Back to top

[f.fivr] LIBER QVARTVS.

De Consonantiis ex Proportionibus Eductis Capitulum Primum.

[Macrobius, Boetius in marg.] QVoniam omnium uarietate numerorum Macrobius: ac Boetius coeterique Musici sex tantum ad minores relatos ex quibus musicae conduci demonstrantur consonantiae concelebrare noscuntur: eos tamen (quanquam praedictum est) tres esse multiplices atque tres superparticulares: euidentiori demonstratione apperire necessum est. Sunt enim multiplices Duplaris Triplaris: et Quadruplus. Superparticulares uero sunt Emiolius siue Sesqualter. Epitritus siue Sesquitertius. Epogdous siue Sesquioctauus. Duplaris numerus est qui dum minori comparatus fuerit eum in se bis compraehendit et dicitur proportio dupla. ut quattuor ad duo. Triplaris uero dicitur qui ad minorem relatus habet in se ter ipsum minorem et dicitur proportio tripla ut sex ad duo. Quadruplaris autem numerus est qui ad minorem deductus continet eum quater in se et dicitur proportio quadrupla ut octo ad duo. Emiolius numerus est qui ad minorem habitus continet semel eum totum et dimidiam eius partem ut tres ad duos: putant enim ab hemi dictum quod dimidium sonat et olon totum: quasi totum cum dimidio: [Colla montanus in marg.] hic proprie dicitur sesqualter a sesqui quod est semis (ut Colla montanus uoluit) et alter quia media pars alterius numeri aequalis additur integro numero: est quae ipsa proportio Hemiolia seu sesqualtera. Epitritus numerus est qui dum comparatus fuerit minori compraehendit ipsum [f.fivv] in se totum et tertiam ipsius partem ut quattuor ad tria: dictum quidem existimo ab epi quod est supra et tritos tertia quasi minorem numerum uincens de tertia sui parte. dicitur item sesquitertius a sesqui quod semis iam interpretatum est et tertia: cum tertia pars alterius numeri aequalis addita sit alteri numero: ut quattuor ad tria: diciturque proportio Epitrita seu sesquitertia. Epogdous numerus est is qui ad minorem accedens de octaua sui parte ipsum superat atque uincit: ab epi dictus qnod est supra et ogdo octo diciturque sesquioctauus ut nouem ad octo: inde quoque epogdoa proportio seu sesquioctaua nominatur. Sunt quidem Hemiolius Epitritus et Epogdous nomina maiorum terminorum in sesqualtera: sesquitertia: et sesquioctaua: non autem ipsarum proportionum. Verum quoniam ipsae proportiones a maioribus terminis denominationem accipiunt: eadem quandoque ipsis proportionibus attribuuntur uocabula quae et maioribus earum terminis inscripta snnt. [Philosophus in marg.] Id praeterea aduertendum uidetur quod musicae consonantiae a maioris inaequalitatis proportionibus producuntur ut Philosophus disponit scilicet ex multiplicibus et superparticularibus: ut iam latius in praecedentibus et in exquisitione Pythagorea praetactum est. Diapason nanque ex dupla proportione resultat. Diapente ex sesqualtera diatessaron ex sesquitertia. Tonus ex sesquioctaua. diapasondiapente ex tripla atque Bisdiapason ex quadrupla. Ex multiplici itaque et Superparticulari musicas consonantias conduci atque procreari concludunt Pythagorici atque Platonici: [Pythagorici, Platonici in marg.] quibus et Aristotiles ipse quadragessimo primo problemate partis harmonicae assentire facile uidetur. [Aristotiles, Phtolemeus in marg.] Ptholomeus tamen in multiplici superpartiente diapason diatessaron nititur coeteris consonantiis connumerare ut iam superius fuit dictum. Proposita igitur lectoris fidei comendare opereprecium uidetur. quo diapason consonantiam in dupla proportione arbitretur: diapenten in sesqualtera: diatessaron in sesquitertia: ceterasque propriis considerationibns: quae cum musices principia sint nulla uidentur necessitate probanda: [Aristotiles, Pythagorici in marg.] imo ut Aristotili placet sexto methaphisicae praesupponenda sunt. Pythagoricis enim mos erat propositorum a preceptore Pythagora nusquam rationem perquirere: quam eis sola docentis insinuabat auctoritas Idque factum existimari licet: quo quamdiu discentium animi firmiore roborati doctrina: earundem rerum rationem nullo etiam docente repperirent: [Ieronimus in marg.] ac proinde diuo Ieronimo comendatum atque laudabile est Ingenium docile et sine doctore Erit tamen apertior singularum consonantiarum demonstratio: qua et unaquaeque earum naturaliter propria proportione ducatur: et frustra uiciata alterataque inquisitione: ipsarum perquiratur consonantiarum natura.

[f.fvr] De natura et formatione consonantiarum ex proportionibus. Capitulum Secundum

CVum omnis consonantia propriae proportionis naturam ex qua producitur consequio uenerari noscatur: necessum est diapason consonantiam duplae proportionis proprietatem custodire: quo fit ut et diapente sesqualteram imitetur: Diatessaron sesquitertiam Diapason cum diapente triplam. Bisdiapason quadruplam: Tonum sesquioctauam: Quae igitur de ipsis proposita sunt proportionibus de suis item consonantiis summa ueneratione celebrantur: Disponatur enim continua proportionalitas harmonica: quo propositae consonantiae facilius atque apertius ex proportionibus ipsis exquiri possint et demonstrari.

[Gafurius, Theorica, f.fvr; text: Proportionalitas armonica. proportio dupla, differentia, 1, 2, 3, 4, 6, proportio equa proportionum disiunctarum] [GAFTM4 01GF]

In hac quidem figuta .4. ad .3 sesquitertiam proportionem monstrant distessaron consonantiam offeretes: atque 9 ad .4. sesqualteram exqua producitur diapentes consonantia. Sed .6. ad .3. dupla colatione diapason extendunt consonantiam: quam et differentiae ipsae dupla corresponsione conducere noscuntur. Quo fit ut diapente et diatessaron ita diapason diuidant et conducant duabus inaequis partibus compraehensam: sicut sesqualtera et sesquitertia duplam monstratae sunt proportionem conducere atque diuidere. Verum si extremos terminos alternati multiplicemus: atque medius sui multiplicitate concrescat: toni habitudinem sesquioctaua productione inuicem conseruabunt nam senarius ter sumptus producit 18. similiter et ternarius sexies ductus .18. efficit: quaternarius autem quater multiplicatus uidelicet in se ipsum: conducet: 16: Hos igitur deductos scilicet: 18: et 16.: inuicem colatos: sesquioctauam proportionem tonum nutrientem implere constat rursus minimus terminus scilicet ternarius in se ipsum superductus nouenarium ducit: Maximus uero uidelicet senarius per se ipsum adauctus numerum .36. implet: qui nouenario colatus quadrupla habitudine Bisdiapason custodiente deducitur: Cumque hec diligentius intueamur: erit haec omnis uel terminorum uel differentiarum in se inuicem multiplicatio nam si minimus terminus medii termini dispositione multiplicetur fient .12. Item scilicet ipsum minimum maximo multiplicemus fient .18. Medius uero maximi numerositate conductus .24. efficit. rursus minimus terminus in se ipsum concrescens nouem ducit. Medius item per se ipsum multiplicatus .16: implet: Senarius autem qui maximus est: si se ipsum multiplicet reddet. trigintasex. Quo fit ut .24. ad .18. diatessaron consonantiam ducant in sesquitertia proportione atque eodem modo .12. ad .9. Sed .18. ad .12. pariterque .24. ad .16. in sesqualtera diapenten. [f.fvv] Diapason uero ex .36 ad .18. et ex .18. ad .9. in dupla proportione producitur. Verum diapasondiapente ex tripla conficitur scilicet ex .36. ad .12. Sed Bisdiapason in quadrupla conseruatur quae fit ex .36. ad .9. Tonus autem ex 18. ad .16. sesquioctaua productione consurgit atqne hec omnia presens figura apertissime demonstrat.

[Gafurius, Theorica, f.fvv; text: Bisdiapason proportio quadrupla, diapason, diapente proportio sesqualtera, diapason proportio dupla, diatessaron, tonus, diapente, 9, 12, 16, 18, 24, 36, sesquitertia, sesquioctaua, sesqualtera, Proportio sesqualtera, diapasondiapente proportio tripla, Proportio dupla] [GAFTM4 02GF]

Presenti demonstratione diligens inquisitor singulas consonantias propriis proportionibus naturaliter correspondere facile percipere potest. Id tamen aduertendum uidetur quoniam si diapason consonantiae quae duplae proportioni insidere comprobata est addita fuerit altera consonantia: multiplicitatis semper processum et ordinem obseruabit: quo fit: ut cum diapason ipsa in dupla proportione consistat: et Diapason diapente in tripla: Diapasondiatessaron in multiplicitatis ordine minime possit constitui: quippe quae si in multiplici collocari contingeret necessaria ei esset maior proportio quam dupla et minor quam tripla: cum ipsa maior sit quam diapason atque minorquam Diapasondiapente: sed inter duplam et triplam nulla naturaliter intercipit proportio: igitur diapason diatessaron in multiplicitatis ordine collocari non potest: inde Pythagorici [f.fvir] eam inconsonam sentiunt atque platonici. [Pythagorici, Platonici in marg.]

De natura toni et semitoniorum Capitulum Tertium

ET si unaquaeque consonantia sue genitricis proportionis naturam sensit Tonum sesquioctauae habitudini consentire necessum est: quo fit ut in duo inaequa semitonia distinguatur: cum ipsa proportio sesquioctaua in duas inaequales sit diuisibilis habitudines: ipsorum nanque semitoniorum unum minus est Aliud maius. idcirco non proprie dicta sunt semitonia quasi rectum toni dimidium tenentia: sed quia ad integrum usque tonum non prodeant cum neque semiuocalis in litteris pro media uocali accipi solet: quod enim semum dicitur imperfectum seruari decet: nam semus. a. um: idem est quod imperfectus. ta. tum: Semitonium minus rectum toni dimidium non attingit. Maius uero ipsius toni dimidium excedit ea ipsa particula qua minus semitonium ab ipso toni dimidio superatur. [Pythagorici, Plato in marg.] Pythagorici enim semitonium minus diesim appellarunt. A Platone autem dictum est lima: [Posteri musici in marg.] Posteri uero semitonium dixerunt: eius dimidium diesim nuncupantes. At dieseos dimidium nonnulli existimant coma: [Phylolaus in marg.] Quidam tamen putant coma ipsum dieseos dimidium excedere quod Boetius docet tertio suae musicae Coma uero Phylolaus Pythagoricus in duo schismata distinctum tradit: atque diesim in duo diaschismata. [Baccheus in marg.] Cum enim minus interuallum quod cincine est secundum Baccheum recentiorem apud graecos auctorem sit diesis minoris scilicet semitonii dimidium: quam Posteri Dyattonici generis professores abiecerunt: minus ipsum semitonii minoris interuallum naturaliter obseruantes: [Boetius, Vgoliuus in marg.] diminutiores ipsas toni semitonii ue portiunculas latius a Boetio nostro atque Vgolino eius imitatore propriis proportionibus exquisitas ommittemus: Dyattonico tantum genere hanc musicam facultatem conducendo Minus itaque semitonium fit ex duabus diesibus cuius interuallum euenit naturaliter in dispositione concinentiae ante uel post uel inter duos tonos diatonica scilicet ut dictum est consideratione. Apothome autem quod decisionem sonat a cunctis Semitonium maius appellatum est: fitque duabus diesibus et comate: excedit enim minus semitonium ipso comate. Nonnulli quidem falso arbitrantur illud quod uel ante uel post uel inter duos tonos euenit semitonium: esse maius. quod multis demonstrationibus compraehenditur. Nam si ex diatessaron consonantia duos abstulerimus tonos relinquetur semitonium minus. ita quoque quom a sesquitertia proportione duas sesquioctauas retrahamus id quod relinquetur erit semitonii minoris proportio. Constitutis enim duabus continuis sesquioctauis quae a secunda octupla originem et comparationem necessario perquirunt: numeros ipsos sic disponemus .64.72.81. sunt quidem in his numeris duae dispositae [f.fviv] sesquioctaue: consequenterque duo toni prima naturali dispositione producti. Nunc quoque superaddendus est numerus qui dispositorum minorem scilicet .64. sesquitertia proportione custodiat. sed quia numerus .64. non habet tertiam partem: si dispositos ipsos omnes numeros ternario multiplicauerimus: minor ipse in tres aequas partes resolubilis eueniet: atque numeri omnes eadem quoque proportione perseuerabunt qua fuerant ante quam ternario multiplicarentur. Igitur numerus .64: ter summptus efficit .192. cuius tertia pars scilicet: 64. sibi ipsi superposita complere monstratur numerum .256. eritque numerus .256. ad numerum .192. sesquitertia proportio diatessaron consonantiam seruans. Nunc uero duas sesquioctauas continuas minorem scilicet .192. numerum custodientes recto ordine disponamus: perficit enim numerus .72. ter sumptus numerum .216. At numerus .81. ter sumptus numerum .243. attingit: qui inter predictos duos numeros sesquitertiam concludentes disponantur hoc ordine.

[Gafurius, Theorica, f.fviv; text: Sesquitertia proportio, sesquioctaua, tonus, semitonium, diatessaron consonantia, 192, 216, 243, 256] [GAFTM4 02GF]

His igitur sic dispositis numeris ultimus ad primum sesquitertiam conducit proportionem diatessaron consonantiam obseruantem. secundus uero ad primum sesquioctauam et consequenter tonum. Item tertius secundum custodit sesquioctaua proportione tonum concludente. Spatium autem quod a numero .256. [f.gir] ad numerum .243. intercidit: primam semitonii minoris formam exprimit ex ipsis primis minimis numeris exquisitam atque deductam. At quoniam praedictum est hoc minus semitonium rectum toni dimidium non implere: id euidentiori demonstratione probandum fore duxi. Nam cum numerorum .243. et .256. differentia: tredecim tantum unitatibus sit: si ipsam deciesocties multiplicemus differentiam non reddet totum minorem sed deficietur a tota ipsius minoris summa: nam fient .234. qui minor est quam .243. Verum quom deciesnouies multiplicata fuerit ipsa differentia scilicet .13. ipsum minorem scilicet .243. huiusmodi multiplicatio superuadet: fient nanque .247. Continet itaque ipsa differentia minus quam decimamoctauam ipsius minoris partem: plus uero quam decimamnonam. Ex quo opus est semitonium omne: ad hoc ut integro toni dimidio conseruetur: inter sesquisextam decimam et sesquidecimamseptimam collocari: quod quidem impossibile est: nam ut superius monstratum est: Proportio sesquioctaua in duas inaequas partes diuiditur: ut quae euenit inter .18. et .16. quoniam naturaliter numerus .17. intercidit: non eandem proportionem retinent .17. ad .16. quam probant. 18. ad .17. igitur ipsa sesquioctaua in duo aequa diuidi non posse monstratur Quod si fieri temptaretur: necesse esset aliquantulam de sesquisextadecima proportione auferre portionem sesquidecimaeseptimae applicandam quo aequaliter se haberent. quod quidem fieri nullatenns potest: quoniam sesquisextadecima proportio nullam in se minorem habet particulam quam sesquisextamdecimam scilicet indiuisibilem unitatem: quam integre inuiolabiliterque nititur conseruare. Constat itaque lucidius tonum in duo aequa diuidi non posse. Minus autem semitonium non attingit medietatem toni: quo fit ut si duplicatum fuerit: tonum perficere non possit: Igitur duo minora semitonia penum toni interuallum implere non possunt. Id enim naturaliter euenit ut quom quicquid dimidium duplicatur: totum integrum ducit id cuius ante duplicationem dimidium erat: si autem ipsa duplicatio non perfecerit illud integrum sequitur ante duplicationem id quod duplicatum fuerat dimidium non fuisse. Verum si geminata particula superexcreuerit suum totum: tunc antequam duplicaretur maior erat parte dimidia. Illud igitur quod uere in consonantiis semitonium nuncupatur: minus est recto toni dimidio: quod uero relinquitur de toto tono maius est dimidia ipsius toni parte: quo fit ut semitonium maius dicatur. Quantoque semitonium minus recto toni dimidio minus est tanto Apothome integrum toni dimidium excedit. Et quoniam monstratum est semitonium inter .256. et .243. principaliter consistere: nunc in quibus minoribus numeris constet Apothome discutiendum est. Si enim .243. octauam possent recipere partem ita ut ad eum suus posset sesquioctauus comparari: tunc .256. habitudo ad ipsius minoris sesquioctauum colata apothomen necessaria ratione probaret. sed quoniam ipse .243. numerus octauam partem habere non potest [f.giv] singuli numeri octonario crescant: et quidem .243. numerus octies ductus numerum .1944. perficit: quibus dum propria superponatur octaua scilicet .243. mox fient .2187. Item .259 numerus crescat octies numerum .2048. conducetqui praeductorum medius collocetur hoc modo

[Gafurius, Theorica, f.giv; text: tonus, Apothome, semitonium minus, sesquioctaua propor, 1944, 2048, 2187] [GAFTM4 01GF]

Tertius itaque terminus ad primum tonum ducit sesquioctaua ratione compraehensum. Secundus uero ad primum apothomen sed tertius ad secundum semitonium minus idcirco quia in minoribus numeris maior euenit proportio et consequenter maior consonantia. in minoribus autem minor. Atque in his primis apothomes constat proportio. cum semitonii minoris spacium in .256. et .243. minimis contineatur numeris. Sunt idcirco .1944. et .2048. in eadem proportione qua 243. et .256. quoniam .243. et .256. sunt octies multiplicati. Quom enim unus numerus duos quoslibet numeros multiplicauerit: tunc numeri qui ex ipsa multiplicatione conducentur in eadem erunt proportione qua fuerunt hi numeri quos multiplicator numerus multiplicauit. [Philolaus in marg.] Monstrat tamen apertius toni diuisionem Phylolaus Pythagoricus statuens primum imparem numerum scilicet ternarium cum suo quadrato qui nouenarius est: hunc enim ternario multiplicat et fiunt .27. qui ad .24. deducti tonum in sesquioctaua relatione custodiunt: eorum quippe ternarius differentia est: qui octies computatus numerum: 24: implet: nouies uero: 27. perficit. Tonum quoque in semitonium minus diuidit atque Apothomen: horum differentiam coma esse dixit: asserens minus semitonium tredecim unitatibus constare eo quod inter .256 et .243. praeuisa sit differentia et quia item is numerus .13. ex nouenario et ternario atque unitate quae in cunctis numeris singularem obtinet locum consistit: ternariusque primus sit impar in numero naturali: atque nouenarius primus impar quadratus: idcirco constituto minorem semitonio in numero .13. reliquam .27. numeri partem quae quattuordecim unitatibus superest Apothomen censuit continere. At cum amborum scilicet .13. et .14. numerorum unitas differentiam teneat: unitatem ipsam loco comatis arbitratur esse tenendam: totum que tonum .27. unitatibus sistit: eo quod inter .243. et .216. numeros qui inter se tono distant: ipse .27. numerus differentiam seruet. Ex his uidetur inferri tonum constare duobus semitoniis unoque comate: nam sicut tonus Apothomen et minus semitonium compraehendit: semitonium uero ab apothome differt comate: nihil aliud apothomen esse constat quam semitonium [f.giir] minus et coma. Vnde si de tono duo minora detrahantur semitonia relinquitur coma: quod hac item probatione procedit. Quoniam diapason quinque tonis duobusque minoribus semitoniis continetur sex toni diapason excedunt uno comate. Non est dubium quin tonis ipsis quinis a diapason sublatis duo relinquantur minora semitonia: A sex uero tonis retractis quinis relinquitur tonus: qui duo ipsa semitonia uincit comate: at si duobus ipsis semitoniis appositum fuerit coma implebitur tonus. Constat itaque tonum perfici duobus minoribus semitoniis et uno comate. Minus nanque semitonium duabus conducitur diesibus. Apothome autem siue semitonium maius duas dieses et coma compraehendit Inde Tonus quattuor dieses atque unum coma concludit. quod harum indicant interualla litterarum.

[Gafurius, Theorica, f.giir; text: A. diesis. B. C. D. E. coma, F. Semitonium Minus, Semitonium Maius, TONUS.] [GAFTM4 03GF]

De natura Diapentes et Diapason Capitulum. Quartum.

DIapentes consonantia insesqualtera proportione consistens fit ex diatessaron et tono: nam sesquitertia et sequioctaua sesqualteram formant. Cum igitur diatessaron simphonia duobus tonis minoreque semitonio constet: superpositustonus diapentes consonantiam implebit: quo circa disponamus numeros duarum sesquioctauarum et spatii semitonii minoris: superius in eductione diatessaron consonantiae figuraliter adductos hoc modo .192.216.243.256. Secundus terminus ad primum atque tertius ad secundum sesquioctaua inuicem habitudine conferuntur: hinc duos monstrant tonos: quartus autem ad tertium semitonii minoris spaciumus occupat: rursus idem quartus ad primum sesquitertiam perficit habitudinem diatessaron consonantiam producentem. Nunc uero quom octauam numeri .256. superposuero partem eueniet numerus .288. qui ad numerum .256. sesquioctauam proportionem respondebit et consequenter tonum. Idemque .288. numerus ad numerum .192 comparatus sesqualteram probat proportionem Diapentes concinentiam concludentem. Fit igitur Diapente ex diatessaron et tono: idest ex tribus tonis et semitonio: quod subiecta figura demonstrat:

[f.giiv] [Gafurius, Theorica, f.giiv; text: Sesqualtera proportio. diapente consonantia. sesquioctaua, tonus, semitonium, sesquitertia proportio. diatessaron consonantia. 192, 216, 243, 256, 288] [GAFTM4 03GF]

In horum numerorum dispositione ultimus terminus uidelicet .288. ad quartum scilicet .256. sesquioctauam facit ut aperte monstratur: inde tonum. Is quoque ultimus ad primum scilicet .192. sesqualteram: idcirco diapenten conducit. Patet igitur Diapenten tribus tonis semitonioque constare: siue ex diatessaron et tono perfici: quia sesqualteram ex sesquitertia sesquioctauaque produci atque generari probatum est. Nunc Diapason consonantiam quam Diatessaron ac Diapente simul iunctae ea ratione perficiunt qua sesquitertia et sesqualtera Duplam conducere solent habitudinem adoriri necessum est. Quo circa cum Diatessaron duobus tonis semitonioque minore deduci Diapenten uero tonis tribus atque minore semitonio conformari apertum sit: Diapason consonantiam ex ipsis deductam quinque tonos ac duo minora semitonia continere naturalis ratio uidetur concludere. At cum illa duo semitonia (ut precedenti ascribitur capitulo) tonum non impleant sed toni ipsius dimidium excedant: Diapason consonantia nullo modo sex tonos compraehendere potest: quippe quae a sex tonis comatis distantia [f.giiir] interuallo que recedit. Verum superpositum coma duobus ipsis minoribus semitoniis tonum implebit: fieretque hoc modo Diapason de sex tonis. Non igitur sex tonos continet diapason consonantia ut Arbitrati sunt Arstoxenus et: Macrobius in secundo somnii Scipionis. [Aristoxenus, Macrobius, Conciliator in marg.] Atque Petrus apponensis Medicorum conciliator in tertiodecimo problemate musices Aristotelis ubi Bisdiapason duodecim tonos possidere concludit. Nunc id quoque sciri decet. Si Diapason consonantiae diapentes consonantia apposita fuerit: altera fiet consonantia utrisque uocabulis nuncupata scilicet diapasondiapente in tripla habitudine constituta ut superius claruit. Verum si huic diapasondiapentes consonantiae superiuncta fuerit diatessaron mox Bisdiapason eueniet consonantia in quadrupla proportione quiescens ut secundo capitulo lucidius apertum est. Constat quidem Diapasondiapente octo tonis tribusque minoribus semitoniis. Bisdiapason uero tonis decem perficitur et quattuor minoribus semitoniis ut patet diligentius intuenti quod et in diuisione monocordi posterius elucebit. Si autem quadruplae proportioni coniuncta fuerit sesqualtera: mox euadet sextupla. ut his constat numeris .3.12.18. Item quoque quom Bisdiapason consonantiae superaddita fuerit diapentes consonantia: alteram ex utrisque uocabulis nuncupatam concinentiam conseruabit: quam Musici ab ordine consonantiarum excludunt ob maximam extremorum sonorum sibi inuicem correspondentium distantiam. Cumque inter quadruplam ac sextuplam una naturaliter intercidat multiplex proportio scilicet quintupla: uideamus attentius utrum sesquitertia proportio quae minor est quam sesqualtera si quadruplae addita fuerit proportioni possit locum multiplicem obtinere: Disponamus itaque numeros quadruplam et sesquitertiam conducentes hoc ordine .3.12.16. Duodenarius enim ad ternarium quadruplam implet. Sextusdecimus autem ad duodenarium sesquitertiam. Rursus sextusdecimus ad ternarium non quintuplam recte concludit: sed excedere iudicatur ab unitate: quae ipsius ternarii pars est tertia. At quia inter ipsam quintuplam et sextuplam prius ex quadrupla et sesqualtera productam nulla potest naturaliter proportio multiplex intercipi: sesquitertia idcirco non additur quadruplae proportioni ut naturaliter consedeat in genere multiplici: et per consequens Bisdiapasondiatessaron esse consonantiam negant musici: quae quanquam ex proportione sexdecim ad tres conducitur: quae est quintupla sesquitertia in multiplici superparticulari ea tamen in multiplici quae simplex est consistere non potest: quoniam in cunctis quadruplis ordo seruatur multiplicitatis: et superparticularitatis quom superaddita fuerit ipsa sesquitertia: ut his constat numeris .6.24.32. fit enim ex .24. ad .6. quadrupla proportio: ex .32. uero ad .24. sesquitertia: atque eodem modo conducuntur .12. et .48. et .64. ad inuicem comparati. Cum igitur iunctae superparticulares multiplicibus alias [f.giiiv] naturaliter conducant multiplices: in his hic ordo processusque negligitur: ut etiam in dupla et sesquitertia: ex qua diapasondiatessaron deduci superius monstrata est. non itaque Bisdiapasondiatessaron ceteris consonantiis connumeranda est. Et quidem in hoc differunt diapasondiatessaron et Bisdiapasondiatessaron quia haec in multiplici superparticulari: illa in multuplici superpartiente repperitur. Extremi enim Bisdiapason aequisonantiae soni cum a se inuicem quadrupla interualli dimensione discedant: eam aliarum maiorem consonantiarum disponunt. Diatessaron uero cunctis concinentiis minorem dicunt quoniam acutior in ea sonus grauiorem tertia sui parte transcendit. Est igitur hic concinentiarum modus ut neque ultra quadruplam possit extendi: neque intra partem tertiam coartari.

De Ordine Consonantiarum Capitulum Quintum:

[Pythagorici in marg.] COnsonantiarum ordinem Pythagorici prosequentes: eam in ordine priorem constituendam esse censuerunt cuius proprietas auditui suauior: atque natura sensibus rationique euenit apertior. Quale enim unum quodque per semetipsum est hac musica facultate tale etiam secundum Boetium depraehenditur sensu. [Boetius in marg.] Quo circa: quoniam Diapason consonantia quae in dupla proportione consistit cunctis notior est consonantiis: eam necessum est omnium consonantiarum primam concludere: coeterasque merito excellere: quas lucidiori cognitione praecedit. Reliquas uero multiplicitatis ordinem seruantes cum multiplices proportiones non immerito superparticulares habitudines transcendant Pythagorici ipsi naturali ordine subsequi censuerunt: quo fit ut Diapason quidem in dupla sit prima: Diapasondiapente in tripla sit secunda: Bisdiapason in quadrupla sit tertia: hinc naturalem numerum ab unitate ad quaternarium usque disponamus hoc ordine .1.2.3.4. Binarius nanque unitati comparatus duplam ducit habitudinem Diapason consonantiam respondentem quae prima est et simplicitate notissima. Ternarius uero eidem unitati computatus triplam proportionem monstrat Diadasondiapenten conducentem. Quaternarius autem ipsi unitati deductus quadruplam efficit Bisdiapason simphoniam conseruantem. Et quidem quoniam hi multiplices unitatem conspiciunt quae prima est eamque recto atque naturali ordine subsequuntur: eos ipsi Pythagorici multiplices praecedere statuerunt. Superparticulares uero sequi. Restat nunc superparticulares ipsas in ipsis dispositis numeris conducere: nanque ternarius ad binarium sesqualteram seruat diapentes consonantiam custodientem quae quidem prima est superparticularis in naturali numerorum dispositione. Quaternarius autem adternarium sesquitertiam ducit scilicet secundam superparticularem [f.givr] diatessaron consonantiam demonstrantem. Rursus quaternarius ad binarium duplam ducit: quemadmodum binarius ad unitatem. Verum quia duae primae superparticulares ipsam conducunt ac diuidunt duplam: post multiplices habitudines superparticulares ipsas quae Diapenten et Diatessaron ducunt posuere. [Embulides, Hyppasus in marg.] Embulides tamen atque Hyppasus alium consonantiarum ordinem statuerunt dicentes multiplicitatis augumenta diminutioni superparticularitatis correspondere: ita ut non possit esse duplum praeter dimidium: nec triplum praeter tertiam partem: quo fit ut duplam primo ponant scilicet Diapason secundo sesqualteram quae Diapenten ducit quasi in contrariam diuisionem duplae. tertio triplam ex dupla et sesqualtera mistam id circo Diapasondiapenten. quarto sesquitertiam ex qua Diatessaron fit quasi in contrariam diuisionem triplae. quinto quadruplam Bisdiapason compraehendentem ex tripla atque sesquitertia confirmatam. [Nichomacus in marg.] Nichomacus item alio modo consonantiarum ordinem procedere voluit. nam ut in proportionibus unitas crementi dimunitionisque principium tenet: ita quoque diapason reliquarum esse consonantiarum principium inquit: alias post in contraria diuisione constituens. fiat enim naturalis numeri dispositio incipiens ab unitate hoc modo .1.2.3.4.5. Binarius quidem unitatis duplus est: cuius contraria pars atque dimidium est ipsa unitas. Ternarius unitatis triplus est: cuius contraria est pars tertia. Quaternarius unitatis est quadruplus: pars eius contraria quarta. atque ita crescendi et descrescendi in simplici est unitate principium. Quo circa diapason quidem quae est dupla erit supremi loco principii: reliquae autem erunt in contraria diuisione praetermissa diapason: sesqualtera enim triplae opponetur diuisioni: sesquitertia quadruplae: quod hac argumentatione probatur: Idem enim primus sesqualter est numerus qui primus est triplus si unitati comparetur. nam ternarius binario comparatus primus est sesqualter: idem uero unitati superductus primus est triplus. rursus eius differentiae quam inter se et binarium facit triplus est: Cum igitur hac ratione sesqualtera proportio opponatur triplae Diapentes consonantia diapasondiapentes simphoniae rationabiliter putatur opponi Quadrupla item contrariam habet sesquitertiae diuisionem: nam qui primus est quadruplus unitati conductus scilicet quaternarius: ipse primus est sesquitertius si ternario comparetur: eius quoque differentiae quam inter se et ternarium habet efficitur quadruplus. Quo fit: ut sesquitertia proportio quae Diatessaron est: quadruplae proportioni quae est Bisdiapason in contrarium diuidatur. Dupla uero quoniam nullam habet oppositam proportionem secundum hanc Nichomaci rationem: nec ullus minor sesqualtero numerus est cui possit binarius qui primus est duplus superparticulari proportione coniungi: talem formam contrariae proportionis excedit. Atque id circo secundum Nichomacum Diapason tenet consonantiarum principium: et quamuis ita sese habeant hae consonantiae. Postremo tamen cum Pythagoricis concludere uidetur conuenientius atque melius esse: omnes multiplices consonantias praecedere: et Superparticulares sequi.

[f.givv] Diapason consonantia ex alio quam multiplici genere euenire non potest. Capitulum Sextum.

REstat lucidioribus rationibus fortioribusque argumentationibus aperire Diapsaon consonantiam in multiplici genere conformari Quo circa: id sciri euenit: Si ab omni superparticulari habitudine continuam ei superparticularem proportionem auferamus quae scilicet minor est tunc id quod relinquitur minus erit medietate ipsius proportionis abstractae: ut si ex sesqualtera sesquitertiam (quae minor est et ei continua) detraxerimus: sola sesquioctaua remanebit: quae geminata deficiet a recto ablatae proportionis scilicet sesquioctauae dimidio quo fit: ut si diatessaron a diapente retrahamus relinquatur tonus: qui ablatae Diatessaron consonantiae dimidium non attingit: cum Diatessaron ipsa duobus tonis minoreque semitonio perficiatur. Ad cuius euidentiam tres numeros sesquitertiam et sesquioctauam in sesqualtera concludentes disponamus hoc modo

[Gafurius, Theorica, f.givv; text: sesqualtera proportio, diapente consonantia, sesquitertia, sesquioctaua, diatessaron, tonus, 6, 8, 9] [GAFTM4 01GF]

Vides nanque nouem ad sex sesqualteram conducere proportionem inde diapentes consonantiam. atque octo ad sex sesquitertiam hinc diatessaron. nouem uero ad octo sesquioctauam idcirco tonum Igitur si minorem numerum scilicet senarium cuius sesquitertius est medius uidelicet octonarius auferamus: relinquentur octo et nouem qui inuicem habiti sesquioctauam et consequenter tonum concludunt: quo rectum consonantiae diatessaron dimidium attingi non potest. Verum si sesquiquartum a sesquitertio retrahamus: id quod relinquetur non implebit medietatem sesquiquarti. Hoc idem in ceteris. his itaque praemissis. Diapason consonantiam de qua sermo fit adoriri necessum est: quippe quae si in multiplici haud consideraretur: in superparticulari eueniret necesse est. Disponatur igitur Diapason ipsa in superparticulari habitudine: auferamusque ab ea continuam consonantiam scilicet diapenten: relinquitur Diatessaron. que duplicata diapentes consonantiam excedit tono ac semitonio: si autem ipsa diatessaron non impleret medietatem diapentes: tunc duplicata diapenten ipsam perficere non posset: atque idcirco diapason posset in superparticulari habitudine collocari. uerum quoniam diatessaron est plusquam dimidium diapentes: si duplicetur ipsam excedet ut dictum est diapentem: [f.gvr] nam cum diapente tribus tonis constet ac semitonio: diatessaron uero duobus tonis semitonioque compleatur: si diatessaron ipsa geminetur quattuor tonos duoque semitonia conducet: et quidem quattuor toni ac duo minora semitonia diapentem superant de uno tono atque semitonio. Non igitur fieri potest: ut bis sumpta diatessaron ab integra diapentes deductione deficiat. hinc idcirco diapason consonantia in superparticulari habitudine compraehendi nequaquam potest.

In Quo genere consistant diapente diatessaron et Tonus. Capitulum. Septimum

DEmonstrandum nunc uidetur diapenten ac diatessaron et tonum ut superius propositum fuit in superparticulari habitudine collocari: quod si quis negare temptauerit: in multiplici eas consistere fateatur necesse est. Ex superpartienti reliquisque duobus compositis latius praetactum est nullam posse deduci consonantiam. Cum igitur si ab omni proportione superparticulari aufertur minor ei continua superparticularis id quod relinquitur deficit a medio ipsius abstractae proportionis ut in precedenti capitulo conclusum est et apertum: hoc presupposito ueraciterque accepto fundamento ipsas consonantias ex multiplici conducere temptemus. et quoniam Diatessaron consonantia minor est: diapente maior: sit Diatessaron in dupla: Diapente in tripla: Verisimile quidem est ut si Diatessaron statuatur in dupla. Diapente quae ei continua est in proportione eidem duplae continua scilicet tripla debeat collocari Tonus autem qui musica habitudine post diatessaron habetur cum minor sit in ea proportione ponetur quae minor est quam dupla: sed hec non reperitur in generi multiplici nam dupla proportio prima est et minor cunctis multiplicibus: necessum ergo est ipsum tonum in superparticulari genere collocari. Sit igitur tonus in prima superparticulari scilicet in sesqualtera: Nunc autem quom duplam detraxerimus a tripla relinquetur sesqualtera. Quo fit ut si diatessaron sit in dupla et Diapente in tripla: abstracta diatessaron a Diapente relinquatur tonus: non enim dubium est quin tonus secundum hanc rationem debeat in sesqualtera proportione constitui. sed cum relictus tonus medietatem diatessaron quae a diapente retracta est implere non debeat secundum ueram conclusionem presuppositam: duae nunc sesqualterae duplam excedunt proportionem ut latius ex superioribus constat: atque hoc modo duo toni diatessaron superaret: quod est inconueniens: nam diatessaron duos tonos semitoniumque compraehendit. Si autem et tonum in multiplici posuerimus cum minor sit quam diatessaron et diatessaron minor quam diapente: tonum ipsum in dupla: et diatessaron in tripla atque diapenten in quadrupla constituemus: sed quoniam diapente constat ex diatessaron et tono: quadrupla proportio hoc modo ex dupla [f.gvv] eueniret et tripla: quod ordo proportionum perhorrescit: cum dupla et tripla naturaliter sextuplam ducant ut constat his numeris .2.4.12. Quaternarius nanque ad binarium duplam perficit proportionem. Duodenarius uero ad quaternarium triplam. rursus Duodenarius ad binarium sextuplam seruat. Verum si diatessaron ponatur in sesqualtera: tonum qui minor est in sesquitertia sesqualterae continua locari decet: sed duae sesquitertiae unam excedunt sesqualteram igitur et duo toni diatessaron consonantiam excederent quod musica ratio negat. Constat itaque ex predictis Diatessaron ac Diapenten et tonum in multiplici genere non posse locari: quo fit: ut In superparticulari genere naturali productione consistant. cum omnes musicae consonantiae partim in multiplici: partimque in superparticulari resideant. Atque item necessum est Diapenten et Diatessaron maioribus superparticularibus habitudinibus adherere: quippe quae primae sunt in naturali sui generis dispositione scilicet sesqualtera et sesquitertia: quod hac probatione monstratur: Si in proportionibus superparticularibus minoribus quam sesqualtera et sesquitertia diapente et diatessaron consisterent: non est dubium quin sicut duae aliae quaeuis continuae superparticulares proportiones praeter sesqualteram et sesquitertiam simnl iunctae non efficerent unam duplam: atque ita diapente et Diatessaron diapason consonantiam perficere non possent quae ut latius probatum est ex dupla proportione consurgit. dupla quoque proportio ex sesqualtera et sesquitertia componitur Diapason itaque ex diatessaron et diapente coniungitur. quocirca si diapason consonantiam dupla conducit proportio: necesse est diapenten ac diatessaron in sesqualtera et sesqnitertia collocari: nec aliter possent simul iunctae diapason consonantiam adimplere. Verum si duas alias quas malueris superparticulares habitudines continuas coniungere temptaueris: duplam ipsam nullatenus impleri posse cognosces: quod his exprimitur numeris. 3.4 5 6.7 8. nam quaternarius ad ternarium sesquitertiam facit: quinarius autam ad quaternarium sesquiquartam: quae si ambae coniungantur duplam ipsam non implebunt: cum qninarius ternarium dupla proportione cnstodire non possit. Sesquiquinta similiter iuncta sesquiquarte longe est a tota ipsius duplae summa: nanque quinarius ad quaternarium sesquiquartam ducit senarius uero ad quinarium sesquiquintam rursus senarius ad quaternarium duplam ipsam minime concludit quoniam sesqualteram tantum attingere comprobatur: Idemquoque iudicium est in reliquis superparticularibus continuis. Illud insuper negligentiae haud quaquam commitendum uidetur quod si duae quaeuis continuae superparticulares simul iunctae deficientes a perfectione duplae disponantur tot uuitatibus deficiet maior terminus ad hoc ut minimum dupla proportione custodiat: quoto ordine aduabus primis superparticularibus duplam ipsam non implentibus discesserint: ut his patet numeris .3.4.5.6.7.8.9.10. huic enim regule non subiicitur sesqualtera: quoniam quum sesquitertiae quae sibi continua est adiungitur duplam ipsam conducit proportionem Summit enim a sesquitertia hic ordo principium: Iunctae itaque sesquiquarta et sesquitertia duplam non [f.gvir] monstrant: cum maiori termino scilicet quinario deficiat unitas ad hoc ut minorem scilicet ternarium dupla proportione compraehendat. Quom autem sesquiquintae ac sesquiquartae commistio producta fuerit dupla item ipsa minime conducetur: nam maior numerus scilicet senarius binario deficiet ad perfectionem duplae: ad minimum scilicet quaternarium. Sesquisexta autem et sesquiquinta conductae maiorem terminum scilicet septenarium ternario deficientem ad hoc ut minorem uidelicet quaternarium dupla custodiat habitudine demonstrabunt. Et si sesquiseptimam ac sesquisextam conduxerimus maior numerus scilicet octonarius minor erit de quaternario a duplo minoris qui est senarius. Eodem quoque ordine procedentibus secundum naturalem numerorum dispositionem duabus continuis superparticularibus multiplicatur numerus quo maior terminus deficit a duplo minoris: quod apertius patet diligenter intuenti: Atque hoc euenit quoniam ut superius in tertio claruit ex minoribus numeris maiores prodeunt superparticulares habitudines: et ex maioribus minores: nam cum sesqualtera et sesquitertia ex minoribus deducte sint numeris: ceteris superparticularibus sunt maiores: quo fit ut duplam perficiant proportionem: At sesquiquarta et sesquitertia quae maiores capescunt numeros quoniam ex unitate incrementum recipiunt eadem unitate deficiunt a summa duplae Sesquiquarta autem et sesquiquinta cum a sesquitertia in extremitate discedant per binarium eodem binario deficient a dupla: atque idcirco maiores sunt proportiones sesquitertia et sesquiquarta quam sesquiquarta et sesquiquinta: quia in maioribus numeris minor et in minoribus maior semper superparticularis proportio reperitur. Quoniam igitur diapente in sesqualtera et diatessaron ut apertum est in sesquitertia proportione seruantur: cumque sesqualtera proportio sit maior sesquitertia uero minor: atque similiter in consonantiis diapente sit maior: diatessaron uero minor: concludendum iure est maiorem consonantiam maiori: et minorem minori coaptandam esse. Erit ergo diapente in sesqualtera: et diatessaron in sesquitertia proportione collocanda. At ueluti si diatessaron consonantia a diapente subtraxerimus relinquetur spacium quod dicitur tonus: ita quoque quum sesquitertiam a sesqualtera auferamus relinquetur sesquioctaua proportio: Quo fit ut tonus debeat in sesquioctaua proportione constitui.

De consonantiis diapasondipente et Bisdiapason atque aliarum simphoniarum uocibus et interuallis Capitulum. Octauum.

NVnc considerandum uidetur ut quemadmodum dupla et sesqualtera proportio simul iunctae triplam efficiunt: ita quom Diapason ac diapentes facta fuerit connexio aliam necessario conducet consonantiam utrisque uocabulis nuncupatam. Ea nanque naturaliter ex tripla proportione deducitur quam diapasondiapentem uocamus. At si triplae proportioni superaddita fuerit sesquitertia. illico quadrupla resultabit. hic si diapasondiapentes consonantiae diatessaron simphoniam aposuerimus [f.gviv] Bisdiapason eueniet consonantia: quae hac ratione in altera nullo pacto qua in quadrupla proportione quiescet. Atque idcirco Tres sunt in multiplici genere consonantiae scilicet Diapason. Diapasondiapente et Bisdiapason. Reliquas uero tres in superparticulari uidelicet Diapenten. Diatessaron: ac tonum: rationabiliter probatum est collocari. Cum igitur harum sit presens consideratio consonantiarum atque consonantia duarum sit rata permistio uocum secundum Boetium: [Boetius in marg.] que quidem absque sono minime fieri potest. Sonus idcirco dicitur modulatae uocis casus una intentione productus: quippe qui minima modulationis particula iudicatur is enim ex pulsu euenit: atque pulsus omnis ex motu: ut in secundo latius expressum est. Cumque motuum Alii sint aequales Alii inaequales. Inaequalium motuum Alii sunt multo inaequales Alii minus. Alii uero mediocriter inaequales. Quo circa ex motuum aequalitate sonorum aequalitatem concipi necesse est. Sed ex mediocriter habita inaequalitate quae et magis manifesta est: proximae ac simpliciores eueniunt proportiones scilicet multiplices et superparticulares: quae sunt dupla tripla Quadrupla: Sesqualtera Sesquitertia et Sesquioctaua. Ex inaequalibus uero proportionibus multimodis uel non ita claris uel longe omnino a se distantibus dissonantiae exeunt nulla nanque ex ipsis sonorum concordia procreatur: [Pithagorici in marg.] Quo fit ut Pythagorici ultra bisdiapason nullam exquirere temptauerint consonantiam ob maximam inconuenientemque extremorum sonorum distantiam: si quis autem ad ulteriora processerit: eandem tonorum semitoniorumue dispositionem naturaliter procedere sentiet quam in ceteris dispositis superius consonantiis naturam atque artem operari didicimus. At quanto ultra bisdiapason protensi fuerint soni: tanto extremorum sonorum distantia auribus dissonantiam affere uidetur. Idque euenire mihi ipsi persuadeo quoniam extremi aequisonantiarum soni in ea prolixiore distantia a sua aequitate discedere: aurium iudicio atque naturali multiplicium proportionum dispositione facile iudicantur. [Boetius in marg.] Boetius idcirco ceterique musici in exquirendis consonantiis quadruplum sonorum spacium propriis extremitatibus satis distans terminanter confixerunt: ultra quod musicae consonantiae nulla debeant protensione conduci. Et si consonantias ipsas diuersis proportionibus eductas pluriformes sonos compraehendere necesse est: diuersis item interuallis eas rationabili mensura considerare licebit atque idcirco sequens tractatus sonos ipsos ac interualla lucidiore resonantia disponit. Tonus nanque fit duobus sonis unoque interuallo. Diatessaron uero quattuor sonis tribusque interuallis impletur. Diapente autem quinque sonos comprehendit et quattuor interualla. At Diapason ex diapente et diatessaron ducta octo sonis septemque interuallis perficitur. Diapasondiapente duodecim sonos amplectens undecim interualla concludit. Bisdiapason uero quindecim denique tenens sonos quattuordecim retinet interualla. Omnis itaque consonantia unum semper minus habet interuallum quam fuerint eius uoces. Id quoque est sciendum quod cum diapente [f.hir] ac diatessaron simul iunctae faciant Diapason si disiungerentur unico eam sono excederent et interuallo. quo fit ut quom de compositis consonantiis loquimur unum sonum esse comunem uidelicet consonantiae granioris acutiorem atque acutioris consonantiae grauiorem intelligamus.