Back to top

[46] DE MVSICA LIBER SECVNDVS

QVOD NON NVMERVS PER SE, NEQVE SONVS AB HARMOnico considerandus sit, sed vterque simul: et quot modis Soni nomen accipiatur.

CAPVT PRIMVM.

DE Numeris, et Proportionibus, quae ex numerorum comparationibus oriuntur, ea, quae Musico ab Arithmetica necessario petenda videbantur, satis superque libro superiore dixisse videmur. nunc de Sonis, ac Interuallis, quae ex sonorum permixtionibus fiunt, ipsa ratio, atque ordo doctrinae postulat, vt dicamus. Nemo tamen existimet, nos haec ita seiuncta tradere velle, vt numeros a sonis separare velimus. quoniam de numeris a materia denudatis, et de sonis per se consideratis agere, non est Harmonici munus: sed alterum ad Arithmeticum; alterum spectat ad Physicum; Harmonicus autem vtrumque simul considerat, numerum quidem vt exemplar, sonum vero vt ipsius exemplaris imaginem. Et, quoniam, vterque accidens cum sit, numerus sine re numerata, et nisi sonoro in corpore sonus inueniri non potest, accipit Harmonicus chordam, aut cannam, (quia hae et res numerabiles sunt, et soni ad harmoniam apti potissimum in eis percipiuntur) quae certae alicuius sint, ac determinatae quantitatis; cuius vera cognitio, nisi per numerum, rite haberi non potest: vt ex totius ad partes, aut ipsarum inter se partium comparatione, sonorum differentias, quae in acumine, et grauitate consistunt, examinet. Tanto enim acutior, aut grauior, sonus esse censetur, quanto minor, aut maior est numerus, qui chordam, aut cannam, ex qua sonus elicitur, metitur. vnde nouem palmorum canna grauiorem sonum edet, quam sex; et quatuor palmorum chorda, quam trium: iuxta sententiam illam communem in Musica notissimam, qua asseritur, totum ad sui partem, et laxius ad se tensum, grauiorem edere sonum. Quod multo melius in chordis, aut cannis examinare possumus, quam in humanae vocis instrumentis. quoniam arteriarum atque aliorum humanae vocis instrumentorum partes non ita subiectae sunt oculis, vt certam earum mensuram possimus accipere. Est tamen (vt Ptolemaeus ait Harmonicorum libro primo capitulo tertio) arteriarum opificium tibiae cuidam naturali per simile, hoc vno solum discrepans (vt ipsius Ptolemaei verba Latine referam) quod in tibia, loco percutientis eodem manente, locus percussi propius ad eum accedit, vel remotius abscedit ope foraminum, tanto sonum acutiorem reddens, quanto est percutienti proximior: in arterijs vero contra, quoniam eius, quod pulsatur, loco manente, pulsantis locus accedit, aut recedit, principe nostri parte, propter insitam vni sibi naturaliter harmoniae vim, mirifice simul ac prompte inueniente, atque accipiente, subductorij instar, in arterijs loca, a quibus ad externum aerem distantiae, secundum excessuum diuersas quantitates, differentias sonorum efficiunt. Haec Ptolemaeus. Musici autem chordam aeream, per omnes sui partes aequalem, et vniformem, potius quam aliud corpus sonorum, vt minus varietati ac mutationi subiectam, elegerunt, quae ad humanae vocis similitudinem harmonicum reddens sonum, eos certiores faceret, secundum maiorem, aut minorem longitudinem ipsius, aut partium, acutioris, aut grauioris soni ab ea redditi. Quamobrem chordas ipsas Musicorum instrumentorum in processu huius tractatus [47] frequenter sonos appellabimus, vnica sonorum appellatione contenti, vt vocabulorum multiplicitatem vitemus. Quibus veluti fundamentis breuiter iactis, eadem ratione ac via, qua in numerorum, ac proportionum tractatione processimus, etiam in sonorum, ac interuallorum illis respondentium institutione procedemus. Sed priusquam ad soni definitionem, ac diuisionem accedamus lectorem admonendum putauimus, quod, quemadmodum superiore libro numeri nomen apud Latinos ambiguum esse diximus, et nunc ad numerandi rationem, nunc ad temporum aut motuum ordinem pertinere, Graece autem illum [arithmon], hunc [rhuthmon] appellari; sic etiam soni nomen bifariam sumitur: modo enim omne illud, quod auditus sensum immutare potest, vniuersali significato complectitur, modo accipitur pro harmoniae principio, et prima eius elementa significat, ex quibus cantus, vt ex literis constat oratio. Et dictio quidem vnica est, notiones vero duae: quas nos sola definitione secernere possumus, Graeci diuersa etiam appellatione distinguunt; nam priorem illum vniuersalem [psophon], hunc vero [phthongon] appellant. Sed nos, probatissimorum autorum vestigia sequentes, vtrumque sonum appellabimus, vt, quoad fieri possit, Latinis verbis vtamur, nisi cum aliquis inciderit nodus, ad cuius extricationem etiam nominum explicatio sit necessaria.

De soni vniuersalis definitione, et diuisione.

CAPVT II

SOnus ergo vniuerse acceptus, qui a Graecis, vt diximus, [psophos] appellatur, a Ptolemaeo primo Harmonicorum libro sic definitur: Sonus est passio aeris percussi, primum, et generalissimum audibilium. terendum enim est hoc verbum, vt visibilium, et intelligibilium; quo dictionis illius, [akouson], vis Latine melius exprimatur. et quamuis ab alijs aliter definiatur, nos tamen breuitatis causa sola hac erimus definitione contenti. Et, quae de ipsius natura considerantur, Physicis relinquentes (ne Physicam potius, quam Musicam, docere velle videamur), ea solum, quae ad Harmonicam pertinent, circa illius diuisionem breuiter perstringemus. Sonus igitur, vt genus est, multas sub se continet species: nam primum diuiditur in eum sonum, qui vox est, et in eum, qui nullo modo vox appellari potest. Vox autem is sonus est, qui ab animalis ore profertur: et diuiditur in vocem humanam, et non humanam. vnde voces hominum, atque auium dicere solemus. Sed inter omnes vox humana principem locum tenet, quae ab animo ipso non sine rationis vi profecta percipitur. Quare reiectis sonis qui vocales non sunt, et vocibus auium atque aliorum animantium, quae ad harmoniam neutiquam censentur aptae (vt superiore libro monstratum est) de vocibus humanis nobis habendus est sermo, quae primo diuiduntur in vnisonas, et non vnisonas. Vnisonae sunt, quae tonum eundem, vel aequalem habent tensionem. Non vnisonae vero, quae diuersas et inaequales tensiones habent. Hae itidem ab omnibus antiquis in continuas, et discretas diuiduntur. Et voces continuae illae dicuntur, quae, licet intendi remittique sentiantur, tamen nullum habent certum, ac determinatum locum, in quo graues acutaeve consistant, vel (vt Aristides ait) quae latenter propter celeritatem intensiones, et remissiones faciunt: cuiusmodi sunt hae, quibus vtimur loquentes, aut orationem solutam legentes. Nam in ea, qua loquimur, voce non tam soni aut sonorum interualla (licet in ipsa vere sint) considerari solent, quam literae, et syllabae, et dictiones, ex quibus omnis constat oratio. Et quamuis oratio ipsa, vt Aristoteles testatur, ad quantitatem discretam pertineat, vox tamen quae profertur ab omnibus, censetur esse continua. Vnde Boetius voces continuas esse definit, quarum differentae communi fine iunguntur. Quae definitio non discrepat a definitione, quam tradit Aristoteles, continuae quantitatis. Quod autem, dum loquimur, vox attollatur, et deprimatur, satis ostendunt accentus acuti, grauisque differentiae. Nec solum in locutione, sed etiam in Musicis instrumentis accidere solet, vt siquis neruum percutiat, eumque, dum percutit, torqueat, in principio [48] pulsus grauior sit, et dum torquetur, vox illa tenuetur, continuique fiant grauis vocis sonitus, et acutae. Sed neque huiusmodi voces ad harmoniam aptae iudicantur: quoniam incertas habent intensionum, et remissionum dimensiones. Discretae vero sunt, vt Boetius ait, quarum differentiae nullo communi fine iunguntur. Quae definitio pene eadem est cum ea, quam Aristoteles de quantitate discreta tradidit. Ptolemaeus autem discretas voces esse dicit, quae manifesta habent in vtramuis partem transitionum loca, cuiusmodi voces sunt, quibus vtimur in cantu. Hanc diuisionem breuius sequens comprehendit tabula.

[Salinas, De musica, 48; text: SONVS, Vox, Non vox, Hominum, Brutorum, Vnisona, Non vnisona, Continua, Discreta] [SALMUS2 01GF]

De sonis Harmonicis, et de his, quae circa eos seorsum acceptos a Musico considerantur. CAPVT III.

DE vocibus quidem continuis, et discretis multa scripserunt consideratione digna Ptolemaeus, Bachaeus, Aristides, et Briennius, atque alij Graeci autores, quos secutus est Boetius quinto suae Musicae libro: quae nos omnia fere collegimus ijs libris, quos olim de varijs positionibus antiquorum conscripseramus. Quare nunc solum hoc ijs, quae superius dicta sunt adiungemus, voces ad canendum aptas ideo discretas existimari, quoniam certas habent, ac determinatas tum suas ipsarum, tum excessuum, quibus inuicem superantur, quantitates, quae in chordis, aut cannis per numeros, atque eorum proportiones valeant dignosci; quod in continuis nullo modo fieri potest. Possunt enim in artificialibus instrumentis voces canorae in chordis, aut cannis ad similitudinem vocum humanarum, quibus canimus, inueniri. Vnde non solum cantus hominum dicimus, sed cantus etiam tibiarum; et Horatius, Cithara canentem, dixit: et Ouidius; Pastor arundineo carmine mulcet oues. Non tamen possunt artificiales inueniri soni, qui syllabas, et dictiones, aut denique voces loquentium exprimere valeant. Quamobrem chordas etiam instrumentorum voces vocamus, quoniam ad similitudinem vocum humanarum harmonicos conficiunt modos: et praesertim cannas instrumentorum, quae organa dicuntur, quae proxime omnium ad humanam vocem accedunt. Quam credo ob causam his potissimum instrumentis sancta Romana vtitur ecclesia. Sed nos tam voces hominum, quam instrumentorum, sonos appellabimus harmonicos; quos Graeci [phthongous] vocant, ad differentiam illius vniuersalis soni, quem [psophon] diximus appellari. Est autem Sonus harmonicus, vt Ptolemaeus definit, vocis casus in vnam atque eandem tensionem cadens. et dicitur vnicam habere tensionem, vt differat a cantu aut tono, qui est locus perfecti systematis capax, in quo multae sunt tensiones, vt suo loco demonstrabitur. Et ab Aristide vox melodica, et a Boetio modulata dicitur. Quae aut consideratur in statu, aut motu. Dicitur autem vox stare, cum eodem in loco manet, neque eam grauiorem, aut acutiorem fieri sentimus. et hic vocis status appellatur tensio, quae a Graecis [tasis] dicitur, et ab eis statio, siue mansio vocis definitur, iuxta quam vox dicitur magna vel parua, aspera vel lenis, tenuis vel crassa; cuiusmodi sunt multae vocum differentiae. Si vero vox consideratur, vt mouetur a loco ad locum, hoc fit duobus modis: nam aut motus fit ab inferiori ad superius, hoc est, a graui ad acutum, et vocatur a Graecis [epistasis], a Latinis intensio; aut a superiori ad inferius, siue ab acuto in graue, et dicitur [anesis], Latine remissio. Cum autem statum, et motum dicimus, non ea esse contraria intelligimus, vt motum, et quietem: neque enim vllus sonus sine motu fieri potest, et, cum omnis vox sit sonus, status ipsius sine motu esse [49] non poterit. sed non eo de motu hic loquimur, qui ad sonum efficiendum necessarius est, qualis est vel percutientis rei ad percussam, vel percussae ad percutientem, vel vtriusque inter se concurrentium; (is enim ad Physicum potius, quam ad Musicum pertinet) sed de motu vocis a loco ad locum, tanquam a spatio ad spatium. neque de statu, qui rerum quies est, in quo nullus est motus, sine quo (vt diximus) sonus omnino esse non potest. nam si omnia sint immobilia, non poterunt inter se concurrere, vt vnum impellatur ab altero: sed eo de statu intelligi volumus, quem accipit vox, cum in vna, ac certa tensione locatur, neque in aliquam partem declinat. Quem statum Aristides motum simplicem appellat, cum duas species ait esse motus vocis, alteram motum simplicem qui tensio dicitur, alteram multiplicem, quam in duas diuidit, in remissionem, et intensionem. Ex intensione autem fit acumen, et ex remissione grauitas. Et licet videantur idem esse acumen, et intensio, tamen neutiquam idem sunt: sequeretur enim, vt Aristoxenus ait, idem esse eiusdem causam, et effectum; aut faciens et factum. quare cum intensio sit acuminis causa, illud esse non potest. sic etiam remissio grauitatis est causa, quare grauitatem eam non esse necesse est. Ex quibus constat, quinque potissimum in sono harmonico per se sumpto considerari: primum ipsius tonum, qui Latine tensio dicitur, iuxta quam vox, aut chorda in tono ad canendum apto constituitur: deinde, si mouetur a graui ad acutum, dicitur intendi; et illa actio nominatur intensio: si vero ab acuto in graue, dicitur remitti; et illa actio vocatur remissio: ex intensione autem oritur acumen, et ex remissione grauitas, quae sunt ab illis diuersa.

De interuallis in genere, quae ex sonorum permistionibus fiunt.

CAPVT IIII.

ACcidunt etiam sonis harmonicis, per se sumptis, multa alia, praeter ea, quae dicta sunt; vt numerus, ordo, nomen, et figura. Sed quoniam haec, nisi in systemate perfecto, (quod ex consonantijs, et earum partibus, quae minora sunt interualla, componitur) considerari recte non possunt; priusquam ad compositionem totius perfecti systematis accedamus, (vbi his omnibus considerandis locus aptior erit) de partibus ipsius agendum esse videtur. Veruntamen ex his, quae superius dicta sunt, satis manifestum esse arbitror, huiusmodi sonos, per se consideratos, numerorum simplicium imagines gerere: quandoquidem diuersis numeris, diuersae etiam chordarum magnitudines respondent; a quibus sonos diuersos oriri necesse est. Vnde etiam numerorum inter se comparationibus diuersis necessario respondebunt diuersae sonorum harmonicorum permistiones; quae a Musicis interualla vocantur. Et quemadmodum proportio, nisi duobus in numeris, reperiri non potest; quoniam oportet vt sit comparatum, et cui comparetur; et, quod nascitur ex duorum numerorum comparatione, vocatur proportio: sic etiam ex vno sono interuallum fieri non potest; necesse est enim duos esse sonos, vt inter eos fieri possit comparatio. Vnde interuallum a non parui nominis Musicis dicitur esse magnitudo duobus circumscripta sonis. Ab antiquis tamen omnibus definitur acuti soni, grauisque distantia. Nos autem optime id definiri putamus, si, quemadmodum proportionem esse diximus numeri ad numerum habitudinem; ita sit interuallum soni ad sonum habitudo. Sicut autem numeri, inter se comparati, aut sunt aequales, aut inaequales: ita etiam soni aut sunt Vnisoni, aut non Vnisoni. Et chordarum spatia, in quibus potissimum percipiuntur, aut sunt aequalia, aut inaequalia. Vnde sicut numerus ad numerum, sic etiam spatium ad spatium; et, iuxta illud postulatum in Musica notissimum, Quae est spatij ad spatium, eandem soni ad sonum proportionem esse necesse est. Quare ab aequalibus numeris aequalia spatia, a spatijs aequalibus aequales orientur soni. Et, quoniam inter pares firmissima dicitur esse amicitia, et inter aequales numeros maxima est concordia; etiam erit inter aequales sonos optima vnio, atque perfectissima; quae Graece [homophonia], Latine Vnisonantia dici potest. Et quamuis haec interuallum, iuxta definitionem [50] antiquorum, nec esse, nec dici valeat; quia non est soni grauis, et acuti distantia: est tamen omnium consonantiarum, et interuallorum principium, et origo; vt aequalitas inaequalitatis. Et quemadmodum in proportionibus numerorum ea censetur esse pulchrior, atque nobilior, in qua numeri maioris ad minorem excessus est minori similior: ita erit etiam in sonorum interuallis; nam quo melior, aut pulchrior est proportio inter chordarum spatia, a quibus oriuntur soni, eo concinnius erit interuallum, quod ex eorum permistione nascetur. Quamobrem ex similitudine consonantias, ex dissimilitudine dissonantias prouenire necesse est; quae sub interualli nomine comprehenduntur, vt species sub genere. Nos autem prius de similibus interuallis, hoc est, de consonantijs, quam de dissimilibus, hoc est, de dissonantijs, agendum esse censemus; tum, vt ab aequalitate ad inaequalitatem procedamus, quia prior est illa, atque praestantior; tum etiam, vt ab his, quae melius, ac facilius sensu percipiuntur, ad ea, quae non ita facile percipi possunt, fiat progressus; quandoquidem consonantiae multo facilius sensu percipiuntur, quam reliqua interualla minora: quia melius commensuratae sunt; et, vt Ptolemaeus ait, [ta summetrotera, kai ensulleptotera], id est, quo quaeque commensuratiora, eo sunt perceptibiliora.

De Interuallorum differentijs.

CAPVT V.

ET quoniam in vera, ac perfecta consonantiarum, et interuallorum minorum cognitione, totius rei Musicae cardo versatur; antequam de his agere singulatim incipiamus, de interuallorum differentijs pauca videntur esse dicenda. Constat autem ex his, quae iam saepe dicta sunt, a diuersis corporis sonori spatijs ipsam diuersitatem sonorum necessario prouenire; et maius spatium grauiorem, minus autem acutiorem sonum reddere. Quocirca vt ipsa res non solum auribus, sed oculis etiam subijci possit; in spatijs chordarum, aut alterius corporis sonori, sonos harmonicos considerabimus, et ex eorum dimensionibus interualla constituemus. Sit ergo interuallum, duorum spatiorum, vnius ad alterum, habitudo: et quoniam aequalium sonorum habitudinem aequalibus in spatijs, et in proportione aequalitatis constitutam esse diximus; inaequalia spatia, in quibus inaequales sonos necesse est inueniri, ad proportionem inaequalitatis erunt referenda; et in his, quae ex illis constant, interuallis, quinque genera proportionum tam maioris, quam minoris inaequalitatis inuenientur. Quamquam Porphyrius, super Harmonica Ptolemaei, testatur fuisse nonnullos ex antiquis, vt Eratosthenem, asserentes, proportionem et interuallum differre, eo quod idem interuallum ex diuerso proportionum genere nascatur. nam a 6. ad 4. est sesquialtera, a 4. ad 6. subsesquialtera, quae genere differunt, siquidem haec minoris, illa maioris est aequalitatis, et ab vtraque nascitur idem interuallum Diapente. Sed nos etiam duo illa Diapente inter se differre dicimus: quandoquidem alterum est intensum, alterum remissum, quorum hoc a Practicis Subdiapente, illud Epidiapente solet appellari. Quare patet in interuallis genera proportionum non tantum maioris inaequalitatis, sed et minoris considerari. Et maioris quidem inaequalitatis Multiplex interuallum illud erit, in quo maius spatium minus continebit pluries: si bis, duplum; si ter, triplum; et sic deinceps. Superparticulare vero interuallum erit, in quo maius spatium continebit minus semel, et partem eius aliquam. Superpartiens autem, in quo maius spatium semel minus continebit, et partes eius aliquas, quae non faciant vnam. et ad hunc modum reperientur in interuallis tum reliqua duo maioris, tum omnia minoris inaequalitatis genera, et omnes eorundem species; spatia spatijs, vt numeros numeris, comparando. Nam permistiones sonorum aliquando fiunt ex vocibus vnisonis, aliquando ex non vnisonis. Sed in his, quae fiunt ex vnisonis, nullum reperitur interuallum, (quia nullam inter se habent distantiam; vnde a Graecis [adiastetoi] vocantur) sunt tamen interuallorum principia: ex non vnisonis vero omnia [51] nascuntur interualla. Sed in omnibus his generibus, omnia, quae inueniuntur, interualla, primum in duplici consistunt differentia: quaedam enim sunt concinna, quaedam inconcinna. Et concinna quidem dicuntur ea, quae sunt ad harmoniam apta, et Graece vocantur [emmele]: et haec considerat harmonicas principaliter, et per se. Inconcinna autem, quae sunt ad harmoniam inepta, et Graece dicuntur [ekmele]: et haec considerat ex accidenti; et concinna quidem, vt illis vtatur, inconcinna vero, vt reijciat. Rursum concinna etiam sunt duplicia: quaedam enim sunt consona, quaedam dissona. Consona sunt, in quibus duae chordae, simul percussae, suauem efficiunt auribus concentum; cuiusmodi sunt omnes consonantiae. Dissona vero, in quibus duarum chordarum simul facta percussio insuauem efficit auribus concentum; vt sunt tonus, et semitonium, quae licet non sint consonantiae, sunt tamen excessus consonantiarum, et tanquam gradus, per quos ascenditur, et descenditur in cantu. Possunt et consona bifariam considerari, vt alia sint AEquisona, alia generali nomine Consona. AEquisona dicuntur, quorum chordae simul pulsae vnum ex duobus atque simplicem quodammodo efficiunt sonum, vt Diapason, et Disdiapason. Consona autem, quae compositum, permixtumque, suauem tamen efficiunt sonum, vt Diapente, ac Diatessaron, et quae ex his componuntur, vt Diapason ac Diatessaron, et Diapason ac Diapente. Hanc interuallorum diuisionem breuius subiecta monstrat descriptio:

[Salinas, De musica, 51; text: INTERVALLA, Concinna, Inconcinna, Dissona, AEquisona. Consona.] [SALMUS2 01GF]

Et quoniam (vt Ptolemaeus ait primo Harmonicorum, capitulo secundo) Harmonici propositum esse debet, vbique conseruare rationales canonis positiones, ita vt nullo pacto sensibus repugnent, iuxta id quod plurimis apparet ad sensum; vt Astronomi conseruare coelestium motuum positiones, consonas obseruatis reuolutionibus, et has quoque sumptas ab euidenter, et in vniuersum magis apparentibus, ita vt nihil rationi, sensuique possit esse contrarium: hac in singularum consonantiarum, et interuallorum minorum inuestigatione methodo vtemur, vt primum, quid in ijs sensus apprehendat, inquiramus; deinde mox ratione, idem quoque in numeris ita se habere, demonstremus.

De prima, earum quas sensus apprehendit, sonorum permistione, quae Latine Vnisonantia dici potest. CAPVT VI.

PRima igitur sonorum permistio inter eas, quas sensus apprehendit, est illa, quae prouenit ab aequalibus sonis, hoc est, eiusdem tensionis, aut toni: quae Latine dici potest Vnisonantia, Graece vero vocatur [homophonia]; quoniam etiamsi multi in ea soni percipiantur, omnes tamen vnum atque idem personare censentur. Quod autem haec sit omnium, quas sensus apprehendit ex sonorum permistionibus, cognitu facilima, id manifesto potest esse argumento; quod, cum duo, aut plures simul canere volunt, Vnisonantiam potius, quam aliam Consonantiam, modulari deprehenduntur. quia multo facilius sit, eandem, aut aequalem, quam diuersam, et inaequalem vocem personare. Quare omnes, etiamsi canendi sint prorsus ignari, (nisi communi sensu plane careant) hanc potius, quam Diapente, aut Diatessaron, modulantur. neque enim has modulari norunt, nisi qui optimo, et ad Musicam apto praediti sunt ingenio; aut in canendi arte aliquandiu exercitati: Hanc igitur Vnisonantiam omnes rustici conficere norunt; hac omnes vtuntur pueri, et puellae in choreis; et Clerici, aut Monachi in choris, cum Deo laudes cantu simplici reddunt: denique nemo est ita prorsus a Musis alienus, qui hanc sensu non apprehendat, atque aliorum voces Vnisone canentium nesciat imitari. Cuius tanta est vis propter summam [52] aequalitatem, vt in duobus Musicis instrumentis, ad eam exactissime temperatis, percussa vnius chorda, alterius, quae illi Vnisona est, statim moueatur, et consonet; et propter eam, quam Graeci sympathiam vocant, quodammodo compatiatur. Quod inter Graecos Aristides, et Briennius affirmant; et ex sanctis Ecclesiae doctoribus Dominus Gregorius in libris super Iob editis. Et quoniam vnica est in suo genere, et nullas habet sub se species, non habebit nomen aliud, nisi generis. Nec dici potest consonantia, vt Practici Musici arbitrantur, qui eam primam omnium consonantiarum esse dicunt. Et hoc primum ex Aristotelis constat testimonio multis in locis, praesertim Politicorum secundi capite tertio, vbi, velle in Republica res omnibus esse communes, et inter omnes aequales; idem esse ait, ac siquis Consonantiam Vnisonantiam facere velit. quibus ex verbis satis manifestum est, Aristotelem eam a Consonantia diuersam iudicasse. Et hoc etiam ratione confirmari potest, quoniam sonus in Musica sic se habet, vt punctus in Geometria. et quemadmodum plura puncta nihilo magis lineam faciunt, quam vnum: sic etiam soni plures Vnisoni nihilo plus faciunt consonantiae aut interualli, quam vnus. sed vt plures numeri aequales, siue binarij, siue ternarij, aut quicunque sint alij, semper eandem faciunt aequalitatis proportionem; ad eundem modum duo, aut plures soni Vnisoni, siue graues, siue acuti, semper eandem faciunt Vnisonantiam. Quod si quis dicat, voces Vnisonas, aut consonare, aut dissonare; sed neminem sanae mentis dicere eas dissonare; quare necessario consonare: nos eas nec consonare, nec dissonare dicimus, sed, vt sic loquamur, Vnisonare; et Vnisonantiam non esse consonantiam, sed supra omnem consonantiam; et tanto esse praestantiorem consonantijs omnibus, atque illis natura priorem, quanto aequalitas est omni inaequalitate prior, atque praestantior; et ab ea omnes consonantias, atque interualla procedere, sicut, ab aequalitatis proportione omnia genera atque omnes proportionum species procedere, libro superiore monstratum est. Quamobrem, cum proportio, prima sui diuisione, in proportionem aequalitatis, et inaequalitatis diuidatur; Vnisonantiae merito aequalitatis proportio respondet. quia naturaliter, sicut ea, indiuisa est, et [monoeides] in suo genere: et comparatum, et id, cui comparatur, eodem nomine nuncupantur: et aequa proportio, quae illi respondet in numeris, sola inter duas vnitates reperitur, quae simul sumptae faciunt binarium, minimum omnium numerorum; quod in nulla alia proportione potest inuenire.

Et quamuis Vnisonantia non modo non sit consonantia, sed tantum absit ab ea, vt diuersorum etiam generum sint, quemadmodum aequalitatis, et inaequalitatis proportiones; vt neque inter se comparari, et neutra possit de altera praedicari; quia tamen in omnibus consonantijs inuenitur aliquid illius, quae summa est in ea, vel similitudinis, vel aequalitatis, (licet inaequaliter a singulis participetur) nos eam inter consonantias, sicut vnitatem inter numeros, vt earum principium, et originem, annumerabimus; et demonstrabimus tanto plus vnamquamque consonantiam pulchritudinis et perfectionis habere, quanto magis ad Vnisonantiam accesserit; neque omnes ab ea immediate procedere, sed quemadmodum, ab aequis primum duplas, et ab his triplas, et a multiplicibus superparticulares oriri, superius ostensum est; sic etiam ab Vnisonantia primum aequisonantiam Diapason, et ab ea reliquas consonantias suo consequenter ordine prouenire.

De Diapason prima consonantia, quae a Ptolemaeo AEquisonantia vocatur.

CAPVT VII.

VNisonantiae autem proxima est similitudine, et perfectione Diapason consonantia: et vsque adeo ad illam accedit, vt pene eadem esse censeatur. Vnde Ptolemaeus libro primo capitulo septimo. Diapason appellauit AEquisonantiam: (vt interpretatur Boetius Musicae suae libro quinto capitulis decimo et undecimo) quod in ea soni quamuis quantitate different, tamen idem essent virtute. Hanc etiam facile sensus apprehendit. Nemo enim est, qui vnisonantiam modulari [53] norit, quin etiam illico Diapason moduletur, putans nonnunquam se vnisonantiam conficere. vt pueris solet accidere, qui, dum iubentur a praeceptoribus eandem cum eis formare vocem, statim Diapason modulantur, eandem se vocem reddere credentes. Et in choris pueri cum viris, quoniam eandem vocem reddere non possunt, in Diapason acutiorem personant. Quod videntur innuere sacrae paginae, cum in templo Psalmos per octauas cantari commemorant. Et Aristoteles in Problemata sectione undevicesimo quaestione 39. ex pueris atque viris antiphonos ait consistere: quoniam ita eos inter se tonis distare dicit, vt Neten, et Hypaten; sic enim vocat ipse acutissimam, et grauissimam ex chordis Diapason, quod in capite quarto libri sequentis manifestius apparebit. Sed sciendum est, tam in hoc loco apud Aristotelem per Gazam, quam in praedicto loco apud Ptolemaeum per Boetium [homophonian] Latine verti aequisonantiam; vtrumque vero in diuersa significatione: quandoquidem ijsdem vocabulis Ptolemaeus, et Boetius Diapason, et Disdiapason; Aristoteles vero et Gaza eam significant, quam nos Boetium imitantes Vnisonantiam appellauimus. hanc vero et Graece ante Ptolemaeum tam [homophonian], quam [isotonian] esse vocatam, testatur eiusdem commentator Porphyrius. quas autem voces nos cum Boetio aequisonas vocauimus, et Gaza obsonas, eas Graece Aristoteles (vt diximus) [antiphonous], nominat, quod et Briennius, Ptolemaeo recentior autor, secutus est. vbi illud, [anti], non contrarietatem, sed potius aequalitatem significat. In qua significatione apud Homerum Vlysses [antitheos] appellatur, hoc est, Deo aequalis, planeque diuinus. Vnde etiam [antiphona] in canticis Ecclesiasticis dicuntur: quoniam in festis solemnibus ante Psalmos ea graui tono cantari mos est; et post Psalmos acuto per Diapason a graui distante; vt in Ecclesia Toletana, et Seguntina more Romano fieri consueuit. In hac etiam consonantia asserit Briennius accidere, quod diximus in vnisonantia, vt in duobus Musicis instrumentis duarum chordarum ad Diapason temperatarum altera percussa, statim moueatur et altera. Haec autem consonantia respondet Duplae proportioni, quae omnium proportionum in aequalitatis est prima, et proxima aequalitati, sicut Diapason vnisonantiae. Est etiam Diapason omnium consonantiarum pulcherrima, quia, vt Aristoteles ait eiusdem sectionis problemate 35, eius proportio constat ex integris terminis, caeterarum vero consonantiarum ex non integris. quod de proportionibus simplicibus (quas diximus inter numeros sola vnitate distantes esse constitutas) intelligi debet. Quid sit autem ex integris terminis constare, ipse explicat, illud inquiens esse, cum maior numerus minorem integrum pluries continet; quod proprium est multiplicium. Sesquialteram autem ex non integris constare dicit, quia maior numerus ipsius non continet pluries minorem integrum, sed semel, et dimidiam eius partem. Itaque pulcherrimam ait esse, quia in prima multiplicium proportione consistit, quae generis eius est nobilissima. Ptolemaeus autem libro primo capitulis quinto et septimo asserit eam consonantiarum esse optimam, quia eius proportio proxime ad aequalitatem accedit, et licet in ea numeri non sint aequales, excessus tamen aequalis est ei quod exceditur, hoc est, numero minori: vt in binario ad vnitatem collato, subtracto minori a maiori, remanet excessus minori aequalis. quod in nulla alia inaequalitatis proportione potest contingere. quare deprehenditur esse omnium nobilissima. Et quemadmodum dupla proportio est maxima omnium simplicium, hoc est, inter numeros vnitate distantes constitutarum, vsque adeo, vt duae, quae illam immediate sequuntur, sesquialtera, et sesquitertia, ex simplicibus illam tantum aequare reperiantur neque aliae duae simplices id facere possint: sic etiam Diapason est omnium simplicium consonantiarum capacissima, et in Musica consideratur vt totum in partes diuisibile: quoniam intra se continet virtute omnes sonos, et omnes consonantias, atque omnia interualla, quae in harmoniae instrumentalis compositione possunt reperiri. Nam soni aut interualla, quae extra Diapason reperiuntur, potius dicenda sunt repetita, quam noua. vt ex numeris vsuuenit in Denario, infra quem omnes numeri sunt inter se diuersi, et vltra eum potius sunt repetiti, quam noui; vt vndenarius ex vno, et decem; duodenarius ex duobus, [54] et decem; et sic reliqui vsque ad vicenarium, qui est secundus denarius, a quo rursus repetuntur vnitas, binarius, et coeteri, qui sunt infra decem. quod enim ars numerandi in Denario, id harmoniae natura terminauit in Diapason. Quo circa, quamuis octo constet sonis, non tamen appellata est diaocto (hoc est) per octo, vt Diapente per quinque, et Diatessaron per quatuor; sed Diapason, hoc est, per omnes, aut ex omnibus (vt Martianus Capella eam vocat) scilicet vocibus: quoniam (vt diximus) omnes intra se continet voces. Et haec ratio, quam Ptolemaeus affert Harmonicorum tertio capitulo primo, videtur multo vero similior illa, quam tradit Aristoteles undevicesimae sectionis problemate 32, quod Priscis non pluribus vti neruis, quam septem, mos fuerit: deinde Terpander tertia exempta, Neten adiunxerit, ac eius temporibus haec consonantia sit appellata [diapason], et non [di okto]: quippe quae septem, non octo constaret sonis. Quod ego, quonam pacto Terpander fecerit, vix possum intelligere; qui teriam exemerit, vt octauam adiungeret: quandoquidem, si, quia septem constabat sonis, non appellata est [di okto], potuit [di hepta], hoc est, per septem appellari. Sunt igitur intra Diapason omnes soni diuersi, praeter grauissimum, et acutissimum, qui sunt aequiualentes: cuius aequiualentiae potissimam causam idem Aristoteles (eiusdem sectionis problemate 14.) asserit esse, quod in proportione numerus maior constat ex minore bis sumpto, hoc est, ex duobus minoribus aequis: vt in proportione, quae est a quaternario ad binarium, quaternarius constat ex duobus binarijs; quod non accidit in proportione Diapente, quae est sesquialtera a 3. ad 2. nam ternarius non constat ex duobus binarijs, sed ex binario, et eius dimidio: et ex modo proportionis in sonis Diapason, ait aequalitatem, quae ad vnum refertur, euenire.

De duabus consonatijs Diapente, et Diatessaron.

CAPVT VIII.

POst Diapason statim apprehendit sensus duas consonantias, quae illam proxime diuidunt. Omnes enim, qui optimo, et ad Musicam apto praediti sunt ingenio, etiamsi arte canere non didicerint, ab ipsa natura post Diapason, Diapente modulari docentur. vt Lusitani, et Neapolitani tam viri, quam foeminae, et rustici, et vrbani. Et modulata Diapente, facile est Diatessaron modulari, vt quae ad complendam Diapason desideratur.

Et Diapason quidem, cum sit totum, vt diximus, non potest alias diuidere consonatias, nec componere. Quamuis enim Disdiapason ex duabus Diapason constare atque componi videatur, illa tamen potius iteratio, quam compositio censenda est. Sed quamquam non diuidit, diuiditur primum in Diapente, et Diatessaron: quae non sunt aequalis magnitudinis, sed altera maior, altera minor. quemadmodum eius proportio (quam duplam esse diximus) diuiditur primum in sesquialteram, et sesquitertiam, quae illam immediate sequuntur. Nam post duplam, quae est a 2. ad 1, statim sequitur sesquialtera, quae est a 3. ad 2: et post hanc sesquitertia a 4. ad 3, in quibus prima dupla quae diuidi potest, quae est a 4. ad 2, inuenitur diuisa, vt in hac naturali numerorum serie ostenditur:

[Salinas, De musica, 54; text: Dupla diuisa. 1. 2. 3. 4. Naturalis numerorum series. Dupla, Sesquialtera, Sesquitertia, Ordo proportionum. Diapason, Diapente, Diatessaron, Consonantiae a proportionibus ortae. Diapason diuisa] [SALMUS2 01GF]

Maior ergo proportio, quae est sesquialtera, constituit Diapente maiorem consonantiam, et minor sesquitertia Diatessaron minorem consonantiam. Et sicut dupla in numeris non potest in duas aequas proportiones partiri, quoniam id repugnat illi, et omnibus [55] super particularibus propter vnitatem, quae naturaliter indiuisibilis est: sic etiam harmoniae natura non patitur, vt Diapason, aut alia simplex consonantia, siue interuallum in duas proportiones aequales diuidatur. Nam quamuis Geometrice in proportiones irrationales id fieri possit, ex ea diuisione nullum prouenit harmonicum interuallum: et tametsi non in duo aequalia diuidi possit; diuiditur tamen ei, quae in duo aequa fieri potest, proxima diuisione. Et quemadmodum sesquialtera post duplam est nobilissima omnium proportionum simplicium, et proxime accedit ad duplam: sic Diapente est pulcherrima, et perfectissima omnium consonantiarum simplicium post Diapason. Quod autem sesquialtera post duplam sit maximae perfectionis, hinc manifestum esse potest, quod licet in ea numeri non sint aequales, vt in aequa proportione, nec excessus sit aequalis ei, quod exceditur, vt in dupla; est tamen aequalis eius dimidio, quod est maxima pars totius, et post ipsum totum optima. Et sesquitertia est post sesquialteram reliquis nobilior, quoniam in ea maior numerus excedit minorem eius tertia parte, quae post dimidiam reliquis partibus maior est. Quare merito Diatessaron in ea constituta reperitur, quae post Diapente maior est, et cum eadem Diapason constituit, vt sesquitertia cum sesquialtera Duplam.

Quod Diatessaron praeter rationem a Musicis Practicis inter dissonantias collocetur. CAPVT IX.

QVamuis multa dixisse videamur circa Diapente, et Diatessaron consonantiarum naturam, superest tamen, antequam ab earum tractatione discedamus, vt ostendamus Diatessaron praeter rationem a Practicis maximi nominis Musicis inter dissonantias collocari. quod tribus ostendemus modis; primum sapientissimorum hominum, et de Musica benemeritorum testimonijs; deinde ratione ipsa, que, vt diuus ait Augustinus, omni homine melior est; postremo optimorum Symphonetarum exemplis. Et ante omnes inter philosophos antiquos Ptolemaeus vocat eam consonatiam multis in locis, et praecipue Harmonicorum primo capitulo quinto: et Boetius primi de Musica capitulo septimo, et quinti capitulo undecimo: et Dion historicus libro 37. appellat eam harmoniam ex antiquorum autoritate: et Euclides in suae Isagoges initio: et Gaudentius Introductorij sui capitulo septimo: Macrobius libro secundo capitulo primo super somnium Scipionis annumerat eam inter consonantias: et Vitruuius libro quinto de Architectura capitulo quarto: et Censorinus in eo opusculo, quod ad Q. Cerelium scripsit. Nemo denique est antiquorum philosophorum, qui non eam consonantiam esse dixerit. Sed vnus instar omnium esse potest Aristoteles, qui saepe in Problematum sectione undevicesima nominat eam consonantiam, et multa circa eam scitu digna considerat; sed maxime in secundo Posteriorum capitulo primo, vbi ideo consonantiam esse dicit, quia rationem habet in numeris secundum acutum, et graue. Et quamquam haec vna ratio satis esse poterat, ad demonstrandum, eam esse consonantiam; nos tamen aliam adferemus, quam etia Practici possint intelligere; qui negare non possunt, ea nos in finibus cantilenaru vti, in quibus maxima desideratur perfectio: quod neutiquam faceremus, si foret dissonantia. Quod si dixerint, eam, nisi a Diapente, aut alia consonantia in graui fulciatur, seorsum, et per se poni non posse; id non satis est ad hoc, vt sit dissonantia. Illud enim interuallum, quod cum alijs consonare percipitur, sumptum per se, non potest non esse consonum: sed Diatessaron, cum Diapente in graue coniuncta, suauissimum reddit concentum: non poterit ergo per se posita dissona iudicari: Consequentia probatur; nam Tonus, Heptachordum, atque aliae dissonantiae nunquam in compositione cum alijs consonare deprehenduntur. Nec desunt ad hoc confirmandum exempla: nam in multis Musicis instrumentis (vt in Psalterio) in graui sub Diapente posita solet audiri: et in his, quae ab Halieutica forma nomen habent, et Leuta, aut Violae vulgo vocantur, in quibus omnes fere chordae inter se ad Diatessaron temperatae reperiuntur; et nemo sanae mentis eam, quae dicitur prima, non dixerit [56] cum secunda suauem reddere concentum, et secundam cum tertia; quod de prima cum tertia dicere non poterit, quae ad Heptachordum temperatae sunt: nam prima, et secunda cum sexta suauissime consonant, et prima, et tertia cum sexta vehementissime dissonant. Graecos quoque in canticis Ecclesiasticis (dum essem Neapoli) saepe audiui, ea ad grauiores concentus vtentes, et mirabiliter audiendo delectabar. Postremo Iodocus Pratensis, inter Symphonetas sui temporis facile princeps, Diatessaron vsus est in principio cantilenae duarum vocum, ea in Missa, quam super L'homme arme sexti toni composuit, in ea parte, quae incipit Resurrexit; quod non vtique fecisset, si dissonantiam esse iudicasset. Quamobrem sicut decipiuntur, vnisonantiam inter consonantias collocantes; cum neque sit, neque possit esse consonantia: sic etiam falluntur, Diatessaron a consonantiarum numero, atque ordine segregantes; cum nullo modo possit esse dissonantia. Quod si ea non ita frequenter in cantu sola vtimur, vt Diapente, hoc ideo fit, quia omnis consonantia perfecta diuiditur harmonice in duas inaequalis perfectionis; atque ita Diapason reperitur diuisa in Diapente, et Diatessaron, alteram valde perfectam, et alteram valde imperfectam; quae se habent sicut vitis et vlmus, aut vir et vxor. quemadmodum enim vitis amat vlmo sociari, et vxor viro, neque ab eis separatae possunt apte subsistere: ita Diatessaron coniungi Diapente desiderat, et, ab ea separata, difficile atque aegre se potest sustentare. Poscit autem in ea coniunctione Diatessaron locum potius superiorem, quam inferiorem; vt fortiori innixa basi Harmonicam efficiat proportionalitatem, quae Arithmetica suauior est, vt suo loco dicetur.

Quod vsque ad Diatessaron consonantiam recte philosophati sint Pythagoraei; et de minoribus ea consonantijs, atque interuallis non recte iudicauerint. CAPVT X.

IN sumendis quidem, ac considerandis consonantijs ad hunc modum, vsque ad Diatessaron omnes antiqui, nullo prorsus discrepante, conueniunt, et huc vsque eos recte, atque sine vllo errore processisse, fateamur necesse est. Cuius veritatis inueniendae viam rectissimam fuisse crediderim, quod aurium sensum consulentes, ab ipso, quod vero proximum erat, acceperunt: deinde ratione illud examinantes, veritatis ipsius integritatem assecuti sunt. Quod absque dubio significare velle videntur hi mallei, quos Pythagoras apud fabrum ferrarium dicitur audiuisse, in his quantitatibus constitutos, vt maximus duodecim esset librarum, proximus illi nouem, tertius octo, minimus vero sex. Ex quibus maximus, et minimus Diapason consonantiam conficiebant; secundus (quem maximo proximum posuimus) cum minimo Diapente, maximus cum secundo Diatessaron consonabant; tertius cum minimo Diatessaron, maximus cum tertio Diapente concinebat. Quod cum per aurium sensum cognouisset, et postea ratione ipsa ponderum inter se proportiones examinasset, inuenit absque vlla dubitatione Diapason in dupla proportione consistere, Diapente in sesquialtera, et Diatessaron in sesquitertia constitutas esse, et harum excessum (quem Tonum appellauit) in proportione sesquioctaua, vt sequens declarat figura:

[Salinas, De musica, 56; text: DVPLA Diapason. SESQVIALTERA Diapente. SESQVITERTIA Diatessaron. SESQVIOCTAVA Tonus, 12. 9. 8. 6.] [SALMUS2 01GF]

[57] In quo falli neutiquam potuit; quia sensus, et rationis adhibuit iudicium. Quod non vtique fecisse videtur in constituendis minoribus interuallis, sed adhibito tantum rationis iudicio, neque aurium sensu super ea re consulto, omnia, praeter tonum, multum diuersa ab eo, quod plurimis ad sensum euidenter apparet, instituit, vsque adeo, vt nullum inter ea, praeter tonum, interuallum ad harmoniam aptum inueniatur: Cuiusmodi errores Ptolemaeus primi Harmonicorum capitulo septimo non rationis defectui, sed ratiocinanti asserit imputandos, qui ratione praeter rationem vsus fuerit. Porro in constituendis interuallis hanc eum Analogiam, et similitudinem secutum fuisse arbitror, quod post primam Diapason diuisionem in duas consonantias Diapente, et Diatessaron, intellexerat illam etiam in tria interualla, ex quibus duo essent Diatessaron, et tertium tonus, commodissime posse partiri. eamque optimam partitionem arbitratus est: quoniam videbat etiam duplam in sesquitertias, et sesquioctauam optime diuidi posse. Et forsan animaduertit in Musicis quoque instrumentis ita Diapason inueniri diuisam. Ad cuius similitudinem etiam Diatessaron in duos tonos, atque in id, quod deest ad complendam Diatessaron, diuisit: quia tonus sic est excessus Diapente ad Diatessaron, vt Diatessaron est excessus Diapason ad Diapente. Et quemadmodum diuiserat Diapason in duo Diatessaron, atque id quod deerat ad complendam Diapason, quod est interuallum toni; ita commode Diatessaron arbitratus est diuidi in duos tonos continuatim, et id quod deerat ad complendam Diatessaron, quod semitonium appellauit, aut limma, hoc est, residuum Ditoni ad Diatessaron. Et hoc est illud semitonium, quod Ptolemaeus vocat acceptum, et notissimum: cuius mentionem facit Plato in Timaeo, eandem analogiam secutus, cum duplas sesquitertijs, et sesquioctaua; et sesquitertias omnes sesquioctauis explendas esse dicit, et ea portione, quae est a 256. ad 243, quam proportionem appellare non audet, credo quod superparticularis non sit, et a Graecis, vt a Bachaeo et Briennio, irrationalis esse dicitur, et censetur. Praeterea et Cicero eiusdem semitonij meminit in libro de Vniuersitate, et Boetius in omnibus diuisionibus: et nemo denique antiquorum est, cui id notum non fuerit, propterea quod omnes Philosophi Pythagoricas Musicae traditiones amplexi sunt. Ad cuius etiam diuisionis similitudinem diuisit tonum in duo semitonia minora, siue limmata, atque in id, quod ad complendum tonum deerat, quod appellauit Comma. Et hoc etiam Comma omnibus antiquis notissimum est: quoniam excessus erat, vel apotomes ad limma, vel toni ad duo limmata. quare necesse erat, limma semitonium esse minus, et non maius. Vnde, qui hanc disciplinam secuti sunt, semitonium, quo in cantu, aut in Musicis instrumentis vtimur ad Diatessaron post duos tonos complendam, minus esse, et non maius, opinati sunt. sed nos, illud maiusne an minus sit, suo loco examinabimus. Sequitur nunc breuis huius triplicis Pythagoricae Diuisionis descriptio.

[Salinas, De musica, 57; text: DIAPASON, DIATESSARON, TONVS, Diatessaron, Tonus, Limma, Comma, Hae tres Diuisiones in numeris sic habent. Prima Diuisio. Secunda Diuisio. Tertia Diuisio. 9. 12. 16. 18. 192. 216. 243. 256. 472392. 497664. 524288. 531441] [SALMUS2 02GF]

Nunc ostendendum est, quantum in hac similitudine, siue (vt Briennius appellat) Analogia [58] deceptus fuerit Pythagoras. Quod vt melius intelligatur, scire oportet, ex nullo interuallo duplato consonum prouenire, nisi ex Diapason: quod Ptolemaeus optime probat, et Aristoteles multis in locis ostendit. Vnde quamuis Diapente sit consonum, Disdiapente dissonum inuenitur. Sed haec est differentia inter duplationem interualli consoni, et dissoni, quod licet ex duplatione consoni non proueniat consonu, prouenit tamen concinnum. nam ex duplatione Diapente consurgit Disdiapente, quod est Diapason cum tono, quod in harmonia dissonum est interuallum, sed tamen concinnum: Sed ex duplatione dissoni non solum consurgit dissonum, sed inconcinnum. quod in duplatione ipsius toni experiri licet, ex qua prouenit Ditonum, quod Ptolemaeus Harmonicorum primo capitulo decimo, [ekmeles], hoc est, inconcinnum appellat, et a cantu abhorrere dicit, quia consistit in ea proportione, quae est ab 81. ad 64: tonum autem vocat [emmele], id est, concinnum, qui in sesquioctaua ratione positus est. Ex quibus manifestum est, cum ex duplici Diatessaron concinnum interuallum componatur, quod a practicis Heptachordum minus vocatur, id quoque, quo hoc deficit a Diapason, concinnum esse debere: similiter cum ex duplatione Toni inconcinnum proueniat, id quoque, quo Ditonum illud deficit a Diatessaron, inconcinnum esse. Quod etiam affirmat Ptolemaeus, asserens non solum Ditonum, sed et Semitonium inconcinnum esse, et a cantu alienissimum. Quo circa haec duo interualla, vtpote ad harmoniam inepta, non sunt ab Harmonico consideranda, vt illis vtatur, sed vt ea reijciat. Quod si ex duplatione dissoni prouenit inconcinnum, ex duplatione inconcinni multo inconcinnius interuallum conflari necesse est: quale est, quod ex duplatione semitonij minoris constituitur; et illud, quo duo illa semitonia minora seu limmata a Tono deficiunt, quod Comma diximus appellari. Quorum nimia inconcinnitas in ipsis quoque numerorum proportionibus ostenditur manifeste, quae ineptissimae prorsus esse deprehenduntur. Quocirca male ratiocinatus est Pythagoras, et qui eum secuti sunt, in constituendis minoribus Diatessaron interuallis. Rationi enim consentaneum est, vt dupla potius in duas, quam in tres proportiones, prima sui diuisione diuidatur, atque eas esse debere sesquialteram et sesquitertiam, in quas solas primum diuisa in minimis numeris inuenitur, qui sunt 2. et 4: et post eam non sesquitertiam, sed sesquialteram, quae immediate sequitur, eodem modo diuidendam esse; vt in sequenti capite apparebit, vbi, quo pacto reliquae consonantiae constitui debeant, iuxta id quod euidenter apparet ad sensum, atque ipsa numerorum harmonicorum natura postulat, ostendemus.

De Ditono, et Semiditono vltimis consonatijs.

CAPVT XI.

COnfutata ergo falsa Pythagoraeorum rationcinatione circa interuallorum Diatessaron minorum constitutionem; inuenienda nobis est via, qua naturalius, et verius procedere possimus, et ostendamus, ea, quae semper vno modo se habere sensus ab euidenti experientia cognoscit, non temere aut casu, sed ab ordinata causa maxima cum ratione prouenire. Cum igitur aurium sensus inter magnas rerum differentias optimus iudex esse possit, facile consonantias, quae maxime distant a dissonantijs, discernit: et quod ille consonum iudicabit in sonis, id a ratione proportionabile reperietur in numeris. Quare si bene aures consulemus, inueniemus eas post Diapente, et Diatessaron statim apprehendere duas alias consonantias Ditonum, et Semiditonum, quas Practici Tertiam maiorem, et minorem vocant. Cum autem Ditonum dicimus, non illud intelligimus interuallum, quod ex duobus tonis in duabus sesquioctauis positis conflatur: illud enim inconcinnum esse ratione ipsa, et testimonio Ptolemaei, ostendimus in capite praecedenti: id autem, quod inconcinnum est, nullo pacto consonum esse potest, vt paulo superius ostensum est, sed tamen omne consonum concinnum esse necesse est, vnde si Ditonum consonum [59] est, vt apparet ad sensum, nullo modo poterit esse inconcinnum. Quod autem appareat ad sensum, illud esse consonum; maximo est argumento, quod omnes Practici Tertiam maiorem, et minorem inter consonantias annumerant; et omnes, tam natura, quam arte canentes, illis pro consonantijs vtuntur. quare omnino concinnas eas esse necesse est. Quod autem sint consonantiae, sic probari potest; quoniam in finibus cantilenarum, in quibus in consonantias, et non in dissonantias desinere oportet, omnes, tam in cantu, quam in Musicis instrumentis, in eas desinere consueuerunt: quod non vtique facerent, si dissonantiae forent. Atque ex antiquis Ptolemaeus quamuis id affirmare non ausit, quia nimis Pythagoricus nonnunquam est, tamen admodum dubitare videtur primo suorum Harmonicorum, capitulo sexto nam cum, alijs Pythagoraeorum erroribus notatis, eos consonantias in tribus primis multiplicibus, et duabus primis superparticularibus constituisse dixisset: Nec vero, inquit, leuem dubitationem affert, quod solis his consonantias adaptant, alijs non item, sesquiquartis, inquam, et quincuplis. atque etiam eiusdem libri capite septimo. His consonantibus, inquit, virtute succedunt canorae, nimirum tonus, et quae componunt consonantiarum minimam. quare his accommodantur, quae sesquitertiam superparticulares sequuntur, suntque inter has, quae diuisiones bifariam proxime faciunt, magis idoneae cantui, et quarum differentiae, maiores continent simplices partes, eorum quae exceduntur, quia sic ad aequalitatem propius acceditur. Haec Ptolemaeus. In quibus verbis etiamsi consonantias eas, quae in sesquiquarta, et sesquiquinta consistunt, non vocat; tamen magis idoneas esse cantui asserit, quam tonum: quia Diapente bifariam proxime diuidunt, et maiores partes continent in excessibus, eorum quae exceduntur. Vnde colligi sic potest: Si Tonus est (vt ipse ait) optimum dissonantium interuallorum, et pulcherrimum, ideo quod primarum consonantiarum, hoc est, Diapente, et Diatessaron est excessus: pulchrio res autem Tono, et magis idoneae cantui sunt, quae Diapente proxime diuidunt: has necessario consonantias esse dicendum est. nam quod melius est optimo dissonantium, id dissonum esse non potest. Post Diapente ergo, et Diatessaron, facile est modulatu Ditonum: quo modulato, illico Semiditonum modulamur, quod ad complendam Diapente desideratur. non enim aliter Diapente in Ditonum, et Semiditonum diuiditur, quam Diapason in Diapente, et Diatessaron. Facta namque diuisione Diapason in Diapente, et Diatessaron quae sunt, vt dictum est, proximae post eam perfectione consonantiae, et in duabus proportionibus sesquialtera et sesquitertia, quae duplam immediate sequuntur, consistunt; ratio ipsa postulare videtur, vt Diapente, quae maior est pars Diapason, potiusquam Diatessaron quae minor est, diuidatur. Diuidetur itaque Diapente in Ditonum, et Semiditonum, vt sesquialtera in sesquiquartam, et sesquiquintam. Nam numeris sesquialterae. 2. et 3. (quia in his diuidi non potest) duplicatis, proueniunt 6. et 4, inter quos medius est 5, qui ad minorem est sesquiquartus, et ad maiorem subsesquiquintus. Quae duae proportiones quamuis non immediate sesquialteram sequantur, vt illa duplam; diuidunt tamen illam proxima ei, quae in duo aequa potest fieri, diuisione. et ad eundem modum Ditonum et Semiditonum non immediate sequuntur Diapente, sed Diatessaron; diuidunt tamen illam proxime bifariam, vt illa cum Diatessaron diuidit Diapason. Et Ditonum quidem, quia maior pars est Diapente; in maiore proportione, hoc est, in sesquiquarta reperitur esse constitutum; vnde merito a Practicis Tertia maior appellatur: Semiditonum autem in sesquiquinta, quia minor pars est Diapente; vnde etiam merito a Practicis Tertia minor nominatur. Huius nouae diuisionis analogia longe superiore certior est, quippe quae tam sensu, quam ratione comprobatur; ideoque eius descriptionem minime omittendam putaui.

[Salinas, De musica, 59; text: Diapason, Diapente, Diatessaron, Ditonum. Semiditonum.] [SALMUS2 02GF]

[60] [Salinas, De musica, 60,1; text: Eadem Analogia in Numeris sic habet. Dupla diuisa, Sesquialtera diuisa, Dupla indiuisa, Sesquialtera indiuisa, Sesquitertia, Sesquiquarta indiuisa, Sesquiquinta, Diapason indiuisa, Diapente indiuisa, Diatessaron, Ditonum indiuisum, Semiditonum, Diapason diuisa, Diapente diuisa, 1. 2. 3. 4. 5. 6.] [SALMUS2 02GF]

His consonantijs semper vsi sunt homines, et semper vtentur tam in cantu, quam in modulationibus, quae in Musicis fiunt instrumentis; et non illis interuallis a Pythagora constitutis, quae non modo erant dissona, sed et inconcinna. quoniam Ditonum in ea proportione erat constitutum, quae est ab 81. ad 64; et Semiditonum in ea, quae est a 32. ad 27: quae ad minores numeros reduci nullo modo possunt: itaque vt in numeris sunt disparatae, ita in eis interualla constituta, sunt inconcinna. Ditonum autem, et Semiditonum, quae sumuntur ab experientia euidenti, etiam inueniuntur iuxta id quod natura harmonicorum numerorum exigit, in his proportionibus, quae sesquitertiam immediate sequuntur, itaque has et consonantias esse, et Diatessaron immediate sequi necesse est. Videtur autem omnium primus Didymus Musicus considerasse, eas sesquiquartae, et sesquiquintae proportionibus respondere, vt ex eius positionibus colligitur, quas Ptolemaeus secundi Harmonicorum capitulo 14. inter alias quinque autorum connumerat, vt, cum de generibus fiet sermo, latius ostendemus.

Sex esse necessario permistiones sonorum, in quibus vnisonantia, et consonantiae simplices inueniuntur. CAPVT XII.

EX his, quae dicta sunt, colligi potest, permistiones sonorum, in quibus vnisonantia et consonantiae simplices audiuntur, necessario sex numero esse; et in primis sex numeris, et primis sex eorum proportionibus inueniri. Nam vnisonantia, quae est supra omnem consonantiam, inuenitur in aequa proportione, quae est ab 1. ad 1: in qua neuter alterum superat, neque ab altero superatur. Diapason (quam Ptolemaeus aequisonantiam, Aristoteles atque alij Musici omnes consonantiam vocant) reperitur in dupla, quae est a 2. ad 1: in qua excessus est aequalis ei, quod exceditur. Diapente in sesquialtera, quae est a 3. ad 2: in quibus numeris excessus est dimidium eius, quod exceditur, quae pars est maxima totius, et quae maxime toti assimilatur. Diatessaron inuenitur in sesquitertia, quae est a 4. ad 3: in qua maior numerus superat minorem tertia sui parte, quae post dimidiam maxima est totius pars. Ditonum in sesquiquarta, quae est a 5. ad 4: in qua excessus est quarta pars minoris, quae post tertiam est maxima. Et postremo Semiditonum inuenitur in sesquiquinta, quae est a 6. ad 5: in qua excessus est quinta pars minoris, quae post quartam est maxima, et haec est vltima, et minima consonantiarum: quoniam omnia interualla, quae illa inueniuntur minora, dissona sunt. quare non possunt plures, quam sex inueniri, vt dictum est. Atque omnes in primis sex numeris, et in primis sex eorum proportionibus, et intra numerum senarium includuntur, vt in sequenti figura apparet:

[Salinas, De musica, 60,2; text: AEqua, Dupla, Sesquialtera, Sesquitertia, Sesquiquarta, Sesquiquinta, Vnisonantis. Diapason. Diapente. Diatessaron. Ditonum. Semiditonum. 1. 2. 3. 4. 5. 6.] [SALMUS2 02GF]

[61] In quo mirabile, ac pene diuinum ostenditur artificium, non ab intellectu fabricatum humano, sed ab ipsa potius harmonica ratione depromptum. neque enim affectantibus nobis, sed ipsa veritatis natura cogente, numerus consonantiarum idem cum numeris, in quibus inuentus est, reperitur. Quod non ita euenit in numero consonantiarum, quas Pythagoraei statuerunt. nam apud eos quinque sunt consonantiae intra quaternarium numerum contentae: Diapason a 2. ad 1; Diapason et Diapente a 3. ad 1; Disdiapason a 4. ad 1: nec maiorem quam Disdiapason considerare voluerunt, ne cogerentur progredi vltra numerum quaternarium. Itaque enumeratis multiplicibus, conuertebant se ad superparticulares, faciebantque Diapente a 3. ad 2; et Diatessaron a 4. ad 3: neque his minorem vllam considerabant, ne etiam vltra numerum quaternarium progrederentur: cui nescio quid Diuinitatis tribuebant, et ex eo (veluti Democritus ex atomis) omnia confici arbitrabantur. sed nunc harum quoque consonantiarum typum subijcimus:

[Salinas, De musica, 61; text: Disdiapason, Diapason ac Diapente, Diapason, Diapente, Diatessaron, 1. 2. 3. 4.] [SALMUS2 02GF]

Nec vero intra quaternarium plures quam hae quinque coniugationes fieri poterant. Et compositas simplicibus admiscuerunt, quod a nobis non fit: quoniam multo plures esse dicimus, tam intra Diapason, quam extra; et omnes extra Diapason prouenire ex adiunctione ipsius Diapason ad quamcunque consonantiam simplicem, vel compositam; neque Diapason variare speciem consonantiae, cui adiungatur, sed eandem esse perceptionem simplicis, et compositae. nam Diapason et Diatessaron eodem modo percipitur, quo Diatessaron; et Diapason cum Diapente, eodem modo, quo Diapente; et Disdiapason quo Diapason: nec nisi propinquitate et longinquitate differunt. Atque eadem est in compositis inter se collatis differentia, quae in simplicibus. sic enim Diapason et Diapente differre percipitur a Diapason et Diatessaron, sicut Diapente a Diatessaron. non aliter quam Denarius, cuicunque numero adiunctus, eundem referre videtur: vt si decem adiungantur sex, decem et sex faciunt. Et quo clarius Senarij virtus elucescat, non solum in eo omnes formae consonantiarum simplicium iueniuntur, singulis eius partibus ad proximas, et immediatas comparatis; (vt demonstratum est) sed quaecunque pars ad totum ipsum, et ad quamcunque eius partem comparata, consonantiam facit simplicem, aut compositam. vt non tantum in sex primis simplicibus, sed etiam in sex primis (cum aequa) multiplicibus inueniantur, in tripla, sicut in sesquialtera; in quadrupla, sicut in dupla; in quintupla, sicut in sesquiquarta; et in sextupla, sicut in tripla, et sesquialtera. neque vltra sextuplam in proportione septupla consonantiam inueniri: sicut neque in sesquisexta vltra sesquiquintam. Horum omnium haec poterit esse descriptio.

[62] [Salinas, De musica, 62; text: Disdiapason cvm Diapente. Diapason et Diapente, Disdiapason cum Ditono. Diapason. Diapason cum Ditono, Disdiapason. Diapente. Hexachordum maius, semiditonum. Ditonum. Diatessaron, 6, 5, 4, 3, 2, 1, A, C, E, a, e, ee] [SALMUS2 03GF]

Huius figurae explicatio.

Basis huius figurae tribus spacijs, quatuor lineis interceptis, constat: quorum superius continet chordae in aequas partes diuisae incisiones; proximum partium, seu incisionum numeros; infimum sonos literis (claues vocant practici) designatos. Coeterum singulae inter se collatae incisiones, seu partes quas proportiones, atque interualla constituant; id directe illis subiecti numeri, et sonorum claues docent. Sed qui numeri quas proportiones efficiant, satis in primo libro dictum est. quibus autem sonis quae proportionibus respondentia interualla contineantur, id binae ab incisionum punctis egredientes lineae (quae cum Basi triangulum constituunt) ostendunt: angulo enim, quem concurrentes constituunt, nomina interuallorum inscripta sunt. Vnum hoc admonendus est Lector, chordae hic principium desiderari: diuisa enim est in sex partes aequales, quarum sexta comprehenditur inter numeros 6. et 5, quinta inter 5. et 4, quarta inter 4. et 3, tertia inter 3. et 2, secunda inter 2. et 1, prima inter 1, et chordae principium, quod desideratur. nec vero huic tantum figurae, sed et sequenti, et plurimis alijs, quae statim a numero incipiunt, principium deest: quod factum est, nequod spacium relinqueretur vacuum, quod praeter chordam nihil contineret: id enim non modo superuacaneum futurum, sed et figuram deformaturum videbatur. in multis etiam figuris illud ob chartae angustiam necessario praetermittendum fuit. Quare admonitum Lectorem hoc capite voluimus, non in hisce tantum libris, sed et apud Boetium, et quotlibet alios Musicos in plerisque figuris chordae principium desiderari; eiusque rei vnicum signum esse, si statim a numero figura incipiat. Praeterea ne eadem interualla in sequenti typo frustra repetita videantur, sciendum est, interualla nunc secundum Arithmeticam diuisionem disponi, nunc secundum Harmonicam. Diuisione [63] Arithmetica aequales esse differentias, ac spacia, inaequales vero proportiones, ex superiore libro notum est. Talem igitur diuisionem in primo Senario reperiri, satis ex praecedenti figura liquet. quod autem eaedem consonantiae intra sex primos Denarios Harmonice dispositae inueniantur: ita vt proportiones maiores collocatae sint in numeris maioribus, minores vero in minoribus; eodemque modo spacia maiora proportionibus sint attributa maioribus, minora minoribus; id omne sequens ostendit descriptio:

[Salinas, De musica, 63; text: Diapason, Diapente, Diatessaron. Ditonum. Semiditonum. 60, 30, 20. 15. 12. 10, A, a, e, aa, #cc, ee] [SALMUS2 03GF]

Et mirum est, quanto suauiorem efficiant auribus concentum hae consonantiae sic Harmonica medietate diuisae; quam Arithmetica, vt in priori chorda dispositae sunt. Quod quotidie experimur in eo, quod ad id sensu iudicandum fieri curauimus, instrumento. AEqua proportio, aut vnisonantia hoc in typo posita non est, quia in organis, atque alijs instrumentis, quae per alba plectra, et nigra pulsantur, vnus sonus pro vnisonantia sumitur, et quod aequale est, idem, atque vnum esse censetur. Et quoniam vnius ad vnum nulla differentia est in numeris; neque in spatijs aequalibus potest vlla diversitas assignari.

Alius modus considerandi consonantias: et nec plures, nec pauciores ab Harmonico debere considerari CAPVT XIII.

POssunt etiam hae consonantiae ab Harmonico aliter considerari. Vnisonantia, quatenus principium est, a quo omnes consonantiae originem trahunt: quemadmodum vnitas est principium, a quo omnes numeri deriuantur; et aequa proportio mater est omnium proportionum. Deinde Diapason, quae potest etiam dici principium consonantiarum per quod. Quemadmodum D. Augustinus vocat, in numeris vnitatem principium a quo, et binarium principium per quod. neque enim putat binarium esse numerum; quia non habet principium, medium, et finem: Sic igitur et Diapason non consonantia esse dicitur, sed principium consonantiarum per quod. vnde merito a Ptolemaeo dicta est aequisonantia. et quae ei attribuitur dupla proportio etiam poterit dici proportionum principium per quod: quia in binario ad vnitatem collato reperitur, et omnes proportiones eam, aut diuidunt, vt superparticulares; aut multiplicant, vt multiplices. Post hanc Diapente, quae prima consonantia vocatur a Ptolemaeo, sicut ternarius (in quo ad binarium collato Diapente consistit) primus numerus dicitur a D. Augustino, et ab Aristotele. Hanc sequitur Diatessaron, in quaternario ad ternarium consistens, quam simul cum Diapente primas consonantias Ptolemaeus appellat: quemadmodum Augustinus ternarium, et quaternarium primos numeros vocat; hunc parium, illum imparium. Post has immediate sequuntur Ditonum, et Semiditonum, quas tertiam maiorem, et minorem Practici vocant: quarum illa in quinario ad quaternarium, haec in senario ad quinarium collato consideratur. Atque ex his, quae dicta sunt, non tam speculari cogimur, cur sex consonantiae, et non plures simplices inueniantur, quam admirari in eis summum artificum, et vim, quam in numeris, et in eorum inter se comparationibus maximam ostendunt. Nam quanto nobilior est numeri vnius ad alterum habitudo, tanto illi pulchrior, atque perfectior sonorum concinnatio respondet. Nobilissimae autem omnium proportiones sunt aequa, et quae proxime aequam accedunt. Loquimur autem de simplicibus, quae per se, et non aliunde nobiles sunt: possunt enim aliquae compositae aliquibus simplicibus nobiliores [64] videri. vt quadrupla, cui respondet Disdiapason consonantia pulcherrima, et vnisonantiae, et Diapason quam similima; nobilior erit sesquialtera, sesquitertia, aut sesquiquarta, quibus respondent Diapente, Diatessaron, et Ditonum. Hoc tamen contingit illi ex accidenti: quidquid enim habet nobilitatis, id totum habet a dupla, cuius ipsa etiam est dupla. Nam sicut in numeris non mutat genus proportionum dupla superaddita duplae, aut quadruplae, procedendo per duplam progressionem in infinitum; sed tantum species, vt quadruplam, octuplam, sexdecuplam, quae omnes sunt multiplices: sic etiam in sonis Diapason, superaddita Diapason, aut Disdiapason in infinitum, non mutat genus consonantiae, sed tantum speciem, vt Disdiapason, Trisdiapason, Tetradiapason, et sic sine statu: quae omnes sunt eiusdem generis, et aequisonantiae, vt Diapason; quamuis diuersae sint species, quia diuersis longinquitatibus in eis soni inter se distant. quod nulli accidit proportionum generi, nisi multiplici, et solum his proportionibus, quae sicut numeri pariter pares ab vnitate per duplam progressionem procedunt. Nam consonantiae, quae in huiusmodi proportionibus constitutae reperiuntur, vt Diapason a 2. ad vnum, Disdiapason a 4. ad 1, Trisdiapason ab 8. ad 1, et sic in infinitum; omnes, quasi circulo peracto, ad vnisonantiam reuertuntur. quoniam motus sonorum (vt Ptolemaeus ait) circularis est, sicut motus caelorum; et in vnaquaque Diapason circulus peragitur, et reditur eodem. In alijs autem generibus proportionum, et consonantiarum illis respondentium non ita fit. Nam si sesquialterae adiungas sesquialteram, proportio quae ex illis emerget, non solum mutabit speciem proportionis, sed et genus: quia non erit superparticularis, sed dupla sesquiquarta, generis multiplicis superparticularis, vt videre licet in his numeris: 4. 6. 9: a 9. ad 6. sesquialtera, a 6. ad 4. sesquialtera, a 9. ad 4. dupla sesquiquarta. Sic etiam si Diapente addatur Diapente, non erit consonantia, sed de genere dissonantiarum. faciet enim interuallum Diapason cum tono. Quod si dupla addatur sesquitertiae, aut alterius generis proportioni, reperietur mutare genus illius: vt in his numeris: 3. 4. 8. 16: in quibus a 4. ad 3. est superparticularis, ab 8. ad 3. multiplex superpartiens, a 16. ad 3. multiplex superparticularis. quod autem hic dupla superparticularem non mutat in certum genus, hoc prouenit ex accidenti: nam in sesquialtera non contingit, cui superaddita dupla facit triplam, et alia dupla sextuplam, alia duodecuplam, et sic in infinitum; quae omnes sunt multiplices, vt in his numeris ostenditur: 2. 3. 6. 12. 24: nam 2. 3. sesquialtera est, 2. 6. tripla, 2. 12. sextupla, 2. 24. duodecupla: in quibus prima tantum est superparticularis, coeterae omnes multiplices. Et prima dupla mutat genus necessario; quemadmodum prima dupla aequae superaddita necessario mutat genus illius, quoniam ex aequalitatis genere facit genus inaequalitatis: sic etiam Diapason in sonis si adiungatur vnisonantiae, mutabit genus illius, et ex vnisonantia faciet aequisonantiam; sed cuicunque alteri consonantiae addita, siue interuallo, non mutabit illius genus, neque ex consono dissonum, aut ex dissono consonum reddet. Est ergo Diapason post vnisonantiam pulcherrima sonorum commixtio, (quamuis aliter Aristoteli videatur sectionis undevicesimae problemate 39) sicut dupla post aequam est omnium proportionum nobilissima generis inaequalitatis, quia proxime omnium ad aequalitatis proportionem accedit, et post eam quatuor, quae immediate sequuntur; in quibus ita quaeque nobilissima est, vt proxime ad ipsam accedit: et in consonantijs quatuor reliquis, quae proxime accedit ad Diapason pulcherrima est, vsque ad Semiditonum, quae est vltima, et minima consonantiarum. Sunt autem sex, quoniam in sex primis numeris inueniuntur constitutae, qui sunt omnium nobilissimi, vtpote qui sint ipsa vnitas mater numerorum; et qui post eam immediate sequuntur vsque ad senarium, qui est primus perfectorum, vt in prima huius operis parte demonstratum est. et ad eum vsque Rhythmici praesertim Graeci (quorum maxima est curiositas) progrediuntur in pedibus: Hexasyllabos namque maximos constituunt, versus etiam omnium nobilissimi Hexameter, et Senarius sex pedibus constant. et

[65] Sex sunt quae logici transcendentalia dicunt, Ens, Vnum, ac Aliquid, Res, Verum, atque Bonum.

Atque haec de sonorum permistionibus circa earum nobilitatem dicta sufficiant. nunc autem ad alia circa eas consideranda, non minus vtilia, quam necessaria, deueniamus, et quare non plures, quam sex esse possint, rem altius repetentes, consideremus.

Quae sit causa potissima, quod sesquisexta, et sesquiseptima proportiones ineptae inueniantur ad consonantias, et harmonica interualla constituenda. CAPVT XIIII.

ET quoniam sex sonorum permistiones, quas sensus primas apprehendit pulcherrimas omnium esse, et sex primis simplicibus proportionibus respondere in numeris demonstratum est, et minimam consonantiarum diximus esse Semiditonum: primum inuestigare oportet, an sensus consonantiam aliam illa minorem possit apprehendere. Et praeter hoc, quod euidenter experientia docet, nullam consonantiam posse Semiditono minorem inueniri ad sensum eas sumentibus, ratione etiam potest ostendi. quoniam omnis consonantia in duas diuiditur consonantias, siue interualla, quorum alterum est maius et perfectius, alterum minus et imperfectius. Et sic Diapason in Diapente, et Diatessaron diuidi demonstrata est; et Diapente in Ditonum, et Semiditonum; et Ditonum demonstrabitur paulo inferius in duos tonos maiorem, et minorem diuidi: quae omnia interualla sunt harmonica. atque hoc priuilegium proprium est maiorum consonantiarum, et perfectiorum: minores autem et imperfectiores, vt Diatessaron, et Semiditonum non possunt diuidi ea diuisione, quae est ei, quae fit in duo aequa, proxima, vt ex ea interualla nascantur harmonica: quoniam necesse esset, quae ex Diatessaron sic diuisa nascerentur, in sesquisexta, et sesquiseptima proportionibus consitui, in quas sesquitertia bifariam proxime diuiditur, vt ostendunt hi numeri.

[Salinas, De musica, 65; text: Sesquitertia, Sesquisexta, Sesquiseptima, 6, 7, 8] [SALMUS2 04GF]

Potest et alia ratione demonstrari sesquisextam non esse aptam alicui interuallo harmonico constituendo: nam omnis proportio, ex qua consonantia constituitur, exceditur a superiori sibi proxima per aliquam proportionem, ex qua vnum ex interuallis minoribus constitui possit. Ex excessibus namque consonantiarum interualla minora oriantur necesse est, quod paulo inferius diffusius ostendemus. vt ex excessu Diapente ad Diatessaron oritur tonus in proportione sesquioctaua; ex differentia Diatessaron ad Ditonum Semitonium maius in sesquidecima quinta, ex excessu Ditoni ad Semiditonum Semitonium minus in sesquiuigesima quarta. Sed ex excessu Semiditoni, qui est in sesquiquinta ad interuallum siue consonantiam, quae nascitur ex sesquisexta, nullum oritur interuallum minus ad harmoniam aptum. nam si orietur, erit in sesquitrigesima quinta: quam proportionem neque ipse Ptolemaeus (qui sesquisextam, et sesquiseptimam ad harmoniam assumpsit) admisit inter eas, ex quibus interualla minora constituit. Causa autem potissima, propter quam sesquisexta, et sesquiseptima non possunt efficere harmonica interualla, (etiamsi diuidant sesquiteriam proxima ei, quae in duo aequa fit, diuisione; quemadmodum sesquiquarta, et sesquiquinta sesquialteram) videtur esse septenarius ille numerus, qui inter vtrumque sesquitertiae numerum medius est. Et quia pulcherrimae speculationis videtur esse haec consideratio; et ad illa, quae dicenda sunt, plurimum eam intellexisse [66] conducet; aliquanto altius res erit repetenda. Et ante omnia scire oportet, vt superiori libro ex primo Boetij de Arithmetica docuimus, numeros impares triplicis esse naturae: primos incompositos, secundos et compositos, et contra se primos. Relictis autem compositis, et contra se primis, et accepto incomposito, qui solus ad rem pertinet, sciendum est, eos numeros nobiliores, et perfectiores haberi, qui propinquiores sunt vnitati, numerorum omnium parenti, tanquam suo principio, et origini; quoniam minus habent multiplicitatis: et ex his proportionibus, quae in numeris magis ad vnitatem accedentibus reperiuntur, aptiora ad harmoniam fieri interualla. Vnde ex ipsa maxime incomposita ad aliam vnitatem comparata fiet vnisonantia. Ex ternario autem, qui secundus est incompositus, ad binarium comparato nascitur in sonis Diapente consonantia: quae non ita vnita, aut perfecta est, vt vnisonantia, et aequisonantia; quia magis ab vnitate recedit. cui similem etiam efficient omnes numeri, in infinitum protracti, qui in duo aequa semper diuidi poterunt, donec ad ipsum ternarium perueniatur; qui omnes erunt impariter pares, praeter senarium, qui est pariter impar, vt 6. 12. 24. 48: quorum omnium soni ad sonos, qui fient ex binario, aut ex vnitate, vt Diapente sonabunt; quandoquidem (vt saepe iam dictum est) Diapason non variae consonantiam, etiamsi alia super aliam vsque in infinitum astruantur. Ex quinario vero, qui tertius est numerus impar incompositus, et magis ab vnitate recedens ad quaternarium comparato, iam non Diapente, (quae secundum Diapason optima, et prima est omnium consonantiarum,) sed alia nascitur multo imperfectior, quae Ditonum siue Tertia maior vocatur. cui similem efficient in sonis omnes numeri, qui ab ipso per duplam progressionem ad infinitum vsque protrahentur (qui omnes in duo aequa diuidi poterunt, donec ad ipsum quinarium deueniatur) si ad quaternarium, et binarium, et vnitatem, qui illo priores sunt, et in duplo se excedunt, comparentur, vt sunt 10. 20. 40. 80, et sic deinceps: qui omnes etiam erunt impariter pares, praeter denarium, qui est pariter impar. Septenarius autem, et qui post eum primi et incompositi reperiuntur, ad alium quemcunque numerum comparati, nullam omnino poterunt neque consonantiam, neque interuallum harmonicum creare: quia valde ab vnitate remoti sunt nam Semiditonum, quae consonantia reliqua erat post Ditonum, ex senario ad quinarium comparato consurgit. Nec mirum videri debet, si septenarius ad senarium comparatus nullam consonantiam, aut harmonicum interuallum constituit, nec octonarius ad septenarium. nam praeter ea, quae dicta sunt, accidit etiam aliud valde consideratione dignum, quod omnes numeri, qui praecedunt septenarium, praeter cognationem multiplicitatis, quam habent ex naturali ferie cum vnitate, et superparticularitatis, quam habet quisque cum sibi proximo, inueniuntur inter se multum quasi consanguinitatis habere cum omnibus alijs: nam binarius ad vnitatem est duplus; ternarius ad vnitatem est triplus, ad binarium sesquialter; quaternarius ad vnitatem quadruplus, ad binarium duplus, ad ternarium sesquitertius; quinarius ad vnitatem est quincuplus, ad binarium duplus sesquialter, ad ternarium superbitertius, (quae duae proportiones ex vtroque genere compositae reperiuntur) ad quaternarium sesquiquartus; senarius ad vnitatem sextuplus, ad binarium triplus, ad ternarium duplus, ad quaternarium sesquialter, ad quinarium sesquiquintus: in quibus proportionibus inueniuntur in sonis consonantiae constituae partim simplices, partim compositae, vt ex his, quae dicta sunt, liquido constat, et ex his, quae paulo inferius dicentur, manifestius fiet. Septenarius autem, quamuis alijs de causis in Musica considerari debeat, vt propter septem species Diapason, et septem interualla, quae in Diapason etiam generis Diatonici necessario reperiuntur (vt suo loco demonstrabimus) alteri tamen ad constituenda interualla harmonica collatus ineptissimus est. nam si ad senarium collatus, cuius sesquisextus est; propter eas rationes, quas superius adduximus, nullum constituit harmonicum interuallum; multo minus illud constituet ad vnitatem; quoniam interuallum ad harmoniam ineptum, cuicunque consonantiae superaddatur, faciet eam ineptam: quare neque ad binarium, [67] cuius est triplus sesquialter; ob eandem rationem; neque ad ternarium, cuius est duplus sesquitertius; eadem etiam de causa: idem etiam est dicendum de quaternario, cuius est supertriquartus; et de quinario cuius est superbiquintus: quoniam omnes hi numeri (vt dictum est) ad senarium collati consonantias constituunt, quibus addita sesquisexta, ad consonantias inepta, eas omnino destruit. Ad sensum autem facile demonstrari potest, etiam ex sesquiseptima harmonicum interuallum non posse constitui: quoniam idem omnino sonabit cum interuallo ex duabus sesquidecimis quintis consituto, quod cum sit inconcinnum (nam supra probauimus ex minoribus interuallis geminatis inconcinna oriri) fieri non potest, vt sit aptum ad consonantiam constituendam. Diximus autem idem sonaturum sesquiseptimum interuallum, quod duae sesquiquintaedecimae, quoniam eas superat solum ea proportione, quae est a 225. ad 224. nam duae sesquiquintae decimae inueniuntur a 256. ad 225, et sesquiseptima a 256. ad 224, quae differentia minima, et insensibilis erit. Est et illud optimo argumento inter sesquiquintam, et sesquioctauam nullam proportionem harmonicam inueniri posse, quod inter Semiditonum, et tonum maiorem nullum in Musicis instrumentis inuenitur in his proportionibus constitutum interuallum, et quaecunque inueniuntur in proximis ad eas constituta, omnia esse valde dissona.

Alia diuisio consonantiarum in triplicem earum naturam: et de consonantijs compositis tam intra Diapason, quam extra.

CAPVT XV.

EX his, quae superius dicta sunt, colligi potest, has sex permistiones sonorum, de quibus multa iam diximus, triplicis esse naturae; aliamque esse naturam vnisonantiae, aliam aequisonantiae, aliam consonantiae. Quoniam vnisonantiae proprium est, cuicunque siue vnisonantiae, siue aequisonantiae, siue alij cuiuis interuallo additam, non mutare genus illius, neque speciem. Vt, si sonus vnisonus adiungatur duobus sonis in vnisonantia constitutis, non idcirco desinet esse vnisonantia: veluti, si aequalis numerus addatur duobus numeris in aequa proportione positis, nihilominus erit aequa proportio, et si sonus vnisonus adiungatur alteri duorum sonorum Diapason tam graui, quam acuto semper erit Diapason: idemque eueniet, si alteri ex sonis apponatur, cuiuscunque interualli tam consoni, quam dissoni. Est etiam eius proprium, nec diuidi, nec diuidere: quia neque potest dici totum, neque pars; neque maxima, neque minima, cum nullius sit quantitatis, neque species, neque genus, sed potius vnica in suo genere. AEquisonantiae autem proprium est, cuicunque interuallo, seu consonantiae superaddatur, non mutare genus illius, sed tantum speciem: vt multis rationibus, et exemplis superius ostensum est. Nam Diapason superaddita Diapason facit Disdiapason, et addita Disdiapason facit Trisdiapason, quae licet eiusdem sint generis, sunt specie diuersa. et quamuis addita Diapente, aut alij consonantiae videatur mutare genus proportionis faciens ex superparticulari multiplex, aut aliud genus ex compositis: tamen in sonis non de huiusmodi genere loquimur, sed eo de genere interuallorum, quod diuiditur in alia duo genera subalterna consona, et dissona, quae Diapason, et Disdiapason alijs interuallis adiunctae non mutant. Praeterea aequisonantia diuiditur, sed non diuidit: quia consideratur vt totum, non vt pars. Consonantia vero tam diuidit, quam diuiditur: aliique consonantiae, aut interuallo adiuncta mutae et genus illius, et speciem; et nunc facit ex consono dissonum, nunc mutat genus consonantiae, sed nunquam facit ex dissono consonum. Ex quibus elici potest omnes consonantias aut interualla, quae componuntur cum Diapason, aut cum alijs aequisonantijs, vt Disdiapason, et Trisdiapason, et sic in infinitum, esse eiusdem generis cum his, quae sunt intra Diapason, nec alterius generis posse reperiri. Sed si consonantiae componantur cum [68] alijs consonantijs, fieri aliud consonantiae genus. Et sciendum est, quod Diapente ex simplicibus solum componitur cum Diatessaron, ex quibus fit Diapason, sicut dupla ex sesquialtera, et sesquitertia. Nam quamuis in superioribus Diapason simplicem esse dixerimus; hoc intelligi debet, si primo, et per se consideretur, quoniam in minimis numeris duplae sola vnitate distantibus inuenitur. Secundario vero considerata, cum in maioribus duplae numeris aliquo medio distantibus in minora intervalla diuisa reperitur, vt 2. 4; potest dici composita; quod de omnibus simplicibus intelligendum est. Diatessaron componitur intra Diapason cum Ditono, et Semiditono: et ex Diatessaron cum Ditono fit hexachordum maius, siue Sexta maior, vt Practici vocant; ex Diatassaron autem cum Semiditono fit hexachordum minus, siue sexta minor, vt ostendunt hi numeri.

[Salinas, De musica, 68,1; text: Hexachordum maius, Hexachordum minus, Diatessaron, Ditonum, Semiditonum, Sesquitertia, Sesquiquarta, Sesquiquinta, Superbipartiens tertias, Supertripartiens quintas, 3. 4. 5. 6. 8.] [SALMUS2 04GF]

Atque hae duae consonantiae compositae reperiuntur intra Diapason; et ex Sexta maiori cum Semiditono, et ex minore cum Ditono fit Diapason, vt hic apparet.

[Salinas, De musica, 68,2; text: Diapason, Hexachordum maius, Semiditonum, Ditonum, Hexachordum minus, 3. 4. 5. 6. 8.] [SALMUS2 04GF]

Diapason componitur cum omnibus simplicibus, et compositis, quae sunt intra eam, et fiunt consonantiae repetitae, vt dictum est. Diapente vero componitur cum ipsa Diapason, et fit Diapason cum diapente in tripla proportione; cum Sexta maiori, et fit Diapason cum Ditono, siue Decima maior in dupla sesquialtera, quae est prima multiplicium superparticularium. Componitur etiam cum hexachordo minori, et fit Diapason cum Semiditono, seu Decima minor, vt in his numeris.

[Salinas, De musica, 68,3; text: Decima maior, Decima minor, Diapente, Hexachordum maius, Hexachordum minus, Sesquialtera, Superbipartiens tertias, Supertripartiens quintas, Dupla sesquialtera, Dupla superbipartiens quintas, 2, 3, 5, 8, 12] [SALMUS2 04GF]

Veruntamen de his, quae sunt extra Diapason, non valde solicitus esse debet harmonicus; quoniam ex adiunctione Diapason cum simplicibus, componuntur, et potius sunt repetitae, quam novae: et de duobus hexachordis, quae sunt intra Diapason, considerare debebit, quod quamuis sint diuersae ab alijs consonantijs, simile tamen est maius hexachordum Semiditono, quia propinquius est Diapason, vt Semiditonus vnisonantiae; et hexachordum minus simile Ditono, quia remotius est a Diapason, vt Ditonus ab vnisonantia.

De consonantijs perfectis, et imperfectis; et quid sit Arithmetice, et Harmonice diuidi in consonantijs. CAPVT XVI.

[69] SCire oportet etiam, ex consonantijs alias perfectas, alias imperfectas nominari. Et perfectas quidem eas dici, in quibus solis sine aliarum admistione cantus, aut modulatio duarum vocum terminari potest: quae sunt vnisonantiae, et omnes aequisonantiae, et ex consonantijs Diapente, et Ditonum, et quae ex illis cum Diapason componuntur: nam in quamlibet harum duo canentes possunt desinere, et cantilenam finire. Imperfectae vero vocantur illae, in quibus solis, et sine aliarum admistione cantus seu modulatio terminari non potest: quae sunt Diatessaron, et Semiditonum, et quae ex illis cum Diapason componuntur, et duo hexachorda: quoniam in fine cantus (vt dictum est) ab omnibus perfectio, quae idem est cum fine, solet desiderari. Sciendum est etiam Diatessaron imperfectiorem esse Semiditono, quamquam Diapente sit perfectior Ditono: quo plus enim a perfectissima Diapason perfectionis habet perfecta, eo plus imperfectionis habere debet eiusdem generis imperfecta; cuius etiam ratio videtur esse, quod maiori inter se inaequalitate distant Diapente, et Diatessaron, quam Ditonum, et Semiditonum; quare maiori distabunt etiam perfectionis et imperfectionis differentia. Differunt etiam inter se, quoniam perfectae possunt diuidi in duas consonantias, aut harmonica interualla diuisione proxima ei, quae in duo aequa fieri potest; imperfectae vero non: vt Diapason in Diapente, et Diatessaron: Diapente in Ditonum, et Semiditonum; quae omnes sunt consonantiae: Ditonum vero in tonum maiorem, et minorem; quorum vtrumque harmonicum est interuallum, vt paullo inferius demonstrabitur. hae diuisiones in numeris sola vnitate distantibus sic habent:

[Salinas, De musica, 69; text: 2. 3. 4. 5. 6. 8. 9. 10. Tonus minor. Tonus maior. Semiditonum. Ditonum, Diatessaron. Diapente, Diapason, Harum diuisionum alia alij subiecta est hoc modo:] [SALMUS2 05GF]

Diatessaron autem et Semiditonum hoc modo diuidi non possunt. Etsi enim vtriusque proportio sic diuidi queat; vt sesquitertia in sesquisextam et sesquiseptimam; et sesquiquinta in sesquidecimam et sesquiundecimam: tamen, vt superius ostensum est, neque hae, neque illae proportiones constituendis harmonicis interuallis aptae reperiuntur: alterae propter septenarium, alterae propter vndenarium, qui illas diuidunt. Solet autem interuallorum diuisio nunc Arithmetice contingere, nunc Harmonice, vbi sciendum est, idem esse harmoniam in sonis, quod in numeris proportionalitas: et sicut proportionalitas in paucioribus, quam in tribus numeris, inueniri non potest, sic etiam harmonia non fit nisi in tribus sonis. quamuis non me lateat, saepe a scriptoribus vnicam, consonantiam harmonicam vocari, vt Diatessaron a Vitruuio, et a Dione historico; saepe etiam modos ipsos cantilenarum harmonias a Platone nominari. sed harmonia proprie est consonantia consonantiarum, [70] quae fit, aut per adiunctionem, aut multiplicationem duarum, vel plurium consonantiarum: quod fieri potest eo modo, quo docuimus in proportionibus coniungendis superiori libro. nam quemadmodum duae proportiones, aut tres coniungi possunt; sic etiam duae, aut plures consonantiae: et quemadmodum proportiones diuidi possunt Arithmetica, et Geometrica, et Harmonica medietate; sic etiam poterunt diuidi omnes consonantiae, atque interualla. Sed relicta medietate Geometrica, quoniam illa vti non possumus in consonantijs, aut interuallis simplicibus diuidendis; dicimus tunc consonantias, aut interualla Arithmetice diuisa, cum diuiduntur per aequalia spatia, et inaequales consonantias, aut interualla. neque hoc satis est, sed oportet etiam, vt maiores consonantiae in minoribus spatijs, et minores in maioribus collocatae reperiantur. Vel, vt clarius loquamus, cum maiores consonantiae reperiuntur in acutioribus sonis, et minores in grauioribus, vt cum Diapason ita reperitur diuisa in Diapente, et Diatessaron, vt Diapente sit acutior, Diatessaron vero grauior. Harmonice autem tunc dicuntur esse diuisa, cum maiores consonantiae in grauioribus sonis, et minores in acutioribus reperiuntur: vt cum Diapente sic in Ditonum, et Semiditonum diuiditur, vt Ditonum sit ad grauius, Semiditonum ad acutius.

Exemplum Diapason vtroque modo diuisae, tam in numeris, quam in sonis.

[Salinas, De musica, 70; text: Numeri. Soni. 2. 3. 4. 6. e. a. E. A. Diapente, Diatessaron, Arithmetica diuisio Diapason. Harmonica diuisio Diapason.] [SALMUS2 05GF]

Dicitur autem Harmonica diuisio, quoniam illa praecipue vtimur in harmonia, Arithmetica vero ex accidenti: et consonantiae harmonice dispositae gratissimum efficiunt auribus concentum, Arithmetice vero ingratum prorsus, et insuauem. Nec mirum videri cuiquam debebit, nos tam multa de consonantijs disseruisse: siquidem eas harmonicus principaliter in Musica considerat, dissonantias vero secundario; ad quas examinandas iam tandem opus est, vt sensus ac intellectus aciem conuertamus. Et imprimis de interuallis minima consonantia minoribus, ad harmoniam aptis, quanta possumus breuitate consideremus.

De minoribus interuallis, et ante alia de tono maiori, et minori.

CAPVT XVII.

ET ex multis quidem quae circa consonantiarum speculationem dici poterant, haec satis esse poterunt propter castigatam introductionis breuitatem: nunc autem considerandum est, quae interualla consonantijs minora sensus apprehendat in harmonia. Primum vero interuallum, quod ex minoribus sensus apprehendit, constat esse tonum maiorem, qui est excessus primarum consonantiarum, quas saepe dictum est esse Diapente, et Diatessaron. Et ante omnia scire oportet, interualla minora in harmonia constitui ex excessibus consonantiarum, quibus maiores sibi proximas excedunt: Toni vero etiam ex diuisione minimae consonantiae perfectae proxima illi, quae in duo aequa fieri potest, [71] oriuntur. In excessibus consonantiarum sciendum est a Diapason ad vnisonantiam nullum excessum posse considerari: quoniam in vnisonantia duo soni nulla inter se distant quantitate, vnde neuter alterum superat. quare inter eam, in qua nullus est inter duos sonos excessus, atque illam, in qua maximus reperitur, quae est Diapason, non magis fieri potest comparatio, quam inter punctum, et lineam: et maxime cum sint diuersorum generum, quorum vtrumque est generalissimum, alterum aequalitatis, alterum inaequalitatis; inter quae nulla potest esse comparatio, non magis quam inter substantiam, et quantitatem, vt superiore libro demonstratum est. Diapason vero ad Diapente, hoc est, aequisonantiae ad primam consonantiam excessus est Diatessaron; quae etiam est consonantia, vt superius ostensum est. Sed Diapente, et Diatessaron, quae sunt primae consonantiae, excessus est tonus, maximum et notissimum omnium interuallorum minorum: nam, vt Ptolemaeus ait, est differentia, primarum consonantiarum, quae vehementer sensum mouent. Et quia demonstratum est Diapente in sesquialtera, et Diatessaron in sesquitertia consistere; tonus maior, qui est earum differentia, necessario reperietur in sesquioctaua, quae est ea proportio, qua sesquialtera superat sesquitertiam, vt ostendunt hi numeri:

[Salinas, De musica, 71,1; text: Diapente, Diatessaron, Sesquitertia, Tonus maior, Sesquioctaua, Sesquialtera, 6. 8. 9.] [SALMUS2 06GF]

Etiam ostendi potest principatus, quem super alia interualla minora tonus maior habet, ex eo, quod est maior pars Ditoni, seu tertiae maioris: quae, quoniam est consonantia perfecta, diuiditur in duo harmonica interualla, quae sunt tonus maior, et tonus minor: et quia Ditonum demonstratum est in sesquiquarta proportione consistere, quae diuisa Harmonice, aut Arithmetice, resoluetur in sesquioctauam, et sesquinonam; maior tribuetur maiori, et minor minori, ut ostendunt hi numeri:

[Salinas, De musica, 71,2; text: Ditonum, Tonus maior, Sesquioctaua, Tonus minor, Sesquinona, Sesquiquarta, 8. 9. 10.] [SALMUS2 06GF]

Tonus autem minor potest considerari vt excessus hexachordi maioris ad Diapente, et Diatessaron ad Semiditonum. Nam superbipartiens tertias superat sesquialteram sesquinona, qua etiam sesquiquinta superatur a sesquitertia, vt sequentia docent exempla:

[Salinas, De musica, 71,3; text: Exemplum prioris. Exemplum posterioris. Hexachordum maius, Diatessaron, Diapente, Tonus minor, Semiditonum, Sesquialtera, Sesquiquinta, Sesquinona, Superbipartiens tertias, Sesquitertia, 6. 9. 10. 12.] [SALMUS2 06GF]

[72] Nemo autem mirari debebit, quod nos duos tonos inaequalis magnitudinis ponimus, quamuis hoc sit contra positiones Pythagoraeorum; et contra id etiam, quod in Musicis instrumentis inuenitur, in quibus omnes toni reperiuntur aequales. Nam quod attinet ad Pythagorae positiones, superius ostensum est, interuallum ex duobus tonis sesquioctauis conflatum nullo modo consonum esse; et nunc etiam aliter idem demonstrari potest. quoniam si interuallum superparticulare dupletur, quod ex ea duplatione prouenit, non erit multiplex, nec superparticulare. sed omnis consonantia, quae nascitur ex diuisione Diapason, et aliarum perfectarum, Harmonice vel Arithmetice facta, reperitur in proportione superparticulari: quare neutiquam Ditonum ex duobus tonis sesquioctauis poterit constare: constabit ergo ex sesquioctauo, et sesquinono. Praeterea nulla proportio superparticularis potest in duo aequa partiri propter interuentum indiuisae vnitatis, qua inter se numeri distant in omnibus superparticularibus: sed Ditonus demonstratus est in sesquiquarta consistere: quamobrem non aliter poterit proxime bifariam diuidi, quam in sesquioctauam, et sesquinonam; quibus respondebunt tonus maior, et minor. et quoniam ex diuisione vltimae consonantiae perfectae nascuntur, non poterunt non esse harmonica interualla. Quod autem attinet ad Musica instrumenta, neminem mouere debet, quod in eis toni reperiuntur aequales: neque enim sunt in sesquioctaua, neque in sesquinona ratione constituti, sed medium quoddam tenent in eis omnes consonantiae, atque intervalla, et omnia fere sunt imperfecta praeter Diapason: quod factum est propter commoditatem citharizantium. Et quoniam id non temere nec casu, sed maxima cum ratione fieri debet; in tertia parte huius operis, qua ratione faciendum sit, copiosissime demonstrabitur. Tantum hoc de tono minori superaddere voluimus, hoc interuallum non consideratum fuisse a Philosophis antiquis ante Platonis, et Aristotelis tempora: et primum Dydimum Musicum illud considerasse, quem secutus est Ptolemaeus, quadam adhibita correctione, vt in ipsius positionibus apud eundem Ptolemaeum licet intueri.

De Semitonio maiori, quo vtimur in cantu, et in albis plectris Musicorum instrumentorum, quae per alba, et nigra plectra pulsantur. CAPVT XVIII.

TOnorum maioris, et minoris considerationem sequitur Semitoniorum consideratio. Et primum Semitonij maioris, quoniam eius intervallum constat ex excessu, quo Diatessaron superat Ditonum, qui sequitur immediate excessum, quo Diapente superat Diatessaron. Et sicut ex hoc demonstrauimus, tonum maiorem constitui; sic ex illo demonstrabimus, Semitonium maius oriri. cuius interuallum post tonum maiorem facilime sensus apprehendit: quia post Ditonum ad complendam Diatessaron valde desideratur; et tantam habet in harmonia vim, vt nisi tonis admisceatur, nulla modulatio possit apte procedere, vt in constitutione generum manifestius apparebit. Et cum Diatessaron in sesquitertia constituatur, et Ditonum in sesquiquarta, constituendum erit hoc intervallum in sesquidecimaquinta, vt ostendunt hi numeri:

[Salinas, De musica, 72; text: Diatessaron, Ditonum, Semitonium maius, Sesquiquarta, Sesquidecimaquinta, Sesquitertia, 12. 15. 16.] [SALMUS2 06GF]

[73] Ex hoc semitonio cum tono maiori componitur minima consonantiarum, quam Semiditonum, seu tertiam minorem esse probauimus; quemadmodum ex sesquioctaua, et sesquiquintadecima componitur sesquiquinta, quod indicant hi numeri.

[Salinas, De musica, 73,1; text: Semiditonum, Sesquidecimaquinta, Tonus, Semitonium maius, Sesquioctaua, Sesquiquinta, 15. 16. 18.] [SALMUS2 07GF]

Et quoniam inter Musicos recentiores maximi nominis non minima est controuersia super hoc Semitonio, maiusne an minus in harmonia sit; valde necessarium esse videtur, hanc inter eos litem dirimere. Quod vt facilius fieri possit, scire oportet, Semitonium maius, aut minus in Musica nihil aliud significare, nisi interuallum, quod maius, aut minus sit, quam toni dimidium. Quocirca illi, qui dicunt esse Semitonium minus, probant ex illius duplatione non integri toni interuallum prouenire: et qui maius asserunt esse, demonstrant, illud bis sumptum maius, quam integri toni interuallum conficere: atque vtrique Semitonium id esse interuallum consentiunt, quo Ditonum a Diatessaron superatur; vnde illud Graeci limma vocauerunt, quasi id quod relinquitur, sublato Ditono a Diatessaron, quod Latine residuum dici potest. Sed qui illud Semitonium minus esse dicunt, atque id Mathematicis demonstrationibus persuadere conantur, hi sunt, qui Pythagoraeorum positiones amplectuntur, neque ab eis vllis rationibus diuelli queunt, tum quia fere omnes antiquos Philosophos eas tenuisse vident, et in his Platonem, et Aristotelem; tum etiam quod Boetius illud Semitonium minus vocat in primis quatuor suae Musicae libris, cui plurimum tribuunt omnes recentiores; quoniam aut nullius alterius positiones legisse videntur, aut eas non intellexisse: neque animaduertunt Platonem, atque alios Philosophos non solum in Musicis, sed in multis etiam astronomicis positionibus fuisse deceptos: vt, dum putauit Plato solem terrae propinquiorem esse, quam Mercurium, et Venerem; opinatus scilicet, Mercurio, et Venere inter solem, et terram collocatis, multo plures solis defectus necessario futuros fuisse. Veruntamen Philosophi, quoniam neque Musicam, neque Astronomiam profitebantur, non ita culpandi sunt, si in aliquos inciderunt errores; vt hi, qui Musicae professores, et esse, et haberi voluerunt. Boetius autem totus Pythagoricus est, et in libris duobus de Arithmetica, et quatuor primis de Musica Nicomachum secutus, Pythagoraeorum tantum positiones exposuit: quintum autem, in quo promiserat se aliorum opiniones, in quibus veteres autores sententiarum diuersitate discordant, in medium adducturum, et de his subtile iudicium facturum, imperfectum reliquit, aut morte, aut alijs calamitatibus praeoccupatus: quod si re praestitisset, fortasse nos his laboribus liberasset. Sed, vt ad rem ipsam reuertamur, tota haec lis ortum habet a diuersa Ditoni constitutione. nam qui Ditonum constituunt ex duobus tonis sesquioctauis, necesse est, vt residuum ad complendam Diatessaron Semitonium minus ostendant, quod in his numeris demonstrant inueniri.

[Salinas, De musica, 73,2; text: Diatessaron, Tonus sesquioctauus, Semitonium, 192. 216. 243. 256.] [SALMUS2 07GF]

Quod autem a 256. ad 243. sit Semitonium minus, et non maius, hac ratione demonstrant: Ducunt (per regulam duplandi proportiones) hos duos numeros in seipsos, et ex minore in seipsum ducto proueniunt 59049, et ex maiori 65536, in quibus inuenitur proportio Semitonij duplata, et interuallum constitutum ex duobus Semitonijs: quam proportionem [74] si probauerimus esse minorem sesquioctaua, eius dimidium erit minus, quam sesquioctauae dimidium. et quoniam minor numerus, cum sit impar, octaua parte caret; erit octuplandus vterque: ex qua multiplicatione prouenient 472392, et 524288, qui eandem facient proportionem, cui duorum Semitoniorum interuallum respondebit: et adiuncta minori eius octaua parte, prouenient 531441, a quo numero ad minimum erit sesquioctaua proportio, quae superat eam proportionem, in qua duorum Semitoniorum interuallum consistere demonstratum est, ea proportione, quae est a 531441. ad 524288, vt hic apparet.

[Salinas, De musica, 74,1; text: Tonvs, Duo Semitonia minora, Excessus, 472392. 524288. 531441.] [SALMUS2 07GF]

Ex qua supputatione liquido constat, duo Semitonia minora esse, quam tonum sesquioctauum: et per communem sententiam, quae asserit, quidquid bis sumptum integrum Totum non implet, minus esse quam dimidium illius; Semitonium etiam minus esse, quam toni dimidium necesse est. nec quisquam debet a labore calculi deterreri, dum exactam eius, quod speculatur, notitiam possit adipisci. Sed satis abunde ex his, quae superius dicta sunt, manifestum esse arbitror, huius Ditoni interuallum valde ineptum ad harmoniam esse, tum Ptolemaei testimonio primi Harmonicorum capitulo decimo, tum ratione ipsa, et euidenti experientia. atque idem etiam de eius residuo ad complendam Diatessaron ratione demonstratum est huius libri capitulo decimo: et testimonio Ptolemaei confirmari potest eiusdem etiam libri capitulo quinto, vbi Semitonij interuallum [ekmeles], hoc est, inconcinnum ait esse, et a cantu prorsus abhorrere; quia in proportione valde inepta consistit, qualis est a 256. ad 243; et non in superparticulari, vt harmoniae ratio postulare videtur. Si vero Ditonum in sesquiquarta constituatur, vt fieri debere, et rationis, et sensus iudicio superius ostensum est; Semitonium, quod, ad complendam Diatessaron, aures post Ditonum deposcunt, in sesquidecimaquinta necessario constituendum erit. quare si duae sesquidecimaequintae maiorem sesquioctaua proportionem faciunt, duo etiam Semitonia, quae illis respondent, maius interuallum, quam tonum, efficient: et per communem animi conceptionem, per quam intelligimus, quidquid bis acceptum aliquid transcendit, id maius esse, quam dimidium illius; Semitonij interuallum maius, quam toni dimidium esse, necesse erit. quod autem duae sesquidecimaequintae maiores sint vna sesquioctaua, manifestum fiet per regulam duplandarum proportionum, ductis in seipsis minimis numeris sesquidecimaequintae 15. 16: ex qua multiplicatione prouenient 225, et 256: et quoniam minor numerus non habet octauam partem, octuplatis ambobus, consurgent 1800, et 2048; et addita minori octaua parte, quae est 225, emerget 2025, qui ad 1800. faciet sesquioctauam, minorem ea, quam ad eundem numerum facit 2048, vt ostendit hic typus.

[Salinas, De musica, 74,2; text: Bissesquidecimaquinta, Sesquioctaua, Excessus, 23, 1800. 2025. 2048.] [SALMUS2 07GF]

Idem experimur in duobus Semitonijs, quae superuadunt interuallum toni prope vno commate. Praeterea hoc semitonio nemo est, qui non vtatur facilime tam in ascensu cantus, quam in descensu: quoniam valde naturale est, et, vt paulo superius dictum est, post Ditonum siue tertiam maiorem ad complendam Diatessaron consonantiam maxime desideratur. vt cantantes experiuntur in his sonis, quos per la, fa, mi, pronuntiant: quibus respondent numeri proportionum valde rationalium 12. 15. 16. hoc modo:

[75] [Salinas, De musica, 75; text: Diatessaron, Ditonum, Semitonium maius, la. fa. mi. 12. 15. 16. Sesquiquarta, Sesquidecimaquinta, Sesquitertia] [SALMUS2 07GF]

Quod non ita euenit in illo minori Pythagoraeorum: nam praeterquam quod in proportione nimis inepta constitutum est, nemo est, quantumuis sit in cantu exercitatus, qui illud modulari valeat. et hoc idcirco euenit, quia, vt superius demonstratum est, Ditoni interuallum non solum dissonum, sed inconcinnum est. Et cum per hunc gradum vel a Ditono ad Diatessaron, vel a Diatessaron ad Ditonum progredi necesse sit, et nemo Ditonum incompositum modulari valeat; nemo etiam erit, qui limmatis gradum ascendendo, vel descendendo, voce possit enuntiare: quare neque a Ditono proficisci, neque in Ditono sistere poterit. vnde non minus sensui, quam rationi repugnare necesse est. Neque in musicis instrumentis, neque in cantu talis gradus inuenitur, sed illius vice alius gradus, quem Musici Practici per mi, fa, pronuntiant; de quo iam satis multa diximus: hunc ferme omnes Musici scriptores neoterici limma Pythagoraeorum esse opinantur, atque eum Semitonium minus vocant, cum idem esse non possit, neque Semitonium minus sit. Quare manifestum est perperam eos de Musica sensisse, qui limmatis interuallum, siue minus semitonium ad harmoniam aptum esse dixerunt, quo nemo vnquam vsus est, neque in cantu, neque in Musicis instrumentis; et sustulerunt illud, quod reijci non potest, et quo omnes semper vsi sunt, et semper vtantur necesse est. Neque dicere possunt, quod sesquioctuagesimae quantitas, qua differunt, propter eius paruitatem insensibilis sit: valde enim sentitur, vt saepe iam dictum est: neque parua dici potest differentia, quae ex semitonio minori efficit maius, et ex inconcinno inconcinnissimum reddit.

De quodam instrumento multo locupletiore, quam illud, quod Ptolemaeus affert, et Helicona vocatum fuisse ait; in quo omnes consonantiae, et interualla minora, quae hactenus considerata sunt, ad sensum iudicari possunt. CAPVT XIX.

HActenus demonstratum est quibus proportionibus respondeant in numeris omnes consonantiae, atque ea minora interualla, quae in genere Diatonico omnium notissimo, et maxime naturali, vt in tertia huius operis parte manifestum erit, inueniuntur. Sed priusquam vlterius progrediamur ad demonstrandum, quibus proportionibus adaptentur semitonium minus, et Diesis (quae generis sunt Chromatici, et Enharmonij) apponere hic voluimus cuiusdam instrumenti descriptionem, in quo omnes consonantiae, atque minora reperiuntur interualla, quae hactenus considerata sunt. sed non eo ordine, quo in generis Diatonici constitutione collocari necesse est (nam hoc in eius generis tractatione docebimus) quoniam instrumentum non ita capax est, vt in eo, quo ratio generis postulat, ordine valeant omnia distribui, sed vt ratio patitur instrumenti; quatenus ad sensum non in vna chorda, sed in duabus, et pluribus ea possimus audire. Quod instrumentum multo locupletius est, quam illud quod Ptolemaeus ipse affert secundo Harmonicorum capitulo secundo, et Helicona vocatum ab antiquis, et Mathematica ratione factum fuisse ait. In eo enim quinque tantum consonantiae Pythagoraeorum, et Diapason ac Diatessaron, quam ipse addit, et ex dissonantijs tonus maior, et Diapason cum tono maiori possunt [76] inuenire. In hoc autem vnisonantia, et septem consonantiae inueniuntur intra Diapason, et quinque aliae vsque ad Disdiapason, et duae extra Disdiapason: et ex interuallis dissonis, non solum tonus maior, et Diapason cum tono maiori, vt in illo, sed tonus etiam minor, et semitonium maius: ita vt nullum ex interuallis simplicibus desit, eorum, quae ad genus Diatonicum pertinent, quod velut parens est, et fundamentum duorum relinquorum generum. Inueniuntur etiam complura alia, cum alijs interuallis dissonis, aut consonantijs compositas, quae conspicari licebit in expositione, quam mox post ipsius instrumenti typum subiungemus, qui talis est:

[Salinas, De musica, 76; text: PANDITE NVNC HELICONA DEAE, CANTVSQVE MOVETE. A, B, C, D, E, F, G, H, I, K, L, M, N, O, P, Q, R, 24, 20, 18, 16, 15, 12] [SALMUS2 08GF]

[77] Declaratio huius figurae.

Quadrati huius linea A F diuisa est in plures partes; primum in duas aequas in puncto C; deinde in tres in punctis B, et D; denique in quatuor, vnde prodijt punctum E: ita vt tota linea A F ad partem A B sit tripla, ad A C dupla, ad A D sesquialtera, ad A E sesquitertia. Ex his punctis eductae sunt 6. lineae aequidistantes, A M, B N, C O, D P, E Q, F R, quae omnes, praeter primam, per lineam, demissam ab angulo A ad medium lineae F R, secatur in duas partes, in punctis G, H, I, K, L. Hanc formam si quis fabrefacto instrumento, ac chordis imitetur: ita vt lineis A F, et M R retinacula, caeteris succedant chordae, quibus adhibeatur ponticulus A L; dico in eo, omnes consonantias, et interualla minora generis Diatonici exaudiri. Nam cum triangulorum aequiangulorum latera, aequos angulos respicientia, sint proportionalia, per quartam sexti Euclidis; erit, vt tota linea A F ad partes suas; ita linea F L ad sibi opposita latera. quare cum linea A F trianguli A F L posita sit sesquitertia ad A E trianguli aequianguli A E K; erit et F L sesquitertia ad E K. Quamobrem si lineae F L tribuantur 12. partes; lineae E K dandae erunt 9, et simili ratione lineae D I 8, C H 6, et B G 4. at prima A M, cum sit dupla ad F L; partibus 24. censebitur: reliquae lineae extra ponticulum tot partes continebunt, quot cum prioribus intra ponticulum iam enumeratis numerum 24. partium compleant. itaque G N occupabit 20, H O 18, I P 16, K Q 15, L K 12: a quibus numeris quae interualla binis quibusque collatis conficiuntur, ea, chordis eorum tactis, sentientur hoc modo:

Vnisonantia a 12, et 12.

Semitonium maius a 16, et 15.

Tonus minor a 20, et 18.

Tonus maior bis, a 9, et 8; et a 18, et 16.

Semiditonum bis, a 18, et 15; et a 24, et 20.

Ditonum bis a 15, et 12; et a 20, et 16.

Diatessaron quinquies, ab 8, et 6; a 12, et 9; a 16, et 12; a 20, et 15; et a 24, et 18.

Diapente quoque quinquies a 6, et 4; a 9, et 6; a 12, et 8; a 18, et 12; a 24, et 16.

Hexachordum minus a 24, et 15.

Hexachordum maius bis, a 15, et 9; et a 20, et 12.

Diapason quinquies, ab 8, et 4; a 12, et 6; a 16, et 8; a 18, et 9; et a 24, et 12.

Quaedam etiam interualla cum Diapason repetita inuenientur, vt,

Diapason cum Tono minori a 20, et 9.

             Tono maiori bis, a 9, et 4; et a 18, et 8.
             Ditono bis, a 20, et 8; et a 15, et 6.
             Diatessaron bis, a 16, et 6; et a 24, et 9.
             Diapente ter, a 12, et 4; a 18, et 6; et a 24, et 8.
             Hexachordo maiori a 20, et 6.
Disdiapason bis, a 16, et 4; et a 24, et 6.
Et cum hac nonnulla interualla repetita, vt,
Disdiapason cum Tono maiori a 18, et 4.
                Ditono a 20, et 4.
                Diapente a 24, et 4.

Libuit minutatim singulas huius instrumenti particulas explicare, propter admirandam et summam eius perfectionem. Sed, quod in hac instrumenti descriptione mirabilius videri debet, illud esse crediderim, quod in sextupla proportione consistit, intra quam omnes consonantiae, ac dissonantiae, quas in eo demonstrauimus inueniri, continentur. In quo mira Senarij virtus etiam apparet, quandoquidem non solum sex consonantiae simplices [78] in sex primis numeris, et in sex primis proportionibus simplicibus inueniuntur, et in sex primis, quae consequenter per multiplicitatis ordinem oriuntur: ita vt nec in his, nec in illis vlterius ad alias consonantias, aut harmonica interualla possit immediate procedi, (quod superius euidenter ostensum est) sed etiam in omnibus sex proportionum generibus, vno aequalitatis, et quinque inaequalitatis, consonantias ac dissonantias constitutas inuenire poterit, quicunque volet earum legitimas proportiones in numeris inuestigare. Sed nos ad ea minora interualla, quae restant, explicanda, qua maiore possumus breuitate, pergamus.

De Semitonio minore: et quod non sit Apotome Pythagoraeorum, sed aliud interuallum minus quam Limma. CAPVT XX.

CVm superius satis longam de Semitonio maiori tractationem instituerimus; quoniam in eius cognitione totius harmoniae instrumentalis cardo verti videbatur; contextus operis postulat, vt dicamus de Semitonio minore, quod est minimum interuallum, ex his quae sumuntur ex excessibus consonantiarum: quoniam est excessus, quo Ditonus superat Semiditonum, quae sunt vltimae consonantiae. Et cum demonstratum sit Ditonum in sesquiquarta, et Semiditonum in sesquiquinta consistere; necessario hoc Semitonij minoris interuallum erit constituendum in sesquiuigesimaquarta, qua proportione sesquiquarta superat sesquiquintam, vt in his constat numeris:

[Salinas, De musica, 78,1; text: Ditonum, Semiditonum, Semitonium minus, 20. 24. 25. Sesquiquinta, Sesquiuigesimaquarta, Sesquiquarta] [SALMUS2 09GF]

Et ex hoc Semitonio cum Semitonio maiori constat tonus minor, et non maior: quoniam ex sesquidecimaquinta et sesquiuigesimaquarta fit sesquinona, qua maior est sesquioctaua vna sesquioctuagesima, vt apparet in his numeris:

[Salinas, De musica, 78,2; text: Tonus maior, Tonus minor, Excessus, Semitonium minus, Semitonium maius, 72. 75. 80. 81.] [SALMUS2 09GF]

Sed in artificialibus instrumentis cum omnes toni sint aequales, omnis tonus constat ex Semitonio maiori et minori, quod non ita esse debet in perfecto instrumento, vt inferius in eius compositione demonstrabitur. Et cum superius demonstratum sit, Semitonium, quo Diatessaron superat Ditonum, esse maius, quam dimidium toni; satis probatum esse arbitror, id, quod deest ad complendum tonum, esse minus quam eius dimidium, vt in his apparet numeris:

[Salinas, De musica, 78,3; text: Tonus sesquioctauus, Semitonium maius, Plusquam sesquiuigesimaquarta, 120. 128, 135.] [SALMUS2 09GF]

Et si, quod deest ad complendum tonum sesquioctauum, minus est quam toni dimidium, multo minus erit, quod deerit ad complendum sesquinonum, vt hi numeri ostendunt:

[79] [Salinas, De musica, 79,1; text: Tonus minor, Semitonium maius, Semitonium minus, Sesquidecimaquinta, Sesquiuigesimaquarta, 45. 48. 50. Sesquinona] [SALMUS2 10GF]

Ex quibus manifestum est, hoc interuallum esse non posse Pythagoraeorum apotome, quoniam illa maior pars est toni, vt ostendunt hi numeri:

[Salinas, De musica, 79,2; text: Tonus maior, Limma, Apotome, 1944. 2048. 2187.] [SALMUS2 10GF]

Nec vlli dubium esse potest, apotomen valde limmate esse maiorem: id enim optime demonstrat Ptolemaeus, continuatis tribus tonis, et a minori extremo minimi Diatessaron ducta consonantia, cuius extremum grauius, diuidit tertium tonum in duo interualla, vt hic typus ostendit.

[Salinas, De musica, 79,3; text: Diatessaron, Tonus maior, Apotome, Limma, 2187, 2048, 1944, 1728, 1536] [SALMUS2 10GF]

Veruntamen [henos atopou dothentos ta alla sumbainei], hoc est, dato vno absurdo plura sequuntur, vt ait Aristoteles Physicorum primi capitulo secundo; vnde, quoniam decepti sunt in continuatione duorum tonorum, necesse fuit, eos etiam decipi in constitutione Semitonij maioris, et minoris. Atque etiam falluntur neoterici tam Theorici, quam Practici, qui existimant, Apotomen antiquorum esse illud interuallum, quod in Musicis instrumentis (vt sunt organa, atque alia eiusdem generis) inter [sqb], et b. molle inuenitur, et maius spatium esse inter haec duo [sqb] b, quam inter [sqb] et c, et inter b. et a; cum res contra se habeat, vt rationis, et sensus iudicio demonstratum est, et quotidie auribus experiri licet. Hoc etiam in loco maxima videtur obseruatione dignum, quod excessus consonantiarum simplicium ad simplices sibi proximas in proportionibus, quas faciunt primi numeri quadrati ad minores sibi proximos, reperiuntur; vt Diapason ad Diapente Diatessaron in primo a 4. ad 3; Diapente ad Diatessaron, Tonus maior a 9. ad 8; Diatessaron ad Ditonum, Semitonium maius a 16. ad 15; Ditoni ad Semiditonum, Semitonium minus a 25. ad 24. [80] Haec omnia in sequenti numerorum dispositione clarius apparent.

[Salinas, De musica, 80,1; text: A. B. C. 2. 3. 4. 6. 8. 9. 12. 15. 16. 20. 24. 25. Diapason. Diapente. Diatessaron. Ditonum. Semiditonum. Tonus maior. Semitonium maius. Semitonium minus.] [SALMUS2 11GF]

Ratio superius dispositae descriptionis.

In superiori forma numeri posteriores sunt quadrati; primi eorundem longilateri; medij quadratis vnitate minores, longilateris vero tot vnitatibus maiores, quoti quadrati, ac longilateri esse reperiuntur. Estque maxima proportio, seu excedens, inter quadratum et longilaterum; minor, quae exceditur, inter longilaterum et medium; minima, seu excessus, inter quadratum et medium. signaturque maxima per A, minor per B, minima per C.

De interuallo Dieseos, quod in Musicis, quibus vtimur, instrumentis minimum est. CAPVT XXI.

HActenus dictum est de his minoribus interuallis, quae ex excessibus consonantiarum ortum habent, quibus plerumque vtimur in Musicis instrumentis, in quibus omnis tonus reperitur in duo semitonia diuisus, quorum alterum maius, et alterum minus est: neque inuenitur in eis minus interuallum semitonio minori, quod oritur ex excessu vltimarum consonantiarum. nunc agendum est de alio interuallo, quod Diesis appellatur, tum quoniam ab omnibus antiquis consideratum est, (quamuis non illud iuxta veram suae legitimae proportionis formam constituerint) tum etiam quia necessario ponendum est in Musicis, quibus vtimur, instrumentis, praesertim in organis, atque alijs eiusdem generis; quoniam aliter in his modulari non possumus ea cantilenarum genera, quae Symphonetae per Musicam, quam fictam vocant, vel Musicam trium b. mollium componere consueuerunt, quae est eadem cum illa, quam antiqui Enharmonij generis esse dixerunt, vt suo loco demonstrabitur: quoniam in his, quibus passim vtimur, instrumentis, duo b. mollia solum inueniuntur. Et quandoquidem instrumenta artificialia facta sunt ad exemplar naturalium, quibus, quam maxime fieri potest assimilari debent; ita constituenda sunt in eis interualla, vt quidquid vocibus hominum cantari solitum est, etiam modulari, et per eosdem sonos (si fieri possit) valeamus. Nec nouum hoc videri debet inuentum; nam apud Italos Diesibus vtuntur in organis ad minus duabus in omni Diapason, alter inter a. Diatonicum et g. Chromaticum, et altera inter d. Diatonicum et c. Chromaticum; vt commodius ab ipsis, organa pulsantibus, choro cantantium responderi possit, cuiusmodi organa ego saepe pulsaui Florentiae in monasterio Fratrum Dominicalium valde celebri, quod sancta Maria Nouella nuncupatur. Quamobrem necesse fuit hoc etiam interuallum considerare, quod ortum habet ex excessu, quo Semitonium minus a maiori superatur. et cum demonstratum sit, Semitonium maius in sesquidecimaquinta, et Semitonium minus in sesquiuigesimaquarta consistere; Dieseos interuallum constituendum erit in supertripartientecentesimasuigesimasquintas, qua proportione sesquidecimaquinta superat sesquiuigesimamquartam, quae in his numeris reperitur.

[Salinas, De musica, 80,2; text: Semitonium maius, Semitonium minus, Diesis, 120. 125. 128. Sesquiuigesimaquarta, Supertripartiens, Sesquidecimaquinta] [SALMUS2 11GF]

[81] Nolumus tamen ignorare Lectorem, in vnoquoque genere melodiarum minimum Diesin vocari. nam antiqui limma, quod est minimum Diatonici generis interuallum, Semitonium minus, siue Diesin vocabant: et nos Semitonium maius quod, eius loco ponendum esse demonstrauimus, diesin Diatonicam rite vocauimus, et Semitonium minus diesin Chromaticam.

Quaenam sit ratio potissima, propter quam Diesis non in superparticulari proportione, vt reliqua omnia minora interualla, constituta esse reperiatur; ex ipsius harmoniae natura, ac rei veritate deprompta.

CAPVT XXII.

IN hac autem Dieseos consitutione examinare oportet, quaenam sit potissima ratio, quod, cum omnia minora interualla in proportionibus superparticularibus constituta reperiantur, sola Diesis in superpartienti proportione consistat. Quam etiam Ptolemaeus in superparticulari, vt reliqua omnia, constituendam esse opinatus est, deceptus quadam similitudine in ipsius constitutione, vt decepti sunt Pythagorici in constitutione Semitonij minoris. Ad cuius rei exactissimam cognitionem memoria repetere oportet, consonantias perfectas ab imperfectis hoc differre, quod illae diuiduntur Arithmetice, hoc est, per aequales differentias in duas consonantias, aut duo harmonica interualla; vt Diapason in Diapente, et Diatessaron; Diapente in Ditonum, et Semiditonum; Ditonum in Tonum maiorem, et minorem. neque vlterius procedi potest in huiusmodi diuisione, quoniam nulla consonantia perfecta Ditono minor est. Fit autem Arithmetica diuisio duplicatis minimis numeris proportionum, in quibus consistunt. vt 2, et 1, qui sunt minimi duplae, in 2. 3. 4; et 3, et 2, qui sunt minimi sesquialterae, in 4. 5. 6; et 4, et 5, qui sunt minimi sesquiquartae, in 8. 9. 10. Harmonice vero diuisae reperiuntur, Diapason in minimis duplae, 1. 2, triplicatis, vt 3. 4. 6; Diapente, minimis sesquialterae, 2. 3, quintuplatis vt 10. 12. 15; Ditonum, minimis sesquiquartae, 4. 5, noncuplatis, vt 36. 40. 45: ita vt in ipsis differentijs inueniantur minimi numeri ipsarum proportionum, quae diuiduntur; quod ipsum quoque in causa est, cur alij triplicentur, alij quintuplentur, alij noncuplentur: minimi enim proportionum numeri aggretati constituunt alij 3, alij 5, alij 9. Et perfectarum proprium est, in minoribus numeris Arithmetice reperiri diuisas, et in maioribus Harmonice, vt naturalis ordo postulat. Imperfectae uero, quae sunt Diatessaron, et Semiditonum, multo aliter diuiduntur: non enim per aequales differentias, sed per duplas, quae primae sunt post aequales, in harmonica reperiuntur interualla diuisae. Et quia minimi numeri Duplae coniuncti constituunt ternarium, ideo hae diuisiones contingunt in triplicatis minimis numeris ipsarum, in quibus consistunt, proportionum, quemadmodum fit diuisio harmonica Diapason. vt Diatessaron in tonum minorem, et Semiditonum; triplicatis numeris sesquitertiae 3. 4, ex quorum triplicatione proueniunt 9. 12, inter quos sunt duo numeri, 10, 11; et quoniam 11, quamuis ad 12. sit subsuperparticularis, ad 9. tamen est superpartiens; eo relicto assumitur 10, ad quem duodenarius faciet sesquiquintam, in qua semiditonum consistit; et ipse denarius ad nouenarium sesquinonam, in qua tonus minor est constitutus: et differentiae duplam faciunt proportionem; nam duodenarius excedit denarium binario, et denarius nouenarum vnitate. Idem etiam euenit triplicatis minimis numeris sesquiquintae (in qua Semiditonum consistit) 5. et 6, ex quorum triplicatione proueniunt 15, et 18; inter quos reiecto 17, quoniam ad 15. non est superparticularis, assumitur 16, ad quem 18. sesquioctauam facit proportionem, in qua tonus maior; et ipse 16. ad 15. sesqui 15, in qua Semitonium maius; et differentia etiam 18. ad 16, ad differentiam 16. ad 15. est dupla. Et in his contra euenit, quam in perfectis; nam in minoribus numeris reperiuntur [82] Harmonice diuisae, non quod differentiae inter se seruent extremorum proportionem; sed quod interualla minora in minoribus numeris, et maiora in maioribus reperiantur, quae est secunda proprietas proportionalitatis harmonicae. et in maioribus inueniuntur Arithmetice diuisae, non iuxta primam proprietatem Arithmeticae proportionalitatis per aequales differentias; sed iuxta secundam, vt maiora interualla in minoribus numeris, et minora in maioribus reperiantur. vt Diatessaron in triplicatis minimis sesquitertiae numeris reperitur harmonice diuisa, et in eisdem quintuplatis, iuxta sensum, quem posuimus, Arithmetice. Nam, quintuplatis 3. et 4, proueniunt 15. et 20, inter quos 18. ad 15. facit sesquiquintam, in qua reperitur Semiditonum in minoribus numeris; et 20. ad ipsum 18. sesquinonam, in qua consistit tonus minor in maioribus. Sic etiam Semiditoni consonantia in triplicatis minimis numeris sesquiquintae reperitur harmonice diuisa, et in eisdem octuplatis Arithmetice: nam ex octuplatione 5. et 6. proueniunt 40. 48, inter quos 45. ad 40. facit sesquioctauam, in qua tonus maior; et 48. ad ipsum, sesquiquindecimam, in qua Semitonium maius. Differunt etiam in hoc perfectae ab imperfectis, quod in secundis, et tertijs diuisionibus, non maiores partes subdiuiduntur in his, vt in perfectis: nam diuisa Diapason in Diapente, et Diatessaron; non Diatessaron, sed Diapente subdiuiditur: sed diuisa Diatessaron in Semiditonum, et tonum minorem; non Semiditonum, sed tonus minor subdiuiditur. Veruntamen hic etiam aduertendum est, differre diuisionem minorum interuallorum a diuisione imperfectarum consonantiarum; quemadmodum earum diuisio a perfectarum diuisione differre inuenta est: non enim diuiduntur per duplas differentias sicut imperfectae, neque in triplicatis minimis suarum proportionum numeris, vt arbitratus est Ptolemaeus, in quo valde deceptus est. triplicatis enim sesquinonae minimis numeris 9. et 10, vnde proueniunt 27. et 30, inter quos 28. ad 27. facit sesqui 27, et 30. ad ipsum, sesqui 14; existimauit in his duabus proportionibus rite collocari Semitonium maius, et minus: et triplicatis minimis numeris sesquiquintaedecimae, qui sunt 15. et 16, ex qua triplicatione proueniunt 45. et 48, inter quos 46. ad 45. facit sesqui 45, in qua proportione Diesim constituit, et 48. ad 46. sesqui 23, in qua Semitonium minus voluit esse constitutum: vt non minus Dieseos interuallum, quam reliqua omnia, in superparticulari proportione consisteret. quod quantum abhorreat a vero sensus, ac rationis iudicio; ex his, quae superius demonstrata sunt, cuilibet manifestum esse potest. Eorum autem vera, iuxta numerorum harmonicorum naturam, diuisio est, vt non secundum harmonicam imperfectarum consonantiarum, a quibus oriuntur, diuisionem, sed secundum Arithmeticam diuidantur. Nam quemadmodum Diatessaron in quintuplatis minimis sesquitertiae numeris, qui sunt 15. 20, inuenitur Arithmetice diuisa in 15. 18. 20; ita vt Semiditonum habeat 3, et tonus minor 2, quae differentiae sesquialteram faciunt proportionem, ad duplam proxime accedentem: sic etiam quintuplatis minimis sesquinonae numeris, qui sunt 9. et 10, vnde proueniunt 45. 50; tonus minor reperitur in Semitonium maius, et minus Arithmetice diuisus, in numero 48; et Semitonium maius habebit 3; et minus 2, qui numeri etiam faciunt sesquialteram proportionem; et Semitonium minus reperitur in superparticulari proportione constitutum, quae est a 50. ad 48. Ad eundem etiam modum, quemadmodum Semiditoni consonantia non reperitur Arithmetice diuisa, nisi in minimis numeris sesquiquintae per 8. multiplicatis: sic etiam Semitonium maius non potest reperiri Arithmetice diuisum, nisi octuplatis minimis numeris sesquidecimaequintae, qui sunt 15. 16, vnde prouenient 120. et 128, inter quos 125. ad 120. faciet sesqui 24, in qua constitutum est Semitonium minus; et 128. ad 125. supertripartientem 125, in qua reperitur interuallum Dieseos. Et quoniam differentiae sunt 5, et 3, quae non faciunt superparticularem proportionem, non potuit Diesis in superparticulari constitui, quemadmodum Semitonium minus, quod cum maiori in quinque repertum est, qui numerus in 3. et 2. diuidi potuit, in quibus prima superparticularis inuenitur proportio: quod in 8. fieri non potest, [83] quoniam in 5. et. 3. diuidendus est ea diuisione, quae proxima est ei, quae in duo aequa fieri potest. Quod si quis obijciat, etiam sesquiquintam in octuplatis numeris inueniri Arithmetice diuisam in duas superparticulares, quarum differentiae sint 5. et 3; et tonum etiam minorem; dicimus in his non esse primam diuisionem, sed secundam; Semitonij autem maioris hanc esse primam in duo harmonica interualla diuisionem. Ex his liquido constat, sic ex Semiditono Semitonium maius, et ex Semitonio maiori Diesim in harmonia procreari, quemadmodum ex Diatessaron tonum minorem, et ex tono minore Semitonium minus: et in neutra harum diuisionum vlterius posse procedi. Horum omnium haec poterit esse descriptio.

[Salinas, De musica, 83; text: Diuisio interuallorum. DIAPASON, Diapente, Diatessaron, Ditonum, Semiditonum, Tonus minor. Tonus maior. Semitonium maius, Semitonium minus. Diesis. Eadem diuisio in consonantias perfectas, imperfectas, et interualla minora distincta. DIVISIO. Consonantiarum. Interuallorum minorum. TONVS MINOR, Perfectarum. Imperfectarum. minus membrum Diatessaron. minus membrum Semiditoni.] [SALMUS2 11GF]

[84] [Salinas, De musica, 84; text: Eadem diuisio in numeris. DIVISIO, Consonantiarum, Interuallorum minorum, Perfectarum, Imperfectarum, Arithmetica in Duplatis, AC. AB. BC. A. B. C. Diapason in Diapente et Diatessaron. 2. 3. 4. Diapente in Ditonum et Semiditonum. 4. 5. 6. Ditonum in Tonum maiorem et Tonum minorem. 8. 9. 10. Harmonica. in Triplicatis. Diapason in Diatessaron et Diapente. 3. 4. 6. in Quintuplatis. Diapente in Semiditonum et Ditonum. 10. 12. 15. in Noncuplatis. Ditonum in Tonum minorem et Tonum maiorem. 36. 40. 45. Harmonica in Triplicatis, Diatessaron in Tonum minorem et Semiditonum. 9. 10. 12. Semiditonum in Semitonium maius et Tonum maiorem. 15. 16. 18. Arithmetica, Diatessaron in Semiditonum et Tonum minorem. 15. 18. 20. in Octuplatis. Semiditonum in Tonum maiorem et Semitonium maius. 40. 45. 48. Tonus minor in Semitonium maius et Semitonium minus 45. 48. 50. Semitonium maius in Semitonium minus et Diesin. 120. 125. 128. Tonus minor in Semitonium minus et Semitonium maius. 72. 75. 80. in per 25. multiplicatis, Semitonium maius in Diesin et Semitonium minus. 375. 384. 400.] [SALMUS2 12GF]

[85] Tonus maior reperitur in harmonia diuisus vt Diatessaron, in triplicatis suae proportionis numeris (quod nulli alij minorum accidit interuallorum) in Semitonium minus, atque id, quod est a 27. ad 25, quod licet non inueniatur vt gradus, inuenitur vt saltus, sicut consonantiae: et quoniam dissonum est, in superpartienti consistit, et diuiditur etiam in triplicatis eius numeris Arithmetice, in Semitonium maius et comma, vt,

[Salinas, De musica, 85; text: TONVS MAIOR, Semitonium minus, Superbipartiens 24. 25. 27. per 3. 75. 80. 81. Semitonium maius, Comma, Superbipartiens] [SALMUS2 13GF]

De Commatis interuallo, quod etsi non inuenitur in Musicis, quibus vtimur, instrumentis; in eo tamen, quod iuxta veram, ac perfectam instrumentalis harmoniae compositionem fit, necesse est inueniri.

CAPVT XXIII.

AD exactam consonantiarum, et minorum interuallorum diuisionem nil amplius requiri videtur: sed cum in ea vltimum positum sit Comma, omnium interuallorum minimum; de eo nonnihil dicendum est. In Musicis, quibus vtimur instrumentis hoc nec inuenitur, nec inueniri necesse est, vt Diesin; sed in constitutione instrumenti perfecti, quod Harmonicus considerare debet, necessario inuenitur. quoniam, vt demonstratum est, in eo sunt duo toni inaequalis magnitudinis: et vbi maius, et minus reperitur, necesse est etiam inter ea differentiam reperiri. Et cum tonus maior in sesquioctaua ratione consistat, et minor in sesquinona, necessario comma constituendum est in sesquioctuagesima proportione, quae est earum differentia, vt ostenditur in his numeris.

         Tonus maior
   Tonus minor      Comma
 72.            80.        81.

Appellatur autem hoc interuallum Comma, non quia conueniat illi definitio commatis antiquorum, quod erat excessus Semitonij maioris ad minus (ea namque potius conuenit Dieseos interuallo, ut ex his, quae dicta sunt, colligi potest: quod etiam fuit in causa, vt nunnulli ex Practicis tonum constare quinque commatis asseruerint, ex quibus tria maiori Semitonio, duo minori tribuebant) sed quia minimum est omnium interuallorum sensibilium, quae ab Harmonico considerantur. Non enim est insensibile, vt Ptolemaeus arbitratus est, qui nihil ad sensum referre putabat, sesquioctauane an sesquinona collocaretur in acutissimo interuallo tetrachordi Diatonici; propter minimam, atque insensibilem, vt ipse ait, earum differentiam. Quod neutiquam asseruisset, si ad sensum id expertus esset, ut nos experti sumus in eo instrumento Musico, quod Romae faciendum curauimus, in quo vterque tonus auditur, et eorum differentia euidenter auribus percipi, et iudicari potest. nam quod ex consono dissonum reddit, aut contra, nequit omnino esse insensibile. Sed, quamquam ille cognouit optime, Ditonum, ex duabus sesquioctauis conflatum, dissonum esse; non tamen ausus est affirmare, Ditonum in sesquiquarta ratione consistens consonum esse, ne prorsus aduersari fortasse videretur Pythagoraeis, in constituendis minoribus, quam Diatessaron, consonantijs. Vnde etiam eorum Semitonium minus, siue limma [86] commode posse collocari in grauissimo interuallo loco Semitonij maioris in sesquidecimaquinta consistentis arbitratus est, propter minimam eorum differentiam, quae etiam est sesquioctuagesima, vt manifestant hi numeri:

       Semitonium maius
    Comma            Limma
 240.        243.           256.

Veruntamen, vt necesse fuit, ratione ipsa, et sensus euidentia cogente, diuersa a Pythagoraeis constituere Semitonia; sic etiam coacti sumus diuersum ab eis comma considerare.

Differt autem ab eorum commate ea proportione, qua Semitonium maius discrepat ab eorum Apotome, quae est 32805. et 32768. nam sumptis minimis numeris, in quibus inuenitur Apotome, qui sunt 2048. et 2187; et (quoniam minor quintadecima parte caret) per 15. multiplicatis, consurgent 30720. et 32805; et addita minori quintadecima parte, quae est 2048, prouenient 32768; a quo ad minimum erit Semitonium maius, et a maximo ad eundem Apotome, et a maximo ad medium differentia, vt sequens ostendit descriptio:

                    Apotome
      Semitonium maius     Differentia
 30720.               32768.          32805.

Quorum si medius, et maximus per 16. ducantur, emergent 524288, et 524880, ad quos 531441. faciet ad minimum comma Pythagoraeorum, et ad medium comma, in sesquioctuagesima proportione consistens, quod Harmonico necessario considerandum est. quod si tribus his numeris comparemus 559872, faciet ad minimum Apotomen, ad medium Semitonium maius, ad maximum limma, vt hic typus ostendit:

[Salinas, De musica, 86; text: APOTOME, comma pythagoricum, Excessi, semitonium maius, comma harmonicum. Limma, A, 559872, B, 531441, C, 524880, D, 524288] [SALMUS2 13GF]

[87] Poterit autem hoc interuallum sic sensus, et rationis inuestigari iudicio, si consonantias ipsas (quae sensui manifestiores sunt, quam minora interualla) ita disponamus, vt ex illis necessario emergere demonstretur. Quod fiet, si chorda aliqua eo, quo dicemus, modo diuisa, puncta diuisionis, sonorum loco sumantur. Accipio igitur primum sonum acutissimum, qui vocetur A, a quo remitto in Diapente alium sonum, qui vocetur B, et ab eo intendo per Diatessaron alium, qui sit C, a quo remitto alium per Semiditonum, qui sit D, a quo rursus intendo alium per Diatessaron, qui sit E. quibus sonis sic dispositis emerget interuallum commatis ab A ad E, vt haec ostendit descriptio:

[Salinas, De musica, 87; text: Diapente, Diatessaron, Semiditonum, comma, B, D, C, E, A, 120, 108, 90, 81, 80] [SALMUS2 14GF]

In hac descriptione manifeste demonstratur, sonum E. necessario ab A. diuersum poni debere, si velimus, vt D. suum habeat Diatessaron intensum. atque, vt ratio perpendit in numeris, ita sensus iudicabit in sonis, si hae consonantiae, quanto poterunt ab ipso sensu percipi perfectiores, constituentur. Verum hi duo soni, A. E, in Musicis instrumentis a Practicis necessario confunduntur, propter vsus commoditatem; ita vt neuter eorum remaneat, sed tertius quidam ex vtroque conflatus, vt suo loco demonstrabimus. Veruntamen de mira huius interualli virtute, quam habet in perfecta instrumentalis harmoniae compositione, cum de constitutione generum agemus, qui locus erit aptissimus illi speculationi, plura, maxima consideratione digna, dicemus. Atque haec de minoribus interuallis, quae ab harmonico considerari debent, quot, et quae sint, dixisse sufficiat. In quorum numero etiam illud animaduersione dignum videtur, sex inueniri paria numero sex consonantijs, quas ad Harmonici speculationem demonstrauimus pertinere. Et vt hanc materiam de consonantijs, et interuallis per se sumptis, debito fine claudamus, quisnam sit usus minorum interuallorum ad harmoniam exercendam, quam paucissimis fieri poterit, ostendemus.

[88] Quibus de causis necesse sit Harmonico interualla minora dissona considerare: et de prima vtilitate, quam ex eorum consideratione percipit.

CAPVT XXIIII.

QVoniam autem in superioribus dictum est, Harmonicum primo, et per se consonantias speculari debere; et deinde etiam ad eum pertinere interuallorum minorum speculationem, quamuis dissona sint: nunc dicimus, id duplici de causa fieri oportere. Primum, vt non solum scire possit diuersas consonantiarum quantitates, et aliam alia esse maiorem; sed etiam, quanto sit vna maior alia, per differentiarum, quae sunt inter ipsas, cognitionem, exacte dijudicet. vt exempli gratia, si proponantur illi Diapente, et Diatessaron, non satis erit eum Diapente maiorem, quam Diatessaron esse iudicare; nisi etiam, quanta sit illa magnitudo, qua maior minorem superat, exacte cognoscat: quod non aliter assequi potest, nisi cognito excessu, quo Diapente superat Diatessaron; quem demonstrauimus esse Tonum. Quo circa ad Harmonicum pertinebit Toni consideratio, atque aliorum interuallorum, quae ex excessibus consonantiarum oriuntur: vt sciat diuersas eorum quantitates, quae sumuntur ex diuersis consonantiarum differentijs. Et cum omnes consonantiae ab immediatis sibi consonantijs non differre possint per consonantias; quoniam iam non essent immediatae; oportet, vt differant per dissona interualla. Quod non intelligendum est de vnisonantia, neque de Diapason aequisonantia: quoniam ad has nulla consonantia per minus interuallum accedit, quam per vltimam consonantiam, quae est Semiditonum; ita vt inter duo extrema Diapason, Hexachordum maius, quod est illi proximum, ab altero extremorum per Semiditonum distare necesse sit. sed ipsum Hexachordum maius a minori, et Hexachordum minus a Diapente, et reliquae immediate per minora interualla inter se distabunt. Secunda ratio, quare Harmonicus minora interualla considerare debeat, est, vt sciat illis vti tanquam gradibus, per quos ab una consonantia in aliam migrare possit, iuxta legitimum procedendi modum, quem in harmonia exercenda rationis harmonicae natura deposcit. quod quia pluribus modis fieri potest, eos, qua maiori possumus breuitate, perstringemus. Set prius inuestigandi sunt omnium consonantiarum excessus: quandoquidem ea ratio prior assignata est, propter quam interualla dissona deberent ab Harmonico considerari. Quod fieri poterit commodissime, si accipiatur chorda, cuius magnitudo sit vt numerus 60; qui potest augeri quinta, et quarta, et tertia, et secunda sui parte, atque etiam altero tanto, vt in ea possint inueniri duo Diapason extrema, mediata per omnes consonantias, quae intra ipsam tam simplices, quam compositae reperiuntur. Vocetur autem ipsa chorda, quae erit vt 60, A.B: cui a parte B. addatur quinta eius pars, quae erit 12; et sonus adauctae, qui sit A.C. 72, erit grauior Semiditono ad sonum A.B: et si addatur quarta, quae erit 15; sonus adauctae, qui erit A.D. 75, ad sonum A.B. erit remissior. Ditono: et si addatur tertia, 20; faciet sonum A.E. 80, Diatessaron remissiorem A.B: et addita secunda, 30; faciet sonum A.F. 90, Diapente remissiorem A.B. Et quoniam nulla pars dimidia maior est inter dimidium, et tantundem; non pars, se partes addendae sunt: quae si erunt tres quintae, 36, efficient A.G. 96, sonum Hexachordo minori remissiorem A.B: et si duae tertiae 40; emerget sonus A.H. 100, Hexachordo maiore remissior A.B: et si tandem altero tanto augeatur; fiet sonus A.I. vt 120, qui erit alterum extremum, Diapason grauius ad A.B. Idem etiam fiet per subtractionem earundem consonantiarum ab extremo grauiori, 120. nam si ab eo subtrahatur sexta pars, restabit sonus 100, A.H. acutior Semiditono; et si quinta, 96, A.G. acutior Ditono; si quarta, 90, A.F. Diatessaron acutior; si tertia 80, A.E. Diapente; et si tres octauae, 75, A.D. Hexachordo minore; et si duae quintae 72, A.C. Hexachordo maiore; et si dimidium denique subtrahatur, restabit A.B. 60, Diapason acutior A.I. Ex quibus quoniam vnisonantia neque excedit, neque exceditur; nec maxima dici potest, nec minima; idcirco in ea non [89] consideratur excessus. Quod si excessus dici potest, a qualibet consonantia exceditur per ipsammet consonantiam, vt a Semiditono per Semiditonum, a Ditono per Ditonum, et ab alijs eodem modo. Diapason autem, quoniam maxima est, non exceditur, sed excedit. Et Semiditonum, quia minima, non excedit, sed exceditur; a Ditono quidem per interuallum H.G, a Diatessaron per interuallum H.F, a Diapente per interuallum H.E, ab Hexachordo minori per interuallum H.D, ab Hexachordo maiore per interuallum H.C, a Diapason per interuallum H.B, Ditonum vero solum excedit Semiditonum per interuallum H.G, vt dictum est: exceditur autem a Diatessaron per G.F, a Diapente per G.E, ab Hexachordo minori per G.D, a maiori per G.C, a Diapason per G.B. Diatessaron excedit minores, quas diximus; exceditur autem a maioribus, a Diapente per F.E, ab hexachordo minori per F.D, a maiori per F.G, a Diapason per F.B. Diapente etiam excedit minores, vt dictum est: exceditur autem ab Hexachordo minori per E.D, a maiori per E.C, a Diapason per E.B. Hexchordum minus, vt dictum est, excedit minores: exceditur autem ab Hexachordo maiori per D.C, a Diapason vero per D.B. Hexachordum maius omnes alias excedit, vt visum est; a sola Diapason exceditur per C.B. De Diapason autem, quoniam omnes excedit, vt demonstratum est, et a nulla exceditur, nihil est, quod dici possit reliquum, quare oculis nunc subijciemus diagramma, in quo haec omnia, vt se habent in numeris, sic etiam in ipsis interuallorum distantijs intueri licebit.

Sequentis descriptionis explicatio.

Subiungitur hic chorda eo, quo dictum est, modo diuisa: cuius partes lineolis, numeris, ac literis sunt distinctae: eisdem consonantiae, quas ad totam chordam, I, constituunt, subiectae sunt; quarum differentiae quae interualla efficiunt, ea supra chordam intra spacia ijs, quibus inuicem distant, opposita, sunt annotata.

[Salinas, De musica, 89; text: Semiditonum, Ditonum, Semitonium minus, Diatessaron, Tonus minor, Semitonium maius, Diapente, Ditonum, Semiditonum, Tonus maior, Hexachordum minus, Diatessaron, Hexachordum maius, Tritonum, Diatessaron, DIAPASON, I, H, G, F, E, D, C, B, 120. 100. 96. 90. 80. 75. 72. 60.] [SALMUS2 15GF]

[90] De his quae occurrunt circa differentias inter se consonantiarum digna quae considerentur: et de differentijs, quibus interualla minora secundum quantitatem inter se distant.

CAPVT XXV.

OCcurrunt etiam nonnulla circa consonantiarum differentias digna, quae considerari debeant ab Harmonico. Quorum illud imprimis animaduersione dignum est, quod inter duo Diapason extrema ita dispositae sunt consonantiae, vt quae ad alterum eorum sit Semiditonum, ad alterum Hexachordum maius esse reperiatur; et quae Ditonum, Hexachordum minus; et quae Diatessaron, Diapente. Ex quibus elicitur, Semiditonum, et Hexachordum maius eiusdem prope esse naturae: quoniam eadem est vis extremorum; et quod distat ab vno per Semiditonum, ab altero distat per Hexachordum maius, et contra. quod idem deprehenditur in Ditono, et Hexachordo minori; vnde prope similem concentum auribus efficiunt. Et multo manifestius experimur Diapente, et Diatessaron esse tanquam germanas gemellas eodem partu aeditas a Diapason; et solum quantitate differre, quoniam altera minor, altera maior sit. Secundo etiam videtur animaduertendum, quod Diapason, et quae ex reliquis maiores in suo genere sunt. Harmonice, et Arithmetice diuidi possunt; minores vero nequaquam. Nam Diapason diuiditur in duo Diatessaron, et Tonum eas disiungentem, maximum et nobilissimum interuallorum minorum. Et quae secundum Diapason maior est, et Hexachordum maius appellatur, diuiditur in duo Ditona, immediatas post Diatessaron consonantias; et in Semitonium maius, quod ea disiungit, et post tonum est notissimum interuallum. Diapente etiam, quae maior est in suo genere, diuiditur in duo Semiditona, quae immediatae sunt post Ditonum consonantiae; et in Semitonium minus, quod ea disiungit, et est etiam immediatum post Semitonium maius. Et est etiam mirabile, quod haec omnia ita in numeris ordinata reperiuntur, vt is numerus, in quo terminatur diuisio duplae, cui respondet Diapason hunc ad modum diuisa; sit primus, et minimus, in quo superbipartiens tertias, cui respondet Hexachordum maius, ad hunc etiam modum diuidi potest; et maximus numerus huius diuisionis sit minimus, in quo sesquialtera, in qua Diapente consistit, ad hunc modum diuisa reperitur: vt in his numeris manifestum apparet:

[Salinas, De musica, 90; text: Diapason, Hexachordum maius, Diapente, Diatessaron, Tonus maius, Ditonum, Semitonium maius, Semiditonus, Semitonium minus, 6. 8. 9. 12. 15. 16. 20. 24. 25. 30.] [SALMUS2 15GF]

Quod non ita fieri potest in Hexachordo minori, et Diatessaron, et Semiditono: quoniam etiamsi proportiones, quibus respondent, ad hunc modum diuidi possint; non tamen ex hiuismodi diuisione interualla nascuntur harmonica; neque eo inueniuntur ordine disposita, quem in his demonstrauimus inueniri. Verum est tamen, quod Hexachordum minus inuenitur diuisum in duo Semiditona, quemadmodum Diapente; sed quod ea disiungit interuallum, non Semitonium minus, sed tonus minor est, vt ostendunt hi numeri:

               Hexachordum minus
   Semiditonum   Tonus minor    Semiditonum
15.            18.           20.            24.

Ditonum etiam reperitur diuisum in duos tonos minores, et comma eos disiungens, vt in his numeris:

              Ditonum
  Tonus minor  Comma  Tonus minor
72.          80.    81.          90.

[91] Vltimum autem interuallum quod ad hunc modum diuisum reperitur, est tonus minor; qui diuiditur in duo Semitonia minora, et Diesim ea disiungentem, vt in his numeris:

                   Tonus minor
   Semitonium minus   Diesis    Semitonium minus
360.               375.     384.                400.

Diatessaron autem nequaquam ad hunc modum diuisa reperitur iuxta veram instrumentalis harmoniae rationem. quamuis secundum Pythagoraeorum ratiocinationem diuidatur in duos tonos maiores, aut sesquioctauos, et in limma, aut Semitonium minus eos disiungens, vt in his numeris:

        Diatessaron
   Tonus   Limma   Tonus
216.    243.    256.    288.

Sed, vt superius demonstratum est, limma, aut huiusmodi Semitonium minus nequaquam est ad harmoniam aptum interuallum. Tonus etiam maior non potest ad hunc modum inueniri diuisus, sed (vt suo loco demonstrabitur) sequitur naturam Diatessaron, et tam ille, quam haec in tria potius, quam in duo interualla harmonica diuiduntur. In huismodi positis diuisionibus hoc etiam potest considerari, quod, qui numerus emergit ex ductu alterius in alterum extremorum, idem prouenit ex ductu alterius in alterum mediorum. vt exempli gratia in diuisione duplae, qui numerus emergit ex ductu 12. per 6, idem etiam prouenit ex ductu 9. per 8, qui erit 72; et qui nascitur ex 20. per 12, oritur ex 16. per 15, qui erit 240. quod etiam in reliquis quilibet poterit experiri.

Quod autem attinet ad minorum interuallorum inter se differentias, maioris videtur esse curiositatis, quam vt ad Harmonicum id considerare pertineat. quoniam excessus consonantiarum omnes sunt harmonica interualla, et tanquam gradus, per quos ab vna consonantia in aliam in modulatione peruenitur; quare necessaria est prorsus eorum consideratio: sed interuallorum minorum omnes excessus toni maioris ad minorem, et dicitur Comma; alter Semitonij maioris ad minus, qui vocatur Diesis. Et quoniam Semitonium minus, et Diesis in harmonia non diuiduntur, ideo neque excessus Semitonij minoris ad Diesim, neque Diesis ad Comma considerandi sunt. Qui tamen eos, atque aliorum interuallorum omnino scire volet, inueniendus est illi numerus, in quo reperiantur omnes suo consequenter ordine dispositi, quemadmodum consonantiae. neque in ipsa naturali numerorum serie alius nobis prior occurrit, quam 259200: qui in chorda sub eius ratione accepta vocetur A: a quo subtracta octuagesimaprima parte, relinquetur 256000, qui sit B, et reddet sonum acutiorem A. commate: et subtractis tribus centesimisuigesimisquintis, restabit 253125, qui vocetur C, acutior A. Diesi: et subtracta vigesimaquinta, relinquetur 248832, qui sit D, Semitonio minori acutior A: subtracta etiam decimasexta, restabit 243000, qui erit E, Semitonio maiori acutior A: et subtracta decima, relinquetur 233280, qui erit F, tono minori acutior A: et tandem subtracta nona, restabit 230400, qui sit G, tono maiori acutior A. Et vt incipiamus a minimo, quod est Comma, id non excedit: sed exceditur a Diesi per C.B; a Semitonio minori per D.B; a maiori per E.B; a Tono minori per F.B; a maiori per G.B. Diesis solum excedit Comma, vt dictum est: exceditur autem a Semitonio minori per D.C; a maiori per E.C; a Tono minori per F.C; a maiori per G.C. Semitonium minus excedit minora, vt dictum est; exceditur autem a Semitonio maiori per E.D; a Tono minori per F.D; a maiori per G.D. Semitonium maius excedit minora, vt ostensum est; exceditur autem a Tono minori per F.E; a maiori per G.E. Tonus minor excedit minora, vt ostensum est: exceditur autem solum a Tono maiori per G.F. [92] Tonus autem maior, quoniam maximum est interuallorum minorum, excedit omnia inferiora his, quibus demonstratum est, modis: et a nullo exceditur. Horum omnium haec poterit esse descriptio:

[Salinas, De musica, 92; text: Comma, Superseptipartiens, 128, Semitonium minus, Superbipartiens, 25, Semitonium maius, Diesis, Super101.partiens, 1024, Super49.partiens, 576, Super53.partiens, 3072, Tonus minor, Super71.partiens, 729, Limma, Superseptipartiens, 243, Super23.partiens, 2025, 259200, 256000, 253125, 248832, 243000, 233280, 230400, A, B, C, D, E, F, G, TONVS MAIOR] [SALMUS2 16GF]

De secunda vtilitate, quae prouenit Harmonico ex interuallorum minorum consideratione. CAPVT XXVI.

REliquum est nunc, vt dicamus de altera vtilitate, quam Harmonicus ex considerandis minoribus percipit interuallis; quae est, vt per ea, tanquam per gradus, a consonantia in consonantiam transire sciat. Et primum de vtilitatibus Toni maioris, qui per se solum acceptus, dat nobis transitum a Diapente in Diatessaron, et contra, vt in numeris a 6.9. ad 6.8. Cum aliorum interuallorum, aut consonantiarum adminiculo iuuat decem modis. cum Semitonij maioris auxilio quatuor; a Semiditono ad vnisonantiam, vt a 15.18 ad 16.16; a Diapente ad Ditonum vt a 32.48. ad 36.45; ab Hexachordo minori ad Diatessaron, vt a 45.72. ad 48.64; a Diapason ad Hexachordum maius, vt ab 8.16. ad 9.15; cum Tono minori etiam quatuor; a Ditono ad vnisonantiam, vt ab 8.10. ad 9.9; a Diapente ad Semiditonum, vt a 40.60. ad 45.54; ab Hexachordo maiori ad Diatessaron, vt a 27.45. ad 30.40; a Diapason ad Hexachordum minus, vt a 45.90. ad 50.80; cum Diatessaron duobus; a Diapente ad vnisonantiam, vt ab 8.12. ad 9.9; a Diapason ad idem Diatessaron, [93] vt ab 8.16. ad 9.12: qui omnes sunt modi vndecim. Tonus autem minor per se solum acceptus iuuat bifariam, vt transire possimus a Diatessaron ad Semiditonum, vt a 12.9. ad 12.10; et ab Hexachordo maiori ad Diapente, vt a 6.10. ad 6.9. Cum aliorum adminiculo prodest nobis duodecim modis: nam, vt a minimo interuallorum incipiamus, a commate adiutus vnico; videlicet a Diapente ad Diatessaron, vt a 54.81, ad 60.80; cum tono maiori quatuor; qui sunt ijdem quibus tonus maior cum ipso prodesse demonstratus est: quare non erit necesse eos repetere: cum Semiditono quatuor; a Diatessaron ad vnisonantiam, vt a 9.12, ad 10.10; ab Hexachordo minori ad Semiditonum ipsum, vt a 25.40, ad 30.36; ab Hexachordo maiori ad Ditonum, vt a 18.30. ad 20.25; a Diapason ad Diapente, vt a 5.10. ad 6.9: cum Ditono vnico modo; ab Hexachordo maiori ad Semiditonum, vt a 9.15, ad 10.12: cum Diapente duobus; ab Hexachordo maiori ad vnisonantiam, vt a 6.10. ad 9.9; a Diapason ad Semiditonum, vt a 9.18. ad 10.12: qui sunt omnes 14.

Semitonium maius per se acceptum, iuuat etiam duobus modis; a Diatessaron ad Ditonum, vt a 12.16. ad 12.15; ab Hexachordo minori ad Diapente, vt a 10.16. ad 10.15. Simul cum alijs interuallis, aut consonantijs iuuat vndecim modus. cum minori Semitonio duobus; a Diatessaron ad Semiditonum, vt a 24.32, ad 25.30; ab Hexachordo maiori ad Diapente, vt a 15.25. ad 16.24: cum tono maiori quatuor modis, eisdem quibus tonus maior cum ipso nobis prodesse demonstratus est: cum Semiditono vnico modo; ab Hexachordo minori ad Ditonum, vt a 15.24. ad 16.20: cum Ditono tribus; ab Hexachordo minori ad Semiditonum, vt a 75.120. ad 80.96; ab Hexachordo maiori ad Ditonum, vt a 15.25. ad 16.20; a Diapason ad Diapente, vt a 15.30. ad 16.24: cum Diapente vnico; a Diapason ad Ditonum, vt a 15.30. ad 16.20: qui omnes modi sunt tredecim.

De vtilitatibus, quas afferunt in Harmonia tria vltima minora interualla: et quomodo differant a maioribus:

CAPVT XXVII.

SEmitonium minus solum per se acceptum iuuat in Harmonia duobus modis; vt transire possimus a Ditono ad Semiditonum, vt a 20.25. ad 20.24; ab Hexachordo maiori ad Hexachordum minus, vt a 15.25. ad 15.24. Cum alijs interuallis, aut consonantijs vndecim modis. cum Diesi duobus; ab Hexachordo minori ad Diapente, vt a 125.200. ad 128.192; a Diatessaron ad Ditonum, vt a 96.128. ad 100.125: cum Semitonio maiori duobus, atque eisdem modis quibus Semitonium maius cum ipso prodesse demonstratum est: cum Semiditono quatuor; a Ditono ad vnisonantiam, vt a 20.25 ad 24.24; a Diapente ad Semiditonum, vt a 24.36. ad 25.30; ab Hexachordo maiori ad Diatessaron, vt a 15.25. ad 18.24; a Diapason ad Hexachordum minus, vt a 24.48. ad 25.40: cum Diatessaron vnico; ab Hexachordo maiore ad Semiditonum, vt a 24.40. ad 25.30: cum Hexachordo minor duobus modis; ab Hexachordo maiori ad vnisonantiam, vt a 24.40. ad 25.25. a Diapason ad Semiditonum vt a 24.48. ad 25.30: qui omnes sunt tredecim. Dieseos autem interuallum per se solum nequaquam iuuare potest, vt per illud ab vna consonantia in aliam transmeare possimus: quoniam non est excessus, quo vna consonantia superet aliam, vt Toni, et Semitonia; sed quo Semitonium maius superat minus. Cum alijs tamen interuallis potest iuuare tribus modis. cum Semitonio minori duobus, quibus Semitonium minus cum ipsa prodesse paulo superius ostensum est: cum Ditono prodest vnico; ab Hexachordo minor ad ipsum Ditonum, vt ab 80.128. ad 100.125.

Sed animaduertendum est, Diesim, et Semitonium minus in harmonia inutilia, et inusitata esse, vt per ea, tanquam per gradus, ascendere, aut descendere in modulatione possimus; propter eorum spissitudinem. sunt enim (vt Ptolemaeus ait, libro primo Harmonicorum, [94] capite decimosexto) rariora amica naturae, vt consonantiae omnes, et interualla Diatonica, quae sunt Toni, et Semitonium maius; spissa vero inimica, qualia sunt Semitonium Chromaticum, et Diesis Enharmonios: non enim, vt ipse ait, valde gaudent moribus solutis, sed sunt tanquam via, per quam ad rariora transire possimus. Altera etiam se nobis offert ratio, propter quam id fieri non debeat, atque ea est, quoniam duo soni, qui circumscribunt interuallum Semitonij minoris, non solum inueniuntur esse diuersorum generum, sed etiam habent contrarias inter se naturas. quod non ita euenit in maioribus interuallis: nam duorum sonorum, qui claudunt interuallum Semitonij maioris, vtrique possunt eodem in genere reperiri; qui vero Semitonij minoris, aut Dieseos nunquam in eodem genere reperientur: nam qui claudunt Semitonium minus, eorum alter est generis Diatonici, alter Chromatici, aut Enharmonij. Vnde in his instrumentis, in quibus ex percussione plectrorum soni eliciuntur; alter semper ex albi plectri, et alter ex nigri, et nunquam vterque ex vtriusque albi, aut vtriusque nigri percussione eliciuntur. sonorum autem, qui sunt Dieseos extremi, necesse est, vt alter sit Chromaticus, et alter Enharmonios; aut alter Enharmonios, et alter Diatonicus; nunquam vero reperientur alter Chromaticus, et alter Diatonicus. Habent praeterea contrarias qualitates: nam si mollis sit alter, alterum oportet esse durum, quo nihil potest in harmonia instrumentali a modulatione alienius inueniri: et a Practicis recentioribus mi contra fa vocatur, per mi, durius, et per fa, mollius significare volentibus. Quamobrem hi spissorum interuallorum soni in harmoniae instrumentalis compositione non inueniuntur, vt per eos tanquam per gradus continuatim ascendatur, et descendatur; set vt, vtroque proposito, nunc hoc, nunc illo vti possimus, vt ipsarum consonantiarum, aut modorum naturae videbuntur postulare, quorum vsum exacte docebimus, cum ea de Musicae parte, quae ad praxim pertinet, agemus. Nunc de Commate, quod reliquum erat, dicamus. Et sciendum est, id per se nullo modo prodesse posse, vt ab vna consonantia transeamus ad aliam: quoniam non est excessus consonantiarum. Sed toni minoris auxilio vno tantum modo iuuare potest, quo tonus minor cum ipso in eius tractatione superius a nobis prodesse demonstratus est. Haec omnia, vna cum ijs quae in praecedenti capite docuimus, vno oculorum intuitu in sequenti tabula considerari possunt.

[95] [Salinas, De musica, 95; text: SECVNDA vtilitas interuallorum minorum, vt per ea, taquam per gradus, transeatur ab vna consonantia ad aliam. A. B. Tonus maior prodest modis 11, Tonus minor 14, Semitonium maius 13, Semitonium minus 13, Diesis 3, Comma 1, A.D. B.C. A. B. C. D. Per se vno modo, vt transeatur a Diapente ad Diatessaron 9. 8. 6. 6. Cum alijs 10, cum C.D. Semitonio maiori 4. a Semiditono ad Vnisonantiam 18. 16. 16. 15. a Diapente ad Ditonum 32. 36. 45. 48. ab Hexachordo maiori ad Diatessaron 72. 64. 48. 45. a Diapason ad Hexachorum maius 8. 9. 15. 16. Tono minori 4, a Ditono ad Vnisonantiam 8. 9. 9. 10. a Diapente ad Semiditonum 40. 45. 54. 60. ab Hexachordo maiori ad Diatessaron 45. 40. 30. 27. a Diapason ad Hexachordum minus 90. 80. 50. 45. Diatessaron 2, a Diapente ad Vnisonantiam 8. 9. 9. 12. a Diapason ad Diatessaron 8. 9. 12. 16. Per se duobus modis a Diatessaron ad Semiditonum 9. 10. 12. 12. ab Hexachordo maiori ad Diapente 10. 9. 6. 6. Cum alijs 12, cum Commate 1, a Diapente ad Diatessaron 54. 60. 80. 81. Tono maiori 4. ijsdem, quibus supra Tonus maior cum ipso. Semiditono 4, a Diatessaron ad Vnisonantiam 9. 10. 10. 12. ab Hexachordo minori ad Semiditonum 40. 36. 30. 25. ab Hexachordo maiori ad Ditonum 18. 20. 25. 30. a Diapason ad Diapente 10. 9. 6. 5. Ditono 1, ab Hexachordo maiori ad Semiditonum 9. 10. 12. 15. Diapente 2, ab Hexachordo maiori ad Vnisonantiam 10. 9. 9. 6. a Diapason ad Semiditonum 9. 10. 12. 18. Per se duobus modis a Diatessaron ad Ditonum 16. 15. 12. 12. ab Hexachordo minori ad Diapente 16. 15. 10. 10. Cum alijs 11, cum Semitonio minore 2, a Diatessaron ad Semiditonum 32. 30. 25. 24. ab Hexachordo maiori ad Diapente 15. 16. 24. 25. Tono maiori 4, quibus supra dictum est. Semiditono 1, ab Hexachordo minori ad Ditonum 15. 16. 20. 24. Ditono 3, ab Hexachordo minori ad Semiditonum 75. 80. 96. 120. ab Hexachordo maiori ad Ditonum 15. 16. 20. 25. a Diapason ad Diapente 15. 16. 24. 30. Diapente 1, a Diapason ad Ditonum 15. 16. 20. 30. Per se duobus modis a Ditono ad Semiditonum 25. 24. 20. 20. ab Hexachordo maiori ad Hexachordum minus 25. 24. 15. 15. Cum alijs 11, cum Diesi 2, ab Hexachordo minori ad Diapente 200. 192. 128. 125. a Diatessaron ad Ditonum 128. 125. 100. 96. Semitonio maiori duobus, vt supra dictum est in Semitonio maiori. Semiditono 4, a Ditono ad Vnisonantiam 25. 24. 24. 20. a Diapente ad Semiditonum 36. 30. 25. 24. ab Hexachordo maiori ad Diatessaron 25. 24. 18. 15. a Diapason ad Hexachordum minus 24. 25. 40. 48. Diatessaron 1, ab Hexachordo maiori ad Semiditonum 24. 25. 30. 40. Hexachordo minori 2, ab Hexachordo maiori ad Vnisonantiam 24. 25. 25. 40. a Diapason ad Ditonum 24. 25. 30. 48. Per se non prodest, quia non est excessus consonantiarum. Cum alijs 3, cum Semitonio minori duobus modis, vt supra. Ditono 1, ab Hexachordo minori ad Ditonum 128. 125. 100. 80. Per se non prodest, quia non est excessus consonantiarum. Cum Tono minori vno modo, vt dictum est supra in Tono minori.] [SALMUS2 17GF]

Tabulae superioris declaratio.

Continet haec tabula quatuor interuallorum ordines: primo loci ponuntur interualla, quorum vtilitas inquiritur, sub literis A.B: secundo loco sub C.D. collocantur illa, quibuscum priora iuuant: tertio sub A.D, consonantiae a quibus fit transitus: denique sub B.C, ad quas fit transitus. Transitur igitur ab A.D, per A.B. et D.C, ad B.C. Ijsdem literis numeri quoque inscripti sunt. Quare nulla amplius opus est explicatione: nam literae ipsae interpretis vice funguntur, docentque, quae interualla quibus numeris contineantur.

[96] Atque haec de vtilitatibus, quae ex minorum interuallorum cognitione proueniunt, dixisse sufficiat; quae omnes intelligendae sunt intra Diapason, et procedendo motibus contrarijs, inueniri: nam si considerentur extra Diapason, aut motibus rectis procedendo, ita vt vterque sonus intendatur, aut remittatur; multo plures inuenientur.

Quae interualla in Harmonia, et ex quorum interuallorum permistione composita reperiantur. CAPVT XXVIII.

ETiam hoc necessario considerandum videtur, quaenam interualla ex quorum permistione componantur, et quae cum quibus coalescere nequeant. Primum hoc tanquam firmissimum fundamentum iactum sit, ex nullius consonantiae, aut interualli duplatione, praeterquam ex Diapason, in harmonia consonum interuallum posse constitui, vt superius manifeste demonstratum est. Et quemadmodum ex consonantiarum duplatione interualla consurgunt nunc maiora, nunc minora consonatijs, sed omnia dissona: sic etiam ex minorum interuallorum duplatione nullum interuallum harmonicum constituitur, sed omnia sunt non solum dissona, verum etiam inconcinna, et paulo minora, aut maiora Harmonicis, et legitimis interuallis. Nam, vt a minimo incipiamus, duo Commata superant Diesin eo, quo ab Apotome Semitonium maius, et a commate Pythagorico ostendimus Harmonicum comma superari: duae Dieses superant Semitonium minus; duo Semitonia minora Semitonium maius; duo Semitonia maiora tonum maiorem; duo Toni maiores Ditonum Commate, quo in Ditono duo Toni minores deficiunt; duo Semiditona superant Diatessaron Semitonio maiore, et Commate; duo Ditona Diapente Semitonio minore; duo Diatessaron Hexachordum maius Semitonio maiori, duo Diapente Diapason tono maiori; duo Diapason complent Disdiapason aequisonantiam. Quae omnia tum clare, tum breuiter numeris in subiecta tabula demonstrantur.

[Salinas, De musica, 96; text: A.B, et B.D. A.C. C.D. A. B. C. D. Commata, Diesin, Super37.partiens 32768. 32000. 32400. 32768. 32805, Dieses Semitonium minus Super2591.partiens 390625. 375000. 384000. 390625. 393216, Semitonia minora Semitonium maius Super53.partiens 3072. 2880. 3000. 3072. 3125, Semitonia maiora Tonum maiorem Super23.partiens 2025. 1800. 1920. 2025. 2048, Toni maiores Ditonum Commate. 64. 72. 80. 81, Semiditona Diatessaron Semitonio maiori et Commate. 75. 90. 100. 108, Ditona Diapente Semitonio minori. 16. 20. 24. 25, Diatessaron Hexachordum maius Semitonio maiori 9. 12. 15. 16. Diapente Diapason Tono maiori 4. 6. 8. 9, Ditonum, Comma, Tonus minor, Deficiunt duo Toni minores a Ditono Commate 80. 81. 90. 100. Duo autem Diapason complent Disdiapason, 1. 2. 4.] [SALMUS2 18GF]

In praemissam Tabulam Annotatio.

Interuallorum ordines in hac tabula tres sunt: primum locum occupant, quae superant; secundum, quae superantur; tertium differentia, qua haec ab illis superantur. Literae, in eorundem apice asscriptae, aperiunt, quae interualla quibus numeris contineantur. Primi ordinis interualla sunt geminata, quae tam singula: quam composita in numeris inueniuntur, [97] singula sunt A B, et B D, composita (quae proprie superant) A D. Numeri, quibus duo Semiditona Diatessaron Semitonio maiori et commate superare probantur, clarius sic assignari possunt:

[Salinas, De musica, 97,1; text: Semiditonum, Diatessaron, Comma, Semitonium maius, 108. 90. 81. 80. 75.] [SALMUS2 19GF]

Ex diuersis autem interuallis harmonicis immediatis constituuntur interualla harmonica ex minimis maiora, et ex interuallis maioribus minimae consonantiarum, et ex minimis consonantijs maiores. Itaque omnia interualla, alia ex alijs componuntur, et in eadem diuisione resoluuntur, praeter tria minima, quae simplicia et indiuisa sunt, nec in duo, aut plura harmonica interualla diuidi possunt: idque de Commate forte, cum omnium minimum sit, ambigi non oportet: (quamuis illud antiqui in duo Schismata omnino praeter rationem diuiserint) Diesi autem duo diuersa harmonica interualla, in quae diuidatur, reliqua non sunt: et si diuidatur in Comma, et excessum, quo Comma ab ipso superatur, is Commate minor est, vt in sequenti typo patet; Commate autem nullum interuallum harmonicum minus est: ergo Diesis in duo harmonica interualla diuidi non potest. nunc typum subijcimus.

[Salinas, De musica, 97,2; text: Excessus Diesis ad Comma, Excessus Commatis ad excessum Diesis, Comma, Diesis, 32000, 32400, 32768, 32805] [SALMUS2 19GF]

Semitonio vero minori interualla harmonica minora, in quae diuidatur, plura non extant, quam duo, quae sunt Comma et Diesis: sed haec coniuncta minus Semitonio interuallum componunt, ad quod excessus eius harmonicum interuallum non constituit; quia et ipse minor est Commate, vt subiecti numeri demonstrant: quare nec hoc interuallum in plura harmonica diuidi potest.

[Salinas, De musica, 97,3; text: Excessus Semitonij ad Diesin et Comma. Semitonium minus, Excessus Commatis ad Excessum Semitonij, Diesis, Comma, 75000, 76800, 77760, 78125, 78732] [SALMUS2 19GF]

His igitur tribus exceptis, caetera omnia, alia ex alijs, vt diximus, componuntur. Minima tamen duo immediata, Comma et Diesis, coniuncta, nullum interuallum harmonicum constituunt: illud enim, quod componunt, Semitonio minori minus est; vt paulo ante positus typus ostendit: inter Semitonium vero minus, et Diesin nullum medium interuallum incidit, vt supra demonstrauimus. Sed nec cum vllo alio Comma maius interuallum constituit, nisi cum tono minori tonum maiorem, quoniam est eorum differentia. Minimum autem interuallum, quod cum immediate sibi coniuncto constituit aliud maius harmonicum interuallum, est Diesis. vnde merito ab Aristotele, et ab omnibus recte philosophantibus minimum in Musica vocatur. Ex ea igitur et Semitonio minori sit Semitonium maius; [98] et ex Semitonio minore, et maiore fit Tonus minor; et ex Tono minore, et Commate Tonus maior: (qui tamen duo Toni in Musicis, quibus vtimur, instrumentis pro vno atque eodem sumuntur, vt suo loco demonstrabimus) et sic ex tribus minoribus interuallis tria maiora componuntur. Ex Tono autem maiori, et Semitonio etiam maiori componitur Semiditonum, quae est minima consonantiarum; et ex Tono maiori et minori Ditonum, quae est illi proxima. Ex Ditono, et Semitonio maiori; aut ex Semiditono, et Tono minore componitur Diatessaron: ex Diatessaron cum Tono; vel ex Ditono, et Semiditono Diapente. ex Diatessaron, et Semiditono Hexachordum minus: ex Diatessaron cum Ditono Hexachordum maius: ex Diatessaron, et Diapente Diapason. ex Diapente, et Hexachordo minori Decima minor: ex Diapente, et Hexachordo maiore Decima maior: ex duobus Hexachordis minore, et maiore Diapason et Diatessaron. Atque hae consonantiae cum nullis alijs possunt alias consonantias conficere, praeterquam cum Diapason, que cum earum qualibet, et cum omnibus alijs, quae ex ea cum illis possunt constitui, plures alias potest componere; quamquam omnes erunt potius repetitae, quam nouae.

Qua ratione omnes consonantiae, ac dissonantiae ab vnisonantia, quemadmodum omnis inaequalitas ab aequalitate, procedere demonstrentur: et quod in sonis intensiones a proportionibus maioris inaequalitatis, et a minoris remissiones oriantur. CAPVT XXX.

OStenstum est hucusque, sonos, per se sumptos, numeris simplicibus respondere; et omnes consonantias, atque harmonica interualla a rationibus numerorum, ac eorum inter se comparationibus ortum habere, et tam in proportione aequalitatis, quam in omnibus inaequalitatis proportionum generibus inueniri; et consonantias eodem modo, quo proportiones ipsas, coniungi, et diuidi posse. Reliquum est, vt ostendamus, omnes consonantias, ac dissonantias ab vnisonantia procedere; quemadmodum superiore libro ab aequalitate omnem inaequalitatem prouenire demonstratum est; quo pars haec secunda omni ex parte primae respondeat. Quod, vt facilius ostendi, atque intelligi possit, non in harmonijs, quae in duarum consonantiarum coniunctione, quemadmodum proportionalitates in duarum proportionum vnione, consistunt; vt illic in tribus terminis, sed in duobus tantum satis erit ostendere. Et sicut ab aequa duplam, sic ab vnisonantia primo Diapason dicimus oriri, nec vllam aliam ab ea immediate posse procedere. Et a Diapason, recto ordine posita, Diapason et Diapente; quemadmodum a dupla triplam; et ab eadem inuersa Diapente; sicut a dupla inuersa sesquialteram. Et sic deinceps omnes consonantias, in genere multiplici consistentes, ab his, quae in multiplicibus immediatis consistunt, prounenire. Et quae in Superparticularibus, ab his, quae in multiplicibus sibi correspondentibus inuersis oriri demonstrabuntur. Quod facilius exemplis intelligi, quam verbis exprimi poterit. Quamobrem si statuantur duae chordae eiusdem longitudinis, quae vnisonantiam efficiant; et ex aduerso alterae duae, quarum prior sit priori aequalis, et posterior priori et posteriori, tanquam ex illis duabus composita; Diapason consonantiam efficient. Et propter vnisonarum chordarum aequalitatem, nulla alia ex illarum inuersione consonantia procedere reperitur. Rursum si statuantur aliae duae, quarum altera sit vnius palmi, altera duorum, in Diapason aequisonantia. quibus respondeant e regione duae alterae, prior priori aequalis, posterior priori et posteriori; orietur Diapason et Diapente. Si autem ordine praepostero collocentur, ita vt chorda duorum palmorum sit prior, et vnius posterior; et priori respondeat alia duorum palmorum, et priori ac posteriori simul alia trium; emerget, ex Diapason inuersa, Diapente. Sic etiam ex duabus chordis, quarum altera sit vnius palmi, altera trium, in Diapason et Diapente consonantia; si statuantur duae aliae, altera priori [99] aequalis, quae erit vnius palmi, altera priori, et posteriori, quae erit quatuor; orietur Disdiapason aequisonantia. Si autem priores inuertantur, et prima sit trium palmorum, et secunda vnius; et prior ex alijs duabus sit trium, posterior quatuor; ex Diapason et Diapente inuersa emerget Diatessaron consonantia. Rursum si statuantur duae chordae, quarum prior sit duorum palmorum, sequens trium in Diapente consonantia; et in alijs duabus fiat, quod in superioribus, vt prior sit priori aequalis, et posterior priori, et posteriori; quoniam erit prior duorum, et posterior quinque, proueniet Diapason et Ditonum consonantia. Ex prioribus autem inuersis (si fiat, quod dictum est) orietur Hexachordum maius. Et ab Hexachordo maiori recto ordine constituto proueniet Diapason et Diatessaron consonantia, et ab eodem inuerso Hexachordum minus. Et a Ditono naturaliter posito Diapason cum tono, et ab eodem inuerso Hexachordum minus. Et a Ditono naturaliter posito Diapason cum tono, et ab eodem inuerso Septima maior. Horum omnium in numeris haec potest esse descriptio.

[Salinas, De musica, 99; text: INTERVALLORVM AB VNISOnantia in numeris origo. Multiplicium. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. Superparticularium. 2.1, 3.1, 4.1. 5.1, Multiplices inuersae, 2.3, 3.4, 4.5, 5.6, Superparticulares, 2.5, 4.9, Multiplices superparticulares, Superpartientium. 3.2., 5.4, Superparticulares inuersae, 3.5, 5.9, Superpartientes, 3.8, et ex inuersa 5.8. Multiplices superpartientes, REGVLA Ponatur primus par primo, secundus primo et secundo.] [SALMUS2 19GF]

Ad eundem modum alias ex alijs consonantias, et alia interualla ex alijs partim ad harmoniam apta, partim inepta, veruntamen omnia suis legitimis numerorum proportionibus mirabili quodam ordine respondere comperies. Quae omnia multo tibi erunt faciliora intellectu, atque ad sensum euidentiora, si haec cum ijs, quae in fine libri superioris dicta sunt, contuleris. Vnum hoc etiam ad exactiorem huius disciplinae cognitionem oportet admonere Lectorem, in sonis harmonicis a proportionibus maioris inaequalitatis intensa interualla, a minoris vero remissa procreari; ab aequalitatis autem proportione neque intensa, neque remissa prouenire, sed medium inter vtrasque locum tenere. Nam si quaeratur intensum Diapason soni cannae 12. palmorum, erit sonus cannae 6, ad quem 12. duplus est; si remissum, erit sonus cannae 24; si vero ad eundem sonum quaeratur vnisonantia, erit sonus 12, ad quem alter 12. aequam efficit proportionem. Sciendum est etiam a multiplicibus intensiores sonos prouenire, quam a superparticularibus, aut superpartientibus: quandoquidem qui prouneit a dupla, minima multiplicium; intensior est eo, qui prouenit a sesquialtera, superparticularium maxima: quoniam, vt dictum est, sonus cannae 6. palmorum facit Diapason intensum cannae 12; et sonus 8. Diapente: neque vlla superpartiens duplam aequat. Sonus autem qui prouenit a dupla, minus intensus est, quam qui nascitur a tripla, et a reliquis multiplicibus; neque dari potest maxime intensus: veruntamen qui prouenit a sesquialtera, maxime intensus est ex his, qui proueniunt a superparticularibus; neque in his potest minimum intensus inueniri: in superpartientibus autem neque maxime, neque minimum intensus reperitur, verum est tamen quod in consonantijs, quae in eis reperiuntur, is qui prouenit a superpartientitertias, intensior est, quam qui prouenit a supertripartientiquintas: [100] nam Hexachordum maius intensum cannae 40. palmorum erit 24, minus vero 25. Contrario modo se habent, qui proueniunt a proportionibus minoris inaequalitatis: nam qui nascuntur a submultiplicibus, remissiores sunt his, qui proueniunt a subsuperparticularibus, et subsuperpartientibus: nam qui prouenit a subdupla, remissior est eo, qui prouenit a subsesquialtera; est enim, vt diximus a 12. ad 24. Diapason remissum; et Diapente remissum a 12. ad 18: et qui proueniunt a subtripla, et reliquis submultiplicibus, remissiores sunt, vt 36.48; neque datur maxime remissus. contra vero qui proueniunt a subsesquitertia, et subsesquiquarta, et reliquis subsuperparticularibus, minus remissi sunt, quam qui proueniunt a subsesquialtera: est enim, vt diximus a 12. ad 18. Diapente remissum, et a 12. ad 16. Diatessaron, et ad 15. Ditonum. Est autem argumentum intensionis, numerorum paruitas, remissionis vero magnitudo: nam quanto sonus erit intensior, tanto in minoribus numeris, et quanto remissior, tanto in maioribus reperitur. Atque haec de singulis consonantijs, et minoribus, quae in harmonia iuxta sensus, et rationis iudicium inueniuntur, interuallis, et de eorum inter se permistionibus (quatenus ad doctrinam huius secundae partis complendam dicendu esse videbatur) satis esse poterunt: vt iam tandem ad explicandum, quonam ordine in compositione harmoniae instrumentalis disponi, ac locari debeant; superis annuentibus, accedamus.

SECVNDI DE MVSICA LIBRI FINIS.