Back to top

[90] | [P1, 184v; P2, 211v in marg.] Capitulum XXXI.

Ratio superius positae descriptionis.

Tria tetrachorda tali nobis ratione descripta sunt, idest tria cantandi genera sic in uno descripta sunt tetrachordo quod est <netarum> hyperboleon, quod in quolibet genere inter extremas chordas, quae sunt nete hyperboleon et nete diezeugmenon, diatessaron continetur quantum al distinctas ipsius partes illis generibus competentes.

[91] [CSMIII/5:91; text: Genus diatonicum, Diatessaron, Tetrachordum nete hyperboleon, Semitonium minus, Tonus, sesquioctava proportio, .e.lami, .f.faut, .g.solreut, .aa.la<mire>, DD, EE, NN, LL, III[macron supra lin.].LXXII, II[macron supra lin.].DCCCCXVI, II[macron supra lin.].DXCII, II[macron supra lin.].CCCIIII, Nete diezeugmenon, Trite hyperboleon <diatonos>, Paranete hyperboleon diatonos, Nete hyperboleon] [JACSP5B 01GF]

[92] [CSMIII/5:92; text: Genus chromaticum, Diatessaron, Tetrachordum nete hyperboleon, Semitonium minus, scilicet diesis, Maius semitonium, quod est apotome, Semiditonus sive trihemitonium, DD, EE, KK, LL, III[macron supra lin.].LXXII, II[macron supra lin.].DCCCCXVI, II[macron supra lin.].DCCXXXVI, II[macron supra lin.].CCCIIII, Nete diezeugmenon, Trite hyperboleon <chromatice>, Paranete hyperboleon chromatice, Nete hyperboleon] [JACSP5B 02GF]

[93] [CSMIII/5:93; text: Genus enharmonium, Diatessaron, Tetrachordum nete hyperboleon, Diaschisma, sive dimidium dieseos, Ditonus, DD, FF, GG, LL, III[macron supra lin.].LXXII, II[macron supra lin.].DCCCCXCIIII, II[macron supra lin.].DCCCCXVI, II[macron supra lin.].CCCIIII, Nete diezeugmenon, Trite hyperboleon enharmonios, Paranete hyperboleon enharmonios, Nete hyperboleon] [JACSP5B 03GF]

[94] Quantum enim ad genus diatonicum quod primo fuit descriptum inter paraneten hyperboleon, idest 2592, et neten hyperboleon, idest 2304, toni continetur distantia. Rursus consimiliter inter triten hyperboleon diatonici generis, quae est 2916, et paraneten hyperboleon dicti generis, quae est 2592, tonus et sesquioctava continetur proportio. Nete autem diezeugmenon ad triten hyperboleon, idest 3072 ad 2916, refert minus semitonium, et sic totum spatium inter neten diezeugmenon et neten hyperboleon, duorum est tonorum ac semitonii minoris qui divisi sunt secundum genus diatonicum, ut ex dictis alias patet. Constat autem diatessaron ex tonis duobus cum minore semitonio.

Idem etiam duo toni cum minore semitonio inter dictas extremas chordas dicti tetrachordi quantum ad genus chromaticum hac ratione sunt divisi, quia paranete chromatice hyperboleon, quae est 2736, ad neten hyperboleon, quae est 2304, comparata continet spatium paranetes hyperboleon diatonici generis ad neten hyperboleon, idest tonum hoc est duo semitonia, maius et minus, et insuper semitonium minus, et sic continet tria semitonia. Non restat igitur de duobus tonis cum minore semitonio nisi semitonium maius et minus quae simul tonum constituunt. Includuntur enim, in duobus tonis cum diesi, semitonia quinque, tria minora et duo maiora. Trite autem hyperboleon ad paraneten hyperboleon chromaticam comparata semitonium continet maius quod deficiebat de duobus tonis qui secundum genus diatonicum habentur inter triten hyperboleon diatonicam et neten hyperboleon. Habitis autem duobus tonis de diatessaron, non restat nisi minus semitonium, et illud inter neten diezeugmenon et triten hyperboleon tam diatonicam quam chromaticam. Constat igitur et hoc tetrachordum hyperboleon secundum genus chromaticum ex duobus tonis cum minore semitonio, quia partes, ex quibus hoc componitur genus, illis aequipollent partibus, quamvis hic in uno spatio tria ponantur semitonia, in duobus autem spatiis duo contineantur semitonia, maius scilicet et minus. Tria autem spatia quattuor requirunt numeros.

Item, quantum ad genus enharmonium, ab ea chorda quae est paranete hyperboleon <enharmonios>, idest 2916, in eam chordam quae est nete hyperboleon, scilicet 2304, fit [95] ditoni distantia. Ideo de tetrachordo illo non restat nisi minus semitonium quod continetur inter neten diezeugmenon et paraneten hyperboleon enharmonion, et illud in duas dieses, idest diesis partes, divisum est quarum una est inter triten hyperboleon enharmonion et paraneten hyperboleon enharmonion; reliqua est inter neten diezeugmenon et triten hyperboleon enharmonion.

Itaque tetrachordum hyperboleon secundum tria genera descriptum est. Ex his autem quae alias dicta sunt patet in quo tria tacta genera conveniunt et in quo distinguuntur. Consequenter alia describantur tetrachorda, et primo diezeugmenon in quo et in aliis consequentibus ex his quae dicta sunt exemplum sumi poterit.

Capitulum XXXII.

Monochordi netarum diezeugmenon per tria genera partitio.

Cum inter mesen et tetrachordum describendum, quod est <netarum> diezeugmenon, sit diapente, diatessaron vero inter paramesen et dictam neten diezeugmenon, in descriptione propositi tetrachordi quod a mese disiungitur et propterea diezeugmenon nuncupatur, mentio fiet tam de diapente quam de diatessaron.

Dicit igitur Boethius quod, si ipsius netes diezeugmenon quae, quantum ad numerum assignatum sibi, est 3072, dimidium sumam, quod est 1536, illudque numero cuius pars media est, iungam, fient 4608. Habemus ex hoc numerum ipsi mese prius iunctum, quam .O. littera designavimus.

Quodsi eiusdem netes diezeugmenon, idest .DD., scilicet 3072, auferam tertiam partem, quae est 1024, iungamque hanc numero tacto cuius est tertia pars, proveniet inde numerus qui est 4O96. Hic iungatur ipsi paramese .X. littera subnotatae. Haec igitur si faciamus, surget diapente inter mesen et neten diezeugmenon in sesqualtera consistens proportione, [96] diatessaron vero inter paramesen et neten diezeugmenon fundata in proportione sesquitertia et illae sunt exsolae duae chordae intermediae in quocumque genere restant describendae quae generaliter loquendo sunt paranete diezeugmenon et trite diezeugmenon.

Hae, quantum ad genus diatonicum primo sic taxentur. Auferatur a netes diezeugmenon numero, qui est 3072, pars octava quae est 384. Iungatur haec numero cuius est octava pars, nascitur inde sequens numerus, scilicet 3456. Hic iungatur ipsi paranete diezeugmenon diatonos cum .CC. litteris et haec chorda ad priorem tonum continet et numerus ad numerum proportionem sesquioctavam. | [P2, 212r in marg.] Consimiliter a tacto numero, qui est 3456, octava tollatur pars, quae est 432. Haec iungatur | [P1, 185r in marg.] eidem numero cuius scilicet octavam includit partem et exiet numerus qui est 3888, qui sit .Y., et totum iungatur ipsi trite diezeugmenon <diatono>. Ex quibus relinquitur ut inter <triten> diezeugmenon et paramesen sit semitonium minus quod requiritur in diatessaron ultra tonos duos. Diatonicum igitur genus in hoc tetrachordo ac pentachordo descriptum est, in quo iacet tetrachordum inter neten diezeugmenon et paramesen, pentachordum vero inter neten diezeugmenon et mesen.

Consequenter in praesenti tetrachordo genus describatur chromaticum ad cuius evidentiam, ut brevius hic et in ceteris describendis tetrachordis procedatur, quod alias tactum est, ad memoriam revocetur, scilicet quod genus chromaticum in quocumque tetrachordo cum genere convenit diatonico tribus in numeris vel chordis, etiam quantum ad ordinem, scilicet in duabus extremis et in proxima graviori, et eisdem nominibus illae nominantur chordae, nisi quantum ad aliquas speciales denominationes. Eidemque numeri iunguntur illis, similiter et litterae. Variata igitur chorda proxima acutiori de genere diatonico genus fiet chromaticum et illa variatio non est quantum ad ordinem sed quantum ad litteras et numerum.

Chromaticum igitur genus hac ratione taxetur. Sumatur distantia numerorum assignatorum ipsi nete et paranete diezeugmenon diatonici generis, qui sunt 3072 et 3456. Illa est 384. Huius sumatur medietas, quae est 192. Haec iungatur [97] numero ipsius paranete diezeugmenon diatono qui est 3456; fient 3648. Haec erit paranete diezeugmenon chromatica .BB. geminatis litteris adnotata, distans a nete diezeugmenon tono et minore semitonio, hoc est tribus semitoniis ex quibus constat semiditonus. <Hac> vero chorda sic variata, ceteris tribus diatonici generis remanentibus chordis, de genero diatonico genus factum est chromaticum.

Ad illius tamen chordae variationem, multae sequuntur variationes differentiarum et particularium consonantiarum in quibus illa dua genera distinguuntur, quia chorda secunda in depositione, quantum ad genus diatonicum, habet tonum ad primam in depositione sive acutissimam illius tetrachordi, sed, quantum ad genus chromaticum, illae duae chordae distant per semiditonum. Item chorda secunda in depositione ad tertiam in depositione tonum habet in genere diatonico, in chromatico vero semitonium maius.

Sed iam tetrachordum nete diezeugmenon, quantum ad genus enharmonium, describatur, ubi est advertendum quod hoc genus convenit, quantum ad rem, in tribus chordis cum aliis duobus generibus, non tantum quantum ad ordinem. Convenit enim cum illis in extremis chordis. Item ipsius chorda secunda in depositione eadem est realiter cum chorda tertia in depositione generis diatonici et chromatici, scilicet ea, quae dicitur paranete diezeugmenon enharmonios quantum ad genus enharmonium, cum ea, quae in genere tam diatonico quam chromatico, dicitur trite diezeugmenon; et hoc generaliter verum est in omni tetrachordo. Sed chordae illae dissimiles sunt in nominibus, ut est tactum, quia variatur ordo. Ad hoc igitur ut de genere diatonico genus fiat enharmonium, oportet ut ordo chordae tertiae in depositione, quae est trite diezeugmenon generis diatonici vel chromatici, mutetur, quia illa in genere enharmonio debet esse secunda in depositione, scilicet paranete diezeugmenon enharmonios. Mutato autem ordine ac nomine, mutatur et littera vel litterae, non numerus assignatus chordae. Chorda autem quae in genere tam diatonico quam chromatico dicitur trite diezeugmenon, alia realiter est ab ea quae sic vocatur in genere enharmonio. Propterea dicit sic Boethius: Chorda illa quae in diatonico genere trite diezeugmenon diatonica est et in chromatico trite diezeugmenon chromatica, ea in enharmonio [98] genere paranete diezeugmenon enharmonios dicitur (integros enim per duos tonos distat a nete diezeugmenon). Et sicut tactae chordae mutatur nomen et ordo, sic et litterae quae modum important notandi. Notatur enim per .AA. et, cum numerus non mutetur, tacens de hoc, Boethius causam mutationis assignat nominis, quae est variatio ordinis, quia enim inter neten diezeugmenon et paraneten enharmonion, nulla interest chorda media. Idcirco paranetes vocabulo nuncupatur. Semitonium autem minus, quod est inter paraneten enharmonion diezeugmenon et paramesen, idest inter .AA. et .X. hac partimur ratione, scilicet ut fiant duae semitonii partes. Sumatur differentia numerorum ascriptorum ipsi paranete diezeugmenon enharmonio et paramese qui sunt 3888 et 4O96. Illa enim 208 huius pars sumatur media quae est 104. Apponatur haec 3888 et fiet 3992. Hic iungatur chordae quae est trite diezeugmenon enharmonios cum hac littera quae est .Z.

Sic igitur tetrachordum <netarum> diezeugmenon secundum tria genera descriptum est cuius descriptionis exemplum inferius adiectum est, una cum priore tetrachordo quod est nete hyperboleon. Sicque fiat utrorumque una descriptio, ut paulatim forma iuncta totius descriptionis monochordi consurgeret:

[P1, 185v; P2, 212v in marg.] (Vide pp. 99, 100, 101)

| P1, 186r in marg.] Capitulum XXXIII.

Monochordi netarum synemmenon per tria genera partitio.

Ad evidentiam tertii tetrachordi descriptionis, quod est nete synemmenon, notandum est primo hoc tetrachordum esse coniunctum ipsi mese, quia mese est ultima chorda illius tetrachordi in depositione vel prima in elevatione, et propterea vocatur nete synemmenon. Alia autem duo tetrachorda

[99] [CSMIII/5:99; text: Genus diatonicum, Diapason, dupla proportio, Pentachordum diapente resonans, Diatessaron idest tetrachordum diezeugmenon diatonos, Tetrachordum hyperboleon diatonos diatessaron resonans, .a.lamire, .[sqb].mi, .c.solfaut, .d.lasolre, .e.lami, .f.faut, .g.solreut, .aa.lamire, O, X, Y, CC, DD, EE, NN, LL, IIII[macron supra lin.].DCVIII, IIII[macron supra lin.].XCVI, III[macron supra lin.].DCCCLXXXVIII, III[macron supra lin.].CCCCLVI, III[macron supra lin.].LXXII, II[macron supra lin.].DCCCCXVI, II[macron supra lin.].DXCII, II[macron supra lin.].CCCIIII, Mese, Paramese, Trite diezeugmenon, Parenete diezeugmenon diatonos, Nete diezeugmenon, Trite hyperboleon, Paranete hyperboleon diatonos, Nete hyperboleon] [JACSP5B 04GF]

[100] [CSMIII/5:100; text: Genus chromaticum, Diapason, dupla proportio, Pentachordum diapente resonans, sesqualtera proportio, Tetrachordum diezeugmenon diatessaron resonans, Tetrachordum hyperboleon diatessaron resonans, sesquitertia proportio, O, X, Y, BB, DD, EE, KK, LL, IIII[macron supra lin.].DCVIII, IIII[macron supra lin.].XCVI, III[macron supra lin.].DCCCLXXXVIII, III[macron supra lin.].DCXLVIII, III[macron supra lin.].LXXII, II[macron supra lin.].DCCCCXVI, II[macron supra lin.].DCCXXXVI, II[macron supra lin.].CCCIIII, Mese, Paramese, Trite diezeugmenon, Parenete diezeugmenon chromatice, Nete diezeugmenon, Trite hyperboleon, Paranete hyperboleon chromatice, Nete hyperboleon] [JACSP5B 05GF]

[101] [CSMIII/5:101; text: Genus enharmonium, Diapason, dupla proportio, Pentachordum diapente resonans, sesqualtera proportio, Tetrachordum diezeugmenon diatessaron resonans, Tetrachordum hyperboleon diatessaron resonans, sesquitertia proportio, O, X, Z, AA, DD, FF, GG, LL, IIII[macron supra lin.].DCVIII, IIII[macron supra lin.].XCVI, III[macron supra lin.].DCCCCXCII, III[macron supra lin.].DCCCLXXXVIII, III[macron supra lin.].LXXII, II[macron supra lin.].DCCCCXCIIII, II[macron supra lin.].DCCCCXVI, II[macron supra lin.].CCCIIII, Mese, Paramese, Trite diezeugmenon enharmonios, Paranete diezeugmenon enharmonios, Nete diezeugmenon, Trite hyperboleon enharmonios, Paranete hyperboleon enharmonios, Nete hyperboleon] [JACSP5B 06GF] [P2, 213r in marg.]

[102] prius descripta, etsi inter se coniuncta sint, a mese tamen sunt disiuncta et ideo alterum illorum nete diezeugmenon, quod distinctionem importat, nuncupatur.

Item notandum est <quod>, cum inter neten diezeugmenon et mesen sit pentachordum, resonans diapente, describantur autem ibi duo tetrachorda, scilicet nete diezeugmenon et nete synemmenon, quae, propter extremas chordas illius pentachordi, decem intermedias requirunt chordas ut tribus illis aptantur generibus, oportet ut aliquae de chordis illis eaedem sint realiter, quamvis in nominibus distinguantur et litteris. Ad pentachordum enim quinque sufficiunt chordae, ut ex suo patet nomine. Quae autem chordae sint eaedem realiter et in quo genere, et quae non, dicetur infra.

Notandum est ulterius quod, cum inter neten diezeugmenon et mesen sit pentachordum continens diapente, superet autem diapente diatessaron in tono, si tetrachordum synemmenon in hoc capitulo describendum terminari debeat inclusive ad mesen, oportet ut altissima ipsius chorda tono distet a nete diezeugmenon, et illa in genere diatonico est paranete diezeugmenon quae, in tertio nunc describendo tetrachordo communiter, quantum ad tria genera, vocabitur nete synemmenon.

His visis, dicit sic Boethius: Duo quidem tetrachorda, quae sibimet quidem coniuncta sunt, a mese vero disiuncta, trium generum superior descriptio quemadmodum locarentur ostendit. Nunc ad illud tetrachordum veniendum est, quod synemmenon vocatur, quod iunctum est ei, quae est mese. Ad hoc autem ut ipsi mese iungatur, oportet ut de pentachordo quod est a nete diezeugmenon in mesen tonus tollatur qui continetur inter neten diezeugmenon et paraneten diezeugmenon <diatonon>.

Hoc enim facto, poterimus ad mesen aliud iungere tetrachordum, ut dicatur et fiat synemmenon, quod est coniunctum, hoc modo. Sumatur tertia pars numeri iuncti ipsi paranete diezeugmenon <diatono>, qui est 3456. Illa pars tertia est 1152 quae, iuncta numero, cuius est tertia pars, constituit numerum ascriptum ipsi mese, qui est 4608. Cum igitur, inter tactos numeros qui sunt 4608 et 3456, sit sesquitertia [103] proportio, chordae, quibus ascribuntur, inter se diatessaron resonabunt, scilicet mese ad paraneten diezeugmenon diatonon, quae in secundo tetrachordo .CC. vocabatur. In tertio vero, idest in synemmenon, scilicet coniunctarum, vocatur communiter in tribus generibus nete synemmenon .V. littera pernotata.

In hoc quod dicitur in tribus generibus, tangitur ratio quare nomen illius chordae, quae in secundo tetrachordo dicebatur paranete diezeugmenon, mutetur in tertio, in quo vocatur nete synemmenon, et ab illo nomine, sequentes chordae illius tertii tetrachordi, excepta mese, denominantur. Et illa est ratio quia chorda illa, ut ad secundum pertinet tetrachordum, non est realiter eadem ut tribus servit generibus, sicut est in tertio tetrachordo. Et sic, quae erat mobilis in secundo tetrachordo, dicitur immobilis vel stabilis in tertio. Sunt autem aliae rationes mutationis illius nominis.

Iam igitur habemus chordas extremas tertii tetrachordi et numeros eis iunctos. Inquirantur chordae mediae numerique iungendi eisdem, et primo in genere diatonico.

Auferatur octava pars a numero prius tacto iuncto chordae quae est .V. Illa est sequens numerus 432 qui iungatur numero cuius est octava pars, fientque 3888, quibus prius .Y. iungebatur, cum serviret tertiae chordae in depositione secundi tetrachordi. Nunc autem, ut servit secundae chordae tertii tetrachordi, quae in illo vocatur paranete synemmenon diatonos, iungatur .T. Ex quibus patet | [P2, 213v in marg.] quod paranete synemmenon diatonos et trite diezeugmenon sunt eaedem chordae realiter. Unde eis idem iungitur numerus, sed distinguuntur in nominibus et litteris propter alium ordinem et quia distinctis serviunt tetrachordis.

Item prioris numeri, qui est 3888, octava sumatur pars, quae est 486. Iungatur haec priori numero. Nascitur inde numerus, qui est 4374. Hic iungatur trite synemmenon <diatono> cum littera quae est .Q. Cum igitur inter mesen et neten synemmenon, et quantum ad harum chordarum numeros qui sunt 4608 <et> 3456, sesquitertia contineatur proportio in qua fundatur diatessaron, trite autem synemmenon ad neten synemmenon duorum tonorum proportiones contineat, relinquitur ex his ut inter triten synemmenon diatonon et mesen sit semitonii minoris proportio.

[104] Sicque descriptum est tetrachordum synemmenon secundum genus diatonicum quod iunctum est ipsi mese. Ideo synemmenon, quasi continuum, vocatur.

Consequenter tetrachordum synemmenon secundum genus chromaticum describatur.

Sumatur differentia numerorum netes synemmenon et | [P1, 186v in marg.] paranetes synemmenon diatonici generis. Illa est 432. Dividatur hoc ut sit semitonium et illius medietas est sequens numerus 216 qui iungatur numero, qui est 3888, ut tria fiant semitonia. Et erunt 4104. Hic numerus iungatur ipsi paranete synemmenon chromaticae cui littera .S. superapponatur.

Est autem hic notandum quod, cum chorda tertii tetrachordi, quae est paranete synemmenon chromatica, eadem sit realiter cum chorda gravissima secundi tetrachordi, quae est paramese, suffecisset, ut videtur, numerum iunctum ipsi paramese, quae est 4O96, appositum esse ipsi paranete synemmenon chromaticae, cum eadem contineatur consonantia inter paraneten synemmenon chromaticam et mesen quae inter paramesen et mesen. Utrobique enim tonus continetur. Distinguantur autem inter se numeri illi, quia qui iunctus est ipsi paranete synemmenon chromaticae, superat numerum iunctum ipsi paramese in octo unitatibus. Minor autem numerorum illorum, ut infra patebit, Deo dante, verior est, sed variatur ille numerus propter aliam hic et ibi descriptionem, similiter et littera. Cum igitur ab hac chorda, idest paranete synemmenon chromatica, quoad hoc tertium tetrachordum, quae prius, quoad secundi tetrachordi descriptionem, dicebatur paramese, in quocumque genere usque ad triten synemmenon tam diatonicam quam chromaticam, sit semitonium, non quodcumque, sed maius, eique sit numerus in genere diatonico iunctus, qui est 4374, cum hac littera .Q., et a tacta chorda, quae est trite synemmenon in genere diatonico et chromatico usque in mesen, sit minus semitonium, completa est descriptio tetrachordi synemmenon, quantum ad genus chromaticum, quia trite synemmenon eadem est realiter in utroque iam tacto genere.

Restat igitur descriptio tetrachordi synemmenon, quoad genus enharmonium.

Quoniam igitur, a nete synemmenon usque ad triten synemmenon diatonicam vel chromaticam, duo sunt toni, chorda haec quae, in dictis generibus, diatonico scilicet et chromatico, [105] dicitur trite synemmenon, eadem in genere enharmonio erit paranete synemmenon enharmonios, habens summam hanc, scilicet 4374. Et sit, quantum ad genus enharmonium, .R. quae in aliis duobus generibus erat .Q. Ab hac chorda, quae est .R. vel .Q., usque ad mesen est semitonium minus ad cuius divisionem, ut genus descriptum sit enharmonium, sumatur differentia numerorum chordarum illarum quae sunt 4608 et 4374. Illa est 234. Huius sumatur medietas, quae est 117. Iungatur minori tactorum duorum numerorum quorum sumpta est differentia, et exit inde sequens numerus 4491 qui .P. littera pernotetur. Et sit trite synemmenon enharmonios.

Divisum est igitur semitonium contentum inter paraneten synemmenon enharmonion et mesen quarum chordarum numeri sunt 4374 et 4608. Et illa divisio facta est per triten synemmenon enharmonion per numerum qui est 4491.

Quocirca huius quoque tetrachordi, quoad tria genera, ratio expedita est, de quo nunc exemplificandum est una cum praecedentibus duobus sibi iunctis tetrachordis, ut paulatim totius monochordi dispositionis rata fiat progressio.

Cum autem hoc tertium tetrachordum aliqualiter cum secundo connectatur, excepta chorda altissima secundi tetrachordi, tertium deinceps supra secundum describitur, ut in mesen terminetur modo qui sequitur:

(Vide pp. 106, 107, 108) [P1, 187r in marg.]

| [P1, 187v; P2, 214r in marg.] Capitulum XXXIIII.

Tetrachordi diezeugemenon ad tetrachordum synemmenon collatio.

Quia tetrachordum <netarum> diezeugmenon aliqualiter connexum est cum tetrachordum <netarum> synemmenon, comparentur haec ad invicem ut amplius appareat in quibus conveniunt et quot chordis et in quibus distinguuntur,

[106] [CSMIII/5:106; text: Genus diatonicum, Diapason, dupla proportio, Pentachordum diapente resonans, Tetrachordum synemmenon diatonos diatessaron resonans, Tetrachordum diezeugmenon diatonos diatessaron resonans, tetrachordum hyperboleon diatonos diatessaron resonans, .a.lamire, .b.fa, .[sqb].mi, .c.solfaut, .d.lasolre, .e.lami, .f.faut, .g.solreut, .aa.lamire, O, Q, T, V, X, <Y>, CC, DD, EE, NN, LL, IIII[macron supra lin.].DCVIII, IIII[macron supra lin.].CCCLXXIIII, III[macron supra lin.].DCCCLXXXVIII, III[macron supra lin.].CCCCLVI, IIII[macron supra lin.].XCVI, III[macron supra lin.].LXXII, II[macron supra lin.].DCCCCXVI, II[macron supra lin.].DXCII, II[macron supra lin.].CCCIIII, Mese, Trite synemmenon <diatonos>, Paranete synemmenon diatonos, Nete synemmenon, Paramese, Trite diezeugmenon <diatonos>, Parenete diezeugmenon <diatonos>, Nete diezeugmenon, Trite hyperboleon <diatonos>, Paranete hyperboleon <diatonos>, Nete hyperboleon] [JACSP5B 07GF]

[107] [CSMIII/5:107; text: Genus chromaticum, Diapason dupla proportio, Pentachordum diapente resonans, Tetrachordum synemmenon chromaticum diatessaron resonans, Tetrachordum diezeugmenon chromaticum diatessaron resonans, Tetrachordum hyperboleon chromaticum diatessaron resonans, O, Q, S, V, X, Y, BB, DD, EE, KK, LL, IIII[macron supra lin.].DCVIII, IIII[macron supra lin.].CCCLXXIIII, IIII[macron supra lin.].CIIII, III[macron supra lin.].CCCCLVI, IIII[macron supra lin.].XCVI, III[macron supra lin.].DCCCLXXXVIII, III[macron supra lin.].DCXLVIII, III[macron supra lin.].LXXII, II[macron supra lin.].DCCCCXVI, II[macron supra lin.].DCCXXXVI, II[macron supra lin.].CCCIIII, Mese, Trite synemmenon <chromatice>, Paranete synemmenon <chromatice>, Nete synemmenon, Paramese, Trite diezeugmenon chromatice, Parenete diezeugmenon chromatice, Nete diezeugmenon, Trite hyperboleon <chromatice>, Paranete hyperboleon <chromatice>, Nete hyperboleon] [JACSP5B 08GF]

[108] [CSMIII/5:108; text: Genus enharmonium, Diapason dupla proportio, Pentachordum diapente resonans, Tetrachordum synemmenon diatessaron resonans, Tetrachordum diezeugmenon enharmonium diatessaron resonans, Tetrachordum hyperboleon enharmonium diatessaron resonans, O, P, R, V, X, Z, AA, DD, FF, GG, LL, IIII[macron supra lin.].DCVIII, IIII[macron supra lin.].CCCCXCI, IIII[macron supra lin.].CCCLXXIIII, III[macron supra lin.].CCCCLVI, IIII[macron supra lin.].DCVIII, IIII[macron supra lin.].XCVI, III[macron supra lin.].DCCCCXCII, III[macron supra lin.].DCCCLXXXVIII, III[macron supra lin.].LXXII, II[macron supra lin.].DCCCCXCIIII, II[macron supra lin.].DCCCCXVI, II[macron supra lin.].CCCIIII, Mese, Trite synemmenon enharmonios, Paranete synemmenon enharmonios, Nete synemmenon, Paramese, Trite diezeugmenon enharmonios, Paranete diezeugmenon enharmonios, Nete diezeugmenon, Trite hyperboleon enharmonios, Paranete hyperboleon enharmonios, Nete hyperboleon] [JACSP5B 09GF]

[109] et primo quantum ad genus diatonicum, secundum quoad alia.

Conveniunt in genere diatonico tacta duo tetrachorda duabus in chordis realiter. Quae enim in tetrachordo diezeugmenon dicitur paranete diezeugmenon, eadem est realiter cum acutissima tetrachordi synemmenon, et dicitur ibi nete synemmenon. Utraque enim harum distat per diatessaron a mese et per tonum a nete diezeugmenon. Unde numerus idem ascribitur illis, scilicet 3456. Sed in nominibus distinguuntur et litteris propter alium ordinem et quia distinctis serviunt tetrachordis. Item chorda, quae in tetrachordo diezeugmenon vocatur trite diezeugmenon, realiter eadem est cum ea quae in tetrachordo synemmenon est paranete synemmenon. Utraque enim harum distat a mese per semiditonum, a nete vero diezeugmenon per ditonum. Ideo non inconvenienter illis chordis idem numerus adiungitur, ut consonantiarum salventur proportiones, hic scilicet 3888, sed mutantur nomina propter tactas causas. Quae enim in tetrachordo diezeugmenon est tertia in descendendo, in tetrachordo synemmenon est secunda. Mutantur etiam litterae quia, prout illa chorda dicitur trite diezeugmenon, .Y. littera sibi iungitur, ut vero vocatur paranete synemmenon, .T. littera sibi sociatur.

Sed duo tacta tetrachorda realiter, et non tantum in nomine, in quattuor distinguuntur chordis, scilicet in duabus extremis tetrachordi diezeugmenon, quae sunt nete diezeugmenon et paramese. Hae enim nec intrant nec pertinent ad tetrachordum synemmenon.

Similiter, ex alia parte, tetrachordum synemmenon in chordis duabus, scilicet in duabus gravioribus, a diezeugmenon distinguitur quae sunt trite synemmenon et mese. Illae enim ad tetrachordum diezeugmenon non pertinent.

Convenit igitur tetrachordum diezeugmenon realiter in duabus suis chordis intermediis cum tetrachordo synemmenon et in duabus suis extremis chordis ab illo distinguitur. Tetrachordum vero synemmenon convenit cum tetrachordo diezeugmenon in duabus superioribus chordis et in duabus inferioribus ab illo disiungitur sicque fit ut, in diatonico genere, pro duobus illis tetrachordis, sex chordae ponantur quarum tamen duae in nominibus et litteris duplicantur, quia duo tetrachorda octo requirunt chordas.

Haec autem ad claves, voces et litteras applicemus nostri monochordi.

[110] Sicut in exemplis iam positis signatum est, pentachordum, in quo duo tetrachorda descripta sunt, continetur inter neten diezeugmenon et mesen. Quibus chordis, in gammate nostro, respondent .e. acuta, sive elami in regula, et .a. acuta, quae est alamire in regula, suntque voces respondentes chordis tetrachordi diezeugmenon: la de elami acuta, sol de .d. acuta, scilicet de dlasolre, fa de .c. acuta, scilicet de csolfaut, mi de .[sqb]. quadrata vel caudata. Voces autem respondentes chordis tetrachordi synemmenon sunt: la de .d. acuta, sol de .c. acuta, fa de .b. rotunda, mi de .a. acuta. Unde fit ut in gammate nostro, voces tetrachordi diezeugmenon per .[sqb]. quadratum decantentur, ipsius vero tetrachordi synemmenon per .b. molle. Et tamen utrique hi modi ad genus pertinent diatonicum. Et sicut in descriptione duorum tactorum tetrachordorum sunt sex chordae realiter distinctae et duae communes, quantum ad rem, distinctae tamen quantum ad litteras et nomina, sic tactis duobus tetrachordis in gammate sex claves et litterae respondent distinctae, scilicet .a.b.[sqb].c.d.e. Duo autem coincidunt, scilicet .c. et .d. Quarum tamen, etsi mutentur claves vel litterae, variantur tamen ipsarum voces et modi cantandi, quia pro alteriori in .d. ponitur sol, et fa in .c.; pro graviori duorum illorum in .d. la ponitur, et sol in .c. Et hoc potest fieri, quia voces illae, etsi sint distinctae, sunt tamen unisonantes et diversis respondent cantandi modis suo modo, sicut tetrachorda illa apud Antiquos sunt distincta.

Forsitan, autem in tacto pentachordo duo potius describuntur tetrachorda ut haberemus cantum per .b. molle qui locum habet ibi, quantum scilicet ad tetrachordum synemmenon, et non alibi, quantum ad monochordum antiquum.

Respondent autem voces et claves nostri monochordi chordis omnibus antiqui monochordi, quantum ad genus diatonicum, non sic, quantum ad alia duo genera. Et ideo, in descriptione tetrachordorum generis diatonici, supra chordas antiquas, litterae, vocesque clavium ipsius gammatis illis respondentes disponuntur.

Hoc autem in aliis non fit generibus, quia, etsi aliquae claves nostrae aliquibus chordis generum illorum, chromatici scilicet et enharmonii, respondeant, stabilibus scilicet et mobilibus, non tamen omnibus. Quantum autem ad genus chromaticum, tactorum duorum descriptio, diezeugmenon scilicet et synemmenon, in una, quantum ad rem, convenit, [111] in gravissima scilicet tetrachordi diezeugmenon, quae pro tetrachordo illo vocatur paramese. Haec enim realiter eadem est cum ea quae in tetrachordo synemmenon dicitur paranete synemmenon. Utraque enim | [P1, 188r in marg.] illarum tono distat a mese, in diatessaron vero a nete diezeugmenon. Iunguntur autem illis numeri distincti propter distinctorum illorum tetrachordorum descriptiones, ipsius scilicet diezeugmenon, quantum ad diatessaron quae est inter neten diezeugmenon et paramesen. Propterea iungitur illi numerus qui sesquitertiam proportionem habet ad numerum iunctum ipsi nete diezeugmenon, ipsius vero synemmenon, quantum ad semiditoni descriptionem quae est inter neten diezeugmenon et paraneten diezeugmenon. Et cum numerus iunctus ipsi paranete synemmenon superet numerum iunctum ipsi paramese | [P2, 214v in marg.] in octo unitatibus, quia maior est 4104, minor vero numerus est 4O96, cum autem minor numerus integer sit integram et veram sesquitertiam proportionem importans ad numerum iunctum ipsi nete diezeugmenon qui est 3072, importet etiam veram semiditonialem proportionem ad numerum iunctum ipsi nete synemmenon, qui est 3456, maior alius numerus non potest esse integer. Si enim duae unitates, vel etiam sola, proportiones inter numeros mutant et variant, multo fortius hoc octo faciunt unitates. Sed, Deo dante, de hac alias loquemur materia.

Et quia numeri aliqualiter distincti illis assignantur chordis, sicut et litterae, in aliquibus Boethii libris non simul exemplificatur de illis, sed divisim. Hic autem, ad denotandum realem illarum chordarum idemptitatem, sub una linea de illis exemplum positum est, licet signata sint illius realis idemptitatis nomina distincta, litterae numerique. In ceteris chordis, quoad genus chromaticum, inter se realiter, et non solum in nominibus et litteris, tacta duo tetrachorda distinguuntur. Dico "inter se quoad genus chromaticum", quia secus est si genus hoc ad genus comparetur diatonicum cum quo in tribus chordis realiter in quolibet convenit tetrachordo, ut alias dictum est. Quantum ad genus enharmonium, duo tacta tetrachorda, diezeugmenon scilicet et synemmenon, ad invicem in cunctis octo suis chordis sunt distincta, ut intelligenti debet esse manifestum. Concurrunt tamen in aliquibus chordis, ut ad genus diatonicum et chromaticum conferuntur.

[112] Capitulum XXXV.

Tetrachordi meson per tria genera partitio.

Tribus iam descriptis tetrachordis, ad duorum aliorum partitionem veniamus in quorum descriptionibus non videtur tantum esse laborandum. Ad exemplar enim praedictorum, illa duo, quae sunt meson atque hypaton, texenda sunt.

Ac primum, quidem diatonici generis meson tetrachordum, describatur hoc ordine: Sumantur numeri ipsius meses, qui est 4608. Pars tertia illa est 1536. Haec iungatur numero cuius est tertia pars; exit inde sequens numerus 6144. Hic numerus iungatur ipsi hypate meson cum littera quae sit .H. Distat igitur hypate meson a meson per diatessaron, quia, inter numeros illis chordis iunctos, sesquitertia continetur proportio. Sic habemus ipsius tetrachordi meson duas chordas extremas descriptas inter quas duo continentur toni cum minori semitonio, qui sic, quoad genus diatonicum, describantur. Sumatur numeri ipsius <meses>, scilicet 4608, pars octava, quae est 576. Iungatur hoc numero praecedenti. Provenit inde numerus qui est 5184. Copuletur hic ipsi lichano meson cum littera quae est .M. Distat enim lichanos meson a mese per tonum cuius proportionem, scilicet sesquioctavam, continent numeri chordis illis appositi. Item, numeri qui est 5184 octava sumatur pars. Illa est 648. Iungatur haec priori numero et nascitur inde sequens numerus, 5832, qui una cum littera .I. iungatur ipsi parhypate meson diatonos quae, in genere hoc, tono distat a lichano meson diatono. Continent autem numeri illi toni proportionem. Eadem autem chorda quae est parhypate meson duobus incompositis tonis distat a mese. Relinquitur igitur minus semitonium contineri inter hypaten meson et parhypaten meson diatonon, et similiter ipsius minoris semitonii proportionem inter numeros chordis illis iunctos qu sunt 6144 et 5832. Sicque completa est descriptio tetrachordi meson secundum genus diatonicum.

Describatur consequenter idem tetrachordum secundum alia duo genera, et primo secundum genus chromaticum sic: [113] Videatur differentia numerorum ipsius meses et lichanou meson diatonou, qui sunt 4608 et 5184. Illa est 576. Huius dimidia sumatur pars, quae sunt 288. Iungatur haec maiori tactorum numerorum qui est 5184. Nascitur ex hoc sequens numerus, scilicet 5472, qui cum littera .N. iungatur ipsi lichano meson chromaticae, ut sit trihemitonium vel semiditonus inter lichanon meson chromaticen et mesen. Cum autem diatessaron superet semiditonum in integro tono qui in duo dividitur semitonia inaequalia, relinquuntur duo tacta semitonia inter lichanon meson chromaticen et hypaten meson, unum quidem, scilicet maius, inter dictam lichanon meson chromaticen et parhypaten meson chromaticen, idest inter 5472 et 5832, et aliud, scilicet minus, inter parhypaten meson chromaticen et hypaten meson, idest inter 5832 et 6144. Visum est etiam in huius tetrachordi descriptione, quantum ad genus diatonicum, quod inter parhypaten meson et mesen, est duorum tonorum distantia. Superant | [P1, 188v in marg.] autem duo toni semiditonum in semitonio maiore. Et propterea, si inter lichanon meson chromaticen et mesen sit semiditonus, erit semitonium maius, quod est apotome, inter parhypaten meson et lichanon meson chromaticen. Chorda enim, quae est parhypate meson, eadem est realiter in hoc tetrachordo, quantum ad genus tam diatonicum quam chromaticum, non tamen quantum ad enharmonium. Unde, quantum ad tacta dua prima genera, illi chordae littera eadem apponitur, | [P2, 215r in marg.] similiter et numerus. Relinquitur autem minus semitonium, scilicet diesis inter parhypaten meson et hypaten meson, quia diatessaron duos superat tonos in minore semitonio. Descriptumque sic est tetrachordum meson secundum genus chromaticum.

Postea idem tetrachordum secundum genus disponatur enharmonium modo qui sequitur: Habemus ex descriptione huius tetrachordi in duobus tactis generibus quod chorda, quae est parhypate meson, tam diatonica quam chromatica, distat per duos tonos a mese, ea scilicet cui sequens numerus adiungitur 5832. Tacta igitur chorda in genere enharmonio, quantum ad hoc tetrachordum, sit lichanos meson enharmonios sibique tactus ascribatur numerus qui est 5832, cum .I. littera simplici. Si enim eius mutetur nomen, sic et ordo variabitur similiter et littera. Et cum, inter tactam chordam quae in genere hoc est lichanos meson, et, in duobus aliis, parhypate meson et hypate meson, sit semitonium [114] minus, ut illud dividatur prout ad genus pertinet enharmonium, sumatur differentia numerorum illis chordis adiunctorum inter quas tactum continetur semitonium. Sunt autem numeri chordarum illarum hi: 5832 <et> 6144. Superat autem maior tactorum numerorum minorem in numero qui sequitur: 312. Hic enim est differentia in quo tacti distinguuntur numeri. Dividatur tactus differentialis numerus in duas medietates, fientque 156. Iungatur tacta medietas numero qui est 5832. Exit inde sequens numerus, scilicet 5988. Hic iungatur ipsi parhypate meson enharmonio cum littera quae sit .K. Quo facto, descriptum est tetrachordum meson secundum genus enharmonium, quod prius secundum alia duo genera divisum est. Hoc autem cum superius descriptis tetrachordis exemplariter aggregetur sic:

(Vide pp. 115, 116, 117).

Capitulum XXXVI.

Tetrachordi hypaton per tria genera partitio.

Nunc vero tetrachordum hypaton, quod ultimum et gravissimum est inter praecedentia, dividendum est. Cum autem inter proslambanomenon, quae praecedit hypaten hypaton et hypaten meson, sit pentachordum diapente resonans sitque inter hypaten hypaton et hypaten meson tetrachordum resonans diatessaron, <tangetur> primo de his.

Sumantur igitur numeri ipsius hypates meson, qui est

[115] [P1, 189r in marg.] [CSMIII/5:115; text: <Genus diatonicum>, Diatessaron cum diapason, dupla superbipartiens proportio, Diapason, dupla proportio, Pentachordum diapente resonans, Tetrachordum meson diatonos diatessaron resonans, Tetrachordum synemmenon diatonos diatessaron resonans, Tetrachordum diezeugmenon diatonos diatessaron resonans, Tetrachordum hyperboleon diatonos diatessaron resonans, .E.lami, .F.faut, .G.solreut, .a.lamire, .b.fa, .[sqb].mi, .c.solfaut, .d.lasolre, .e.lami, .f.faut, .g.solreut, .aa.lamire, H, I, M, O, Q, T, V, X, Y, CC, DD, EE, NN, LL, IIII[macron supra lin.].DCVIII, IIII[macron supra lin.].CCCLXXIIII, III[macron supra lin.].DCCCLXXXVIII, III[macron supra lin.].CCCCLVI, VI[macron supra lin.].CXLIIII, V[macron supra lin.].DCCCXXXII, V[macron supra lin.].CLXXXIIII, IIII[macron supra lin.].XCVI, III[macron supra lin.].LXXII, II[macron supra lin.].DCCCCXVI, II[macron supra lin.].DXCII, II[macron supra lin.].CCCIIII, Mese, Trite synemmenon <diatonos>, Parenete synemmenon <diatonos>, Nete synemmenon, Hypate <meson>, Parhypate meson <diatonos>, Lichanos meson diatonos, Paramese, Trite diezeugmenon <diatonos>, Paranete diezeugmenon <diatonos>, Nete diezeugmenon, Trite hyperboleon <diatonos>, Paranete hyperboleon <diatonos>, Nete hyperboleon] [JACSP5B 10GF]

[116] [CSMIII/5:116; text: <Genus chromaticum>, Diatessaron cum diapason dupla superbipartiens proportio, Diapason dupla proportio, Pentachordum sesqualtera proportio, Tetrachordum chromaticum diatessaron resonans, Tetrachordum synemmenon chromaticum diatessaron resonans, Tetrachordum <diezeugmenon> chromaticum diatessaron resonans, Tetrachordum hyperboleon chromaticum diatessaron resonans, H, I, N, O, Q, S, V, X, Y, BB, DD, EE, KK, LL, IIII[macron supra lin.].DCVIII, IIII[macron supra lin.].CCCLXXIIII, IIII[macron supra lin.].CIIII, III[macron supra lin.].CCCCLVI, VI[macron supra lin.].CXLIIII, V[macron supra lin.].DCCCXXXII, V[macron supra lin.].CCCCLXXII, IIII[macron supra lin.].XCVI, III[macron supra lin.].DCCCLXXXVIII, III[macron supra lin.].DCXLVIII, III[macron supra lin.].LXXII, II[macron supra lin.].DCCCCXVI, II[macron supra lin.].DCCXXXVI, II[macron supra lin.].CCCIIII, Mese, Trite synemmenon <chromatice>, Paranete synemmenon chromatice, Nete synemmenon, Hypate <meson>, Parhypate meson <chromatice>, Lichanos meson chromatice, Paramese, Trite diezeugmenon chromatice, Paranete diezeugmenon chromatice, Nete diezeugmenon, Trite hyperboleon <chromatice>, Paranete hyperboleon chromatice, Nete hyperboleon.] [JACSP5B 11GF]

[117] [P1, 189v in marg.] [CSMIII/5:117; text: Genus enharmonium, Diatessaron cum diapason, dupla superbipartiens proportio, Diapason dupla proportio, Pentachordum diapente resonans, Tetrachordum meson <enharmonium diatessaron resonans>, Tetrachordum synemmenon enharmonium diatessaron resonans, Tetrachordum diezeugmenon diatessaron resonans, Tetrachordum hyperboleon enharmonium diatessaron resonans, H, K, L, O, P, R, V, Z, X, AA, DD, FF, GG, LL, IIII[macron supra lin.].DCVIII, IIII[macron supra lin.].CCCCXCI, IIII[macron supra lin.].CCCLXXIIII, III[macron supra lin.].CCCCLVI, VI[macron supra lin.].CXLIIII, V[macron supra lin.].DCCCCLXXXVIII, V[macron supra lin.].DCCCXXXII, IIII[macron supra lin.].XCVI, III[macron supra lin.].DCCCCXCII, III[macron supra lin.].DCCCLXXXVIII, III[macron supra lin.].LXXII, II[macron supra lin.].DCCCCXCIIII, II[macron supra lin.].DCCCCXVI, II[macron supra lin.].CCCIIII, Mese, Trite synemmenon enharmonios, Paranete synemmenon <enharmonios>, Nete synemmenon, Hypate meson, Parhypate meson <enharmonios>, Lichanos meson enharmonios, Paramese, Trite diezeugmenon <enharmonios>, Paranete diezeugmenon enharmonios, Nete diezeugmenon, Trite hyperboleon enharmonios, Paranete hyperboleon enharmonios, Nete hyperboleon.] [JACSP5B 12GF]

[118] 6144. Pars media, quae est 3072, iungatur hoc tacto numero cuius pars media est. Nascitur inde sequens numerus, scilicet 9216. Hic est numerus prius ipsi proslambanomeno ascriptus ad numerum ipsius hypates meson, sesqualteram servans proportionem in qua fundatur diapente. Item tacti numeri, qui est 6144, tertia sumatur pars quae est 2048. Iungatur haec numero praecedenti, et exit inde sequens numerus 8192, et sit .B., iungaturque ipsi hypate hypaton. Sicque descriptae sunt chordae extremae tetrachordi hypaton ut communiter tribus conveniunt generibus.

Describantur ulterius chordae aliae tetrachordi huius, primo quantum ad genus diatonicum sic: Consideretur pars octava numeri ipsius hypates meson, qui est 6144. Illa est 768. Iungatur haec eidem praedicto numero ut habeatur ad eum numerus sesquioctavus, qui est 6912. Tollatur octava pars, quae est 864. Iungatur numero cuius est octava pars, et exiet inde numerus qui est 7776, qui sit .C., iungaturque ipsi parhypate hypaton diatono uno cum tacto numero, ut habeatur sesquioctava proportio inter numerum ipsius parhypates hypaton diatonou et lichanou hypaton, inter quas chordas tonus continetur. Inter parhypaten hypaton et hypaten meson, duo sunt toni, et propterea relinquitur semitonium minus inter parhypaten hypaton diatonon et hypaten hypaton, idest inter 7776 et 8192, et sic diatonici generis hypaton tetrachordum descriptum est.

Chromaticum vero genus in hoc tetrachordo sic describatur. Consideretur differentia numerorum ipsarum hypates meson et lichanou hypaton, quae sunt 6912. Ea est 7068. Huius sumatur medietas quae est | [P1, 190r in marg.] 384. Hanc addicio ipsi 6912 ut tria semitonia fiant, et provenit inde numerus qui est 7296 qui sit .F., et iungatur totum ipsi lichano hypaton chromaticae, ab ea, quae est hypaton meson, tribus semitoniis distans. Relinquuntur igitur duo semitonia inter dictam chordam et hypaten hypaton, unum, scilicet maius, inter lichanon hypaton chromaticen et parhypaten hypaton, tam diatonicam quam chromaticam, idest inter 7296 et 7776, aliud, scilicet minus, inter parhypaten hypaton diatonicam vel chromaticam et hypaten hypaton, idest inter 7776 et 8192. Sic igitur chromaticum expletum est genus quantum ad hypaton tetrachordum.

Enharmonium autem genus in hoc tetrachordo sic partitur. Chorda quae in tetrachordo hypaton, in genere tam [119] diatonico quam chromatico, dicitur parhypate hypaton, duobus tonis distans ab hypate meson, haec, in genere enharmonio, quantum ad dictum tetrachordum, est lichanos hypaton cum littera quae est .C. et numerus qui est 7776, cui prius, in aliis generibus, .C. iungebatur. Et cum, habitis duobus tonis, non restet de diatessaron nisi minus semitonium quod clauditur inter hypaton hypaton et lichanon hypaton enharmonion, idest inter 8192 et 7776, horum numerorum sumatur differentia quae est 416. Adhuc tactae differentiae medietas accipiatur, quae est 208. Adiungatur haec ipsi 7776. Exit inde numerus qui est 7984, qui sit .D. Totumque iungatur ipsi parhypate hypaton enharmonio, ut habeantur duae diesis partes, una inter lichanon hypaton enharmonion et parhypaten hypaton enharmonion, idest inter 7776 et 7984, altera vero inter parhypaten hypaton enharmonion et hypaten hypaton, idest inter 7984 et 8192. Sicque divisum est tetrachordum hypaton secundum genus enharmonium. Remanet autem tonus inter proslambanomenon et hypaten hypaton, idest inter 9216 et 8192.

Descriptum est igitur tetrachordum hypaton secundum tria genera: diatonicum, chromaticum et enharmonium. Quod si superius descriptis tetrachordis, scilicet hyperboleon, diezeugmenon, synemmenon atque meson, adiungatur, fiet integra perfectaque descriptio divisi per omnia monochordi regularis, ut subscripta manifestat descriptio:

(Vide pp. 120, 121, 122)

| [P1, 191r in marg.] Capitulum XXXVII.

Recapitulatio tetrachordorum prius descriptorum.

| [P2, 216r in marg.] In superiore forma, consonantiam, quae est diapason, obtinet proslambanomenos ad mesen et <mese> ad neten hyperboleon, bis autem diapason proslambenomenos ad neten hyperboleon. Diatessaron autem consonantiam

[120] [CSMIII/5:120; text: Genus diatonicum, Bis diapason, quadrupla proportio, Diapason, dupla proportio, Pentachordum diapente resonans, Tetrachordum hypaton <diatonos> diatessaron resonans, Tetrachordum meson diatonos diatessaron resonans, Tetrachordum synnemmenon <diatonos> diatessaron resonans, Tetrachordum diezeugmenon <diatonos> diatessaron resonans, Tetrachordum hyperboleon <diatonos> diatessaron resonans, .A.re, <.B.>mi, .C.faut, .D.solre, .E.lami, .F.faut, .G.solreut, .a.lamire, .b.fa, .[sqb].mi, .c.solfaut, .d.lasolre, .e.lami, .f.faut, .g.solreut, .aa.lamire, B, H, I, M, O, Q, T, V, X, Y, CC, DD, EE, NN, LL, IIII[macron supra lin.].DCVIII, IIII[macron supra lin.].CCCLXXIIII, III[macron supra lin.].DCCCLXXXVIII, III[macron supra lin.].CCCCLVI, VIIII[macron supra lin.].CCXVI, VIII[macron supra lin.].CXCII, VII[macron supra lin.].DCCLXXVI, VI[macron supra lin.].DCCCCXII, VI[macron supra lin.].CXLIIII, V[macron supra lin.].DCCCXXXII, V[macron supra lin.].CLXXXIIII, IIII[macron supra lin.].XCVI, III[macron supra lin.].DCCCLXXXVIII, III[macron supra lin.].CCCCLVI, III[macron supra lin.].LXXII, II[macron supra lin.].DCCCCXVI, II[macron supra lin.].DXCII, II[macron supra lin.].CCCIIII, Mese, Trite synemmenon <diatonos>, Paranete synemmenon diatonos, Nete synemmenon, Proslambanomenos, Hypate hypaton, Parhypate hypaton <diatonos>, Lichanos hypaton <diatonos>, Hypate meson, Parhypate meson <diatonos>, Lichanos meson diatonos, Paramese, Trite diezeugmenon diatonos, Paranete diezeugmenon diatonos, Nete diezeugmenon, Trite hyperboleon <diatonos>, Paranete hyperboleon <diatonos>, Nete hyperboleon] [JACSP5B 13GF]

[121] [P1, 190v in marg.] [CSMIII/5:121, text: Genus chromaticum, Bis diapason, quadrupla proportio, Diapason, dupla proportio, Pentachordum diapente resonans, Tetrachordum hypaton chromaticum diatessaron resonans, Tetrachordum meson chromaticum diapente resonans, Tetrachordum synnemmenon chromaticum diatessaron resonans, Tetrachordum diezeugmenon chromaticum diatessaron resonans, Tetrachordum hyperboleon chromaticum diatessaron resonans, A, B, C, F, H, I, N, O, Q, S, V, X, Y, BB, DD, EE, KK, LL, IIII[macron supra lin.].DCVIII, IIII[macron supra lin.].CCCLXXIIII, IIII[macron supra lin.].CIIII, III[macron supra lin.].CCCCLVI, VIIII[macron supra lin.].CCXVI, VIII[macron supra lin.].CXCII, VII[macron supra lin.].DCCLXXVI, VII[macron supra lin.].CCXCVI, VI[macron supra lin.].CXLIIII, V[macron supra lin.].DCCCXXXII, V[macron supra lin.].CCCCLXXII, IIII[macron supra lin.].XCVI, III[macron supra lin.].DCCCLXXXVIII, III[macron supra lin.].DCXLVIII, III[macron supra lin.].LXXII, II[macron supra lin.].DCCCCXVI, II[macron supra lin.].DCCXXXVI, II[macron supra lin.].CCCIIII, Mese, Trite synemmenon <chromatice>, Paranete synemmenon chromatice, Nete synemmenon, Proslambanomenos, Hypate hypaton, Parhypate hypaton <chromatice>, Lichanos hypate chromatice, Hypate meson, Parhypate meson <chromatice>, Lichanos meson chromatice, Paramese, Trite diezeugmenon <chromatice>, Paranete diezeugmenon chromatice, Nete diezeugmenon, Trite hyperboleon <chromatice>, Paranete hyperboleon chromatice, Nete hyperboleon] [JACSP5B 14GF]

[122] [CSMIII/5:122, text: Genus enharmonium, Bis diapason, quadrupla proportio, Diapason, dupla proportio, Pentachordum diapente resonans, Tetrachordum hypaton enharmonium diatessaron resonans, Tetrachordum meson enharmonium diatessaron resonans, Tetrachordum synemmenon enharmonium diatessaron resonans, Tetrachordum diezeugmenon enharmonium diatessaron resonans, Tetrachordum hyperboleon enharmonium diatessaron resonans, A, B, D, C, H, K, L, O, P, R, V, X, Z, AA, DD, FF, GG, LL, IIII[macron supra lin.].DCVIII, IIII[macron supra lin.].CCCCXCI, IIII[macron supra lin.].CCCLXXIIII, III[macron supra lin.].CCCCLVI, VIIII[macron supra lin.].CCXVI, VIII[macron supra lin.].CXCII, VII[macron supra lin.].DCCCCLXXXIIII, VII[macron supra lin.].DCCLXXVI, VI[macron supra lin.].CXLIIII, V[macron supra lin.].DCCCCLXXXVIII, V[macron supra lin.].DCCCXXXII, IIII[macron supra lin.].XCVI, III[macron supra lin.].DCCCCXCII, III[macron supra lin.].DCCCLXXXVIII, III[macron supra lin.].LXXII, II[macron supra lin.].DCCCCXCIIII, II[macron supra lin.].DCCCCXVI, II[macron supra lin.].CCCIIII, Mese, Trite synemmenon enharmonios, Paranete synemmenon enharmonios, Nete synemmenon, Proslambanomenos, Hypate hypaton, Parhypate hypaton <enharmonios>, Lichanos hypaton enharmonios, Hypate meson, Parhypate meson <enharmonios>, Lichanos meson enharmonios, Paramese, Trite diezeugmenon enharmonios, Paranete diezeugmenon enharmonios, Nete diezeugmenon, Trite hyperboleon enharmonios, Paranete hyperboleon enharmnios, Nete hyperboleon] [JACSP5B 15GF]

[123] servant hypate hypaton ad hypaten meson, hypate meson ad mesen, mese ad neten synemmenon, paramese ad neten diezeugmenon, nete diezeugmenon ad neten hyperboleon, ita ut his consonantiis integra numerentur tetrachorda.

Et, ut clarius omnis in hac forma ordo respiciatur nervorum vel chordarum secundum tria prius tacta genera, quinque tantum notantur esse tetrachorda:

Primum quidem atque gravissimum hypaton, cuius princeps initians illud in ascendendo est hypate hypaton, hypate vero meson est ipsum terminans superius.

Secundum autem tetrachordum est meson, quod ad gravem partem initiat hypate meson, mese vero eundem terminat ad acutam partem superius.

Tertium est synemmenon cuius inferius princeps est mese, finalis vero chorda eius superius est nete synemmenon.

Quartum tetrachordum est diezeugmenon, cuius prima gravior et longior chorda est paramese; nete vero diezeugmenon extrema vocitatur.

Quintum autem est hyperboleon, cuius est quidem princeps inferius nete diezeugmenon; ad neten vero hyperboleon superius terminatur.

Notandum hic primo quod Boethius supra, in descriptionibus quinque tetrachordorum secundum tria saepe tacta genera, a superiore et acutissimo tetrachordo, scilicet ab hyperboleon, sumpsit originem, ut descendendo semper ad maiores et maiores praecederet numeros quibus maiores et maiores chordae respondent. Hoc enim forsitan visum est convenientius et facilius. In tacta tamen recapitulatione, quae ex verbis eius sumpta est, procedit e converso. A gravissimo enim, scilicet a tetrachordo hypaton, per intermedia ad altissimum usque procedit tetrachordum.

Secundo notandum est quod, licet Boethius in toto suo monochordo quinque tantum descripserit tetrachorda, continetur tamen ibi satis plura, saltem quantum ad genus diatonicum. Quantum enim ad illud, communiter inter aliquam chordam et quartam sibi proximo distantem, superius vel inferius, diatessaron continetur. Sufficit tamen inhibi quinque specialiter describere tetrachorda propter brevitatem et ad evitandam confusionem, propter etiam specialem illarum nominationem et distinctionem, et quia, in extremis chordis illorum quinque signatorum tetrachordorum, illa trium generum [124] conveniunt tetrachorda, ut dicantur chordae illae stabiles vel immobiles, quod in aliis chordis minime sic reperitur, et ideo signantur. Dicit Boethius quod quinque tantum notantur esse tetrachorda, non quin plura sint ibi possibilia, sed illa quinque sunt ibi magis notata.

Est ulterius notandum quod, cum inter proslambanomenon et mesen sit diapason, sicut inter mesen et neten hyperboleon, descripta tamen sunt tria tetrachorda inter mesen et neten hyperboleon, duo autem tantum inter proslambanomenon et mesen. Alias enim, si tot fuissent descripta tetrachorda ex una parte sicut ex alia, sex fuissent ibi tetrachorda descripta. Nolebat autem ibi Boethius nisi quinque tantum describere. Potius autem ad diapason, quae est inter mesen et neten hyperboleon, tria descripta sunt tetrachorda quantum ad aliam partem, forsitan propter illud quod tactum est supra, ubi descriptio tetrachordi synemmenon ad descriptionem tetrachordi diezeugmenon comparatur.

Capitulum XXXVIII.

Comparatio descriptionum prius factarum quantum ad convenientiam ut tria respiciunt genera.

Ad pleniorem intelligentiam descriptionum prius factarum, prout tria genera respiciunt, illas ad invicem conferemus, primo quantum ad convenientiam, postea quantum ad differentiam.

Dico igitur, quoad primum, illas descriptiones inter se convenire in singulis tetrachordis, etiam ut tria respiciant genera, quantum ad extremas chordas. Eidem enim numeri iunguntur extremis chordis quorumcumque tetrachordorum communiter sive illud tetrachordum descriptum sit secundum genus diatonicum, sive chromaticum, sive enharmonium, sive sit tetrachordum hyperboleon, sive diezeugmenon, sive aliquod aliud de illis quinque prius descriptis tetrachordis. Hoc autem oportuit, quia chordae extremae singulorum tetrachordorum in tribus illis generibus diatessaron resonant, ut exprimit littera tetrachordorum exemplis adiuncta. Dico etiam quod numeri illi chordis illis extremis singulorum tetrachordorum [125] et generum adiuncti integram ipsius diatessaron, quam resonant chordae illae, continent proportionem. Maior enim minorem continet et tertiam illius partem praecise, sicut, si chordae bene proportionatae sunt, maior vincit minorem in tertia minoris parte.

Quod autem ita sit, quantum ad numeros illis chordis extremis ascriptos, potest per diligentem examinationem experiri. Et ideo Boethius singulorum tetrachordorum primo chordas describit extremas ut habeat chordas extremas communes tribus generibus. Hoc autem facit tertiam apponendo partem numero minori ut maior numerus qui graviori et maiori chordae iungendus est, minorem qui minori et acutiori iungitur chordae, in tertia illius superet parte. Hoc autem intelligendum est de extremis chordis, ut extremae sunt | [P2, 216v in marg.] et tribus generibus communes propter paraneten synemmenon chromaticam quae, cum eadem sit cum extrema | [P1, 191v in marg.] et gravissima chorda tetrachordi diezeugmenon discrepat tamen ab ea in numero propter aliam descriptionem. In tetrachordo enim diezeugmenon, cum extrema et gravissima sit chorda respectu acutissimae, descriptionem respicit quae pertinet ad extremas chordas ipsius diatessaron. In tetrachordo vero <synemmenon>, cum sit media chorda et proxima acutiori, a qua distare debet per trihemitonium vel semiditonum, respicit descriptionem qua Boethius utitur ad habendos numeros qui tali competant consonantiae, de qua postea videbitur an per illam descriptionem vel artem habeantur integri numeri semiditonialis proportionis, aut non.

Item trium generum descriptiones in singulis tetrachordis conveniunt quantum ad aliquas chordas medias et chromaticum cum diatonico in chorda proxima graviori et enharmonium cum eisdem in chorda sua proxima acutiori. Idem enim numeri illis adiunguntur chordis, quia chordae illae in tribus generibus quorumcumque tetrachordorum ad extremas chordas easdem partialis important consonantias, quia minus semitonium ad chordam gravissimam cuiuslibet generis et tetrachordi, ditonum vero ad acutissimam. Et quod ita sit, diligens examinatio numerorum illis chordis adiunctorum reperiet, si exempla vera fuerint. Sed, quantum ad genus diatonicum et chromaticum, chordae illae, quae per [126] minus semitonium distant a gravissima chorda cuiuscumque tetrachordi et per ditonum ab acutiore, communiter eisdem vocantur nominibus, quia eundem tenent ordinem in illis. uantum vero ad genus enharmonium, nomine variantur propter ordinem qui mutatur, ut est tactum.

Capitulum XXXVIIII.

Comparatio descriptionum factarum prius quantum ad differentiam ut tria genera respiciunt.

Differunt autem positae prius descriptiones ut distincta respiciunt genera quantum ad aliquas medias chordas, ut alia descriptio competit chordae proximae acutiori quantum ad genus diatonicum in quocumque tetrachordo et quantum ad genus chromaticum, quia inter chordas illas, quantum ad genus diatonicum, tonus continetur, et, quantum ad genus chromaticum, trihemitonium, seu semiditonus. Et cum hae consonantiae sint distinctae, eis distinctae numerorum proportiones aptandae sunt, et illud observatur in descriptione cuiuslibet tetrachordi, ut visum est.

Item descriptio chordae proximae graviori generis enharmonii in quolibet tetrachordo diversa est a descriptionibus chordarum quarumcumque generum aliorem duorum, quia distat a chorda gravissima sui tetrachordi per minoris semitonii particulam. Hoc autem in aliis duobus generibus locum non habet.

Cum igitur in tetrachordis non sint nisi duae chordae mediae, conveniunt descriptiones trium generum quantum ad aliquam chordam mediam, et distinguuntur quantum ad alteram. Et cum conveniant in descriptione chordarum extremarum, conveniunt igitur in descriptione chordarum trium. Propterea Boethius, cum in singulis tetrachordis chordas descripsit, generis diatonici descriptionem iuvans se de hoc in aliis generibus unam solam in quolibet illorum specialiter describit chordam, quia in genere chromatico eam quae vocatur paranete quantum ad tria tetrachorda, scilicet synemmenon, diezeugmenon, hyperboleon, vel lichanos quantum ad alia duo quae sunt hypaton et meson. In genere vero [127] enharmonio illam quae in tribus tetrachordis dicitur trite synemmenon, diezeugmenon vel hyperboleon, vel parhypate hypaton, vel parhypate meson.

Item differt descriptio chordarum generis diatonici a descriptione chordarum duorum aliorum generum in hoc quod per illius generis descriptionem numeri assignati chordis omnibus in quocumque tetrachordo praecisam et integram proportionem includunt consonantiarum signatarum per chordarum illarum inter se et ad extremas combinationem, non sic autem in aliis duobus est tetrachordis.

Haec dicta declarentur primo quantum ad genus diatonicum, secundo quantum ad alia duo genera.

In genere diatonico, diatessaron inter extremas chordas continetur, sicut inter extremas chordas duorum aliorum generum. Illis vero, sicut est dictum, iunguntur integri numeri sesquitertiae proportionis in qua fundatur diatessaron. Maior enim numerorum illorum praecise vincit minorem in tertia illius parte sicque maior illorum in quattuor praecisas et integras divisibilis est partes, minor in tres, ut nihil plus, nihil minus contineant, sicut quattuor ad tria se habent, nec in hoc in numeris illis reperitur instantia, si vera sint exempla. Item, inter duas superiores chordas generis diatonici, tonus continetur, similiter inter duas intermedias. Numeri autem illis assignati duas integras et continuas important sesquioctavas proportiones. Patet hoc bene examinanti numeros illos. Maior enim sibi proximum minorem superat praecise in octava illius parte praecisa et, exempli gratia, sumantur tres numeri sequentes: 2916 2592 2304. Hi iunguntur tribus chordis tetrachordi nete hyperboleon generis diatonici, primus sive maior ipsi trite hyperboleon, medius ipsi paranete hyperboleon, minor illorum ipsi nete hyperboleon. Dico | [P1, 192r in marg.] igitur quod sicut inter triten hyperboleon et paraneten hyperboleon diatonici generis est tonus praecise, et similiter inter dictam paraneten hyperboleon et neten hyperboleon, sic inter tactos numeros illis ascriptos, inter primum scilicet et secundum vel medium | [P2, 217r in marg.] est praecise sesquioctava proportio, similiter inter secundum et tertium. Superat enim maior medium in octava parte illius praecisa, quae est 324. Haec enim octies in se ducta inducit illum tactum medium numerum qui est 2592. Nonies vero in se multiplicata facti numerum illum maiorem qui est 2916. Dico [128] etiam medium illum numerum superare tertium in octava illius parte quae est 288. Haec enim octies in se ducta numerum illum tertium, qui est 2304, praecise reddit. Quae si novies in se ducatur, tactum medium numerum inducit praecise. Sicque medius ille numerus divisibilis est et in partes novem aequales, ut sit sesquioctavus ad alterum illorum, scilicet ad minorem inter illos et in octo partes aequales ut alius qui maior illo est in octava parte ad ipsum sit sesquioctavus. Hoc enim requiruntur duae sesquioctavae continuae proportiones. Patet igitur quod in tetrachordo generis diatonici, quattuor numeri descripti trium consonantiarum vel duarum, pro quanto una bis ibi continetur, integras important proportiones, extremi scilicet ipsius diatessaron, duo medii invicem comparati ipsius toni, et alter illorum ad extremum minus similiter toni integram continent proportionem.

Possunt autem inter quattuor chordas tetrachordi generis diatonici tres aliae a praedictis partiales ipsius diatessaron partes inveniri, ut sunt ditonus, semiditonus et semitonium minus. Ut autem de his brevius loquamur, pro nominibus chordarum et numerorum ipsis ascriptorum, litteris utamur illis iunctis. Accipiamus igitur litteras quattuor chordarum tetrachordi hyperboleon generis diatonici, quia numeri in tetrachordo illo minores sunt. Litterae autem illae sunt .DD. quantum ad gravissimam chordam quae est nete diezeugmenon et ipsius numerus 3072, .EE. quantum ad chordam proximam illi graviori quae est trite hyperboleon et numerus eius 2916, NN. quantum ad chordam proximam acutiori quae est paranete hyperboleon diatonos, et numerus eius 2592, .LL. quantum ad acutam chordam quae est nete hyperboleon et eius numerus 2304. Pro chordis igitur illis et numeris tactis utamur litteris. Hoc supposito, dico inter .EE. et .LL. ditonum contineri, inter .DD. et .NN. semiditonum, inter .DD. et .EE. minus semitonium. Modo videndum est an numeri per litteras illas designati integras consonantiarum illarum important proportiones, et dicendum quod sic. Declaretur autem hoc, primo de numeris ipsius ditoni qui est maior consonantia inter illos tres, secundo de numeris ipsius semiditoni, tertio minoris semitonii. Dico igitur quod inter numerum qui est .EE. et eum qui est .LL., scilicet inter 2916 et 2304, est integra ipsius ditoni proportio. Hoc enim infallibiliter verum est quod ubicumque inter [129] tres numeros duae continentur continuae integrae sesquioctavae proportiones, inter extremos numeros illarum duarum proportionum est integra ditoni proportio. Nam, ut est saepe dictum libro secundo, proportiones numerales vocibus vel sonis consonantiarum correspondent. Ubi autem sunt tres tales soni quod primi ad medium tonus est, et similiter medii ad tertium, tertii ad primum ditonus est. Sed, sicut visum est, inter .EE. et .LL. continuae duae integrae continentur sesquioctavae proportiones, una inter .EE. et .DD., alia inter .DD. et .LL., quae duobus integris et continuis respondent tonis. Extremi igitur numeri illi invicem comparati veram, integram et formalem ipsius ditoni continent proportionem.

Et hoc iterum probetur sic: Inter numeros illos est integra ditoni proportio, quorum maior minorem continet et 17 illius partes sexagesimas quartas. In proportione enim numerorum talium consistit ditonus quae est super 17 partiens sexagesimas quartas, ut visum est libro secundo. Sed sic est de numeris significatis per .EE. et .LL.

Ad cuius evidentiam numeri disponantur sequentes: 2916 2304 81 64 612 36 17. Vocetur autem numerus primus .EE., secundus .LL., tertius .C., quartus .D., quintus .E., sextus .F., septimus .G. Modo dico eandem esse proportionem inter duos primos terminos, qui sunt .EE. et .LL., cum ea quae est inter tertium et quartum, qui sunt .C.D. Quintus autem terminus, qui est .E. differentiam importat duorum primorum terminorum. Sextus autem terminus, scilicet .F., ductus in terminum qui est .C., inducit numerum qui est .EE. Et idem terminus qui est .F., ductus in numerum qui est .D., numerum praecise facit qui est .LL. Septimus autem numerus est differentia duorum numerorum qui sunt .C. et .D. Ex his probatur intentum sic: eadem est proportio inter duos primos terminos qui sunt .EE. et .LL. cum ea quae est inter terminos qui sunt .C. et .D. Sed inter .C. et .D. est praecisa ditoni proportio, scilicet super 17 partiens sexagesimas | [P1, 192v in marg.] quartas, et sunt illi primi minimi vel radicales termini illius proportionis. Igitur inter terminos qui sunt .EE. et .LL. est praecisa ipsius ditoni proportio.

Quod autem inter numeros qui sunt .EE. et .LL. eadem sit proportio cum ea quae est inter .C. et .D., ex his quae dicta sunt libro secundo patet, quia numeri illi qui sunt, .C. [130] et .D. per eundem numerum multiplicati, scilicet per numerum qui est .F., duos inducunt numeros qui sunt .EE. et .LL. Item sicut numerus qui est .C. numerum qui est .D. continet et 17 ipsius partes sexagesimas quartas, idest 17 unitates, sic numerus qui est .EE. numerum | [P2, 217v in marg.] continet qui est .LL. et 17 illius partes sexagesimas quartas, quia superat illum in numero qui est .E. qui tales 17 partes in se claudit quarum 64 numerum illum qui est .LL. praecise constituunt. Nam numerus ille differentialis qui est .E. 17 vicibus includit numerum qui est .F., scilicet 36 qui est pars sexagesima quarta praecisa numeri qui est .LL., ipsius, scilicet 2304.

Aliae possunt adduci rationes ad probandum inter numeros qui sunt .EE. et .LL. esse veram et praecisam ditoni proportionem, sed quae tactae sunt sufficiant. Consequenter declaretur inter numeros tactos ipsius semiditoni, qui sunt 3072 et 2592, significati per .DD. et .NN., integram ipsius semiditoni contineri proportionem.

Hoc autem consimiliter probari potest, sicut de numeris ipsius ditoni est probatum.

Primo sic suo modo: Sicut est in consonantiarum sonis, sic est in numeralibus proportionibus illis correspondentibus. Sed si sint tres soni tales, puta la sol mi, ut sit integra ipsius diatessaron distantia inter la et mi, et ipsius toni inter la et sol, consequens est ut sit integra semiditoni distantia inter sol et mi. Ergo consimiliter si sint tres numeri, puta 24 27 32, sitque integra ipsius diatessaron inter extremos tactos terminos proportio, et similiter ipsius toni inter medium et minorem, relinquitur ut sit integra semiditoni proportio inter maiorem terminum et medium. Supponitur autem ex praecedentibus inter chordas, quae sunt .DD. et .LL. esse distantiam veram et integram ipsius diatessaron, et ipsius toni inter .NN. et .LL. probatumque est numeros chordarum illarum integram consonantiarum illarum includere proportionem. Relinquitur igitur ut inter numeros qui sunt .DD. et .NN., sit integra semiditonialis proportio.

Adhuc idem probetur sic: Inter numeros illos est integra semiditonialis proportio quorum maior minorem habet et eius quinque partes vicesimas septimas. Haec enim vera semiditoni proportio est quae inter tactos continetur terminos, ut visum est supra, libro secundo, et dicitur superquinquipartiens [131] vicesimas septimas. Talem autem inter se continent proportionem numeri qui sunt .DD. et .NN., scilicet 3072 ad 2592.

Et quod ita sit probabitur si tacti numeri cum quibusdam aliis disponantur sic: 3072 2592 32 27 480 96 5. Et vocetur primus .DD., secundus .NN., tertius .K., quartus .L., quintus .M. , sextus .N., septimus .O. Est autem inter duos primos terminos qui sunt .DD. et .NN. eadem proportio cum ea quae est inter .K. et .L. Quintus autem terminus, qui est .M., significat differentiam primorum duorum terminorum qui sunt .DD. et .NN., illud scilicet in quo maior minorem superat. Sextus autem terminus, qui est .N., ductus in terminum tertium, scilicet in .K., numerum producit primum qui est .DD. Et idem terminus, qui est .N. ductus in numerum quartum, scilicet in .L., numerum facit hunc 2592 qui est .NN. Septimus vero numerus differentiam importat numerorum qui sunt .K. et .L. Ex his sic ad propositum arguitur: Eadem est proportio inter duos primos terminos, qui sunt .DD. et .NN., cum ea quae est inter duos illos terminos qui sunt .K. et .L. Sed inter .K. et .L. est praecisa semiditonialis proportio quae est superquinquipartiens vicesimas septimas. Continet enim maior minorem et quinque partes eius vicesimas septimas, scilicet quinque unitates quarum 27 numerum illum facerent iam tactum qui est .K. Et sunt illi primi vel minimi numeri proportionis ipsius semiditoni, ut visum est libro secundo. Erit igitur inter terminos illos primos, qui sunt .DD. et .NN. integra semiditoni proportio. Quod autem termini, qui sunt .DD. et .NN., eandem inter se comparati contineant proportionem, sicut illi qui sunt .K. et .L., per hoc patet quia termini illi, qui sunt .DD. et .NN., nascuntur ex multiplicatione terminorum primorum semiditonialis proportionis iam positorum per terminum eundem, scilicet per .N. Nam, terminus qui est .N. ductus in terminum qui est .K. producit numerum qui est .DD. praecise et idem terminus qui est .N. multiplicans terminum qui est .L., terminum inducit qui est .NN. Item quemadmodum numerus qui est .K. continet numerum qui est .L. et quinque partes eius vicesimas septimas quas importat numerus ultimus qui est .O., similiter numerus qui est .DD. numerum continet qui est .NN. et quinque [132] partes eius vicesimas septimas, quia superat illum numerum in numero qui est .M., scilicet 380, qui quinquies continet numerum qui est .N., scilicet 96, qui est vicesima septima pars illius secundi numeri, scilicet 2592, qui significatur per .NN.

Declarandum est ulterius inter numeros qui sunt .DD. et .EE. generis diatonici de quo nunc loquimur integram proportionem minoris semitonii contineri qui sunt 3072 et 2916.

Et primo probetur hoc per quandam proprietatem minoris semitonii qua Boethius utitur, scilicet quod proportio | [P1, 193r in marg.] minoris semitonii maior est proportione decima nona, minor vero proportione decima octava. Sic autem est de proportione tactorum numerorum qui sunt .DD. et .EE.

Ad eius evidentiam numeri disponantur sequentes: 3120 2964 2808 3072 2916 156 20 19 18. Vocetur primus positorum terminorum .AA., secundus .BB., tertius .CC., quartus .DD., quintus .EE., sextus .F., septimus .G., octavus .H., nonus .I. Est autem inter duos primos terminos, qui sunt .AA. et .BB., sesquidecima nona proportio praecise, inter secundum et tertium sesquidecima octava praecisa. Inter quartum et quintum, qui sunt .DD. et .EE. dicitur esse maior proportio quam sit sesquidecima nona, minor vero proportione sesquidecima octava. Sextus autem terminus, qui est .F., importat | [P2, 218r in marg.] differentiam duorum primorum terminorum, et illa eadem est inter secundum et tertium, et inter quartum et quintum. Tres autem ultimi termini easdem inter se continent proportiones, sicut tres primi, et sunt minimi numeri illarum proportionum. Ex his ad propositum arguitur sic: Maior est proportio inter terminos qui sunt .DD. et .EE. quam inter eos qui sunt .AA. et .BB., minor vero quam inter illos qui sunt .BB. et .CC. Ergo proportio, quae est inter .DD. et .EE., maior est proportione sesquidecima nona, minor vero proportione sesquidecima octava, quia, sicut dictum est, inter .AA. et .BB., est proportio sesquidecima nona, inter .BB. et .CC., sesquidecima octava. Quod autem inter .AA. et .BB. sit sesquidecima nona proportio, et inter .BB. et .CC. <sesquioctava decima> convincitur ex hoc, quia numeri illi tres proveniunt ex multiplicatione trium ultimorum terminorum per numerum eundem qui est .F., quia numerus qui est .F. ductus in numerum qui est .G. inducit numerum qui est .AA. Et idem numerus .F. multiplicans numerum qui est .H. facit numerum illum secundum qui est .BB. Adhuc [133] numerus qui est ductus in ultimum tactum numerum, qui est .I., numerum generat qui est .CC. Est igitur proportio numerorum .DD. et .EE. maior proportione sesquinona decima, minor vero proportione sesquioctava decima. Talis autem, secundum Boethium, est proportio minoris semitonii. Videtur igitur inter tactos numeros qui sunt .DD. et .EE. minoris semitonii proportio contineri. Et quae de hoc tactae sunt, sic figurentur:

(Vide pp. 134)

Sed quia tacta proprietas, etsi conveniat omni proportioni minoris semitonii in quibuscumque numeris, non tamen soli, unde non est proprie propria sibi, nam, praeter numeros prius tactos qui sunt .DD. et .EE., multi sunt alii numeri, forte plus quam triginta, distincti inter quos est maior proportio sesquinona decima quae est inter numeros tactos qui sunt .AA. et .BB., et minor quam sesquioctava decima quae est inter numeros praedictos qui sunt .BB. et .CC. Et posset hoc probari sicut probatum est de numeris qui sunt .DD. et .EE., et tamen in nullis illorum est praecisa minoris proportio semitonii. Probatum est igitur aliter inter numeros qui sunt .DD. et .EE., scilicet inter 3072 et 2916 esse integram et praecisam ipsius minoris semitonii proportionem. Hoc autem patet primo ex duabus conclusionibus primo probatis, quarum una est quod inter numeros, qui sunt .DD. et .LL., est praecisa ipsius diatessaron sesquitertia proportio. Alia est quod inter .EE. et .LL. est vera et praecisa proportio ipsius ditoni. Indubitanter autem semper verum est quod, si sint tres termini vel numeri quorum extremi sesquitertiam contineant praecisam proportionem, et medius ad minimum terminorum illorum ditonialem, quod inter maiorem et medium erit vera et integra minoris semitonii proportio, sicut etiam in sonis est. Nam ubi sunt tres voces la fa et mi, si inter la et mi est vere diatessaron, et inter la et fa ditonus, consequens est inter fa et mi minus semitonium contineri. Igitur, dispositis tribus numeris qui sunt .DD. .EE. et .LL. sitque probatum inter .DD. et .LL. esse veram proportionem sesquitertiam, et inter .EE. et .LL. ditonialem, erit inter .DD. et .EE. integra minoris semitonii proportio.

Et hoc iterum confirmatur eundo ad specificam ipsius

[134] [CSMIII/5:134; text: Proportio sesquidecima non praecisa, eadem cum ea quae est inter .XX. et XVIIII. qui minimi numeri sunt illius proportionis, Differentia numerorum positorum qui sunt .AA. <et> .BB., .F., CLVI, .G., .H., XX, XVIIII, .AA., .BB., III[macron supra lin.].CXX, <II[macron supra lin.].DCCCCLXIIII>, Proportio minoris semitonii maior quam sit sesquinona decima, minor vero quam sesquioctava decima, Differentia numerorum horum qui sunt .DD. et .EE., .DD., .EE., III[macron supra lin.].LXXII, II[macron supra lin.].DCCCCXVI], Proportio sesquidecima octava praecisa, eadem cum ea quae est inter .XVIIII. et XVIII. qui mimimi numeri sunt, Differentia numerorum positorum qui sunt .BB. et .CC., .I., XVIII, .CC., II[macron supra lin.].DCCCVII] [JACSP5B 16GF]

[135] | [P1, 193v in marg.] minoris semitonii proportionem, sicut de praecedentibus factum est.

Inter numeros illos est vera et specifica ipsius minoris semitonii proportio quorum maior minorem continet et tredecim eius partes ducentesimas quadragesimas tertias praecise. Tales enim numeri integram et specificam minoris semitonii continent proportionem quae est super tredecim partiens ducentesimas quadragesimas tertias, ut visum est supra libro secundo. Sic autem est de numeris qui sunt .DD. et .EE.

Ad cuius evidentiam numeri disponantur sequentes: 3072 2916 256 243 156 13 12. Vocetur primus terminus .DD., secundus .EE., tertius .F., quartus .G., quintus .H., sextus .I., septimus .K. Dico igitur quod duo primi numeri, qui sunt .DD. et .EE., talem inter se continent proportionem qualem tertius ad quartum, scilicet .F. ad .G. Illi autem termini qui sunt .F. et .G. sunt primi et minimi numeri proportionis minoris semitonii. Quintus autem terminus differentiam duorum primorum terminorum importat, sextus vero differentiam duorum terminorum qui sunt .F. et .G. Septimus autem terminus, qui est .K., ductus in numerum qui est .F. producit praecise numerum qui est .DD. Et idem numerus qui est .K. multiplicans numerum qui est .G. facit numerum secundum qui est .EE. Sicque numerus primus qui est .DD. duodecies praecise numerum continet tertium qui est .F. et secundus numerus qui est .EE. continet praecise numerum quartum qui est .G. duodecies. Adhuc est intelligendum quod, sicut numerus qui est .F. continet numerum qui est .G. et tredecim eius partes, scilicet tredecim unitates quarum 243 numerum illum qui est .G. constituerunt | [P2, 218v in marg.] praecise, sic numerus qui est .DD. habet numerum qui est .EE. et partes ipsius tredecim quarum 243 numerum redderent qui est .EE. praecise. Vincit enim numerus qui est .DD. numerum qui est .EE. in numero qui est .H. qui tredecim vicibus continet numerum qui est .K. Est autem numerus qui est .K. ducentesima quadragesima tertia pars numeri qui est .EE.

Iam ex dictis nunc et alias intelligenti satis apparere videtur propositum. Nam si eadem est proportio inter terminos qui sunt .DD. et .EE. cum ea quae est inter numeros qui sunt .F. et .G., termini autem qui sunt .FG. continent integram et praecisam ipsius minoris semitonii proportionem. Continetur [136] igitur inter numeros qui sunt .DD. et .EE. vera et integra ipsius minoris semitonii proportio quae est super tredecim partiens ducentesimas quadragesimas tertias. Ostensum est igitur numeros assignatos chordis omnibus tetrachordi hyperboleon generis diatonici integras, specificas et veras proportiones includere consonantiarum inclusarum inter chordas illas et, quod de illis probatum est, credimus esse verum de numeris chordarum ceterorum tetrachordorum generis diatonici, quia consimilis descriptio, quoad tactum genus, in omnibus tetrachordis observatur.

Capitulum XL.

Quod in descriptione tetrachordorum generis chromatici non omnes numeri integram important proportionem consonantiarum <inclusarum inter chordas>.

Est consequenter declarandum descriptionem tetrachordorum secundum genus chromaticum inter alia distingui a descriptione generis diatonici, quia non omnes numeri chordis assignati tacti generis chromatici, scilicet integras et specificas important proportiones consonantiarum inclusarum inter chordas.

Declaretur autem specialiter hoc de numero iuncto ipsi paranete hyperboleon chromatice qui est 2736. Et denotatur per KK. Quamvis enim inter chordam illam quae est paranete chromatice et nete hyperboleon, dicatur esse trihemitonium vel semiditonus qui constat ex tono integro et minori semitonio, non est tamen inter numeros illis chordis ascriptos integra et praecisa semiditoni proportio, inter numeros scilicet qui sunt 2736 et 2304. Et significantur per .KK. et .LL. Utamur autem et hic litteris chordis ascriptis pro ipsis chordis et numeris illis iunctis, sicut prius.

Arguatur primo ducendo ad inconveniens vel impossibile, secundo ostensive.

Si inter numeros qui sunt .KK. et .LL., scilicet inter 2736 et 2304, esset integra semiditoni proportio, sequeretur [137] ut inter .DD. et .KK., scilicet inter 3072 et 2736, contineretur praecisa toni sesquioctava proportio quotienscumque enim sunt tres numeri inter quorum extremos est praecisa ipsius diatessaron proportio. Si inter medium et minorem terminum est vera et praecisa semiditoni proportio, consequens est ut inter maiorem numerum et medium sit praecisa toni sesquioctava proportio. Patet hic inter terminos sequentes: 36 32 27. Inter extremos tactos numeros est praecisa ipsius diatessaron sesquitertia proportio. Inter medium terminum et minorem est vera et praecisa semiditonialis habitudo. Relinquitur igitur ut inter maiorem numerum et medium sit praecisa ipsius toni sesquioctava proportio et ita est. Superat enim maior minorem in octava ipsius parte praecisa. Et consimiliter est de tribus sonis et sint sol mi re. Si inter sol et re est diatessaron praecise et inter sol et mi semiditonus, oportet ut inter mi et re sit verus tonus. Non est autem inter .DD. et .KK. integra toni proportio sesquioctava, quod probatur primo sic: Inveniatur numerus ad quem .DD., scilicet 3072, praecise sit sesqualter. Ille est 2048 | [P1, 194r in marg.] et sit .MM. Tunc sic: Si numerus qui est .DD. sit sesquioctavus praecise ad numerum qui est .KK., oportet ut numerus qui est .KK. sit sesquitertius praecise ad numerum qui est .MM. nam, sicut supra, libro tertio, probatum est, cum a sesqualtera proportione praecise sesquioctava tollitur, praecise remanet proportio sesquitertia. Patet hic exemplariter inter sequentes terminos: 9 8 6. Continetur inter 9 et 6 praecise sesqualtera, proportio, et, inter 9 et 8, sesquioctava. Hac igitur sublata, remanet ea proportio quae est inter 8 et 6, et illa est sesquitertia praecisa. Non est autem inter .KK. et .MM., idest inter 2736 et 2048, praecisa sesquitertia proportio, quia numerus qui est .MM. non valet dividi in aequae tres aequales partes praecise. Non est igitur numerus qui est .DD. praecise sesquioctavus ad numerum qui est .KK. Per consequens, numerus qui est .KK. ad numerum qui est .LL. non habet praecisam et integram semiditoni proportionem. Item octava pars praecisa ipsius .KK. est sequens numerus, scilicet 342 qui, si addatur numero qui est .KK., cuius est octava pars, nascitur inde numerus qui est 3078, qui superat numerum qui est .DD., scilicet 3072, in sex unitatibus. [138] Impossibile igitur est numerum, qui est .DD., esse praecise sesquioctavum ad numerum qui est .KK. Non enim ad unum eundem numerum possunt duo distincti numeri, quorum unus alio maior est, etiam in sola unitate, esse praecise sesquioctavi. Item differentia inter numerum .DD. et numerum .KK. est sequens numerus scilicet 336. Haec autem differentia nec praecise est nona pars ipsius .DD., nec praecise pars octava est ipsius .KK. Ergo numerus .DD. non est praecise sesquioctavus ad numerum .KK. Sunt autem 342 pars nona, sed non praecisa, ipsius .DD. Si enim dictam partem per novem multiplices, exibit numerus qui est 3078 qui in sex unitatibus superat numerum qui est .DD., ut est prius dictum. Non est igitur numerus qui est .DD. praecise sesquioctavus ad numerum qui est .KK., et, per consequens, .KK. numerus non continet praecisam semiditoni proportionem ad numerum qui est .LL.

Et hoc ulterius ostensive probatur probationes ostensivas ad syllogismos extendendo negativos. Omnes numeri inter se integram continentes semiditoni proportionem vel sunt primi illius proportionis, vel secundarii. Sed numeri qui sunt .KK. et .LL. inter se tactae proportionis nec sunt | [P2, 219r in marg.] primi (quia illi sunt 32 et 27, ut supra visum est), nec sunt secundarii (quia tunc essent praecise resolubiles in tactos minimos numeros illius proportionis, maior in maiorem et minor in minorem). Declaratum enim est supra, libro tertio, quod minimi vel primi numeri alicuius proportionis mensurant omnes alios numeros eiusdem proportionis, maior maiorem et minor minorem, sed non est sic de tactis numeris, quia numerus, qui est .KK., scilicet 2736, non est praecise resolubilis vel divisibilis in 32 unitates, sed, facta divisione per 32, remanent 16 unitates. Continetur autem numerus, qui est 32, in numero qui est .KK., scilicet 2736, octuaginta sex vicibus, et remanent 16 unitates. Quae 16 unitates, iunctae cum numero qui est 32, numerum constituunt qui est 48, qui numerus in numero, qui est .KK. continetur praecise quinquaginta septem vicibus. Numerus autem, qui est 27, continetur in numero .LL., qui est 2304, octuaginta quinque vicibus, et remanent 9 unitates de numero .LL. Novem autem unitates iunctae 27 faciunt 36, qui numerus continetur praecise sexaginta quattuor vicibus in numero .LL. Numeri igitur [139] qui sunt .KK. et .LL. non continent semiditoni proportionem.

Et hoc ulterius probatur sic: Inter illos numeros non est semiditoni proportio, inter quos est super 27 partiens habitudo centesimas quadragesimas quartas. Haec enim proportio longe alia est a semiditoni proportione quae est super quinque partiens vicesimas septimas. Sed inter numeros qui sunt .KK. et .LL. videtur esse dicta proportio, scilicet super 27 partiens centesimas quadragesimas quartas. Ad cuius evidentiam numeri disponantur sequentes: 2736 2304 171 144 16. Cocetur primus .KK. sicut prius, secundus .LL., tertius .M., quartus .N., quintus .O. Modo dico eandem esse proportionem inter numeros duos primos, scilicet .KK. et .LL., sicut est inter tertium et quartum, qui sunt .M. et .N. Numerus autem, qui est .O. significat quotiens numerus, qui est .M. continetur in numero qui est .KK., quia 16 vicibus praecise. Et totidem vicibus similiter praecise continetur numerus qui est .N. in numero qui est .LL. Ex his ad propositum sic: Eadem est proportio inter numeros qui sunt .KK. et .LL. cum ea quae est inter .M. et .N. numeros. Nam tacti numeri, scilicet .M. et .N., per eundem numerum multiplicati, scilicet per 16, praecise faciunt numeros illos qui sunt .KK. et .LL., maior maiorem et minor minorem Sed inter numeros qui sunt .M. et .N., scilicet inter 171 et 144, est super 27 partiens proportio centesimas quadragesimas quartas. Continet enim maior minorem et 27 unitates, quarum 144 numerum illum, qui est .N., praecise facerent. Et videntur esse numeri illi, qui sunt .M. et .N., tactae proportionis primi et minimi. Inter numeros igitur, qui sunt .KK. et .LL., est super 27 partiens proportio centesimas quadragesimas quartas. Non est igitur inter illos semiditoni proportio.

Ad hoc possent et aliae poni rationes, sed sufficiant quae tactae sunt, et, cum probatum sit inter numeros | [P1, 194v in marg.] qui sunt .KK. et .LL. non esse semiditoni proportionem, consequens est ad hoc ut nec inter numerum qui est .EE. et .KK. sit integra maioris semitonii proportio, nec toni inter .DD. et .KK.

Possent autem haec multis probari rationibus quas dimitto, et illi defectus ex illo numero .KK. proveniunt qui non continet integram semiditoni proportionem ad numerum qui est .LL.

[140] Capitulum XLI.

Instantia contra dicta.

Sed instari potest contra dicta sic: Boethius, ut est visum supra, in descriptionibus tetrachordorum secundum genus chromaticum, ad habendum et iungendum numeros chordis qui trihemitonii vel semiditoni proportionem contineant, hac utitur arte vel regula ut sumatur differentia duorum numerorum inter quos secundum descriptionem generis diatonici toni sesquioctava proportio continetur dividaturque differentia illa in medietates duas, iungaturque altera medietatum cum maiore numero illorum inter quos illa sesquioctava continetur proportio. Hoc facto, numerus inde proveniens ascribatur maiori chordarum illarum inter quas, secundum genus chromaticum, in quocumque tetrachordo, trihemitonium vel semiditonus esse dicitur. Modo secundum tactam artem vel regulam in tetrachordo hyperboleon generis chromatici pro descriptione chordarum inter quas dicitur esse trihemitonium vel semiditonus, sumpti sunt numeri illi qui sunt .KK. et .LL., scilicet 2736 et 2304. Videtur igitur quod, sicut inter chordas illas quae sunt paranete hyperboleon chromatice et nete hyperboleon supponitur integre esse semiditonus, sic et inter numeros per tactam artem illis ascriptos integram esse semiditoni proportionem. Et dicendum ad hoc quod, quidquid sit de chordis illlis, an integre resonent semiditonum vel non, numeri tamen per tactum modum illis ascripti in quocumque fuerint tetrachordo vel etiam genere, non includunt integram et praecisam ipsius semiditoni proportionem.

Et, praeter rationes prius tactas, quae faciunt ad hoc istud generalius, hic probetur primo sic: Si, per tactam artem, chordis resonantibus semiditonum integri numeri proportionis semiditonialis assignarentur, non esset, quoad genus diatonicum, praecise semiditoni proportio inter numeros illos tetrachordi hyperboleon qui sunt .DD. et .NN., scilicet inter 3072 et 2592. Hoc autem esse falsum prius ostensum est. [141] Sed quod illud sequeretur, sic probatur: Ostensum est prius inter numeros tetrachordi hyperboleon generis diatonici, qui sunt .EE. et .NN., scilicet inter 2916 et 2592, esse praecisam et integram toni sesquioctavam proportionem. Sumatur igitur tactorum numerorum differentia quae est 324. Huius accipiatur medietas; illa est 162. Iungatur haec numero qui est .EE., scilicet ipsi 2916. Exiet inde numerus qui est 3078. | [P2, 219v in marg.] Si igitur, secundum tactam artem, invenirentur numeri continentes integram semiditoni proportionem inter tactos numeros qui sunt 3078 et 2592, esset integra semiditoni proportio. Non est autem, sed inter 3072 et 2592. Impossibile est enim eundem numerum ad distinctos numeros, vel, e converso, distinctos numeros ad eundem numerum eandem praecisam et integram continere proportionem, etiam si unitate sola distinguantur. Superat autem numerus, qui est 3078, numerum, qui est 3072, in sex unitatibus.

Item proportiones consonantiis correspondent. Tonus autem in duas integras medietates partiri non potest. Ergo per additionem medietatis differentiae inter numeros integram toni proportionem continentes ad maiorem numerorum illorum non videtur haberi integra semiditoni proportio qui in minore semitonio superat tonum. Videtur igitur quod per artem tactam vel deberet haberi integra toni vel eius proportionis medietas (quod non est possibile), vel quaeretur qua ratione per eam potius habetur toni minor pars quam maior.

Item quandoque differentia, quae est inter numeros proportionem habentes sesquioctavam, in duas aequales partes dividi non potest, cum sit numerus impar, nisi dividatur unitas. Ars igitur illa non est generalis ad inveniendum integram semiditoni proportionem.

Item per duplationem differentiae existentis inter duos numeros toni sesquioctavam continentes proportionem et additionem numeri inde provenientis ad minorem de numeris illis non habetur praecisa ditoni proportio, alias inter 10 et 8 esset ditoni proportio, inter 20 et 16, inter 30 et 24, et inter multos alios consimiliter; quod falsum est.

Specialiter autem declaretur hoc de numeris qui sequuntur: 81 72 64. Continentur hic duae sesquioctavae continuae proportiones, et, per consequens, inter extremos tactos numeros, est integra ditoni proportio, et illi sunt minimi [142] numeri illius proportionis, ut alias est dictum. Sumatur igitur differentia numerorum qui sunt 64 et 72. Illa est octonarius qui dupletur, et fuerit 16 qui iungantur ipsi 64, et provenit inde numerus qui est 80. Hic autem in unitate deficit a numero qui ditoni veram et integram proportionem habet ad 64. Ergo per duplationem differentiae secundum modum tactum non habentur numeri qui praecisam et veram includant ditoni proportionem. Et tamen magis videretur esse rationabilis tactus modus inquirendi proportionem ipsius ditoni qui divisibilis est in duas partes aequales quam ille, qui tactus est, de semiditono qui nec est in duas aequales partes divisibilis, nec minus semitonium in quo tonum | P1, 195r in marg.] superat.

Idem patet in terminis sequentibus et, quantum ad hoc, quod dictum est de ditono, similiter et de semiditono, si tamen differentia, quae tangetur quantum ad semiditonum, divisibilis esset in partes duas aequales: 256 243 216 192. Vocetur autem primus .a., secundus .b., tertius .c., quartus .d. Et secundus quidem terminus ad tertium, scilicet .b. ad .c., ipsius toni sesquioctavam continet proportionem, et similiter tertius ad quartum, scilicet .c. ad .d. Et inde sequitur inter .b. et .d. ditoni proportionem contineri. Sumatur igitur differentia inter .c. et .d.. Illa est 24. Dupletur haec, et sunt 48. Iungantur numero qui est .d. Proveniunt inde numerus qui est 240. Hic autem terminus deficit a numero qui est .b. in tribus unitatibus, et, cum numerus qui est .b. integram ditoni contineat ad numerum qui est .d. proportionem, non habentur, per tactum modum, numeri qui specificam ipsius ditoni contineant proportionem.

Quod autem in nunc exemplo posito numerus proveniens ex differentiae sesquioctavae proportionis duplatione superetur a numero qui integram ad minorem numerum ditoni continet proportionem in tribus unitatibus, in primis autem et minimis ipsius ditoni terminis prius positis non superabat nisi in una unitate, provenit ex hoc quia numeri nunc positi proveniunt ex primorum terminorum triplatione.

Dico ulterius inter terminos qui sunt .a. et .c. integram semiditoni contineri proportionem, quia inter .a. et .b. est minoris semitonii vera proportio, et inter .b. et .c. ipsius toni. Sumatur igitur differentia quae est inter .b. et .c. Illa est 27. Hic autem, cum sit impar, in duas aequales partes dividi non potest, nisi dividatur unitas ut pro medietate numeri [143] qui est 27 sumantur 13 et medietas unitatis. Et haec, si iungantur numero qui est .b., provenit inde numerus qui est 256 cum medietate unitatis, et, cum in medietate unitatis tactus numerus superet .a. numerum qui praecisam semiditoni proportionem habet ad numerum qui est 216, scilicet ad .c., non habetur, per tactum modum, semiditoni praecisa proportio, quia in praecisis numeris alicuius determinatae et specificae proportionis, excrescentia dimidietatis unitatis vel cuiuscumque partis alterius eiusdem, si imaginetur divisibilis, mutatur et variatur specifica proportio, ut est tactum supra, libro tertio circa finem.

Item probatur idem sic: Sumatur numerus tetrachordi synemmenon chromatici generis chordae, quae est paranete synemmenon chromatice, qui est 4104 sub littera .S. Hic autem numerus, secundum descriptionem tetrachordi praedicti, scilicet synemmenon chromatice, distare dicitur per trihemitonium vel semiditonum a numero acutissimae chordae tacti tetrachordi, quae est nete synemmenon. Et ipsius numerus est 3456, sub littera .V. Item sumatur numerus chordae ipsius parameses tetrachordi diezeugmenon; et ille numerus est 4O96, sub littera .X. (et ille numerus stabilis est in dicto tetrachordo in genere quolibet). Ex his arguitur sic: Tacti duo numeri, qui sunt .S. et .X., videlicet 4104 et 4O96, cum ad invicem distincti sint, non possunt eandem praecisam | [P2, 220r in marg.] et specificam habere proportionem ad numerum eundem prius positum qui est 3456, scilicet .V. Numerus autem tactus, qui est .X., ad dictum numerum, qui est .V., semiditoni praecisam, integram et specificam proportionem habet ad numerum qui est .V. Alius igitur numerus qui est .S. ad tactum numerum qui est .V. non continet integram ipsius semiditoni proportionem. Et, per consequens, ars prius tacta describendi numeros aptos ipsi semiditono in genere chromatico non attingit ad integros et omnino specificos numeros ditonialis proportionis, quia, secundum illam, numerus ille, qui est .S., repertus est ut contineat semiditoni proportionem ad numerum qui est .V. Restat autem hic probandum numerum, qui est .X., scilicet 4096, integram et praecisam semiditoni continere proportionem ad numerum qui est 3416, qui significatur per .V.

[144] Ad hoc videndum, numeri disponantur sequentes: 4096 3456 32 27 128 640.

Vocetur primus .X., secundus .V., tertius .D., quartus .E., quintus .F., sextus .G. Continet eandem proportionem primus terminus ad secundum scilicet .X. ad .V., sicut tertius ad quartum. Mensurat enim terminus tertius primum et quartus secundum, nam continetur tertius in primo praecise centum et 28 vicibus, et tot vicibus quartus terminus continetur in secundo. Iacet autem inter tactos terminos, qui sunt .D. et .E., praecisa semiditoni proportio, ut alias saepe dictum est. Quintus autem terminus qui est .F. ille est in quem ducti .D. et .E., vel e converso, duos primos terminos qui sunt .X. et .V. praecise constituunt, maior maiorem et minor minorem. Sextus autem terminus qui est .G. importat differentiam duorum primorum terminorum qui sunt .X. et .V., et ille idem ultimus terminus qui est .G. quinquies continet penultimum terminum qui est .F. Quapropter recte sicut tertius terminus, qui est .D., superat terminum quartum, qui est .E., in quinque partibus, quarum 27 numerum illum praecise facerent qui est .E., sic primus terminus qui est .X. superat secundum terminum, qui est .V., in talibus quinque partibus quarum 27 praecise numerum illum constituerent, qui est .V. Ex his propositum concludatur sic: Eadem est proportio inter .X. et .V., sicut inter .D. et .E. Sed, inter .D. et .E., praecise continetur semiditoni proportio; ergo, similiter inter .X. et .V.

Ex his igitur videtur sine praeiudicio cuiuscumque quod descriptio ipsius semiditoni vel trihemitoni in tetrachordis prius tactis quantum ad genus chromaticum | [P1, 195v in marg.] non attingit ad numeros qui praecisum ipsius semiditoni contineant proportionem. Hoc autem Guido Monachus sentire videtur, ut est tactum supra. Negat enim consonantias illas directe et proprie ad divisionem pertinere monochordi quae nec in multiplicibus, nec <in> superparticularibus, nec in multiplicibus superparticularibus fundantur proportionibus, de quarum numero semiditonus est qui in superpartiente fundatur proportione, et aliae multae. Si autem talis consonantiae propriam et directam in monochordo non habeamus divisionem similiter ut videtur nec descriptionem, sed sicut talium [145] consonantiarum in monochordo divisio et assignatio et innititur et fundatur in divisione aliarum quae propriam et directam obtinent ibi divisionem, ita consonantiarum illarum inniti et fundari debet descriptio in descriptione aliarum quae propriam et directam habent descriptionem, sicut fit in genere diatonico. Ideo, in generibus aliis, ubi chordae omnino discrepant realiter a generis diatonici chordis, discrepant assignati numeri a proportionibus integris consonantiarum inter chordas illas inclusarum. Et propterea, sicut dictum est de descriptione numerorum ipsius semiditoni in genere chromatico, videtur esse dicendum de descriptione numerorum proportionalium partium minoris semitonii in genere enharmonio, quia, si partes illae indirecte ad divisionem pertinent monochordi, consimiliter et ad descriptionem. Unde, si minus semitonium divisibile esset in duas medietates aequales, dicerem tamen quod, per descriptionem tactam, in genere enharmonio non haberentur duae proportiones aequales partium illarum, sed inaequales, quia una maior esset alia.

Sicut de ditono visum est, et hoc aliqualiter declaretur in tetrachordo hyperboleon generis enharmonii, et idem intelligatur in ceteris tetrachordis eiusdem generis, quantum ad consimiles chordas.

Sumantur igitur numeri illi trium chordarum tetrachordi hyperboleon generis enharmonii, qui iunguntur partibus minoris semitonii secundum prius tactam descriptionem, et illi sunt 3072 .DD., 2994 .FF., 2916 .GG., et utamur tactis litteris pro numeris positis. Verum est inter tactos extremos positos numeros esse veram et integram ipsius minoris semitonii proportionem, sicut prius ostensum est. Modo dico quod terminus medius, qui est .FF., non dividit proportionem illam in duas aequales proportiones, quia minor est ea quae est inter .DD. et .FF. quam ea quae continetur inter .FF. et .GG., quia, servata differentiarum aequalitate, proportionum tollitur aequalitas. Tunc enim in maioribus numeris minor est proportio et in minoribus maior. Eadem autem differentia, qua maior terminorum illorum differt a medio, et medius a minore, quia in numero qui est 78. Et hic numerus medietas est differentiae existentis inter extremos terminos qui sunt .DD. et .GG., licet autem, secundum quandam imaginationem, minus semitonium dicatur dividi in duas medietates [146] quae diaschismata nuncupantur, ut placet Philolao. Repugnat tamen duas sibi integras continere medietates, sicut et eius proportioni inter cuius extremos terminos nullus medius terminus continetur qui illam in duas integras dividat medietates. Adhuc, licet minus semitonium maiores in se claudat partes quam sit comma, et vocentur diaschismata vel aliter, nullius tamen partis eius sic nota nobis est proportio sicut commatis, ut dicere sciamus: "haec proportio est talis partis ipsius semitonii minoris, aliae a commate, et haec est ipsius | [P2, 220v in marg.] commatis". Debet autem esse satis planum quod per partes in quas minus semitonium dividitur in genere enharmonio non intelliguntur commata, sed aliquid commate maius, qualitercumque nominetur. Sunt tamen proportiones illae quae in terminis positis minoris semitonii dividunt proportionem nobis <trite>. Nam inter .DD. et .FF., scilicet inter 3072 et 2994 continetur proportio super 39 partiens millesimas quadringentesimas nonagesimas septimas, inter .FF. autem et .GG., puta inter 2994 et 2916, iacet proportio super 39 partiens millesimas quadringentesimas quinquagesimas octavas. Et qui in numerorum proportionibus intelligens fuerit et curiosus, <experiri> poterit hoc in numeris sequentibus, si bene examinentur: 3072 2994 2916 1536 1497 1458 78 39. Vocetur primus .DD., secundus .FF., tertius .GG., quartus .H., quintus .I., sextus .K., septimus .L., octavus .M. Est autem inter terminos qui sunt .DD. et .FF. eadem proportio, sicut inter .H. et .I., et inter .FF. et .GG., sicut inter .I. et .K. Sunt enim tres primi termini duplices ad tres immediate sequentes, .DD. scilicet ad .H., .FF. ad .I., .GG. ad | [P1, 196r in marg.] .K. Continetur autem inter .H. et .I. proportio super 39 partiens millesimas quadringentesimas nonagesimas septimas. Et termini illi videntur esse primi et minimi tactae proportionis quia cum illorum alter sit impar, non sunt resolubiles in minores terminos inter quos eadem contineatur proportio. Inter .I. autem et .K. est super 39 partiens proportio millesimas quadringentesimas quinquagesimas octavas. Numerus autem qui est .L. importat differentiam primi termini ad <secundum> et secundi ad <tertium>. Ultimus vero terminus qui est .M. includit differentiam quae est [147] inter quartum et quintum terminos, et similiter inter quintum et sextum. Est autem numerus differentialis qui est .L. duplus ad numerum differentialem qui est .M. sicut numeri qui sunt .DD.FF.GG. duplices sunt ad numeros qui sunt .H.I.K. Ex his patet intentum si modus servetur qui communiter in aliis tactus est probationibus.

Quamvis autem tactae duae probationes in hoc conveniant quod quaelibet dicitur super 39 partiens, specifice tamen distinguuntur suo modo sicut proportio superbipartiens nonas quae est inter ll et 9 et superbipartiens septimas quae iacet inter 9 et 7, et superbipartiens quintas inter 7 et 5, et superbipartiens tertias inter 5 et 3. Tales enim proportiones, etsi conveniant quasi in genere quodam proximo et immediato, specifice tamen distinguuntur, quia genus illud multas sub se continet species, ut alias visum est.

Capitulum XLII.

Ad instantiam factam de Boethio responsio.

Ad instantiam autem de Boethio factam, dicimus sic: Primo, quod Boethius in descriptionibus tactis non dicit assignare se numeros integros et specificos proportionum consonantiarum de quibus loquitur. Unde, non teneo ipsum voluisse et tenuisse numeros, quos, in tetrachordis, quantum ad genus chromaticum, super chordas semiditonum resonantes assignat, integram, praecisam et specificam ipsius semiditoni vel trihemitonii continere proportionem. Ipse enim, qui auctor Arithmeticae fuit et Musicae, optime scivit non esse possibile duos distinctos numeros eandem specificam proportionem ad eunden numerum continere. Sed forsitan in genere chromatico, quantum ad chordas trihemitonium vel semiditonum resonantes, pro numeris proportionalibus assignandis usus est tactis descriptionibus, et in genere enharmonio, quantum ad partes minoris semitonii, quia tales descriptiones a suis accepit praedecessoribus. Ipse autem transvertere noluit [148] quae ab Antiquis accepit. Dicit enim libro quarto, capitulo tertio, sic: Nos autem cavemus aliquid ab antiquitatis auctoritate transvertere. Et si ita est, secundum aliorum opinionem, non secundum propriam, ibi locutus est.

Item Boethio non videtur sic fuisse curae praecisas et specificas assignare proportiones consonantiarum in proportionibus superpartientibus fundatarum, sicut earum quae in multiplicibus et superparticularibus, nec recolo ipsum nominasse proportionem specificam alicuius consonantiae in superpartiente fundatae proportione, nisi solius diatessaron cum diapason. Sed, cum aliquarum aliarum consonantiarum in proportionibus superpartientibus fundatarum proportionales tangit numeros, etiam minimos, non nominando specificas illarum proportiones, per proportiones superparticulares illas circumloquitur ut quod commatis proportio maior sit quam sit ea quae est inter 75 et 74, minor vero quam sit ea quae continetur inter 74 et 73. Et de minori semitonio dicit et probat quod maius sit quam 20 ad 19, minus vero quam 19 ad 18. Cum igitur supra, libro secundo, probatum sit proportionem ipsius semiditoni maiorem esse sesquisexta proportione, minorem vero sesquiquinta, suffecit forsitan ipsi Boethio chordis generis chromatici semiditonum resonantibus numeros ascribere inter quos maior esset proportio quam sit sesquisexta et minor quam sit sesquiquinta.

Talis autem est proportio numerorum iunctorum chordis resonantibus semiditonum, quantum ad prius tactas descriptiones in genere chromatico. Et hoc declarare sufficiat in chordis tetrachordi hyperboleon generis chromatici inter quas dicit esse trihemitonium vel semiditonus, quae sunt paranete hyperboleon chromatice et nete hyperboleon. Et harum numeri sunt 2736 et 2304.

Modo dico quod inter tactos numeros, quorum primus per .KK., secundus per .LL. designantur, maior est proportio quam sit sesquisexta, minor vero sesquiquinta. Quod patet sic:

Sumatur differentia tactorum numerorum qui sunt .KK. et .LL., illa est sequens numerus scilicet 432. Haec per septennarium multiplicetur, et provenit inde numerus qui est 3024. | [P2, 221r in marg.] Item tacta differentia multiplicetur senario et exit inde numerus qui est 2592. Rursus tacta differentia augeatur quinario et nascitur inde sequens numerus 2160.

[149] Hi igitur numeri cum quibusdam aliis sic disponantur: 2736 2304 3024 2592 2160 432 7 6 5. Vocetur primus .KK., secundus .LL., tertius .M., quartus .N., quintus .O., sextus .P., septimus .Q., octavus .R., nonus .S.

Primi duo termini sunt illi inter quos maior dicitur | [P1, 196v in marg.] esse proportio quam sit sesquisexta, minor tamen quam sesquiquinta. Inter tertium et quartum terminum est praecisa sesquisexta proportio, similiter inter septimum et octavum; inter quartum terminum et quintum continetur praecise sesquiquinta proportio et similiter inter octavum et nonum qui sunt .R. et .S. Sextus terminus importat differentiam duorum primorum terminorum. Tres autem ultimi termini radices sunt illorum trium terminorum qui sunt .M.N. et .O. Illi enim multiplicantes termini illum differentialem qui est .P., illos tres constituunt terminos qui sunt .M.N.O.

Ex his concluditur propositum sic: Maior est proportio inter terminos .KK. et .LL. quam inter terminos qui sunt .M. et .N., minor vero quam inter numeros qui sunt .N. et .O. Sed inter .M. et .N. est proportio sesquisexta, inter .N. et .O. sesquiquinta. Maior est igitur proportio duorum primorum terminorum proportione sesquisexta, minor vero sesquiquinta.

Quod autem maior sit proportio inter .KK. et .LL. quam inter .M. et .N., minor vero quam inter .N. et .O., <convincitur> ex regula saepe tacta, quia servata eadem differentia, in maioribus numeris minor est proportio et in minoribus maior. Differunt autem numeri differentia eadem quae est .P.

Haec sic describantur:

(Vide p. 150)

Si igitur semiditoni proportio generaliter sumatur pro proportione quae maior est sesquisexta, minor vero sesquiquinta, conveniens est assignatio numerorum ipsius trihemitonii vel semiditoni in genere chromatico, non si stricte sumatur pro specifica ipsius proportione prius tacta. Nam multis competere potest numeris ut inter ipsos maior sit proportio sesquisexta, minor vero sesquiquinta, inter quos non est praecisa et specifica ipsius semiditoni proportio.

[150] [CSMIII/5:150; text: Proportio sesquisexta praecisa inter terminos .M. et .N. et eadem est inter numeros qui sunt .VII. et .VI., Differentia numerorum qui sunt .M. et .N. septies <et sexies> aucta quae est .P., P, CCCCXXXII, .Q., .M., .N., .R., VII, VI, III[macron supra lin.].XXIIII, II[macron supra lin.].DXCII, Proportio numerorum qui sunt .KK. et .LL. maior quam sesquisexta, minor tamen quam sesquiquinta, Differentia numerorum qui sunt .KK. et .LL., .KK., .LL., II[macron supra lin.].DCCXXXVI, II[macron supra lin.].CCCIIII, Proportio sesquiquinta praecisa inter terminos .N. et .O. et eadem est inter numeros qui sunt .VI. et .V., Differentia numerorum qui sunt .N. et .S. sexies et quinquies quae est .P., .S., V, .O., II[macron supra lin.].CLX] [JACSP5B 17GF]

[151] Item numerus qui est .N. tetrachordi meson generis chromatici chordae dicitur lichanos meson chromatice, scilicet 5472, duplus est ad numerum ipsius tetrachordi .KK. hyperboleon generis chromatici chordae dicitur paranete hyperboleon chromatice, et numerus ille est 2736. Numeri autem tacti sumpti sunt secundum descriptionem qua Boethius utitur ad habendum numeros proportionales ipsius trihemitonii in genere chromatico. Et consimiliter est de numero qui est .F. tetrachordi hypaton chordae quae est lichanos hypaton chromatice, et numerus ille est <7296>, ad numerum qui est 3648 .BB., chordae tetrachordi diezeugmenon quae est paranete diezeugmenon chromatice. Consimiliter est, quantum ad genus enharmonium. Inter numerum parhypates meson enharmoniou, qui est 5988 .K., et numerum trites hyperboleon enharmoniou, qui est 2994 .FF. Et similiter inter numerum parhypates hypaton enharmoniou, qui est 7984 .D., et numerum ipsius trites diezeugmenon enharmoniou qui est 3992 .Z.

Sic igitur numeri inventi per Boethii descriptionem vel suorum antecessorum quantum ad semiditonum in genere chromatico vel minoris semitonii partem in genere enharmonio, etsi non sint integri quantum ad semiditoni specificam proportionem vel partis intentae ipsius minoris semitonii, redeunt tamen ad integram duplam proportionem in numeris prius tactis quia sumpti sunt | [P2, 221v in marg.] per similem descriptionem. Item numeri multi iuncti chordis acutissimis tetrachordorum prius descriptorum non patiuntur ut numeri aliqui integram et specificam ad illos contineant ipsius semiditoni proportionem. Oportuisset igitur invenisse numeros alios si, quantum ad partem acutam tetrachordorum tactorum, praecisa et specifica haberi deberet proportio semiditonialis. Forsan autem numeros illos Boethius sumpsit ab Antiquis et mutare noluit. Item cantu chromatico, quantum ad vocem humanam, | [P1, 197r in marg.] non utimur et minus adhuc enharmonio, sed cantu solo diatonico. Ideo non sic studuerunt Antiqui numeros integros proportionales assignare in genere chromatico et enharmonio, sicut in genere diatonico, quantum ad chordas illas in quibus distinguuntur genera illa a genera diatonico.

[152] Capitulum XLIII.

Utrum sit alius modus per quem ad acutam partem tetrachordorum <secundum genus chromaticum> proportionis semiditoni numeri possint integri reperiri.

Quia, secundum descriptiones tetrachordorum prius factus, ad acutam partem, <quoad> genus pertinet chromaticum, semiditonialis proportionis integri et specifici non habentur numeri, quaeri potest an sit modus alius per quem valeant ad dictam partem integri tactae proportionis numeri reperiri, cum optime ad partem reperiantur gravem ut in omnibus patet generis diatonici tetrachordis prius descriptis.

Responsio: Dicendum est alium modum esse possibilem per quem in singulis tetrachordis prius descriptis possint ad acutam partem semiditonialis proportionis praecisi et specifici reperiri numeri, quamvis ad hoc non se extendant numeri omnes quibus utuntur Antiqui, qui prius positi sunt. Quod enim in certarum consonantiarum possibile est vocibus, possibile est in numeralibus illis respondentibus proportionibus. Est autem in tetrachordis diatessaron resonantibus, quantum ad voces, semiditonum reperire <tam> ad gravem partem, dicendo: la sol mi, quam ad acutam, dicendo: sol mi re.

Dico igitur quod si, inter extremos numeros chordarum cuiuscumque tetrachordi, vera sit proportio sesquitertia, sitque numerus gravioris chordae in partes novem divisibilis aequales, tollaturque numeri illius pars nona et residuum alicui mediae iungatur chordae, continebit numerus ille specificam semiditoni proportionem ad numerum chordae acutae tetrachordi illius. Hoc autem patet in sonis ipsius diatessaron in chordis et numeris proportionalibus illis correspondentibus. Integratur enim diatessaron inter alias eius partes ex semiditono et tono. Et hae, secundum sub et supra, praecise diatessaron constituunt ut, si tonus ad acutam se teneat partem, semiditonus ad partem tenebit se gravem, et e converso.

Sint igitur tres voces, duae extremae et una intermedia, et sit diatessaron inter extremas. Vox vero media, si tono distat a voce gravi, distabit per semiditonum ab acuta voce, [153] et e converso, sicque fit ut si tonus acutam teneat ipsius diatessaron partem, semiditonus gravem tenebit, et e converso. In diatessaron igitur potest se tenere semiditonus tam ad partem acutam quam ad gravem, sicut et tonus. Consimiliter in tribus chordis est, quia si inter extremas sit diatessaron, si media ad graviorem et longiorem tono distet vel tonum resonet, ad acutam semiditonum faciet, et e converso. Et in numeris similiter.

Sint enim tres numeri sic dispositi ut inter extremos ipsius diatessaron sesquitertia contineatur proportio; medius vero numerus ad alterum extremorum ipsius toni sesquioctavam contineat proportionem specificam. Continebit idem medius numerus semiditoni proportionem veram ad reliquum extremorum, ita quod, si sesquioctava proportio partem teneat gravem quae maiorem respicit numerum, semiditonialis proportio ad acutam partem se tenebit, ut patet inter sequentes terminos: 36 32 27. Inter extremos tactos numeros est proportio sesquitertia, inter maiorem et medium terminum sesquioctava, inter medium terminum et minorem superquinquipartiens vicesimas septimas.

Si vero proportio sesquioctava acutam partem tenuerit, semiditoni dicta proportio gravem tenebit partem, sicut fit inter numeros sequentes: 32 27 24, et sic fit in cunctis tribus consimilibus numeris quorum scilicet extremi sesquitertiam continent proportionem, medius vero numerus ad alterum extremorum sesquioctavam.

Et similiter est in chordarum mensuris, quia ubi sunt tres chordae quarum maior minorem superat in tertia illius parte, et media in octava, illa media semiditono distabit minorem. Et hunc tenent modum in mensuris qui chordas disponunt psalterii ad habendum, in diatessaron, semiditonum ad acutam partem et tonum ad gravem. Et si semiditonum habere volunt ad partem gravem et tonum ad acutam, requiritur ut chorda medians minorem superet in octava illius parte.

Ubicumque igitur sunt tres numeri quorum maior minorem vincit in tertia illius parte, et per consequens maior in quattuor aequales partes divisibilis est, adhuc maior partibilis est in novem partes aequales, quarum medius octo tenet, integra semiditoni proportio ad partem acutam reperibilis est, ad gravem vero si chorda media minorem superet in octava illius parte. Sic igitur patet qualiter semiditoni specifica [154] proportio in tetrachordorum numeris ad acutam partem | [P2, 222r in marg.] possit reperiri, similiter et ad gravem. Et hic modus, qui tactus est ad inveniendum specificam semiditoni proportionem ad partem hanc vel illam, innititur et fundatur in divisione et descriptione consonantiarum quae directe et proprie ad divisionem et descriptionem pertinent monochordi, quia in diatessaron et tono ex quorum proportionibus semiditoni ad partem hanc vel illam infallibiliter integra et specifica concluditur et reperitur proportio, non per aliquam propriam quam habeat ibidem descriptionem.

Quamvis autem in tetrachordis numeralis specifica semiditoni proportio reperiri possit ad partem gravem vel acutam, sicut dictum est, invenire tamen et continuare numeros tales in totius monochordi tetrachordis difficile est. Nec ad hoc extenduntur numeri prius chordis totius antiqui monochordi coniuncti, saltem ad habendum semiditoni numeralem specificam proportionem ad acutam partem, quia in aliquibus tetrachordis numerus gravioris chordae indivisibilis | [P1, 197v in marg.] est in partes novem aequales praecisas et, per consequens, non potest esse sesquioctavus ad numerum aliquem qui mediet inter ipsum et acutae chordae numerum, quod tamen requiritur ad hoc ut ad acutam partem semiditoni specifica reperiatur proportio.

Potest tamen, in omnibus prius tactis tetrachordis, ad partem gravem reperiri vera semiditoni proportio, quia numerus chordae acutae cuiuslibet tetrachordi divisibilis est in octo partes aequales et, per consequens, inter numerum gravioris chordae et numerum acutioris, mediare potest numerus qui sit sesquioctavus ad numerum acutae chordae. Ubi autem sic est, numerus maioris chordae est superquinquipartiens vicesimas septimas ad numerum illum, sicque fit ut, ubi specifica semiditoni dicta proportio naturalis in tetrachordis ad gravem se tenet partem, numerus gravioris chordae divisibilis et resolubilis est praecise in 32 unitates et ille ad quam tactam habet proportionem in 27.

Ubi vero specifica semiditoni proportio se tenet ad acutam partem, medians numerus, qui dictam tenet proportionem ad numerum chordae altioris, resolubilis est in 32 unitates praecise et numerus acutioris chordae in 27. Illi enim sunt minimi et radicales numeri tactae proportionis et ideo omnes numeri secundarii inter quos eadem iacet proportio resolubiles sunt in illos, quia minimi numeri proportionis alicuius [155] mensurant omnes secundarios in quibus eadem iacet proportio, maior maiorem et minor minorem.

Ubi igitur sesquitertiae proportionis tales extremi sunt numeri ut illorum maior in 9 partes aequales sit divisibilis, minor vero in 8, tenere se potest integra semiditoni proportio tam ad gravem partem, quod ad genus pertinet diatonicum, quam ad acutam, quod genus respicit chromaticum, et, in tali numerorum dispositione, toni patet divisio in duo semitonia, maius scilicet et minus. Ibi etiam apparent multae ipsius diatessaron partes: ditonus, semiditonus, tonus, semitonium maius et minus, et illarum in numeris specifice proportiones. Hoc autem locum habet inter chordas et numeros tetrachordi synemmenon, si tamen suis quattuor chordis de tetrachordo diezeugmenon gravissimam sumat chordam quae est paramese in diatonico genere.

Hoc autem, licet aliqualiter appareat in prius positis descriptionibus, ut tamen hoc fiat clarius et dictae ipsius diatessaron signentur partes earumque nominentur specifice numerales proportiones, talis rursus fiat descriptio:

| [P2, 222v in marg.] (Vide p. 156)

| [P1, 198r in marg.] Capitulum XLIIII.

Quod tactis quinque tetrachordis sextum addi possit tetrachordum.

Est autem advertendum quod, cum inter proslambanomenon et lichanon hypaton diatonon sit diatessaron sicut inter proslambanomenon et hypaten meson diapente sitque numerus ipsius proslambanomenou, qui est 9216 .A. divisibilis in novem partes aequales et numerus ipsius lichanou hypaton diatonou, qui est 6912 <.E.> in octo partes aequales, ut patet ex supradictis, poterit, inter dictas chordas et numeros, semiditonus ad partem reperiri gravem, similiter et ad acutam: ad partem gravem, inter proslambanomenon

[156] [CSMIII/5:156; text: Tetrachordum synemmenon diatonicum diatessaron resonans, sesquitertia proportio, Semiditonus ad partem gravem, superquinquipartiens proportio vicesimas septimas, Ditonus super XVII partiens proportio sexagesimas quartas, Semiditonus ad partem acutam, superquinquipartiens proportio vicesimas septimas, Tonus, sesquioctava proportio, Semitonium minus vel diesis, super XIII partiens proportio CCXLIII, Semitonium maius vel apotome, super CXXXVIIII partiens proportio 2048, Semitonium minus quod est diesis, super XIII partiens proportio <CCXLIII>, .a.lamire, .b.fa, .[sqb].mi, .c.solfaut, .d.lasolre, O, Q, T, V, X, IIII[macron supra lin.].DCVIII, IIII[macron supra lin.].CCCLXXIIII, III[macron supra lin.].DCCCLXXXVIII, III[macron supra lin.].CCCCLVI, IIII[macron supra lin.].XCVI, Mese, Trite synemmenon, Paranete synemmenon eadem est trite diezeugmenon, Nete synemmenon eadem est paranete diezeugmenon, paramese] [JACSP5B 18GF]

[157] et parhypaten hypaton; ad acutam partem, inter hypaten hypaton et lichanon hypaton diatonon. Et est simile ac si in vocibus descendendo diceretur: sol mi (ecce semiditonus ad acutam illius diatessaron se tenens partem), fa re (ecce semiditonus ad gravem partem). Et potest fieri e converso in ascendendo; et, inter numeros tactarum chordarum, iacet semiditoni specifica proportio, tam ad gravem partem quam ad acutam.

Iam aliqualiter ex dictis elici potest in pentachordo, quod est inter proslambanomenon et hypaten meson, duo contineri tetrachordo suo modo sicut in pentachordo clauso inter mesen et neten diezeugmenon, quorum est coniunctum unum cum mese et aliud a mese disiunctum. Sic aliorum duorum tetrachordorum unum est cum proslambanomeno coniunctum et, si placet, a proslambanomeno denominetur, ut dicatur tetrachordum proslambanomenon, aliud vero, quod est tetrachordum hypaton, a proslambanomeno disiungitur.

Quamvis autem tactum sextum tetrachordum describi posset in triplici genere, sicut et alia, tamen, propter brevitatem et laborem exemplorum, sufficiat illud describere et exemplum ponere in solo genere diatonico quo utimur. Et quia, in descriptione tetrachordi hypaton, apti numeri iuncti sunt illis chordis quarum una vocatur lichanos | [P2 (vide appar. critic.) in marg.] hypaton diatonos cuius numerus est 6912, alia dicitur parhypate hypaton in tetrachordo illo cum numero qui est 7776, idem tacti numeri, cum conveniant et iungendi sint duabus superioribus chordis tetrachordi sexti describendi, non oportet describere nisi numerum qui aptetur chordae proximae graviori, ut habeatur chorda quae tono distet a chorda tacta, quae dicitur parhypate hypaton, et iungatur illi numerus sesquioctavam habens proportionem ad numerum dictae chordae, quia ipsi proslambanomeno conveniens numerus iunctus est qui sesquitertiam continet proportionem ad acutam chordam sexti huius tetrachordi.

Sumatur igitur pars octava numeri qui est 7776. Illa est 972. Iungatur haec tacto numero et provenit inde sequens numerus 8748. Aptetur hic chordae quae vocetur paraproslambanomenos ab acutissima huius tetrachordi chorda duobus distans tonis incompositis secundum quod ad genus pertinet diatonicum. Et, cum diatessaron ditonum superet in minori semitonio, remanet semitonium minus inter proslambanomenon et dictam chordam.

[158] Et, cum non habemus nomina propria chordarum tetrachordi huius sicut aliorum, fingantur ipsarum sic: Vocetur acutissima proslambanomenos hypaton cum littera .G., secunda ab acutissima lichanos proslambanomenon cum littera .C., tertia ab acutissima, sive proxima graviori, paraproslambanomenos cum littera .B. rotunda. Gravissima autem est proslambanomenos cum littera quae est .A.

Igitur, since praeiudicio, tactum tetrachordum ceteris additum est, tum quia ad istud describendum apti se offerebant numeri, tum propter correspondentia pentachordi a mese in neten diezeugmenon in quo duo descripta sunt tetrachorda et pentachordi a proslambanomeno in hypaten meson, tum, propterea, ut tetrachorda in numero essent senario qui perfectus est et de hoc quidem tetrachordo una cum ceteris exemplum ponatur in quo multae tanguntur consonantiae, etsi non omnes in antiquo contentae monochordo prout chordae diversae, vicinae, remotae et remotiores conferuntur inter se, tanguntur et illarum proportiones numerales.

Quamvis autem numeri consonantiarum illarum veras, ut aestimo, specificas et integras contineant proportiones in genere diatonico, de quo nunc loquimur, propter brevitatem tamen hic etiam in aliquibus locis aliis specifice proportiones earum consonantiarum, quae in habitudinibus fundantur superpartientibus, non ad plenum exprimuntur, puta cum de semiditono dicitur quod fundatur in superquinquipartiente proportione et non additur vicesimas septimas, vel cum dicitur de ditono quod locatur in supervicesima proportione, et non adiungitur sexagesimas quartas, et sic de ceteris. Integra enim superpartientium habitudinum specifica proportio ex duabus pendet denominationibus, alias specifice non distinguerentur proportiones, quarum una est inter quinque et tria, alia inter septem et quinque, alia inter novem et septem, et sic de similibus quae conveniunt in hoc quod sunt superbipartientes. Sed distinguuntur in alia denominatione, quia prima est superbipartiens tertias, secunda superbipartiens quintas, | [P1, 198v in marg.] tertia superbipartiens septimas. Et consimiliter est de <supertripartientibus>, superquadripartientibus, et ceteris superpartientium proportionum speciebus, ut alias visum est.

Si quis autem consonantiarum proportionum superpartientium

[CSMIII/5:post158; text: Bis diapason quadrupla proportio, <semel> continetur hic, Ditonus cum diapente et diapason, tripla superquinquagesima <prima> partiens proportio, semel habetur hic, Semiditonus cum diapente et diapason, tripla superquinquipartiens proportio, bis continetur hic, Tonus cum diapente et diapason, tripla supertripartiens proportio, bis continetur hic, Diapente cum diapason, tripla proportio, hic ter continetur, Diatessaron cum diapason, dupla superbipartiens proportio, Ditonus cum diapason, dupla super decem et septem partiens proportio, Tonus cum diapason, dupla sesquiquarta proportio, Diapason, dupla proportio, Ditonus cum diapente, super centesima quindecima partiens proportio, Semiditonus cum diapente, super septima partiens proportio, Tonus cum diapente, super undecima partiens proportio, Diapente, sesqualtera proportio, Diatessaron, sesquitertia proportio, Ditonus, super decem et septem partiens proportio, Tonus sesquioctava proportio, Semitonium minus, super XIII partiens proportio, Semitonium maius, super CXXXIX proportio, Semitritonus, super ducentesima nonagesima quinta proportio, A, B, C, G, O, Q, T, V, <E>, H, I, M, X, Y, CC, DD, EE, NN, LL, .A.re, <.B.>mi, .C.faut, .D.solre, .E.lami, .F.faut, .G.solreut, .a.lamire, .b.fa, .[sqb].mi, .c.solfaut, .d.lasolre, .e.lami, .f.faut, .g.solreut, .aa.lamire, VIIII[macron supra lin.].CCXVI, VIII[macron supra lin.].DCCXXXXVIII, VII[macron supra lin.].DCCLXXVI, VI[macron supra lin.].DCCCCXII, IIII[macron supra lin.].DCVIII, IIII[macron supra lin.].CCCLXXIIII, III[macron supra lin.].DCCCLXXXVIII, III[macron supra lin.].CCCCLVI, VIII[macron supra lin.].CXCII, VI[macron supra lin.].CXLIIII, V[macron supra lin.].DCCCXXXII, V[macron supra lin.].CLXXXIIII, IIII[macron supra lin.].XCVI, III[macron supra lin.].LXXII, <II[macron supra lin.].DCCCCXVI>, II[macron supra lin.].DXCII, II[macron supra lin.].CCCIIII, Proslambanomenos, Paraproslambanomenos, Lichanos proslambanomenon, Proslambanomenos hypaton, Mese, Trite synemmenon <diatonos>, Paranete synemmenon <diatonos>, Nete synemmenon, Hypate hypaton, Parhypate hypaton <diatonos>, Lichanos hypaton diatonos, Hypate meson, Parhypate meson <diatonos>, Lichanos meson diatonos, Paramese, Trite diezeugmenon <diatonos>, Parenete diezeugmenon <diatonos>, Nete diezeugmenon, Trite hyperboleon <diatonos>, Paranete hyperboleon <diatonos>, Nete hyperboleon, Tetrachordum proslambanomenon diatonicum diatessaron resonans, sesquitertia proportio, Semitonium minus cum diapason, dupla super XXVI partiens proportio, <Tri>tonus cum diapason, dupla super ducentesima decima septima partiens proportio ducentesimas quinquagesimas sextas, eius minimi numeri 729-256, Semitonium maius cum diapason, dupla super CXXXIX partiens proportio, Tritonus super ducenta XVII partiens proportio, Tetrachordum hypaton diatonicum diatessaron resonans, sesquitertia proportio, Semitritonus cum diapason, dupla super quingentesima nonagesima partiens proportio, Semiditonus super quinquipartiens proportio, Tetrachordum meson diatonicum diatessaron resonans, sesquitertia proportio, Tritonus super ducenta decem et septem partiens proportio, Tetrachordum synemmenon diatonicum diatessaron resonans, sesquitertia proportio, Tetrachordum diezeugmenon diatonicum diatessaron resonans, sesquitertia proportio, Tetrachordum hyperboleon diatonicum diatessaron resonans, sesquitertia proportio] [JACSP5B 19GF]

[159] quaerit habitudines ad plenum specificas, ad secundum recurrat librum ubi sigillatim de consonantiis et ipsarum specificis tactum est proportionibus. Sed tetigi possibilitatem tacti sexti tetrachordi, non quod illud sit utendum, quia sibi respondet cantus per .b. mollem qui locum non habet clavibus in gravibus propter rationes quae tangentur infra, libro sexto:

(Vide descriptionem in tabula seorsum addita.) [P1, 199r in marg.]

| [P1, 199v in marg.] Capitulum XLV.

Quae tetrachordorum monochordi chordae vel voces in tribus generibus stabiles sint et quae non.

Vocum et chordarum prius tactarum quaedam sunt in totum immobiles vel stabiles, aliae in totum mobiles, aliae inter has medio modo se habentes, quia nec in totum mobiles, nec in totum immobiles.

Sunt autem in totum immobiles octo, scilicet proslambanomenos, hypate hypaton, hypate meson, mese, paramese, nete synemmenon, nete diezeugmenon, nete hyperboleon. Idcirco autem dicuntur in totum immobiles quoniam in tribus generibus eaedem sunt, nec loca, quantum ad ordinem, permutantes, nec nomina, etiam nec numeros.

Dictum enim est supra quod extremae chordae tetrachordorum in tribus generibus sunt similes, quia eandem resonant consonantiam, scilicet diatessaron et numeri illarum inter se continent similem proportionem. Et consimiliter est de pentachordis. Chordae autem, quae tactae sunt, extremae sunt in pentachordis et in tetrachordis prius descriptis: in pentachordis ut proslambanomenos ad hypaten meson et mese ad neten diezeugmenon; tetrachorda vero, ut hypate hypaton ad hypaten meson et hypate meson ad mesen, item mese ad [160] neten synemmenon, paramese ad neten diezeugmenon, nete diezeugmenon ad neten hyperboleon.

Quodsi Boethius sextum descripsisset, scilicet proslambanomenon in tribus generibus, unam ceteris chordam adiunxisset immobilem eam scilicet quae, pro sexto tetrachordo, vocata est proslambanomenos hypaton, et, antea, dicebatur, cum non essent nisi quinque tetrachorda, lichanos hypaton. Pari enim ratione, immobilis esset tacta chorda pro sexto tetrachordo, sicut nete synemmenon pro tertio.

Mobiles vero in totum sunt quae, secundum singula genera, permutantur, ut paranete quantum ad tria tetrachorda, scilicet synemmenon, diezeugmenon et hyperboleon, etiam lichanos quantum ad duo tetrachorda, hypaton scilicet et meson. Dico igitur quod alia est paranete hyperboleon diatonos, alia paranete hyperboleon chromatice. Item diversae sunt paranete diezeugmenon diatonos et chromatice. Similiter diversae sunt paranete synemmenon generis distonici et chromatici. Item aliae sunt lichanos meson diatonica et chromatica, similiter lichanos hypaton diatonos et chromatice. Ratio horum prius tacta est, quia tactae chordae ad acutissimam chordam sui tetrachordi in genere diatonico tonum resonant, in enharmonio ditonum, et in chromatico semiditonum. Item trite enharmonios in tribus tetrachordis, scilicet hyperboleon, diezeugmenon et synemmenon, a trite distinguitur, tam generis diatonici quam chromatici. Et similiter parhypate meson enharmonios et parhypate hypaton enharmonios nulli parhypate generum aliorum simul invenitur. Ratio earum est quia chordae dictae in genere enharmonio a chorda gravissima sui tetrachordi distant per partem minoris semitonii, in aliis vero duobus generibus per integrum minus semitonium.

Non in totum vero immobiles aut in totum mobiles sunt illae quae in duobus generibus, diatonico scilicet et chromatico, eaedem manent, in enharmonio vero permutantur.

Id autem sic consideratur: Trite hyperboleon diatonos et trite hyperboleon chromatice prius sub eadem forma descripta est, et sub numero eodem qui est 2916, sed tactam chordam in genere enharmonio reperimus aliam, aliumque numerum esse sibi iunctum qui est 2994; quae igitur chorda vel vox duobus generibus fuit communis eadem, quantum ad nomen, in genere tertio realiter permutata est.

[161] Idem et est in tetrachordo diezeugmenon, nam trite diezeugmenon diatonos et trite diezeugmenon chromatica eaedem sunt, sibique in numeris consentiunt, trite vero diezeugmenon enharmonios a superioribus distincta est generibus. In synemmenon et tetrachordo idem est: trite enim synemmenon diatonos et trite synemmenon chromatica eaedem sunt, sed trite synemmenon enharmonios ab illis est diversa.

Item parhypate meson diatonos eadem est cum parhypate meson chromatica, sed in genere enharmonio tacta chorda diversa est. Consimiliter est de parhypate hypaton, quia in generibus duobus, eadem est, scilicet in diatonico et chromatico, in enharmonio vero diversa reperitur, nam, quantum ad sonum, ab aliarum sonis in acumine distinguitur. Superatur enim <par>hypate meson enharmonios a <par>hypate meson tam diatonica quam chromatica in parte minoris semitonii. Rursus parhypate hypaton diatonos et parhypate hypaton chromatice eadem est. Distat enim quaelibet duobus tonis ab hypate meson, sed non est eadem cum in genere quaeritur enharmonio, quia, ultra ditonum, in parte minoris semitonii distat ad hypaten meson.

Adhuc, ut tactarum chordarum vel sonorum ipsarum non plena clarius mutabilitas colliquescat, ad hyperboleon tetrachordum redeamus.

In hoc igitur tetrachordo, quae in diatonico et chromatico generibus trite hyperboleon est, eadem mutatur in enharmonio et, quantum ad nomen, dicitur paranete, sed, quamvis sic mutetur quantum ad nomen et similiter quantum ad litteram quia variatur ordo, manet tamen numerus idem, unde, quantum ad rem, trite hyperboleon diatonica et chromatica eadem est cum paranete hyperboleon enharmonios, quia quaelibet tactarum chordarum distat per ditonum a nete hyperboleon. Item chorda quae trite diezeugmenon in diatonico vel chromatico genere vocatur, paranete in enharmonio genere dicitur, et quae trite synemmenon in chromatico et in diatonico fuit, in genere enharmonio in paraneten transit. Item quae | [P1, 200r] in diatonico et chromatico genere parhypate meson videbatur, eadem lichanos meson in enharmonio genere reperitur. Similiter, quae parhypate hypaton in diatonico et chromatico generibus est, in genere enharmonio lichanos hypaton nuncupatur.

Sunt igitur in totum immobiles proslambanomenos, hypate hypaton, hypate meson, mese, paramese, nete synemmenon, nete diezeugmenon, nete hyperboleon. In totum mobiles [162] sunt illae quas in duobus gravioribus tetrachordis lichanon vocamus vel paraneten in tribus, vel quas dicimus diatonicas, chromaticas, vel enharmonias in quolibet tetrachordo. Non in totum mobiles aut immobiles sunt illae quas vocamus parhypatas in duobus gravioribus tetrachordis, quia ad genus quantum diatonicum et chromaticum, illae sunt eaedem, non quantum ad enharmonium, vel illas quas tritas in tribus superioribus tetrachordis appellamus, et similiter illae quas in duobus gravioribus tetrachordis vocamus lichanon vel paraneten in tribus acutioribus in genere enharmonio, quia illae in aliquo conveniunt cum aliquibus aliis, scilicet cum his quae in duobus generibus dicuntur parhypate vel trite. Conveniunt enim in numeris his et illis iunctis chordis qui sunt idem, et in hoc quod eandem important distantiam a gravissima sui tetrachordi a qua distant per semitonium minus et ab acutissima per ditonum.

| [P2, 223r in marg.] Capitulum XLVI.

<Quomodo Aristoxenus tonum dividat et genera.>

Praeter descriptiones tetrachordorum secundum triplex genus prius tactas, sunt et aliae specialiores.

Aristoxenus enim, quoniam minimae tractatum rationi constituit, sed aurium iudicio permittit, idcirco voces ipsas nullis numeris notat, ut earum colligat proportiones, sed earum in medio differentiam vel distinctionem sumit, ut speculationem, non in ipsis vocibus, sed in eo, quod inter se differunt, secundum iudicium sensus, collocet, nimis improvide qui differentiam arbitratur se scire earum vocum quarum nullam magnitudinem mensuramve constituit.

Quis autem, secundum veritatem, valet inter res distinguere vel certam ponere differentiam quarum non novit naturam, ex qua talium rerum distinctio sumenda est quam non novit solus sensus?

Hic igitur, sicut erravit in male sentiendo de consonantiis, ponens tonum constare ex duobus semitoniis aequalibus, diatessaron ex tonis duobus cum toni integra medietate, diapente [163] ex tribus tonis et semitonio integro, diapason ex tonis sex integris, sic defecit in tetrachordorum descriptionibus. Divisit enim diatessaron secundum tria genera, modo qui sequitur, ad cuius evidentiam praemittendum est ipsum divisisse tonum in duas partes quas vocat semitonia. Item dividit eundem in tres et partem tertiam vocat diesim chromatis mollis. Adhuc dividit in quattuor partes cuius pars quarta dicitur diesis enharmonios. Rursus dividit in quattuor partes cum integra medietate quartae partis, hoc est cum octava totius toni parte. Posuit autem tonum in duodecim unitatibus consistere et, secundum hoc, illa quarta pars constaret ex duabus unitatibus cum octava parte unitatis. Talem autem partem appellat diesim chromatis hemiolii (est enim hemiolium idem quod semis et totum, hoc est quarta pars integra totius alicuius cum medietate quartae partis illius).

Ponit autem Aristoxenus generum divisionem esse duplicem vel triplicem. Est enim unum genus quod est mollius, aliud vero incitatius. Et mollius quidem est enharmoniacum, incitatius diatonicum. Tertium vero quod inter haec, quasi medium, consistit, est chromaticum, incitatione mollitieque participans.

Fiunt igitur secundum hunc ordinem differentiae generum permixtorum sex, secundum Aristoxenum, una quidem enharmonii, tres autem chromatici, scilicet chromatici mollis, chromatici hemiolii et chromatici toniaei (est autem "aei" graece idem quod "semper" latine; unde dicuntur "toniaei", idest "sempertoni", ubi non intersunt differentiae aliae); duae vero reliquae differentiae sunt diatonici mollis atque diatonici incitati.

Applicans Aristoxenus haec ad intentum suum, secundum Boethium, dicit quod omnium trium generum divisio est secundum iam tactas ipsius toni partes distinctas. Est enim ipsius quarta pars quae diesis enharmonios nuncupatur. Cum diatessaron ex duobus tonis ac semitonio iungatur, et tonus ex duodecim constet unitatibus, erit tota diatessaron ex triginta unitatibus <constituta>. Aristoxenus enim, ut est dictum, non voces ipsas, non ipsarum proportiones inter se comparat, sed differentiam vocum intervallumque metitur.

Et quia saepe fit ut, si ad octavas toni partes ire velimus, non integros reperiemus numeros, sed in aliquas abundantes [164] vel deficientes incidemus partes, duplentur toni, nec non similiter et ipsius totius diatessaron unitates ut, pro duodecim unitatibus toni, sumantur 24, et, pro diatessaron, 60. Nam 24 partem habent octavam praecisam, scilicet trinarium, et tunc, in numeris integris, haberi poterit illa pars quae vocatur diesis chromatis hemiolii, scilicet 9. Constant enim 9 ex octava parte ipsorum 24 | [P1, 200v in marg.] iuncta parti quartae, scilicet ipsi senario, et tunc media pars ipsorum 24 sunt 12, tertia 8, quarta praecisa 6.

His igitur ita constitutis, secundum Aristoxenum, tria genera, enharmonium, chromaticum et diatonicum, has habere videntur proprietates ut alia dicantur spissa, alia minime, idest alia sint similia <quorum> scilicet duae graviores similes proportiones, secundum Aristoxenum, unam eam quae ad acutam partem apposita est, magnitudine non vincunt, alia sint dissimilia, quarum scilicet duae inaequales proportiones graviores aequantur vel superant eam quae ad acutam se tenet partem.

Et, sicut patebit in exemplis, genus enharmonium spissum est, similiter et chromaticum, diatonicum vero non spissum.

Dividitur igitur genus enharmonium sic: 60 6 6 48, ut inter gravem nervum ac prope gravem sit quarta pars toni quae per sex signatur unitates, dum tonus continet 24, et talis quarta pars vocatur diesis enharmonios, ut est dictum. Cum igitur, in duobus gravioribus nervis, duae quartae partes toni contineantur, quae per 6 et 6 designantur, et toni continent medietatem, restant de tota diatessaron duo toni qui in 48 continentur unitatibus, et illae ad acutam locantur partem. Est autem planum quod in praedicta divisione duae proportiones ad gravem positae partem sunt aequales vel similes et quod non attingunt ad eam quae ad acutam ponitur partem. Quin potius! simul sumptae quartam partem illius includunt, quia 12 sunt quarta pars ipsorum 48; divisim vero sumptae sunt octava pars.

Chromatis vero mollis Aristoxenus | [P2, 223v in marg.] hanc facit partitionem: 60 8 8 44, ut 8 atque 8 sint tertiae partes toni, cum tonus 24 constet unitatibus et talis tertia toni pars dicitur diesis chromatis mollis, et hic etiam patet duas partes ad gravem positas partem similes esse et non attingere ad eam solam quae ponitur ad acutam.

[165] Item chromatis hemiolii diatessaron ita dividitur: 60 9 9 42. Est enim diesis chromatis hemiolii toni pars quarta cum medietate quartae partis, quae medietas est octava pars totius toni. Et hic patet partes duas ad gravem locatas partem esse aequales et non attingere partem illam ad acutam sitam.

Chromatis vero <toniaei> talis, secundum Aristoxenum, partitio est: 60 12 12 36. Hic igitur in duobus intervallis singula constituit semitonia quae simul tonum complent. Quod autem ipsius diatessaron reliquum est ad partem se tenet acutam, scilicet tonus et toni medietas quae per 36 designantur.

In hac autem descriptione, sicut et praetactis, duae proportiones quae graviori numero sunt proximae, <reliquam>, quae ad acutum posita est, minime superant in magnitudine. Sunt enim generum spissorum genera, quippe spissa sunt enharmonium et chromaticum.

Diatonica vero divisio duplex est, mollis scilicet et incitati.

Et mollis quidem diatonici generis divisio fit hoc modo: 60 12 18 30, ut 12 sit semitonium, 18 semitonium et quarta toni pars vel semitonii media, 30 tonus cum quarta toni parte. Et secundum hoc aequantur duo numeri graviores ipsi numero acuto, nec superant illum.

Diatonici vero incitati talis est partitio ut semitonium ac duos habeat tonos sic: 60 12 24 24. Ex quibus patet quod 12 et 24, idest 36, non superantur a reliqua parte quae est ad acutam.

Est igitur, secundum Aristoxenum, tetrachordorum praedicta partitio quae subiecta descriptione monstrabitur:

(Vide p. 166)

[166] [CSMIII/5:166; text: Genus enharmonium, Genus chromatici mollis, Genus chromatici hemiolis, XLVIII, XLIIII, XLII, VI, VIII, VIIII, LX, Genus chromatici toniaei, Genus diatonici tmollis, Genus diatonici incitati, XXXVI, XXX, XXIIII, XII, XVIII] [JACSP5B 20GF]

| [P1, 201r in marg.] Capitulum XLVII.

<Comparatio tactae descriptionis Aristoxenis ad alias prius positas descriptiones>.

Ad ampliorem dictorum evidentiam, Aristoxeni posita divisio comparetur ad prius tetrachordorum in triplici genere positas descriptiones.

Convenit Aristoxenus in tactis descriptionibus cum aliis quantum ad hoc quia tam ipse quam alii in tres proportiones vel partes intendunt diatessaron dividere.

Item, sicut in prius tactis descriptionibus, proportio nervorum alterius extremorum ad sibi proximum nervum duas alias vincit proportiones in genere enharmonio et chromatico, similiter et in Aristoxeni tactis divisionibus. Et ideo vocantur genera illa spissa. Unde ditonus, tam hic quam ibi, ad alteram ponitur partem in genere enharmonio, et duae semitonii partes ad reliquam, et semiditonus vel prope in genere chromatico.

[167] Item tam Aristoxenus quam alii maiorem proportionem ad acutam ponunt partem. In genere tamen diatonico, proportio duorum intermediorum numerorum aequalis est proportioni ad acutam se <tenenti> partem. Hoc autem Aristoxenus observat in divisione generis diatonici mollis tantum.

Sed differunt in multis.

Primo, quia Aristoxenus, in descriptionibus suis, totam diatessaron vel ipsius numerum ad gravem partem statuit et postea in partes tres dividit. Hoc autem in aliis non fit descriptionibus.

Secundo, quia, in tactis Aristoxeni descriptionibus, genus chromaticum triplicem habet descriptionem, et diatonicum duplicem. In prius autem tactis divisionibus, nullum genus plures habet divisiones, sed quodlibet unicam.

Tertio, quia tonus, secundum Aristoxenum in suis descriptionibus, in duas partes aequales, in tres, in quattuor, in octo dividitur. In aliis prius positis descriptionibus, tonus in duas partes tantum dividitur inaequales, et semitonium in duas, et similiter, secundum Aristoxeni sententiam, in multas partes aequales divisibilis est diatessaron.

Quarto, quia Aristoxenus non accipit proportiones in numeris modo quo de numerorum proportionibus | [P2, 224r in marg.] alias locutum est. Tunc enim, in quattuor primis descriptionibus, eisdem uteretur proportionibus quantum ad duos nervos graviores. Eadem enim est proportio inter 6 et 6, inter 8 et 8, inter 9 et 9, inter 12 et 12, quamvis numeri distincti sint. Est enim, tam hic quam ibi, cuiusdam aequalitatis proportio quae respicit unisonum. Et tamen Aristoxenus, ut dictum est, per tactos numeros distinctas intelligit proportiones vel toni partes, sed accipit proportiones in numeris illis absolute sumptis vel comparatis ad ipsius toni numerum vel totius diatessaron. Per 6 enim accipit quartam toni partem, prout tonus in 24 consistit unitatibus, per 8 tertiam toni partem, sic de aliis, ut est dictum prius. Alias etiam est inter extremos quos ponit numeros. Nunquam integram haberet ipsius diatessaron proportionem et partium eius, nam si comparentur ad invicem numeri, quos ponit, secundum veras quas includunt proportiones, illae erunt multo maiores quam sit diatessaron proportio, toni et aliarum ibi tactarum partium ipsius diatessaron. Nam, inter 24 et 6 est quadrupla proportio in qua consistit bis diapason; inter 60 et 6 decupla [168] iacet habitudo quae superat proportionem toni cum ter diapason ad quam proferendam consonantiam vox non attingit humana.

Statuit igitur Aristoxenus toni proportionem non in habitudine sesquioctava, sed in 12 vel 24 unitatibus, et totius diatessaron non in sesquitertia proportione, sed in 30 vel 60 unitatibus. Cum enim diatessaron duos includat tonos cum semitonio, si semitonium in 12 ponatur unitatibus, tonus in 24, duo toni in 48, consequens ad illam positionem est diatessaron in unitatibus 60 consistere, et, secundum suam opinionem, Aristoxenus tonum et diatessaron dearticulavit et divisit et sex prius tactas posuit descriptiones, in quibus tamen descriptionibus, secundum veritatem, multum defecit, quia tonum in duas divisit partes aequales, in tres, in quattuor, vel plures, cum indivisibilis sit in partes aequales praecisas duas, tres, vel plures. Hoc enim specificae suae repugnat proportioni quae est superparticularis. Item ad illam opinionem sequitur diatessaron in multas dividi posse partes aequales, sicut et numerum unitatum in quo ipsam posuit consistere. Hoc autem verum non est, cum in superparticulari locetur genere. Sed ad illas proportiones Aristoxenus non aspexit, et ideo, secundum Boethium, de consonantiis nimis improvide iudicavit, quia rationem dimisit et sensui nimis credidit.

Capitulum XLVIII.

Tetrachordorum descriptio secundum Archytam.

Archytas vero, ut ait Boethius, cuncta ratione constituens non modo sensum aurium in primis consonantiis observare neglexit, verum etiam maxime in tetrachordorum divisione rationem secutus est, sed ita ut neque eam, quam quaerebat, efficaciter expediret, neque sensui proposita ab eo ratio consentiret, cum tamen experimentum sermonum verorum sit ut consentiant rebus sensatis.

Ille enim tria tetrachorda arbitratur esse enharmonium diatonicum, chromaticum, in quibus omnibus statuit sonos [169] gravissimos ipsius diatessaron 2016, et acutissimos 1512. Inter | [P1, 201v in marg.] hos in tribus generibus nervum gravissimo proximum collocat eum qui est 1944, ut gravissimus numerus ad hunc numerum scilicet 2016 ad 1944, obtineat sesquivicesimam septimam proportionem. Differentia enim tactorum numerorum est sequens numerus 72 qui est maioris pars vicesima octava praecisa, minoris vero vicesima septima, et sic inter numeros illos talis est proportio qualis est inter 28 et 27. Illa est sesquivicesima septima.

Post tactum numerum qui est 1944 in enharmonio genere tertium a gravissimo statuit eum numerum qui est 1890, ad quem 1944 sesquitricesima quinta proportione iungitur. Differentia enim tactorum numerorum est sequens terminus 54 qui est tricesima sexta pars maioris et tricesima quinta minoris praecise. Et sic inter tactos numeros eadem est proportio sicut inter 36 et 35. Idemque numerus qui est 1890 ad acutissimum numerum scilicet 1512 sesquiquartam continet proportionem. Illorum enim differentialis numerus est 378 qui est quinta pars maioris et quarta minoris. Et sic talis est inter terminos illos proportio qualis inter 5 et 4.

Est autem inter extremos terminos, gravissimum scilicet et acutissimum, qui sunt 2016 et 1512 sesquitertia proportio in qua fundatur diatessaron. Continet enim maior minorem et tertiam illius partem quae est 504.

Sic igitur proportiones omnes generis enharmonii, secundum tactam Archytae dcscriptionem, sunt superparticulares. Est autem notandum quod sesquiquarta proportio quae est inter 1890 et 1512 non attingit ad ditoni proportionem. Illa enim maior est sesquiquarta, minor vero sesquiquinta, et cum diatessaron constet ex ditono et minore semitonio, si inter tactos numeros qui sunt 1890 et 1512, est minor proportio quam ea quae specifice pertinet ad ditonum, oportet quod ex illa parte inter 2016 et 1890 sit maior proportio quam ea quae est semitonii minoris; et ita est. Nam inter tactos numeros qui sunt 2016 et 1890 est sesquiquinta decima proportio qualis est inter 16 et 15 (continet enim maior minorem et ipsius quindecimam partem quae est <126> praeecise) et numerus tactus est differentia duorum illorum numerorum et sedecim vicibus continetur [170] in maiore et vicibus quindecim in minore, sicque inter numeros illos superparticularis continetur proportio quae dicta est et illa est maior minoris semitonii proportione quia probatum est prius illam esse minorem sesquiduodevicesima proportione et sic, quod minus est | [P2, 224v in marg.] ex parte proportionis ditoni, abundat et suppletur ex parte minoris semitonii proportionis, nec attingit sesquiquinta decima proportio ad maioris semitonii proportionem, quia ipsa maior est sesquiquinta decima proportione, minor tamen sesquiquarta decima. Descripta est igitur secundum Archytam in genere enharmonio diatessaron sesquitertia proportio quantum ad hoc multum subtiliter quia omnes tactae proportiones partiales inclusae inter extremos illos terminos sesquitertios qui sunt 2016 et 1512 sunt superparticulares ut sic superparticularis maior proportio ex puris et minoribus superparticularibus nascatur proportionibus. Omnes enim illae partiales tactae proportiones superparticulares simul sumptae illam sesquitertiam inducunt proportionem quae inter extremos illos continetur numeros. Sed Archytas defecit in alio, ut infra tangetur.

Qualiter autem Archytas diatessaron descripserit in genere diatonico inquiratur.

Et cum hoc genus, secundum Archytam, conveniat cum genere enharmonio prius descripto, quantum ad proportionem extremorum numerorum et quantum ad eam quae est inter gravissimum numerum et sibi proximum, quia eidem sunt hic et ibi, oportet videre qualiter sit proportio inter secundum numerum a gravissimo et tertium a gravissimo, qui est secundus ab acutissimo vel minimo et proportionem inter secundum numerum ab acutissimo et acutissimum, et illi tres numeri sunt isti in genere hoc: 1944 1701 1512, modo dico quod inter duos primos numeros est sesquiseptima praecisa proportio, sicut inter 8 et 7, quia superat maior minorem in septima minoris parte praecisa quae est 243. Et hic numerus est differentia tactorum duorum primorum numerorum et continetur octies in maiore et septies in minore praecise.

Huic autem proportioni nulla in sonis praecisa respondet consonantia. Et si esset, non solum superaret tonum quo utimur, sed tonum maiorem qui ex duobus maioribus [171] constat semitoniis. Probatum est enim supra, libro secundo, illius proportionem minorem esse sesquiseptima proportione, maiorem tamen sesquioctava.

Dicendum est ulterius inter 1701 et 1512 esse sesquioctavam proportionem. Differentia enim tactorum terminorum est sequens numerus: 189. Hic autem praecise continetur novies in maiore posito numero et octies in minore. Architas igitur in genere diatonico sesquitertiam ipsius diatessaron inter tactos extremos contentam proportionem in puras superparticulares distinxit proportiones sicut in genere enharmonio. Divisit enim illam in sesquivicesimam septimam quae est inter 2016 et 1944, in sesquiseptimam existentem inter 1944 et 1701, in sesquioctavam inter 1701 et 1512. Cum autem constet diatessaron in sonis ex semiditono et tono, et ipsius similiter proportio ex semiditoni et toni proportionibus, contineatur autem diatessaron proportio inter numeros qui sunt 2016 <et> 1512, toni vero proportio inter 1701 et 1512 oportet ut semiditoni | [P1, 202r in marg.] specifica proportio iaceat inter numeros qui sunt 2016 et 1701. Et ita est secundum veritatem. Illae enim duae proportiones, scilicet sesquivicesima septima quae est inter 2016 et 1944 et sesquiseptima quae est inter 1944 et 1701, simul iunctae, praecise constituunt specificam semiditoni proportionem quae est superquinquipartiens vicesimas septimas.

Quod autem ita sit, patet per sequentes terminos: 32 28 27. Hi termini disponantur cum aliis sic: 2016 1944 1701 32 28 27. Vocetur primus terminus .a., secundus .b.; tertius .c., quartus .d., quintus .e., sextus .f. Modo dico quod qualis est proportio inter .d. et .f., talis est inter .a. et .c. Nam, sicut .d. superat .f. in quinta ipsius .d. parte vicesima septima, scilicet in quinque unitatibus quarum 27 illum facerent numerum, sic numerus qui est .a. numerum vincit qui est .c. in illius quinque partibus, quia in numero qui est 315 qui quinquies continet sequentem numerum, scilicet 63, qui numerus est vicesima septima pars numeri qui est .c., et tricesima secunda numeri qui est .a. Et sic, inter .a. et .c., est superquinquipartiens proportio vicesimas septimas, sicut inter .d. et .f., qui sunt primi [172] et minini termini illius proportionis. Et illa est ipsius semiditoni. Item, qualis est proportio inter .e. et .f., scilicet inter 28 et 27, quia sesquivicesima septima consimilis est inter .a. et .b., hoc est inter 2016 et 1944, et qualis est proportio inter .d. et .e., hoc est inter 32 et 28, consimilis est inter .b. et .c., idest inter 1944 et 1701, quia continetur utrobique sesquiseptima proportio.

Consequenter videamus genus chromaticum Archytas quomodo diviserit in genere hoc. Nervus secundus a gravissimo et eius numerus communis est et similis in tribus illis generibus secundum Archytam. Numerus vero nervi tertii a gravissimo, secundum Archytam, in genere chromatico est 1792, inter quem et numerum secundum a gravissimo, idest inter 1944 et 1792, continetur super 19 partiens proportio ducentesimas vicesimas quartas, qualis proportio est inter sequentes terminos: 243 et 224, qui videntur esse minimi numeri tactae proportionis. Horum autem maior clauditur in maiore priorum octies, et totiens minor in minore, et differentia minorum, quae est 19, in differentia maiorum, quae est 152. Est autem tacta proportio maior sesquiduodecima proportione, minor vero quam sesquiundecima, ut in sequentibus patet terminis: 247 228 209 243 224 19. Vocetur primus terminus .b., secundus .c., tertius .d., quartus .e., quintus .f., sextus .g. Continetur inter .b. et .c. sesquiduodecima proportio praecise et sesquiundecima inter .c. et .d., quia terminus .b. surgit per multiplicationem termini differentialis numerorum illorum qui est .g. per tredecim factam et terminus .c. per duodecim, terminus .d. per undecim, | [P2, 225r in marg.] sicque consimilis est proportio inter tres terminos qui sunt .b.c.d. qualis est inter 13 12 et 11. Planum est autem ex declaratis alias maiorem esse proportionem inter terminos positos qui sunt .e. et .f. quam inter .b. et .c., minorem tamen ea quae est inter .c. et .d. Ex his consequens est proportionem super 19 partientem ducentesimas vicesimas quartas quae consistit inter terminos qui sunt .c.f., maiorem esse sesquiduodecima proportione quae est inter .b. et .c., minorem tamen proportione sesquiundecima quae est inter .c. et .d. terminos. Haec propterea dixi quae tacta proportio quae est inter 1944 et 1792 debet esse maior proportione maioris semitonii. Nam, cum inter 2016 et 1792 sit [173] toni sesquioctava proportio, ut patebit infra, medietque inter terminos illos numerus qui est 1944 ad quem 2016 minorem obtinent proportionem minoris semitonii proportione, oportet ut illa proportio, quae clauditur inter 1944 et 1792, sit maior quam maioris semitonii proportio. Et ita est, quia illa, scilicet maioris semitonii proportio, est minor, non modo sesquiduodecima, sed sesquitertiadecima et sesquiquartadecima, maior tamen sesquiquintadecima, ut libro secundo probatum est.

Quod autem inter 2016 et 1792 sit toni sesquioctava proportio, statim declaretur. Inter numeros illos est sesquioctava proportio quorum maior minorem superat in octava parte illius praecisa. Sic est de tactis numeris, quia maior minorem vincit in numero qui est 224. Hic enim numerus, qui est differentia tactorum numerorum, novies continetur praecise in maiore tacto numero, et octies in minore. Et ideo, qualis est proportio inter 9 et 8, talis est inter tactos numeros, ut ad invicem conferuntur.

Dico ulterius quod inter tactum numerum generis chromatici, tertium a gravissimo et acutissimum, idest inter 1792 et 1512 est superquinquipartiens proportio vicesimas septimas, quia maior minorem superat in quinque talibus partibus quarum 27 minorem illum constituerent praecise numerum. Superat enim eum in numero qui est 280 qui quinquies continet sequentem, qui est 56. Hic autem est vicesima septima pars illius minoris numeri et tricesima secunda maioris. Unde talis est inter numeros illos proportio, qualis est inter 32 et 27, qui sunt numeri minimi proportionis illius quae est semiditoni specifica proportio. Quia enim inter extremos illos numeros, qui sunt 2016 et 1512, est sesquitertia ipsius diatessaron proportio quae in numeris surgit | [P1, 202v in marg.] ex toni et semiditoni proportionibus (sitque toni sesquioctava proportio inter 2016 et 1792, ut visum est), relinquitur ut ex alia parte, inter 1792 et 1512, sit semiditoni vera, quae dicta est, proportio.

Est autem advertendum quod, licet in prius tacta generis diatonici descriptione secundum Archytam contineantur toni et semiditoni specifice proportiones, similiter et in genere chromatico, hoc tamen est differenter, quia, in genere diatonico, toni proportio iacet inter numerum tertium [174] a gravissimo et acutissimum, scilicet inter 1701 et 1512, semiditoni vero proportio inter numerum gravissimum et tertium a gravissimo, scilicet inter 2016 et 1701, in genere vero chromatico est e converso, quia tenet se ibi toni proportio ad partem gravem et semiditoni ad acutam.

Item, in genere diatonico, tonus non dividitur, ut sit tonus incompositus, non per aliquod interpositum intervallum divisus. In genere vero chromatico, tonus et eius proportio dividuntur. E converso est de semiditono et proportione eius in duobus illis generibus, quia in genere diatonico dividitur, in chromatico autem non, sed manet integer.

Item patet ex dictis quod, sicut proportio generis diatonici, quae est inter 2016 et 1701, superat proportionem generis chromatici quae est inter 2016 et 1792, in minoris toni proportione, sicut semiditonus tonum, sic e converso ad partem acutam proportio generis chromatici, quae est inter 1792 et 1512, superat in minore semitonio toni proportionem generis diatonici, quae est inter 1701 et 1512. Et propterea, si quis velit advertere, reperiret inter numerum proximum acutiori generis chromatici, qui est 1792, et numerum proximum acutiori vel minori generis diatonici, qui est 1701, minoris semitonii specificam contineri proportionem, quae est supertredecim partiens ducentesimas quadragesimas tertias. Superat enim maior illorum minorem in numero qui est 91. Hic autem numerus tales tredecim ipsius minoris continet partes, quarum ducentae quadraginta tres minorem illum facerent numerum praecise, quia continet 13 septenarios. Septies enim 13, vel e converso, faciunt 91. Continetur autem septenarius ducentis quadraginta tribus vicibus in numero illo minore qui est 1701 praecise. Ideo, qualis est proportio inter 256 et 243, qui sunt minimi numeri minoris semitonii proportionis, talis est proportio inter numeros qui sunt 1792 et 1701. Continet enim maior horum maiorem aliorum septies, et totiens minor minorem. Hoc autem notatur in ea, quae ponetur, descriptione, quia numeri radicales minoris semitonii proportionis illis adiungentur numeris.

Sed iam tetrachordorum secundum Archytae sententiam divisorum subiecta figuralis adiungatur descriptio:

(Vide p. 175)

[175] [CSMIII/5:175; text: Genus enharmonium, Genus diatonicum, Genus chromaticum, I[macron supra lin.].DXII, I[macron supra lin.].DCCCXC, I[macron supra lin.].DCCI, I[macron supra lin.].DCCXCII, I[macron supra lin.].DCCCCXLIIII, II[macron supra lin.].XVI] [JACSP5B 20GF]

| [P2, 225v in marg.] Capitulum XLVIIII.

<Quemadmodum Ptolomaeus Aristoxeni et Archytae tetrachordorum divisionem reprehendat>.

Sed utrasque tetrachordorum positas divisiones Ptolomaeus ita reprehendit Archytae tripliciter.

Primo quidem, quoniam secundus ab acutissimo nervus in chromatico genere, idest 1792, ita collocatus est, ut nec ad acutissimum, idest 1512, nec ad proximum graviori, idest 1994, ullam superparticularem efficiat proportionem, cum tamen Archytas tantum superparticularibus comparationibus habuerit dignitatem, ut eas etiam in consonantiarum ratione susceperit.

Secundo, quia proximam a gravissimo nervo proportionem in chromatico genere maiorem sensus <esse> deprehendat quam fecerit Archytas; hic namque, in chromatico genere, 1944 ad 2016 distare fecit <sesqui> vicesimam septimam proportionem, cum secundum consuetam chromatici generis modulationem sesquivicesima <prima> esse debuerit.

Tertio, quia, in genere enharmonio, ea proportio, quae prima est a nervo gravissimo secundum Archytae divisionem talis est ut longe minor esse debeat quam in ceteris inveniatur generibus (ipse autem Archytas aequam eam fecit ceteris generibus, dum primas a gravissimo nervo proportiones in tribus generibus | [P1, 203r in marg.] sesquivicesimas septimas posuerit).

Aristoxenum vero culpat dupliciter.

[176] Primo quidem, quoniam, in chromate molli et chromate hemiolio, tales posuerit primas atque secundas a nervo gravissimo proportiones ut, quantum a minimo et inter se distent, sensus internoscere non valeat. Est quippe proportio prima in chromatis <mollis> divisione secundum Aristoxenum octo, in chromate vero hemiolio novem; sed octo a novem unitatis differentia distant, et cum totus tonus secundum proportionem constet ex 24 unitatibus quarum unitas vicesima quarta pars est, sunt primae a gravi inter se proportiones chromatis mollis et chromatis hemiolii in vicesima quarta parte toni; hanc autem toni partem, propter brevitatem differentiae, nullo modo discernit auditus, cum sit prope tertiam commatis partem, quod est minimum quod auditus discernat.

Secundo, Ptolomaeus Aristoxenum reprehendit cur diatonici generis duas tantum fecerit divisiones ut in mollem incitatumque divideret, cum possint aliae quidem diatonici generis species inveniri.

Capitulum L.

Collatio tetrachordorum <descriptionis> secundum Archytam ad alias prius positas divisiones.

Conveniunt Archytas et alii in generum et tetrachordorum descriptionibus, quia omnes diatessaron in tres partes et eius proportionem in tres partiales dividunt habitudines quae, simul sumptae, diatessaron constituunt. Item, in hoc quod tam in ipsius quam in aliorum descriptionibus proportio nervi acutioris ad sibi proximum in genere, tam enharmonio quam chromatico, duas alias superat proportiones. Item, dimittendo Aristoxenum a quo multum distinguitur, convenit cum aliis, quia consuetis utitur numeralibus proportionibus (hoc autem non facit Aristoxenus). Item, in quolibet genere ponit unam descriptionem, sicut ceteri alii ab Aristoxeno. Item convenit cum aliis in genere diatonico, quia, tam in ipsius descriptione quam aliorum, [177] inter nervum gravissimum et tertium a gravissimo, semiditonus continetur praecise et inter illorum numeros specifica ipsius semiditoni proportio, et, inter illum nervum tertium a gravissimo et acutissimum, tonus et ipsius naturalis proportio. Item in ipsius descriptione et aliorum ab Aristoxeno, quantum ad genus chromaticum, quia, inter illius nervum gravissimum et tertium a gravissimo, tonus continetur et ipsius proportio, et, inter nervum illum tertium a gravissimo et acutissimum, idest inter 1792 et 1512, semiditonus. Sed inter numeros, quos illis iungit nervis Archytas, est specifica semiditoni proportio, non inter aliorum numeros, ut prius visum est. Ideo, quantum ad hoc, Archytas nervos illos melius videtur describere quam ceteri.

Differunt autem Architae tactae generum descriptiones, et, quia satis patet qualiter ab Aristoxeno distinguatur cui multum fuit contrarius, sufficiat tangere aliqua in quibus ab aliis distinguitur. Et primo tangatur qualiter ab aliis separatur, quantum ad alias tres partiales proportiones in quibus sesquitertiam ipsius diatessaron dividit proportionem. Secundo, loquemur de nervis sonoris illis respondentibus. Dico igitur Archytam in genere enharmonio distingui ab aliis, quia sesquitertiam proportionem, quae inter extremos quos ponit numeros, continetur, in tres superparticulares dividit proportiones, scilicet in sesquivicesimam septimam quae est inter 2016 et 1944, in sesquitricesimam quintam quam continent 1944 ad 1890, item in sesquiquartam proportionem quae est inter 1890 et 1512. Nulla tactarum proportionum utuntur alii, sed, quantum ad genus enharmonium, sesquitertiam proportionem dividunt in ditoni proportionem et duabus proportionibus quae, simul iunctae, minoris semitonii constituunt proportionem. Item, Archytas, in genere diatonico, sesquitertiam proportionem in tres superparticulares dividit proportiones, scilicet in sesquivicesimam septimam quae est inter numeros prius tactos qui communes sunt tribus generibus, inter sesquiseptimam existentem inter 1944 et 1701, et sesquioctavam inter 1701 et 1512. Alii autem separant tactam proportionem in genere diatonico in duas distinctas sesquioctavas proportiones et in minoris semitonii | [P2, 226r in marg.] proportionem. Item, dividit Archytas, in genere chromatico, proportionem sesquitertiam in sesquivicesimam septimam tribus generibus communem, quantum scilicet ad proportionem quae est inter nervum gravissimum et sibi propinquum. [178] Item, in proportionem super 19 partientem ducentesimas vicesimas quartas, quae est inter 1944 et 1792, et in proportionem superquinquipartientem vicesimas septimas existentem inter 1792 et 1512. In aliorum vero generibus huius descriptionis sesquitertia ipsius diatessaron proportio dividitur in minoris semitonii proportionem, in maioris semitonii proportionem et in semiditoni talem qualem habitudinem.

Capitulum LI.

Excusatio Archytae in his in quibus <ipsum> reprehendit Ptolomaeus. <Ipsius tamen increpatio quantum ad ea quae contra ipsum tangit Boethius>.

Cum autem Archytas multum peritus fuerit in numerorum proportionibus, ut ipsius insinuant tactae suae descriptiones, potest aliqualiter in his, in quibus ipsum reprehendit Ptolomaeus, excusari, culpari tamen in his quae contra ipsum tangit Boethius.

Ad hoc enim quod contra ipsum primo | [P1, 203v in marg.] dicit Ptolomaeus, quod in genere chromatico est usus superparticulari proportione inter terminum secundum ab acutissimo et acutissimum, idest inter 1792 et 1512, potest responderi quod inter nervos illos non debuit uti superparticulari proportione, sed superpartiente, quia voluit inter nervos illos semiditonum contineri incompositum qui in superpatiente prius tacta fundatur habitudine. Usus est autem superparticularibus proportionibus ubi potuit et possibilitas numerorum assumptorum ab ipso se obtulit et magis in locis aliquibus quam debuerit.

Ad hoc autem, quod secundo tangit Ptolomaeus, quod sensus maiorem deprehendit esse proportionem inter nervum gravissimum et sibi proximum in genere chromatico, idest inter 2016 et 1944, quam fecerit Archytas, ignoro si ita est, quia sonos nervorum proportionatorum tacta numerorum proportione non audivi. Hoc tamen satis scio quod soni nervorum illam proportionem habentium minus ab invicem distarent quam soni minoris semitonii, cum proportio sesquivicesima [179] septima minor sit proportione minoris semitonii. Suffecisse autem videtur Architae ut tactorum nervorum proportio una cum ea, quae est inter 1944 et 1792, toni sesquioctavam complerent proportionem. Quod autem addit Ptolomaeus proportionem tactorum numerorum secundum consuetam chromatici generis modulationem debere esse sesquivicesimam primam, non videtur hoc verum, cum, inter nervos illos, idest gravissimum et sibi proximum, in genere chromatico secundum consuetas prius factas descriptiones debeat esse minus semitonium cuius proportio est quasi media inter sesquidecimam octavam et sesquiundevicesimam. Et, per consequens, non solum maior est sesquivicesima prima, sed sesquivicesima, etiam sesquiundevicesima. Item, forsan, non patiebantur numeri, quos assumpsit Archytas, ut inter illos praecisa sesquivicesima prima reperiretur proportio vel ea in qua minus radicatur semitonium.

Ad hoc vero quod ait Ptolomaeus tertio quod proportio quam primam ponit Archytas a nervo gravissimo debet esse longe minor in genere enharmonio quam ipse fecerit qui posuit illam communem in tribus generibus, scilicet sesquivicesimam septimam, concedi potest hoc quantum ad consuetas prius tactas generis enharmonii descriptiones in quibus minus semitonium in duas, quales habet, dividitur medietates, sed forsan, tempore Archytae, non habebat usus tales descriptiones, sed postea adinventae sunt et, pro tempore Archytae, illa prima a gravissimo nervo proportio tribus generibus forsan communis erat, vel non patiebantur nervi illi ut proportionem talem continerent qualem alii qui in hoc genere aliis usi sunt descriptionibus.

Adhuc, quia commune est tribus illis generibus ut illa prima proportio a gravissimo nervo minor sit inter ceteras, quantum ad consuetas vel communes descriptiones, suffecit Archytae proportionem unam communem illis adiungere quae si sit minor in duobus generibus, diatonico scilicet et chromatico, quam esse debeat secundum consuetam illorum generum descriptionem, quid mirum si similiter in genere enharmonio minor sit quam habeat usus consuetus? Sed, Archytam reprehendo, dicit, sicut actum est supra, Boethius, quod ipse cuncta ratione constituens, non modo sensum aurium, in primis consonantiis <observare neglexit>, verum etiam maxime in tetrachordorum divisione sic rationem secutus [180] est ut neque eam, quam quaerebat, efficaciter expediret, neque sensui proposita ratio consentiret.

Ad aliqualem intelligentiam horum Boethii verborum, ut Archytae descriptionem tangunt, notandum est quod prout ex dictis alias patere potest, sicut perfectum consonantiarum iudicium ex duobus dependet, ex sensu scilicet quantum ad ipsarum sonos et mixtionem ipsorum, quae sensus auditus obiectum sunt, et ex intellectu qui consonantiarum certas et specificas adinvenit proportiones, similiter consonantiarum perfecta divisio, in partes quas continet, dependet ex sensu et ex intellectu, sive dividatur diatessaron, sive quaevis alia consonantia.

Et sufficiat hic loqui de divisione ipsius diatessaron, de qua magis loquuntur Antiqui, unde secundum eam, tetrachorda divisa sunt.

Pertinet autem ipsius diatessaron divisio ad sensum, quantum ad partes eius sonoras ex quibus integratur; ad intellectum vero, ratione suae proportionis quae ex multis partialibus proportionibus, superparticularibus vel superpartientibus, reddi potest, et tanto ex pluribus, quanto maiores sunt numeri inter quos ipsius diatessaron sesquitertia iacet proportio. Ad hoc igitur ut bona sit et commendabilis diatessaron divisio quantum ad ipsius proportionem, illa fieri debet, non in quascumque proportiones quae, simul | [P2, 226v in marg.] sumptae, ipsius sesquitertiam reddant proportionem, sed in tales quarum soni respondentes eis non sint sensui <displicentes>, et ipsorum perceptibilis distantia. Est autem multo maior numerus proportionum numeralium quam consonantiarum quibus utamur et facilius intellectus distinguit inter quascumque proportiones quam auditus inter quoscumque sonos. Cum igitur dicit Boethius quod Archytas, in sua divisione sic rationem secutus est ut neque eam quam quaerebat et cetera, videtur intendere Boethius quod Archytas in divisione ipsius diatessaron sic ad proportiones inspexit ut qui soni, quae partiales consonantiae sensui notae illis responderent, negligeret. Dividit enim diatessaron sesquitertiam proportionem in sesquivicesimam septimam, in sesquitricesimam quintam, in sesquiquartam, in sesquiseptimam et | [P1, 204r in marg.] tamen in nulla illarum fundatur aliqua consonantia qua utamur et cui nomen aliquid sit impositum, quarum voces et ipsarum intervallum discernat sensus. Tres enim dumtaxat consonantias habemus [181] in superparticularibus fundatas habitudinibus, ut diapente in sesqualtera, diatessaron in sesquitertia, tonum in sesquioctava, sicque fit ut nulli proportioni superparticulari minori quam sit sesquitertia respondet aliqua certa consonantia nobis nota quantum ad sonorum illius mixtionem et distantiam, nisi soli sesquioctavae. Et, de proportionibus superparticularibus maioribus quam sit sesqualtera, loqui non oportet, quia nulla maior illa, quamvis autem nervi proportionati proportionibus aliis superparticularibus a tribus praedictis, scilicet a sesqualtera, sesquitertia et sesquioctava, puta sesquiquarta, sesquivicesima septima, sequitricesima quinta, seu quacumque superparticulari alia, si pulsentur, sonos reddant. Illi tamen auditum offendunt et quandam confusionem in sua mixtione generat apud sensum.

Aristoxenus igitur et Archytas invicem multum contrarii in tetrachordorum divisionibus defecerunt, unus quidem quia sensui nimis credidit et parum intellectui pro quanto ad veras consonantiarum proportiones fundamentales, quae per intellectum repertae sunt, non aspexit ut debuit, alter, quia sensui parum dedit, proportionibus vero nimis, cum ad utraque debuissent aspexisse. Nec tamen antiqui illi musici sunt nimium condemnandi, sed, prout libet, excusandi et honorandi. Secundum enim Philosophum, doctores antiquos, qui scientiis vacaverunt, laudare debemus nam, etsi in aliqualibus non bene dixerunt, intellectus tamen nostros excitaverunt et amplius inquirendi veritatem materiam nobis reliquerunt.

Capitulum LII.

Quemadmodum Ptolomaeus tetrachordorum divisionem fieri dicat oportere.

Ptolmaeus enim tetrachorda diversa ratione partitur, illud in principio statuens, ut inter duos altrinsecus sonos tales voculae aptentur quae se superparticularibus proportionibus excedant, inaequalibus tamen quoniam superparticularis proportio non potest in aequa dividi; dehinc ut omnis comparatio, [182] quae fit ad eum nervum, qui est gravissimus in tribus minor sit ceteris, quae acutis vocibus coniunguntur. Sed in his ea quae spissa nominamus talia esse debent, ut duae proportiones, quae gravitati sunt proximae, minores sint ea proportione quae relinquitur ad acutum. <In> non spissis vero, ut <in> diatonicis generibus, nusquam una vincat duas.

Appositus est hic totus textus ultimi capituli Musicae Boethii, prout in illius libro repperi. Et videtur satis quod vel totum illum librum non <invenivi>, vel in illo libro Boethius musicam etiam instrumentalem non compleverit, qui sic terminare libros suos non consuevit. Verum est quod, in quadam Boethii Musica, quantum ad quintum librum, repperi XXX capitula, sed in nullo eius repperi libro ut <exsequeretur> nisi de XIX quorum ultimi textus hic ad plenum positus est. De reliquis undecim capitulis, nihil <exsequitur> in libris quos viderim.

Sed aliqua dicantur ad expositionem dictorum Ptolomaei.

Voluit Ptolomaeus, sicut in tactis habetur verbis, quod in tetrachordorum divisione illud in principio observaretur, ut inter duos altrinsecus sonos, sive exteriores, tales aptentur voculae mediantes quae proportionibus superparticularibus inaequalibus se excedant, quia proportio superparticularis non potest in aequa partiri. Hoc autem satis patet de extremis ipsius diatessaron vocibus, quod inter illas nulla vocula potest aequaliter mediare, nec ipsius proportionem potest aliqua proportio partes in aequas dividere. Quodsi intelligat quod ipsius diatessaron proportio in proportiones inaequales superparticulares dividatur, quarum scilicet una maior sit alia, ipse in opinionem Archytae videtur incidere, qui, in genere tam enharmonio, quam diatonico, proportionem sesquitertiam ipsius diatessaron in proportiones divisit superparticulares inaequales. Si vero Ptolomaeus intendat quod voculae sonos extremos diatessaron dividentes superparticularibus proportionibus se excedant, alteram dividentium ad divisam comparando, conveniens est dictum eius. Divisum enim excedit dividentia, et sesquitertia proportio eas, quibus dividitur, sive sint superparticulares, sive aliae. Adhuc potest intelligi quod voculae mediantes inter extremos ipsius diatessaron sonos se superparticularibus sic excedant proportionibus ut [183] una sit superparticularis formaliter et specifice, alia non sic, sed, per quandam reductionem ad aliquam vel aliquas superparticulares proportiones, inter quas illa quodammodo mediat vel ambae modo isto, dicantur superparticulares. Reducibiles enim sunt proportiones superpartientes ad superparticulares tamquam ad notiores et perfectiores, ex quibus oriuntur, in quas resolvuntur et per quas circumloquuntur. Unde in toto ipsius Boethii opere De Musica, non memini ipsum expressisse proportionem specificam alicuius consonantiae in superpartiente fundatae proportione | [P2, 227r in marg.] nisi solius diatessaron cum diapason. Sed circumloquitur eas per superparticulares, ut patet de proportione commatis et semitoniorum. Si vero loquitur Ptolomaeus de extremis sonis ipsius diapente vel diapason, quod non credo, tunc voces mediantes possunt aptari tales quae proportionibus superparticularibus distinguantur inaequalibus. Proportio enim sesqualtera divisibilis est in sesquitertiam | [P1, 204v in marg.] et sesquioctavam, quae inaequales sunt, et dupla in sesqualteram et sesquitertiam.

Dicit postea Ptolomaeus quod sic tetrachorda disponi debent ut omnis comparatio quae fit ad eum nervum qui est gravissimus in tribus debet esse minor ceteris quae acutis vocibus coniunguntur. Intelligatur hoc de comparatione nervorum immediate se habentium. Quod autem dicit in tribus non sic accipiendum est ut in descriptione ipsius diatessaron tantum sint tres nervi et tres voces illis respondentes, sed quattuor, alias non esset tetrachordum. Sed intelligendum est in tribus generibus vel in tribus comparationibus, quia diatessaron in quolibet genere dividitur in tribus comparationibus et ea comparatio, vel proportio, quae est chordae gravissimae ad sibi proximam, debet esse minor ceteris quae sunt ad acutam. Hoc autem observatum est in consuetis tactis prius descriptionibus, saltem in genere diatonico et chromatico. In genere autem enharmonio, proportio nervorum intermediorum inter se est quasi aequalis proportioni quam continet nervus gravissimus ad sibi propinquum.

Addit ulterius Ptolomaeus quod, in his generibus, illa quae spissa nominamus, ut enharmonium et chromaticum, talia debent esse ut duae proportiones, quae gravitati sunt proximae, minores sint ea proportione quae relinquitur ad acutum nervum. Hoc autem prius observatum est, quia, in genere enharmonio, ditoni proportio, quae ad acutam se tenet partem, longe maior est duabus proportionibus partium minoris [184] semitonii ad partem gravem se tenentibus. Similiter, in genere chromatico, semiditoni proportio, quae ponitur ad partem acutam, duas superat proportiones ad gravem positas partem, quarum una est maioris semitonii, alia minoris in consuetis descriptionibus. In non spissis vero generibus, idest in diatonicis, nusquam una proportio duas vincat proportiones, quia genus istud constat ex tono et tono et minore semitonio, et sunt toni illi incompositi.

Hic igitur librum quintum vidi terminari Boethii. Hic etiam huius operis liber quintus terminetur in quo, quae sparsim de tetrachordis locis in diversis dicit Boethius, collecta sunt.

Hic paulisper labori cedamus, vires resumamus. Viguit hactenus musica theorica. Vigeat deinceps et practica. Locum suum tenuit intellectus speculativus. Teneat et practicus cui tamen speculativus non deerit, quia Martha iuvari petebat ex Maria.

<Explicit liber quintus Speculi Musicae>.