Back to top

[338] LIBER TERTIUS

DE PROPORTIONIBUS

<PROLOGUS>

Incipit prologus in libro de proportionibus.

Musica ars a nobis sub arboris figura visa est. Nam arbor musice magnitudo eius est. Rami consonantie eius sunt, flores species, mala proportiones. Unde noster stilus primum librum de consonantiis edidit, in secundo vero species ostendit. Nunc igitur in tertio proportiones ordinentur, ut in quarto ad declinationes cantuum, Deo adiuvante, veniamus.

Explicit prologus. Incipiunt capitula.

<CAPITULA>

1. De sapientia et philosophia

2. De speculatione philosophie

3. De continua et discreta quantitate

4. De numeris finitis vel infinitis

5. De numeris qui consonantias creant

6. De numeris proportionum

7. De dictis auctorum in proportionibus

[340] 8. Que proportiones quibus consonantiis musice aptentur

9. De consonantiis simplicibus vel compositis que cadunt in proportionibus

10. De proportione quid sit

11. De numeris et proportionibus semitoniorum

12. De sesquioctava proportione

13. De sesquitertia

14. De sesqualtera

15. De dupla

16. De dupla superbipartiens

17. De tripla

18. De quadrupla

19. De speciebus inequalitatis

20. De duobus inequalitatum generibus

21. De multiplici et particulari

1. DE SAPIENTIA ET PHILOSOPHIA

Omnem sapientiam omnemque veram philosophiam credimus et profitemur de eterno fonte, id est de Spiritu Sancto, emanare. Ipsi enim, qui suo imperio cuncta creavit, omnia placuit in numero et mensura constituere, ut non numerus sine mensura, nec mensura sine numero possit esse. Nam numeri et mensure quantum ad musicam pertinet in virtute sonorum et proportionum constituuntur. Philosophiam vero sapientie studium Pythagoras nuncupavit, ut Boetius refert. Que non minus speculationem in musica quam in ceteris liberalibus artibus habuit semper.

[342] 2. DE SPECULATIONE PHILOSOPHIE

Est autem speculatio philosophie in musica, ut Boetius refert, de continua et discreta quantitate. Sed que continua est magnitudo appellatur, que vero discreta est multitudo nuncupatur.

3. DE CONTINUA ET DISCRETA QUANTITATE

Continua igitur quantitas, que magnitudo appellatur, ea est sub qua nullus numerus sibi pertinens est. Constat autem in illis numeris qui primi in proportionibus reperiuntur, ut binarius, ternarius, quaternarius. Discreta vero quantitas, que multitudo vocatur, a magnitudine incipit, sed post inceptionem in infinitum progreditur. Constat autem in illis numeris qui progrediuntur de finitis ad infinitos.

4. DE NUMERIS FINITIS VEL INFINITIS

Finiti enim numeri sunt sub quibus nullus numerus sibi pertinens est. Infiniti autem incipiunt a finitis et ita progrediuntur ut nullus terminus finis occurrat. Cum hec igitur ratio ita sit rata de numeris finitis vel infinitis, quasi de rebus suis propriis subtiliter tractat philosophia.

[344] 5. DE NUMERIS QUI CONSONANTIAS CREANT

Numeri autem qui consonantias creant, vel per quos ipse consonantie discernuntur, tantummodo septem sunt, id est epitritus, emiolius, duplaris, duplaris superbipartiens, triplaris, quadruplus, et sesquioctavus.

6. DE NUMERIS PROPORTIONUM

Numeri vero proportionibus hi sunt. Est autem diatessaron sesquitertia proportio. Eius numeri sunt 7, ut 4 ad 3. Diapente dicitur sesqualtera. Eius numeri sunt 5, ut 3 ad 2. Diapason est dupla. Eius numeri sunt 3, ut 2 ad 1. Diapason diatessaron vocatur dupla superbipartiens. Eius numeri sunt 11, ut 8 ad 3. Diapason diapente tripla nuncupatur. Eius numeri sunt 4, ut 3 ad 1. Bis diapason quadrupla est. Eius numeri sunt 5, ut 4 ad 1. Epogdous autem sesquioctava proportio est. Eius autem numeri sunt 17, ut 9 ad 8.

7. DE DICTIS AUCTORUM IN PROPORTIONIBUS

Boetius: Sicut non sufficit in visu conspici colores et formas nisi etiam investigetur que sit eorum proprietas, sic non sufficit delectari in cantilenis musicis nisi etiam discatur qualiter proportiones vocum inter se coniuncte vel disiuncte sint. Remigius: Veritas musice in numeris proportionum consistit. Hieronymus: Artigraphi affirmant omnes consonantias musice artis in numeris proportionum constare. Encheridion: Principales numeri proportionum [346] sunt 1 2 3 4. Quaternarius enim numerus omnes symphonias perfecte absolvit. 2 enim ad 1 duplum, quod est diapason. 3 ad 1 triplum, quod est diapason ac diapente. 4 ad 1 quadruplum, quod est bis diapason. 3 ad 2 sesqualterum, quod est diapente. 4 ad 3 sesquitertium, quod est diatessaron. Derivales sunt 6 12 18 24 et deinceps. Nam 12 ad 6 duplum est, 6 ad 18 triplum, ad 24 quadruplum. Triplum autem ad duplum sesqualter est. Quadruplum ad triplum sesquitertium. Similiter quincuplum ad quadruplum sesquiquartum. Sescuplum ad quincuplum sesquiquintum. Septuplum ad sescuplum sesquisextum, et sic in infinitum. Superparticulares autem cum multiplicibus comitantur, ut non immerito ex utrisque simul musica procreari videatur.

8. QUE PROPORTIONES QUIBUS CONSONANTIIS MUSICE APTENTUR

Boetius: Illud tamen esse cognitum debet quod omnes musice consonantie aut in duplici, aut in triplici, aut in quadrupla, aut in sesqualtera, aut in sesquitertia proportione consistunt. Et vocabitur quidem que in numeris sesquitertia est diatessaron in sonis. Que in numeris sesqualtera diapente appellatur in vocibus. Que vero in proportionibus dupla est diapason in consonantiis. Tripla vero diapente ac diapason. Quadrupla vero bis diapason.

9. DE CONSONANTIIS SIMPLICIBUS VEL COMPOSITIS QUE CADUNT IN PROPORTIONIBUS

Sex sunt consonantie que in proportionibus cadunt: tres quidem simplices, tres vero composite. Simplices sunt diapason, diatessaron, diapente. Composite sunt diapason diatessaron, diapason diapente, bis diapason. Nam diapason in sonis in proportionibus numerorum dupla appellatur, diatessaron sesquitertia, diapente sesqualtera, diapason diatessaron dupla superbipartiens, diapason diapente tripla, bis diapason quadrupla nuncupatur.

[348] 10. DE PROPORTIONE QUID SIT

Proportio est quedam habitudo duorum terminorum ad invicem vel distantia duorum terminorum inter se. Proportio vero interpretatur pars numeralis in musica. Encheridion: Proportiones portionalitates considerantur. Nam proportio est duorum terminorum habitudo. Proportionalitas vero non minus quam trium. In singulari autem numero proportio dicitur pars numeralis. In plurali vero proportiones, id est partes numerales, que conficiuntur ex arithmetica.

11. DE NUMERIS ET PROPORTIONIBUS SEMITONIORUM

Numeri duorum semitoniorum, videlicet diatonici et enarmonii, hi sunt, id est 33 et 35. Nam 33 divisi in 17 et 16 habebunt 17 16 in se et eius sextamdecimam [350] partem. Et vocabitur sesquisextadecima proportio. Et in hac quidem proportione ponitur semitonium diatonicum. Triginta vero quinque divisi in 18 et 17 habebunt 18 17 in se et eorum septimamdecimam partem. Et nuncupabitur sesquiseptimadecima proportio. Et in hac autem proportione ponitur semitonium enarmonicum, ut Boetius refert. In libro breviario: Semitonium vocaverunt musici auctores tono minorem quod tam parvulo distare deprehensum est quam hi duo numeri inter se distant, id est 243 et 256. Hoc semitonium Pythagorici diesin nominaverunt. Sed sequens usus sonum se minorem diesin constituit nominandum. Pythagoras hoc semitonium diesin nuncupavit. Plato id lima vocavit, cuius medietas est diesis. Remigius: Tritemoria, [352] id est tertia pars toni. Tetrartemoria quarta pars. Nam tritemoria semitonio maiore. Tetrartemoria semitonio minore. Item: Auctores nuncupaverunt maius semitonium semitonium, emitonium, apotome, comma, sima, lima, et diesin; minus vero tantum semitonium et diesin.

12. DE SESQUIOCTAVA PROPORTIONE

Boetius: Sesquioctava proportio est quando maior numerus continet totum minorem numerum in se et eius octavam partem, ut sunt 9 ad 8, et 18 ad 16, et 36 ad 32, et 72 ad 64, et 144 ad 128, sic 900 ad 800, sic 9000 ad 8000, sic 18 ad 16, sic 36 ad 32, et sic in infinitum. Et in hac quidem proportione ponitur tonus. Nam hic tonus diastema, emelis, colon, epogdous, et sesquioctavus vocatur. Tonus vero a tonando, diastema duo soni simul stantes, emelis aptus melo, colon membrum, epogdous supraoctonarium, sesquioctavus autem dimidium et octavam partem. Nam sesqui grece latine dimidium. Est autem octonarius dimidium sextidecimi numeri. Cui si additur eius octava pars dicitur sesquioctava proportio.

13. DE SESQUITERTIA

Boetius: Sesquitertia proportio est quando maior numerus continet totum minorem numerum in se et eius tertiam partem. Habet enim quaternarius ternarium in se et eius tertiam partem, ut 4 ad 3, et 8 ad 6, et 16 ad 12, et 32 ad 24, sic 40 ad 30, sic 400 ad 300, sic 4 ad 3, sic 40 ad 30, et sic in infinitum. Et in hac proportione ponitur ea consonantia que vocatur diatessaron, et epitrita, et sistema, et sesquitertia. Remigius: Diatessaron, id est ex quatuor, quia si duos tonos diversis habebis quatuor et emitonium addis sonos quatuor, id est quatuor cordas, et spatia tria, id est intervalla, que inter cordas fiunt, et [354] productiones duas et dimidiam, id est duos tonos et emitonium. Nam productio et intentio unum est. Emitonium vero medium productionis est. Item Remigius: Est autem diatessaron decem dieseon, id est quartarum partium, id est si quinque emitonia habet decem quartarum partium est. Item: Hec autem symphonia in epitriti ratione est, id est in sesquitertia, sicut 4 ad 3, id est inter primam et ultimam. Ultima enim habet totam primam in se et eius tertiam partem que est unus.

14. DE SESQUALTERA

Sesqualtera proportio est, ut Boetius refert, quando maior numerus continet totum minorem numerum in se et eius medietatem, ut sunt 3 a 2, et 6 ad 4, et 12 ad 8, et 18 ad 12, et 24 ad 16, et 30 ad 20, et 60 ad 40, et 90 ad 60, sic 300 ad 200, sic 600 ad 400, sic 3 ad 2, sic 6 ad 4, sic 12 ad 8, sic 18 ad 12, sic 30 ad 20, sic 60 ad 40, sic 90 ad 60, et sic in infinitum numerum. Et in hac quidem proportione ponitur ea consonantia que nuncupatur diapente, emiolia, sescupla, sesqualtera, et sistema.

15. DE DUPLA

Dupla proportio est quando maior numerus continet bis minorem numerum in se, ut 2 comparati ad 1. Habet enim binarius bis 1 in se, ut 2 ad 1, et 4 ad 2, et 8 ad 4, et 12 ad 6, et 16 ad 8, et 24 ad 12, et 36 ad 18, et 40 ad 20, et 50 ad 25, et 60 ad 30, sic 100 ad 50, sic 400 ad 200, sic 800 ad 400, sic 2 ad 1, sic 4 ad 2, sic 8 ad 4, sic 20 ad 10, sic 40 ad 20, sic 50 ad 25, sic 100 ad 50, et sic in infinitum. Et in hac quidem proportione ponitur ea consonantia que dicitur diapason. Remigius: Plenitudo musice in diapason continetur, quia ex diatessaron et diapente componitur, que sunt elementa totius armonie, et est plenus universe forme sonorum.

[356] 16. DE DUPLA SUPERBIPARTIENTE

Dupla superbipartiens proportio est quando maior numerus bis continet minorem numerum in se insuper et duas partes, ut 8 ad 3. Habet enim 8 bis ternarium in se duasque eius partes, id est duas unitates. Et in hac quidem proportione ponitur ea consonantia que nuncupatur diapason diatessaron. Quamquam enim Pythagorici negent hanc consonantiam esse, tamen eximio doctore Boetio, Ptolomei sententia super hoc approbante fatemur consonantiam esse. Maxime quoniam diapason consonantia talis est, quod aliam quam susceperit consonantiam servat, nec immutat nec ex consona dissonam reddit.

17. DE TRIPLA

Tripla proportio est quando maior numerus ter continet minorem numerum in se, ut 3 ad 1, sic 6 ad 2, et 9 ad 3, et 12 ad 4, sic 15 ad 5, et 18 ad 6, et 24 ad 8, sic 30 ad 10, et 36 ad 12, sic 60 ad 20, et 90 ad 30, sic 300 ad 100, et 600 ad 200, et 900 ad 300, sic 3 ad 1, et 6 ad 2, et 9 ad 3, sic 12 ad 4, et 15 ad 5, et 30 ad 10, et sic in infinitum. Et in hac quidem proportione ponitur ea consonantia que nuncupatur diapason diapente.

18. DE QUADRUPLA

Quadrupla proportio est quando maior numerus quater continet minorem numerum in se, ut 4 assimilati ad 1, sic 8 ad 2, et 12 ad 3, sic 16 ad 4, et 20 ad 5, et 24 ad 6, sic 32 ad 8, et 36 ad 9, sic 40 ad 10, et 48 ad 12, et reliqui similiter, sic 100 ad 25, et 200 ad 50, et 400 ad 100, et 800 ad 200, sic 4 ad 1, et 8 ad 2, et 12 ad 3, sic 20 ad 5, et 24 ad 6, et 40 ad 10, et sic in infinitum. Et in hac quidem proportione ponitur ea consonantia cui vocabulum est bis diapason.

[358] 19. DE SPECIEBUS INEQUALITATIS

Que vero sunt inequalia quinque inter se modis inequalitatis momenta custodiunt. Aut enim alterum ab altero multiplicitate transcenditur, aut singulis partibus, aut pluribus, aut multiplicitate et parte, aut multiplicitate et partibus. Et primum quidem inequalitatis genus multiplex appellatur. Est vero multiplex ubi maior numerus minorem numerum habet in se totum, vel bis, vel tertio, vel quater, ac deinceps, nichilque deest, nichilque exuberat. Appellaturque vel duplum, vel triplum, vel quadruplum, atque ad hunc ordinem in infinita progreditur. Secundum vero inequalitatis genus est quod appellatur superparticulare, id est cum maior numerus minorem numerum habet in se totum et unam eius aliquam partem, eamque vel dimidiam, ut 3 ad 2, et vocatur sesqualtera proportio, vel tertia, ut 4 ad 3, et vocatur sesquitertia. Ad hunc modum etiam in posterioribus numeris pars aliqua a maioribus super minores numeros continetur. Tertium vero genus inequalitatis est quotiens maior numerus totum intra se minorem continet et eius aliquantas insuper partes, et si duas quidem supercontinet vocabitur proportio superbipartiens, ut sunt 5 ad 3. Si vero tres supercontinet vocabitur supertripartiens, ut sunt 7 ad 4. Et in ceteris quidem eadem esse simili modo potest. Quartum vero inequalitatis genus est quod ex multiplici et superparticulari coniungitur, cum scilicet maior numerus habet in se minorem numerum, vel bis, vel ter, vel quotienslibet, atque eius unam aliquam partem. Et si eum bis habet et eius dimidiam partem vocabitur duplex supersesqualter, ut sunt 5 ad 2. Si vero bis minor supercontinebitur et eius tertia pars vocabitur duplex supersesquitertius, ut sunt 7 ad 3. Si vero tertio continebitur et eius dimidia pars vocabitur triplex supersesqualter, ut sunt 7 ad 2, atque ad eundem modum in ceteris et multiplicitatis et superparticularitatis vocabula variantur. Quintum genus est inequalitatis quod appellatur multiplex superpartiens, quando maior numerus minorem numerum in se habet totum plusquam semel et eius plusquam unam aliquam partem. Et si bis maior numerus minorem numerum continebit duasque eius insuper partes vocabitur duplex superbipartiens, ut sunt 3 ad 8, [360] et rursus triplex superbipartiens, ut sunt 3 ad 11. Ac de his iccirco nunc strictim explicamus quoniam in libris quos de arithmetica institutione conscripsimus diligentius enodavimus.

20. DE DUOBUS INEQUALITATUM GENERIBUS

In libro breviario: Notandum autem quod ex supradictis quinque inequalitatum generibus duo tantum ad armonicas formandas consonantias assumuntur, id est multiplex et superparticularis. Nam genus multiplex habet dupla, tripla, quadrupla. Genus superparticularis habet sesqualtera, sesquitertia, sesquioctava. Boetius: In illis vero vocibus, que nulla inequalitate discordant, nulla omnino consonantia est.

21. DE MULTIPLICI ET PARTICULARI

Remigius: Omnis multiplicatio a binario incipit et omnis particularitas. Nulla enim proportio minus quam in duobus numeris consideratur, aut certe inter duos fines, id est in ipso binario. Nam ipse binarius finis est duobus modis, uno quia omnis multiplicatio a binario incipit, altero quia ab eodem omnis partium divisio. Cum ergo binarius unus sit numerus pro duobus tamen finibus poni potest. Nulla enim multiplicatio minor duplo, nulla pars maior dimidio.

Explicit liber de proportionibus. Amen.