertiam et sesquioctavam quantum esset ex parte proportionum illarum, ipsae melioris essent concordiae quam tonus. Sed illas non habemus, non quod sint penitus impossibiles. Si enim essent aliquae psalterii vel citharae chordae sesquiquartam, sesquiquintam, sesquisextam vel sesquiseptimam habentes proportionem et simul pulsarentur hae vel illae, nonne soni ipsarum invicem miscerentur? Sed talibus sonorum mixtionibus non utimur, nec eis nomen impositum est propter causam prius tactam.

Quamvis autem consonantiam simplicem non habeamus in sesquiquarta proportione fundatam, habemus tamen unam mixtam in dicta proportione cum dupla radicatam, scilicet tonum cum diapason, et unam fundatam in multiplici sesquisextadecima, aliam in multiplici sesquinona.

Tonus cum diapente et semiditonus cum diapente inter concordias numerantur ratione proportionis earum vel partium. Miscentur enim ex consona et melo apta, ut ostendunt tactarum consonantiarum nomina. Item, semiditonus cum diapente ex consona geminata componitur, scilicet ex bis diatessaron.

[114] Hae ponuntur ante eas quae sequuntur diapason, quia in simplicibus fundantur proportionibus, illae in mixtis, quarum prima est semiditonus cum diapason, secunda ditonus cum diapason quae miscentur ex aequisona et media concordia, et dicitur quaelibet una decima.

Sequitur diatessaron cum diapason quam consonantiam ponit Ptolomaeus inter consonantias consonas, quia componitur ex aequisona et consona, sicut ex duabus perfectis concordiis. Hoc autem aliis non placet, quia fundatur in proportione mixta ex multiplici et superpartiente.

Deinde sequitur tonus cum diapente et diapason cum ceteris prius dictis ratione partium suarum. Omnes enim consonantias illas inter concordias perfectas, medias vel imperfectas computamus, quae ex partibus aliqualiter concordantibus denominantur, duabus exceptis, scilicet ditono cum diapente et ditono cum diapente et diapason quas ponimus inter discordias. Quare? Hoc dicetur infra.

Imperfectarum concordiarum iam dictarum quattuor sunt quarum usum non habemus, ut sunt illae quae sequuntur diapente cum diapason, propter magnam vocum distantiam, non quin concordent, non sic tamen excellenter ut ad usum ipsarum multum nos inclinent.

Sic igitur 17 tetigimus consonantias aliqualiter concordantes. Ad perfectas tamen concordias non attingunt. Omnes enim, ut est tactum, tono excepto, in superpartientibus vel in mixtis fundantur habitudinibus. Ideo cum gradus perfectionis inter dictas proportiones nobis incertus sit et ignotus, simpliciter loquendo, certum gradum maioris vel minoris concordiae inter illas ignoramus, quia non omnino certum, non bene notum fundamentum firmiter iudicandi de illis reperimus, sive inspiciamus ad ipsarum proportiones, sive ad partes. Sed probabiliter et opinative loquimur de illis et de discordiis qua sentimus.

Opinamur enim tactas 17 consonantias concordiam, etsi non perfectam, importare. Placent enim auditui, licet secundum magis et minus et, secundum varias hominum dispositiones, eadem magis placet uni, minus alteri. Illarum autem sunt <9> quibus in discantibus utimur: una secunda, una tertia in semiditono et ditono, una sexta, una septima in semiditono cum diapente, una nona, una decima in semiditono cum diapason et in ditono cum diapason, una undecima. [115] Quae autem istarum, secundum omnimodam veritatem, sint priores et meliores, dicant qui melius eas noverunt et melius ordinent eas et dictorum suorum rationes assignent; tales libenter audirem et eis consentirem, quia pauca de consonantiarum concordiis ab auctoribus dicta reperio. Sufficiat autem superficialiter de hac loqui materia et de dictis quas poterimus assignare rationes. Oportet enim, secundum quod permittit subiecta materia, procedere proportionalitate. Non enim rationes sufficerent mathematico quae sufficiunt rhetorico. Proximum enim est mathematicum persuadentem acceptare et rhetoricum demonstrationes expetere. Haec autem materia non videtur | [P1, 163r in marg.] pure mathematica. Inspiciendo enim, ad dictarum consonantiarum diversas proprietates, conditiones, proprietates et partes, quae, secundum aliquas, quantum ad concordiam, ceteris priores videntur et perfectiores, secundum alias, illis sunt imperfectiores. Nam si eas perfectiores iudicemus et priores quae simpliciores sunt, perfectiores erunt illae quinque quae diapason antecedunt, quae, si placet, mediae vocentur concordiae ut sunt tonus, semiditonus, ditonus, tonus cum diapente et semiditonus cum diapente. Inter mixtas autem, si placet, praecedunt illae quibus utimur, quae sunt quattuor: tonus cum diapason, semiditonus cum diapason, ditonus cum diapason, diatessaron cum diapason. Si vero non ad proportiones principaliter simplices et mixtas aspiciamus, secus erit, quia mixtae non ex imperfectioribus componi videntur partibus quam simplices.

Sed iam ad discordias veniamus.

| [P2, 192r in marg.] <Capitulum XLVII.

Discordia in consonantiis unde proveniat et quae sint perfectae discordiae.>

Cum oppositorum oppositae sint causae et privatio per habitum cognoscatur, in consonantiis discordantibus dissonantia causari videtur ex defectu causarum concordiam facientium et, secundum hoc, discordia tanto maior est quanto [116] defectus causarum illarum amplior est. Quod igitur discordiam nasci in vocibus ex imperfectione proportionum et partium consonantias denominantium, ex imperfecta distantia vocum mixtarum, ex difficultate, ineptitudine et quasi impossibilitate cantandi, pronuntiandi voces mixtas.

Dixi autem "partium consonantias denominantium", quia consonantiae vocum inaequalium, quantumcumque sint perfectae concordiae, bene in se compatiuntur partes, etiam perfectae discordantes, sed ab illis non nominantur. Communiter vero, quae nominantur ab aliqua parte discordante et ab aliqua concordante, discordant, sicut, quae a duabus partibus concordantibus nominantur, concordant. Bonum enim ex omnibus suis causis constat. Defectus enim etiam unius circumstantiae ad actum virtuosum requisitae actum reddit viciosum. Plura enim requiruntur ad construendum quam ad destruendum.

Dicebatur autem supra 15 esse consonantias perfecte discordantes quarum 8 simplices sunt diapason praecedentes et 7 mixtae quae sequuntur diapason. Quae autem praecedunt diapason sunt comma, duo semitonia, tonus minor et maior, tritonus, tetratonus et pentatonus.

Ponitur comma inter consonantias perfecte discordantes, non modo ratione suae proportionis quae est superpartiens (omnes enim discordiae in superpartientibus, si sint simplices, vel in mixtis ex multiplicibus et superpartientibus fundantur proportionibus) sed ratione imperfectae distantiae vocum suarum; item ratione difficultatis vel impossibilitatis proferendi voces eius ab homine. Item, sicut binarius numerus infamis est quia primo recedit ab unitate, sic commatis voces, quantum ad concordiam faciendam, sunt quasi infames, quia immediatius inter consonantias a vocum recedit aequalitate. Sed est duplex ad aequalitatem approximatio, quaedam propter nimiam vocum distantiam et hoc attestatur discordiae, alia propter maiorem et perfectiorem proportionem et haec bonam arguit concordiam ut patet in diapason.

Dico ulterius quod, propter consimiles tactas causas, semitoniorum voces discordant, minus tamen, ut videtur, ipsius diesis quam apotomes, quia diesis voces in usu sunt, facilis sunt cantus, componibiles sunt cum tono et tonis, et ipsius diesis mixtio cum illis nonnunquam discordiam et imperfectam [117] concordiam ad perfectam adducit concordiam. Item semitonium maius addit, super minus semitonium, partem perfecte discordantem, scilicet comma. Item, inter perfectas discordias, tonum ponimus minorem et maiorem, quia non sunt in usu, et non mirum, quia ineptae et quasi impossibilis sunt pronuntiationis secundum humanam vocem. Item, ex partibus constant perfecte discordantibus aequalibus. Item, hae consonantiae cum aliis non sunt componibiles, non sunt aliarum quibus utamur partes. Maiorem autem discordiam importare videtur tonus maior quam minor, sicut semitonium maius quam minus.

Item, tritonus inter perfectas numeratur discordias propter nimium duram vocum suarum mixtionem auditui displicentem. Unde difficilis est cantus et usus eius rarus vel nullus est ipse; etiam cum quacumque concordia perfecta iunctus discordiam parit. Item superat perfectam concordiam, scilicet diatessaron, in semitonio maiore et superatur a perfecta concordia, scilicet a diapente, in semitonio minore. Sic mediat inter duas perfectas concordias. Hae autem causae vel signa sunt suae discordiae.

Item, propter tactas causas vel earum aliquas, tetratonum vel maius semitonium cum diapente, pentatonum et ceteras diapason sequentes inter perfectas disponimus dissonantias, quae sunt hexatonus, sive comma cum diapason, maius semitonium cum diapason, tritonus cum diapason, maius semitonium cum diapente et diapason, | [P1, 163v in marg.] maius semitonium cum bis diapason, tritonus cum bis diapason, maius semitonium cum diapente et bis diapason.

Capitulum XLVIII.

Assignatio causarum mediarum et imperfectarum discordiarum.

Dictum est supra 7 consonantiarum voces mediocriter discordare, quae sunt minus semitonium cum diapason, semitritonus cum diapason, diesis cum diapente et diapason, ditonus cum diapente et diapason, diesis cum bis diapason, [118] semitritonus cum bis diapason, diesis cum diapente et bis diapason. Adhuc dictum est tres esse consonantias imperfecte <discordantes>, scilicet semitritonum, diesim cum diapente, et ditonum cum diapente.

Omnes tactae consonantiae quod discordent, ex tactis patet discordiae causis. Hoc enim generaliter verum videtur et, si placet, habeatur pro regula quod consonantia illa voces includit discordantes quae ex duabus partibus denominatur quarum una perfectam dicit concordiam, alia vero discordiam, vel quae superat perfecte discordantem in parte discordante, et ideo, cum comma, diesis, apotome, semitritonus, tritonus discordiam importent, semitonium maius vel minus cum diatessaron, cum diapente, cum diapason, cum diapente et diapason, cum bis diapason, cum diapente et bis diapason discordiam importabunt, et, quantum ad hoc, habebimus 13 consonantias discordantes, scilicet semitritonum quia superat diatessaron in diesi, | [P2, 192v in marg.] tritonum quia vincit diatessaron in semitonio minore, semitonium maius et semitonium minus cum diapente, comma cum diapason sive hexatonum, diesim cum diapason, et apotomen cum diapason, sic de aliis. Item, cum semitritonus et tritonus discordias importent secundum tactam regulam, semitritonus vel tritonus cum diapason et cum bis diapason discordiam importabunt. Et, si hae quattuor cum praedictis numerentur, erunt, quantum ad tactam regulam, 15 consonantiae discordantes.

Potest autem alia iuxta priorem tangi regula talis: Omnis consonantia deficiens a consonantia perfecte concordante in parte discordante, vel imperfecte concordat, vel discordat.

Et quod concordet, etsi non perfecte, veritatem habet solum de diatessaron respectu ditoni. Deficit enim ditonus a diatessaron cum diesi et, quantum ad hoc, habemus 3 consonantias discordantes, scilicet pentatonum qui deficit a diapason in tono minore, ditonum cum diapente qui superatur a diapason in diesi, et ditonum cum diapente et diapason qui deficit a bis diapason in semtonio minore.

Ex his ergo et aliis conditionibus prius dictis habemus quod, tam illae consonantiae 7, quas inter medias ponimus discordias, quam illae 3, quas numeramus inter discordias imperfectas, voces includunt discordantes; non tamen adeo discordant ut illae 15, quas discordiam importare diximus perfectam.

[119] Si enim semitonium maius maiorem dicat discordiam quam minus, compositio eius cum diatessaron, cum diapente, cum diapason, cum diapente et dispason, cum bis diapason, cum diapente et bis diapason, maiorem videtur causare discordiam quam appositio ipsius diesis cum tactis perfectis concordiis. Et si ita est, tritonus, quantum ad hoc, discordat plus quam semitritonus, quia apponitur ex diatessaron et maiore semitonio, semitritonus ex diatessaron et diesi. Item, constat semitritonus ex duplici semiditono.

Et, si ita est, quod tamen non assero, semitritonus cum diapason et cum bis diapason minorem dicet discordiam quam tritonus cum eiusdem mixtus consonantiis. Dixi autem semitritonum minus, semitonium cum diapente, ditonum cum diapente, imperfectas importare discordias, idest minus discordare quam perfectae et mediae, quia in simplicibus fundantur proportionibus, mediae autem concordiae in mixtis.

Si autem placet has cum praecedentibus annumerare, non est forsan magnum inconveniens sed, cum discordia gradus importet, sicut concordia, correspondent, dictum est aliquas esse perfectae discordiae consonantias, aliquas medias, aliquas imperfectas.

Capitulum XLVIIII.

Qualiter in monochordo concordiae cum discordiis mixtim disponuntur.

In dispositione gammatis sive monochordi nostri, consonantiae concordantium vocum cum consonantiis vocum dissonantium mixtim situantur, quantum ad consonantias vocum inaequalium.

Tonus, quo utimur, prima consonantia et minima est, quantum ad vocum distantiam cuius voces aliqualiter concordant.

Quae enim tonum hunc praecedunt, perfecte discordant et sunt 4, scilicet comma, diesis, apotome, tonus minor. Si quidem voces illarum, prout est tactum, imperfectam dicunt distantiam et, praeter diesim, non perfecte dicibilem secundum humanam vocem, ideo inter consonantias illas diesis tantum in usu est.

[120] Tonus autem, de quo loquimur, et perfectam vocum dicit distantiam, et satis faciliter pronuntiabilem, et in superparticulari locatur genere. Ideo non mirum si in usu est et natura sibi dedit ut eius concordarent voces, etsi non perfecte. Situatur | [P1, 164r in marg.] autem hic tonus inter duas consonantias perfecte discordantes et quarum usus non est, sicut virtus inter vitia medium tenet. Illae sunt tonus minor et tonus maior qui ex aequalibus constant partibus et perfecte, si divisim sumantur, discordantibus, nec expresse continentur in monochordo, sicut et aliquae aliae de quibus loquimur consonantiae.

Post tonum maiorem, 3 sequuntur concordiae, ut brevius loquar, scilicet semiditonus, ditonus, diatessaron.

Duae primae inter medias concordias positae sunt. Unde aliqui discantus ab illis sumunt initium.

Tertia vero inter perfectas numeratur concordias prima et minima existens inter illas, quantum ad vocum suarum distantiam. Haec immediate inter duas non ponitur discordias, ut communiter de aliis perfectis invenitur concordiis, ultimis et altissimis exceptis, sed habet ante se unam mediam concordiam, ditonum scilicet, et, post se, unam discordiam imperfectam, scilicet semitritonum quem sequitur tritonus perfecte discordans.

Inde ponitur diapente perfectam includens concordiam, perfectiorem inter omnes diapason praecedentes; et mediat inter veras discordias. Ipsam enim antecedit tritonus et sequuntur eam diesis cum diapente et apotome cum diapente sive tetratonus, quarum prior imperfectam discordiam, secunda importat perfectam.

Deinde sequuntur tonus cum diapente et semiditonus cum diapente, quae consonantiae inter imperfectas concordias positae sunt.

Consequenter duae disponuntur discordiae, pentatonus scilicet et ditonus cum diapente, et prior perfecta et alia imperfecta.

Sequitur deinceps diapason quae perfectissima est inter omnes vocum inaequalium concordias.

Antecedunt autem ipsam diapason septem concordiae, duae perfectae et quinque non perfectae et undecim discordiae.

Ponuntur autem, post diapason, tres discordiae consequenter, scilicet hexatonus seu comma cum diapason, diesis [121] cum diapason, apotome cum diapason, sive hexatonus cum diesi. Extremae harum trium perfectam dicunt discordiam, intermedia mediam.

Inde quattuor sequuntur concordiae, scilicet tonus cum diapason, semiditonus cum diapason, ditonus cum diapason, diatessaron cum diapason; et harum prima posita est | [P2, 193r in marg.] inter medias concordiantias, tres ultimae inter imperfectas.

Deinceps duae ponuntur discordiae quarum prima, scilicet semitritonus cum diapason, inter medias disposita est, alia, scilicet tritonus cum diapason, inter perfectas.

Postea ponitur una perfecta concordia, scilicet diapente cum diapason, cui succedunt duae discordiae, scilicet minus semitonium cum diapente et diapason, mediam includens discordiam, et apotome cum diapente et diapason, perfectam.

Locantur, postea, duae concordiae imperfectae, scilicet tonus cum diapente et diapason, et semiditonus cum diapente et diapason.

Sequitur ulterius ditonus cum diapente et diapason, cuius voces mediocriter dicuntur discordare.

Deinde ponitur bis diapason perfectam, quia aequisonam, dicens concordiam.

Et potest ex dictis esse manifestum quod, sicut 7 concordiae praecedunt diapason, sic 7 concordiae mediant inter ipsam diapason et bis diapason quae, secundum Antiquos est ultima et maxima consonantia et concordia. Secundum hoc igitur diapason ponitur in medio concordiarum, ut sol in medio planetarum, et rex in medio gentis suae.

Quodsi computemus, cum concordiis diapason praecedentibus, unisonum qui omnes merito praecedit concordias, sic inter diapason et bis diapason 7 mediant concordiae, similiter inter unisonum et diapason.

Item, computando tam unisonum quam bis diapason quae sunt extremae, octo consonantiae praecedunt diapason et octo sequuntur eandem, et sic in medio per aequalem distantiam ab extremis illis consonantiis perfecte concordantibus situatur, et, illarum trium concordiarum quae sunt unisonus, diapason et bis diapason, duae extremae, et directius medians inter illas, perfectissimae sunt inter omnes.

Post bis diapason, duae sequuntur discordiae quarum prima mediam dicit discordiam, scilicet diesis cum bis diapason, secunda perfectam, scilicet apotome cum bis diapason.

[122] Inde quattuor ordinantur concordiae: tonus cum bis diapason, semiditonus cum bis diapason, ditonus cum bis diapason, diatessaron cum bis diapason. Harum prior cum duabus ultimis prius inter medias concordias ponebatur, secunda inter imperfectas.

Sequuntur postea duae discordiae, una imperfecta, scilicet semitritonus cum bis diapason, alia perfecta, scilicet tritonus cum bis diapason.

Post has, una ponitur perfecta concordia, scilicet diapente cum bis diapason.

Hinc duae locantur discordiae: diesis cum diapente et bis diapason mediam dicens discordiam, et maius semitonium cum diapente et bis diapason, perfectam.

Ultimo, quattuor disponuntur concordiae, quarum duae primae imperfectae dicuntur, scilicet tonus cum diapente et bis diapason, et semiditonus cum diapente et bis diapason, aliae duae perfectae, scilicet ter diapason, et tonus cum ter diapason.

Sic igitur tactae duae ultimae concordiae immediate se consequuntur, licet perfectae dicantur. Hoc autem de nullis aliis praecedentibus perfectis concordiis | [P1, 164v in marg.] reperitur, sed quaelibet, excepta diatessaron, inter duas discordias hinc inde situatur. Quantum autem ad concordias non perfectas, quinque, duae, tres vel quattuor se sequuntur immediate. Est autem notandum quod, unisonum non computando, sicut quattuor primae et minimae consonantiae discordiam important, sic quattuor ultimae altissimae vel maximae, quoad vocum distantiam, concordiam.

Ecce qualiter mixtim concordiae situantur cum discordiis, imperfectae cum perfectis, sicut, in hoc mundo, boni cum malis, virtutes cum vitiis.

Capitulum L.

Concordiarum comparatio quantum ad cadentiam.

Antequam <consonantiae> concordantes, quantum ad cadentiam, comparentur, quid sit cadentia videatur.

Cadentia, quantum ad praesens spectat propositum, videtur dicere quendam ordinem vel naturalem inclinationem [123] imperfectioris concordiae ad perfectiorem. Imperfectum enim ad perfectionem naturaliter videtur inclinari, sicut ad melius esse, et quod est debile per rem fortiorem et stabilem cupit sustentari. Cadentia igitur in consonantiis dicitur, cum imperfecta concordia perfectiorem concordiam sibi propinquam attingere nititur ut cadat in illam et illi iungatur secundum sub et supra, descendendo videlicet vel ascendendo.

Quantum igitur ad cadentiam, una secunda sive tonus sub vel supra petit unisonum. Et similiter una tertia in semiditono. Sed una tertia in ditono petit quintum. Et similiter una quarta in diatessaron, aut petit unisonum, aut quintam. Quinta, scilicet diapente, propter bonitatem suam, tenet locum suum. Perficitur tamen in unisono aut in diapason. Sexta, scilicet tonus cum diapente, petit duplum vel quintam. Septima in semiditono cum diapente petit diapente vel diapason, ut praecedens. Octava, scilicet dispason, stat in se ipsa, non perfectibilis per aliam, nisi per unisonum. Nona, idest tonus cum diapason vel bis diapente, petit diapason vel in diapente revertitur. Decima in semiditono cum diapason petit diapason. Decima in ditono cum diapason petit duodecimam, scilicet diapason cum diapente, vel revertitur in diapason. Et consimiliter est de undecima, scilicet de diatessaron cum diapason. Duodecima autem, scilicet diapente cum diapason, quiescit in se ipsa, aut, ascendendo, petit quintam decimam, idest bis diapason, apud eum qui altam habet vocem, vel, descendendo, revertitur in diapason.

Omnis igitur concordia non solum summe | [P2, 193v in marg.] perficitur et quietatur in unisono et in diapason, sed etiam, si imperfecta sit ante perfectam, perficitur, cum ea, quae prope sunt, sint quasi idem.

Unisonus autem et diapason, quia perfectissimae sunt concordiae, ideo finis principalis sunt discantuum et organorum. Possunt tamen discantus in diapente terminari, quia saepe fit ubi unus supra tenorem est discantus. Quodsi terminetur discantus unus cum tenore in diatessaron vel in alia a praedictis tribus concordia, hoc rarum est.

De concordiis transcendentibus diapente cum diapason, mentionem non facio, quia propter ipsarum nimiam altitudinem raro vel nunquam in usu sunt. Habemus multas alias bonas quibus uti possumus et utimur.

[124] Capitulum LI.

<Concordiarum collatio> quoad partitionem.

De partitione concordiarum loqui volentes, dicatur prius quid sit talis partitio.

Est autem concordiae partitio alicuius tertiae vocis mediantis aliqualiter cum qualibet extremarum vocum partitae concordiae concordantis acceptio. Patet ex hac descriptione quod nulla concordia partibilis est nisi divisibilis sit in plures partes aliqualiter concordantes, et ideo concordia quam importat unisonus impartibilis est, quia partibus, quae consonantiae sint, caret, nec, inter voces eius extremas, aliqua tertia vox illis inaequalis mediat. Item repugnat tono et semiditono partitio, quia non sunt divisibiles in duas partes aliqualiter secundum se concordantes.

Ditonus autem aliqualiter partiri potest cum divisibilis sit in tonos duos. Findit enim vox media extremas ipsius ditoni voces et illas dividit in duas aequales partes, ut est cum sunt duo simul cantantes quorum unus dicit fa, alius sonat la, tertius vero dicit sol (sed tali partitione non est multum utendum, cum voces ditoni non perfecte concordent.)

Partitur autem una quarta ex semiditono et tono cadentibus in unisono vel quinto.

Quinta partitur ex tertia duorum tonorum inferius et semiditono superius, et dicitur quinta fissa, vel e converso. Sed prima partitio melior est. Vel partitur ex quarta et secunda cadentibus in unisonum.

Sexta partitur ex tertia duorum sonorum inferius et quarta superius, vel e converso, vel ex quinta et tono, superius vel inferius. In partitione autem ipsius sextae locum non habet semiditonus, | [P1, 165r in marg.] quia pars alia esset tritonus qui, in talibus partitionibus, non recipitur, ut patet ex descriptione partitionis hic intentae.

Semiditonus cum diapente partitur ex duabus quartis, vel ex quinta et semiditono ascendendo vel descendendo. Non habet in istius partitione ditonus locum, quia maneret ex parte altera semitritonus qui inter discordias numeratur. Ideo a talibus excluditur partitionibus.

[125] Octava, quae est diapason, partitur in diapente et diatessaron, et convenientius est ut diapente inferius et diatessaron ponantur superius. Item, descendendo in semiditonum, tonum, semiditonum et ditonum.

Nona finditur ex tono et diapason, vel ex bis diapente. Habet et alias partitiones, sed non sic convenientes.

Semiditonus cum diapason partitur in partibus ex quibus nominatur, et tunc vox ipsius diapason medians est una tertia respectu alterius vocis proximae illius consonantiae decimae. Item partiri potest in ter diatessaron, sed praevalet prima partitio. Non convenit autem hanc concordiam partiri per diapente, quia manet ex alia parte diesis cum diapente. Et minus ab hoc convenit haec per ditonum, quia maneret tetratonus cum tono minore.

Decima in ditono cum diapason partibilis est in dictas partes, item in tonum cum bis diapente, item in diatessaron, ditonum et diapente, vel e converso.

Undecima in diatessaron et diapason, item in diapente, diatessaron et diatessaron; item in semiditonum, tonum et diapason.

Duodecima in diapente et diapason, item in bis diapente et diatessaron, item in ditonum et ter diatessaron. Prima partitio melior est.

De partitione autem concordiarum quae sequuntur diapente cum diapason, quia in usu non sunt, in speciali non prosequor; patet satis ex dictis ipsarum partitio.

Est autem intelligendum quod omnes consonantiae simul se compatiuntur, exclusis discordiis, si debito modo disponantur. Quamvis autem consonantiae aliquae dissonae partes habeant concordantes, partitio tamen, de qua loquimur, proprie in eis locum non habet. Semitritonus enim ex duobus componitur semiditonis et ditonus cum diapente ex ditono et diapente miscetur, tetratonus ex duobus ditonis.

Talibus et consimilibus consonantiis partitionem tactam non applicamus, quia ipsarum voces extremae, simul mixtae, dissonae sunt. Nec moveatur aliquis quod eaedem vocum mixtiones consonae vocentur et dissonae. Utimur enim nomine consonantiae generaliter ad voces concordantes et ad discordantes, prout supra visum est libro secundo. Notandum est autem quod, in tactis consonantiarum partitionibus, si debeant consonantiae partitae suam retinere naturam convenienter, [126] tres cantores requiruntur (duo qui extremas concordiarum dicant voces, unus qui mediam), si in duas partes fit partitio, vel plures si in pluribus, ut cum finditur diapente quae est inter ut ipsius .C. tertiae et sol .G. septimae, dicat unus cantor ut, alius sol, tertius vero dicat mi ipsius .E. quintae. Et consimiliter est cum finditur diapason per diapente | [P2, 194r in marg.] et diatessaron.

Et haec dicta de consonantiarum concordiis sufficiant ad praesens. Valent, puto, haec ad componendum discantus aliquos. Quid autem sit discantus, et qualiter sit componendus, et quae eius species, ad locum alium dicere reservamus.

Aliae consonantiarum fieri possent comparationes, sed sufficiant quae tactae sunt, et hic librum hunc quartum determinantes.

Ad aliam materiam stylus convertatur.

Explicit liber quartus Speculi musicae.