Back to top

[f.48v] Incipiunt capitula libri tertii.

[I. add. in marg.] ADVERSVS Aristoxenum demonstratio superparticularem proportionem diuidi in aequa non posse. atque ideo nec tonum. [Ex sesquitertia proportione sublatis duobus tonis toni dimidium non relinqui. add. in marg.] III. Aduersus Aristoxenem demonstrationes diatessaron consonantiam ex duobus tonis semitonioque non constare. nec diapason sex tonis. IIII. Diapason consonantiam sex tonis comate excedi. et quit sit minor numerus comatis. V. Quomodo Philolaus tonum diuidat. [VI. add. in marg.] Sonum ex duobus semitoniis et comate distare. VII. Demonstratio tonum duobus semitoniis comate distare. VIII. De minoribus semitonii interuallis. IX. De toni partibus per consonantias sumendis. X. Regula semitonii sumendi. XI. Demonstratio Architae superparticularem proportionem in aequa diuidi non posse. eiusque repraehensio. XII. In qua proportione numerorum sit coma. et quoniam in ea quae maior est quam LXXV ad LXXIIII. minor quam LXXIIII ad LXXIII. XIII. Quod semitonium minus maius quidem sit. quam XX ad XIX. minus uero quam XIX minus quam decem et nouem semis. ad decem et octo semis. XIIII. Semitonium minus maius quidem esse tribus comatibus. minus uero quattuor. XV. Apotomen maiorem esse quam quattuor comata. minorem quam quinque tonum esse maiorem quam octo, minorem quam nouem. XVI. Superius dictorum per numeros demonstratio.

Expliciunt capitula. Incipit de musica id est armonica institutione liber tertius. Aduersus Aristoxenum demonstratio superparticularem [f.49r] proportionem diuidi in aequa non posse. ac ideo nec tonum.

SVPERIORE VOLVMINE DEMONSTRATVM est diatessaron consonantiam ex duobus tonis et semitonio copulari. diapente uero ex tribus ac semitonio: sed ea semitonia dimidium toni integrum non posse perficere. si singulatim considerata tractentur. atque ideo diapason ad sex tonos nullo modo peruenire. Sed quoniam Aristoxenus musicus iudicio aurium cuncta permittens. haec semitonia non arbitratur esse secundum Pytagoricos [Phytagoricos corr. supra lin.] contractiora dimidio. sed sicut semitonia dicuntur. ita esse dimidietates tonorum: de eisdem rursus paulisper est disputandum. demonstrandumque prius nullam superparticularem habitudinem noto numero posse diuidi in integra medietate. Inter duos enim numeros superparticularem proportionem continentes. siue illi sint principales. quorum est unitas differentia. siue posteriores: nullus ita poterit medius numerus collocari. ut quam minimus proportionem tenet ad medium. eam medius teneat ad extremum: scilicet ut in geometrica proportione. Sed aut differentias aequas facere potest. ut sit aequalitas secundum arithmeticam medietatem. aut armonicam inter eosdem terminos medius numerus collocatus faciet medietatem. aut quamlibet aliam. quarum in arithmeticis fecimus mentionem. Quod si id demonstrabitur: ne [f.49v] illud quidem constare poterit. sesquioctauam proportionem quae tonus est in dimidia posse discerni. quandoquidem sesquioctaua omnis in superparticulari inaequalitatis genere consistit. Id uero melius inductione monstrabitur. Nam si per singulas proportiones consideratione deducta: scilicet superparticulares nulla prorsus occurrit. quae interposito medio termino aequis proportionibus diuidatur: non est dubium. quod superparticularis comparatio non possit in aequa partiri. Quodsi uidetur auribus consonum aliquid canere. cum cuilibet uoci duobus tonis ac semitonio integro distans uocula comparetur: id non esse consonum natura monstratur. sed quoniam sensus omnis quae minima sunt conprehendere nequeat: iccirco hanc differentiam quae ultra consonum procedit sensum aurium non posse distinguere. Fore autem. ut depraehendatur si frequentissime talis particula per eosdem crescat errores. Nam quod in minimo haud sane cernitur. compositum coniunctumque cum iam magnum esse ceperit peruidetur. A qua igitur proportione est ordiendum? An compendium dabimus quaestioni si ab eo de quo quaeritur ordiamur? Id uero est tonus in duo aequa possit partiri necne? Nunc igitur de tono est pertractandum et quemadmodum non possit in duo aequa diuidi demonstrandum est. Quam demonstrationem si quis ad reliquas superparticulares comparationes transferat similiter demonstrabitur superparticularem in aequa noto atque integro numero separari non posse. Primi igitur tonum continentes numeri sunt VIII atque IX Sed quoniam se isti ita naturaliter consecuntur. ut medius inter eos numerus non sit. eosdem binario quo scilicet minimo possunt multiplico. Fiunt igitur XVI ac XVIII Inter hos uero naturalis numerus cadit. qui est XVII. Igitur XVIII ad XVI tonus est. Sed XVIII ad XVII comparatus: habet eum totum. et eius septimam decimam partem. Septima decima uero pars. minor est [f.50r] sexta decima naturaliter. Maior est igitur proportio. quae sub XVI ac XVII numeris continetur. quam ea quae sub XVII ac XVIII. Qui disponantur hoc modo et sit [[recc]] XVI A XVII C XVIII .B. Medietas igitur integra toni. inter C et B nullo modo cadet. Minor est enim .C.B. proportio .C.A proportione. Ad maiorem igitur partem. medietas rata ponenda est. Sit uero medietas .D. Quoniam igitur. DB quidem proportio quod est integrum dimidium toni. maior est C.B. proportione quae est minor pars toni. A.C. autem proportio quae est maior pars toni. A.D. proportione maior est quod est dimidium toni. est autem .A.C. proportio sesquisextadecima: C.B. autem sesquiseptimadecima: non est igitur dubium quin integra medietas inter sesquisextamdecimam ac sesquiseptimam [sesquiseptimamdecimam corr. in marg.] cadat. Sed hoc in integro numero nullo modo poterit inueniri.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.50r; text: Sesquisextadecima, Sesquiseptimadecima, XVI, XVII, XVIII, A, D. C. B, Toni rata medietas, Tonus, Epogdous] [BOEMUS3C 01GF]

Quoniam uero ad XVI numerum XVII numerus comparatus supersesquisextamdecimam obtinet proportionem. si eiusdem XVII numeri sextamdecimam requiramus: erit unitas. atque unitatis pars sextadecima Hanc si eidem XVII numero coniungamus: fient XVIII et pars sextadecima. Si igitur XVIII et pars sextadecima XVI numero comparetur: recte toni mensuram uideatur excedere. cum ad eum solus XVIII numerus sesquioctauam [f.50v] custodiat proportionem. Vnde fit. ut quoniam supersesquisextadecima proportio tonum bis aucta transcendit. non sit integrum toni dimidium. Quicquid enim bis ductum transcendit aliquid: id ultra dimidium illius esse uidebitur quod transcendit. Quocirca. supersesquisextadecima proportio. non erit toni dimidium. Ac per hoc [nec add. supra lin.] ulla alia maior sesquisextadecima proportione toni poterit esse dimidium. cum ipsa sesquisextadecima integro toni dimidio sit maior. Sed quoniam sesquisextamdecimam proportionem continua sequitur sesquiseptimadecima: uideamus an ea tonum bis multiplicata non inpleat. XVII igitur numeri sesquiseptimamdecimam partem tenet numerus XVIII In eadem igitur proportione si ad XVIII numerum alium comparemus: erit XIX et septimadecima pars. Quod si ad XVI terminum in sesquioctaua proportione positum numerum comparemus: fient XVIII et pars octaua. Maior uero [est add. supra lin.] pars octaua. parte septimadecima: Maior igitur est proportio numerorum XVII ac XIX et octaua: quam ea quae in XVII ac XIX et parte septimadecima continetur. quae sunt scilicet bis sesquiseptimedecimae proportiones. Duae igitur sesquiseptimedecime unum tonum non uidentur inplere. Non est igitur sesquiseptimadecima toni dimidium quoniam quae duplicata non inplent tonum integrum non continent dimidium. Semper enim dimidium duplicatum: ei cuius est dimidium coaequatur.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.50v; text: Supersesquisextadecima proportio, et sextadecima pars unitatis, XVI, XVII, XVIIII, TONVS, Tonus superauctus, Supersesquiseptimadecima proportio, et septimadecima pars unitatis, XVIII, Tonus cum octauadecima parte unitatis, Tonus minutus cum septimadecima parte unitatis] [BOEMUS3C 02GF]

[f.51r] Ex sesquitertia proportione sublatis duobus tonis dimidium non relinqui.

Iam uero si eos numeros disponamus. qui de sesquitertia proportione duobus tonis retractis relinquuntur: in his considerare possumus. utrum ea proportio quae post duos tonos relinquitur. integri loco semitonii censeatur. Quod si ita repertum sit: illud quoque est comprobatum. diatessaron consonantiam duobus tonis atque integro semitonio copulari. Erat igitur superius primus terminus CXCII Ad hunc sesquitertiam proportionem tenebant CCLVI Sed ad primum terminum CCXVI [tonum add. in marg.] Ad CCXVI rursus CCXLIII toni obtinent locum. Est igitur quod relinquitur ex tota diatessaron proportione ea scilicet habitudo quae in CCXLIII et CCLVI unitatibus constat. Haec igitur si probatur integri toni esse dimidium: dubitari non potest. diatessaron ex duobus tonis semitonioque consistere. Quoniam igitur demonstratum est: toni dimidium inter sesquisextamdecimam et sesquiseptimamdecimam proportionem locari: ab hac comparatione etiam haec proportio metienda est. Ne enim longius progrediamur: sumo ex CCXLIII octauamdecimam partem. Ea sit XIII et semis. Hanc si eisdem apposuero: fiunt CCLVI et semis. Apparet igitur minorem esse proportionem CCLVI ad CCXLIII sesquioctauadecima habitudine. Quod si dimidius tonus maior quidem est in sesquisextadecima. minor uero in sesquiseptimadecima proportione. sesquioctauadecima uero minor est sesquiseptimadecima habitudine. ducentorum uero LVI ad CCXLIII comparatio. quae scilicet relinquitur ex diatessaron duobus retractis tonis minor est sesquioctauadecima: non est dubium quin haec duorum numerorum proportio semitonio longissime diminutior sit.

Aduersus Aristoxenem demonstrationes diatessaron consonantiam ex duobus tonis. semitonioque non constare nec diapason sex tonis.

[f.51v] QVOD si ut ait Aristoxenus diatessaron consonantia ex duobus tonis semitonioque coniungitur. duae diatessaron consonantiae necessario quinque tonos efficiunt. et diapente ac diatessaron iunctae sicut unum diapason iungunt: ita sex tonis continua proportione coaequantur. Et quoniam paulo ante sex disposuimus tonos quorum minimus erat numerus CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII. ad hunc uero ultimus in sexto collocabatur tono numerus DXXXI[macron supra lin.]CCCCXLI. quintum uero retinebant tonum CCCCLXXII[macron supra lin.]. et CCCXCII disponantur hoc modo.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.51v; text: CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII, DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI. CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII. CCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII. Inter hos interuallum .VI. tonorum. quod est bis diapason secundum Aristonxenum. Inter hos interuallum .V. [tonorum add. supra lin.] id est bis diatessaron secundum Aristoxenum] [BOEMUS3C 03GF]

NVNC igitur de minoribus numeris. id est. V tonis loquemur. Si ergo diatessaron duobus tonis ac semitonio. bis uero diatessaron V consisteret tonis. cum ex CCLXII[macron supra lin.].CLXIIII diatessaron intenderem cumque de CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII aliud diatessaron remitterem. idem inter utranque intensionem remissionemue numerus inueniretur: id autem fit hoc modo. A numero qui est CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII diatessaron intendo. id est sesquitertium. qui fit in CCCXLIX[macron supra lin.].DXXV et duobus bisse et triente. Rursus de CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII numeris remitto sesquitertiam proportionem quae fit in CCCLIIII[macron supra lin.].CCXCIIII [f.52r] Has igitur proportiones disponamus hoc modo. et sit primus quidem A. numerus. secundus uero .B. tertius .C. quartus .D.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.52r,1; text: Sex toni integri, Quinque toni. CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII. DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI, CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII.] [BOEMUS3C 04GF]

Quoniam igitur .A. terminus ab .D. [termino .V. remotus est tonis. quoniamque diatessaron in duobus add. in marg.] tonis ac semitonio iungitur ut Aristoxenus arbitratur. unum [unumque corr. supra lin.] diatessaron inter .A. atque .B. aliud uero inter C. atque .D. positum est: B et C. terminos non oportet esse diuersos. sed unos atque eosdem ut integre .V. toni ex duobus diatessaron consonantiis constare uiderentur. Nunc uero quoniam est differentia IIII[macron supra lin.]DCCLXVIII. et bisse: arguitur minime duobus tonis ac semitonio coniungi.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.52r,2; text: Quinque toni integri. Diatessaron intensa. Differentia medio, Diatessaron remissa. Tonus, Semitonium, IIII[macron supra lin.].DCCLXVIII et Bisse, A. CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII, B, C. CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII. D. CCCXLIX[macron supra lin.].DXXV. et triens. CCCLIIII[macron supra lin.].CCXCIIII.] [BOEMUS3C 05GF]

[f.52v] Diapason consonantiam a sex tonis commate excedi et qui sit minimus numerus commatis.

SED hanc [si add. supra lin.] quaerimus in integris numeris differentiam collocare. quoniam in ea parte quae est bisse pars tertia si addatur plenam efficit unitatem. unitatem. quae pars tertia eiusdem bisse dimidium est si totius differentiae dimidium eidem adiecero. quod est II[macron supra lin.] CCCLXXXIIII et triens: fit omnis summa VII[macron supra lin.]CLIII quae dudum commatis proportionem tenebat. Comma enim est quo sex toni superant diapason consonantiam. quae in primis VII[macron supra lin.].CLIII unitatibus continetur. Vt igitur differentiae dimidium proprium adiecimus. ut in VII[macron supra lin.].CLIII excresceret: ita etiam cunctis .A.B.C.D. terminis medietates proprias adiungamus. et eadem erit in omnibus quae supra portio [proportio corr. supra lin.]. fietque eadem inter .V. tonos ac bis diatessaron differentia. quae est inter VI tonos ac diapason consonantiam differentia scilicet VII[macron supra lin.]CLIII unitates. Vnde colligitur .V. tonos bis diatessaron et .VI. tonos unum diapason tantum comate superare. quod in primis .VII[macron supra lin.].CLIII unitatibus inuenitur. Id autem patefaciet subiecta descriptio.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), 52v; text: Diatessaron, Tonus, CCLXII[macron supra lin.] CXLIIII, CCCXLIX[macron supra lin.] DXXV.triens, IIII[macron supra lin.].DCCLXVI[II add. supra lin.] et bisse coma, CCCLIIII[macron supra lin.].CCXCIIII, CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII, CXXXI[macron supra lin.]LXXII, CLXXIIII[macron supra lin.].DCCLXXII. et dimidium unitatis, II[macron supra lin.].CCCLXXX quattuor. et coma, CLXXVII[macron supra lin.].CXLVII, CCXXXVI[macron supra lin.].CXCVI.] [BOEMUS3C 06GF]

[f.53r] [Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.53r; text: CCCXCIII[macron supra lin.].CCXVI, DXXIIII[macron supra lin.]CCLXXVIII, VII[macron supra lin.].CLIII, DXXXI[macron supra lin.]CCCCXLI, DCCVIII[macron supra lin.].DLXXVIII, DXXIIII[macron supra lin.]CCLXXXVIII, CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII, DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI, Diatessaron, Tonus, Semitonium, Horum mediorum differentia, Inter hos dupla [proportio add. supra lin.] id est diapason, Horum extremorum duorum id est diapason. et .VI. tonorum differentia, Inter hos duos interuallum sex tonorum.] [BOEMUS3C 07GF]

Quemadmodum Philolaus tonum diuidat.

Philolaus uero Phytagoricus alio modo tonum diuidere temptauit. statuens scilicet primordium toni. ab eo numero qui primus cubum a primo inpari quod maxime apud Pytagoricos honorabile fuit efficere. Nam cum ternarius numerus primus sit inpar. tres tertio. atque id ter si duxeris XXVII necessario exurgent. qui ad XXIIII numerum tono distat eandem ternarii differentiam seruans. Ternarius enim XXIIII summae octaua pars est quae eidem addita primum a ternario cubum XX ac VII reddit. Ex hoc igitur duas Phylolaus efficit partes. unam quae dimidio fit maior. eamque apotonen uocat. reliquam quae dimidio fit minor. eamque rursus diesim dicit. quam posteri semitonium minus [f.53v] appellauere. Harum uero differentiam comma. Ac primum diesim in XIII unitatibus constare arbitratur. eo quod haec inter CCLVI et CCXLIII peruisa sit differentia. quodque idem numerus id est XIII ex nouenario ternario atque unitate consistat. quae unitas puncti obtineat locum. ternarius uero primae inparis lineae nouenarius primi inparis quadrati. Ex his igitur causis cum XIII diesim ponat. quod semitonium nuncupatur: reliquam XXVII numeri partem quae ex XIIII unitatibus continetur. apotomen esse constituit. Sed quoniam inter XIII et XIIII unitas differentiam facit: unitatem loco commatis censet esse ponendam. Totum uero tonum in XXVII unitatibus locat. eo quod inter CCXVI ac CCXLIII qui inter se distant tono XXVII sit differentia.

Tonum ex duobus semitoniis. et commate constare.

EX quibus facile apparet. tonum duobus semitoniis minoribus et comate constare. Nam si totus tonus ex apotome consistat ac semitonio. semitonium uero ab apotome differt commate: nichil est aliud apotome nisi semitonium minus et comma. Si igitur duo semitonia minora de tono quis auferat: coma fit reliquum.

Demonstratio tonum duobus semitoniis commate distare.

IDEM uero hoc quoque probabitur modo. Nam si diapason quinque tonis ac duobus minoribus semitoniis continetur. superantque sex toni diapason consonantiam uno commate: non est dubium quin tonis quinis ab utroque spatio sublatis. fiant reliqua ex diapason quidem duo semitonia minora. de sex uero tonis. tonus. Atque hic tonus. haec duo semitonia quae relinquuntur uincet commate. Quod si duobus eisdem semitoniis comma reponatur: aequabunt tonum. Constat igitur unum aequari tonum duobus semitoniis minoribus et commate quod in VII[macron supra lin.].CLIII [f.54r] primis unitatibus inuenitur.

De minoribus semitonii interuallis.

Phylolaus igitur haec atque his minora spatia. talibus diffinitionibus includit. Diesis inquit est spatium quo est maior sesquitertia proportio duobus tonis. Comma uero est spatium quo maior est sesquioctaua proportio duabus diesibus. id est duobus semitoniis minoribus. Schisma est: dimidium commatis. Diascissma [Diaschissma corr. supra lin.] uero dimidium dieseos: id est semitonii minoris. Ex quibus illud colligitur. quoniam tonus quidem diuiditur principaliter in semitonium minus atque apotomen. Diuiditur etiam in duo semitonia et comma. Quo fit ut diuidatur in quattuor. diaschismata et comma. Integrum uero dimidium toni quod est semitonium constat ex duobus diascismatibus [diaschismatibus corr. supra lin.] quod est unum semitonium minus et scismate [schismate corr. supra lin.]. quod est dimidium commatis. Quoniam enim totus tonus ex duobus semitoniis minoribus et commate coniunctus est: si quis id integre diuidere uelit. faciet unum semitonium minus. commatisque dimidium. Sed unum semitonium minus diuiditur in duo diaschismata. Dimidium uero commatis. unum schisma est. Recte igitur dictum est: integre dimidium tonum in duo diascismata [diaschismata corr. supra lin.]. atque unum scisma [schisma corr. supra lin.] posse partiri. Quo fit ut integrum semitonium a minore semitonio uno schismate differre uideatur. Apotome autem. a minore semitonio: duobus schismatibus differt. Differt enim commate. Sed duo schissmata. unum perficiunt comma.

De toni partibus per consonantias sumendis.

SED de his quidem hactenus. Nunc illud uidetur esse dicendum. quemadmodum per consonantias musicas imperata possimus spatia nunc extendere. nunc uero remittere. Id autem lineater fiat. lineaeque quas describimus uocis acipiantur loco. Sed sese iam ratio ipsa demonstret. Sit propositum toni spatium [f.54v] per consonantiam sumere. in acutum scilicet atque grauem. Sit sonus .B. Ab hoc intendo alium sonum. qui diapente spatio ab eo quod est .B. distet [distat ante corr.] ad eum qui est .C. Ab hoc remitto diatessaron consonantiam. ad id quod est .D. Et quoniam inter diapente ac diatessaron tonus differentiam facit: D.B. spatium tonus repertus est.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.54v,1; text: Diapente intensum, Diatessaron remissa, Tonus diffentia, B, C, D, XVI, XXIIII, XVIII] [BOEMUS3C 08GF]

AD grauiorem uero partem. ita modulabimur tonum. Ab eo quod est .B. diatessaron intendo. ad .F. Et ab .F. diapente remitto ad .K. Erit igitur K.B. tonus. Animaduertet igitur diligens lector ad .B.D. quidem ad acutam partem effectum tonum. ad .K.B autem ad grauem.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.54v,2; text: Tonus differentia, Diatessaron intensa, Diapente remissa, B, F, K, XXVII, XXXVI, XXIIII] [BOEMUS3C 08GF]

SIT igitur propositum minorem toni partem per consonantiam sumere. in acutam partem atque grauem. Minor uero toni pars est spatium quo duos tonos diatessaron consonantiam transcendit. Sit enim sonus .A. Intendo ab .A. diatessaron ad .B. Rursus intendo .A.B. [f.55r] diatessaron ad .C. [ab .C. remitto diapente ad .D. Tonus est igitur .BD. Rursus intendo .A.D.diatessaron ad .E. add. in marg.] Remitto iterum ab .E. diapente ad .F. Tonus est igitur .D.F. Duo igitur sunt toni .B.D.D.F. Et erit .B.A. integrum diatessaron. Erit igitur .F.A. minor toni pars. quod semitonium nuncupatur.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.55r; text: Diatessaron intensa, semitonium, tonus, C, E, B, D, F, A, Diapente remissa, II[macron supra lin.].DCCCCXVI, III[macron supra lin.].LXXII, III[macron supra lin.].CCCCLVI, III[macron supra lin.].DCCCLXXXVIII, IIII[macron supra lin.].DCVIII, V[macron supra lin.]DCCCXXXII] [BOEMUS3C 09GF]

AD grauiorem uero partem fit hoc modo. Sit sonus .A. Intendo duos tonos per consonantiam .A.G. Diatessaron uero ab .G. remitto ad .K. Erit G .K.A. minor semitonii pars. quod oportebat efficere.

SI igitur tribus tonis diatessaron auferamus: apotome fit reliqua. Sint enim tres toni .A.B.B.CC.D. Ab his auferatur .A.E. diatessaron. [f.55v] Erit igitur .E.C. seminium minus. Apotome igitur est .E.D.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.55v,1; text: K, A, G, Tonus intensus, Diatessaron remissa, Semitonium graue, LXCC, LXIIII, LXXII, LXXX] [BOEMUS3C 10GF]

HANC igitur apotomen si sit commodum sic sumemus. Ac primum quidem ad acutum intendo .III. tonos. ab .A. eos qui sunt .A.B. Et ab eo quod est .B. ad .C. diatessaron remitto. et fit .C.A. apotome reliqua.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.55v,2; text: Diatessaron auferenda, Tonus, Semitonium minus, Apotome, A, B, C, D, E, III[macron supra lin.].LXXII, III[macron supra lin.].CCCCLVI, III[macron supra lin.].CCCLXXXVIII, IIII[macron supra lin.].XXVI, IIII[macron supra lin.].CCCLXXIIII] [BOEMUS3C 10GF]

QVOD si idem spatium ad grauem sonum uelimus efficere: fit hoc modo. Sit sonus .A. Intendo semitonium minus id quod est .A.D. Remitto ab .D. tonum. eum qui est .D.E. Erit igitur .A.E. ea quam requirimus apotome.

SIT propositum ad acutam partem comma sumere. Sit sonus .A. Intendo apotome .A.B. Remitto semitonium minus .E.C. Et quoniam semitonium minus apotome minus [f.56r] est commate: comma erit .C.A.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.56r,1; text: Tonus acutus, Apotome acuta, Diatessaron remissa, A, B, C, III[macron supra lin.].LXXII, III.[macron supra lin.].CCLXXX. et bisse, III[macron supra lin.].CCCCLVI, III[macron supra lin.].D.CCCLXXXVIII, IIII[macron supra lin.].CCCLXXIIII] [BOEMUS3C 11GF]

RVRSVS ad grauem partem hoc modo. Intendo ab .A. sono semitonium minus. id quod est .A.D Ab .D. uero remitto apotomen. id quod est .D.E. Erit igitur comma .E.A.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.56r,2; text: E, A, D, Apotome, Tonus remissus, Semitonium Minus] [BOEMUS3C 12GF]

OPORTET uero has omnes consonantias rite esse animo [atque add. supra lin.] auribus notas. Frustra enim haec ratione et scientia colliguntur. nisi fuerint usu atque exercitatione notissima.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.56r,3; text: A, C, B, Apotome intensa, Coma acutum, Semitonium remissum] [BOEMUS3C 12GF]

[f.56v] [Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.56v; text: A, C, B, Apotomen intensa, Comma acutum, Semitonium remissum] [BOEMUS3C 13GF]

Vt uero id quod institutione musice adorsi sumus non mox auribus quod iam prouectorum in musica est sed ratione interim censeatur: unum dabimus exemplum inueniendi spatii. quod uidetur esse paulo difficilius. scilicet semitonii minoris. ut in utranque partem: acutam scilicet atque grauem. rato possit ordine reperiri. Sit diatessaron .A.B. Oportet igitur circa .A.B. consonantiam minus semitonium ad grauiorem [partem add. in marg.] acutioremque deducere. Intendo igitur .B.C. diatessaron. Remitto rursus diapente .C.D. Erit igitur tonus .B.D. Diatessaron enim consonantia a diapente consonantia tono superatur. et .C.B. spatium. ab .D.C. spatio .B.D. spatio transcenditur. Rursus intendo diatessaron .D.E. Remitto autem diapente .E.F. Tonus est igitur .D.F. Sed et .D.B. tonus erat. Semitonium igitur minus est .A.F. quod subtractis duobus tonis .F.D.B.D. ab .A.B. diatessaron spatio relinquitur. Rursus remitto diatessaron .A.G. Intendo diapente .G.H. Erit igitur .A.H. tonus. Sed erat .A.F. semitonium. Erit igitur .F.H. apotome. Rursus remitto diatessaron .H.K. Intendo diapente .K.L. Tonus igitur est .H.L. Erat autem tonus .H.A. Semitonium igitur minus .L.B. Sed erat tonus .D.B. Erit igitur .L.D. apotome. Rursus intendo diatessaron .F.M. Semitonium igitur est .B.M. Remitto diatessaron .L.N. Semitonium igitur est .N.A. Per consonantiam igitur sumpta sunt circa .A.B. diatessaron duo semitonia .B.M. ad acutam quidem .N.A. uero ad grauem partem. Totumque .M.N. minus est quam diapente. Constat enim ex .V. semitoniis. et apotome geminata. Ex duobus igitur tonis et tribus semitoniis minoribus. Et quoniam duo semitonia unum tonum inplere nequeunt. [f.57r] sed relinquitur comma: totum .M.N. spatium minus est spatio diapente consonantiae uno commate. Quod facillime diligens lector inueniet.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.57r; text: Diatessaron, Diatessaron remissa, Diatessaron intensa, Diapente remissa, Diapente intensa, Tonus, Semitonium minus, Apotome, Comma, Semitonium aeque, G, K, N, A, F, H, D, L, B, M, E, C] [BOEMUS3C 14GF]

SED quoniam paululum de commatis ratione praediximus: non est diffugiendum et in quali proportione idem ipsum comma contineatur ostendere. Est enim comma quod ultimum compraehendere possit auditus. Dicendumque est semitonium minus ac semitonium maius. quantis singulatim commatibus constare uideantur. ipse [f.57v] quoque tonus quantis rursus commatibus coniungatur. Ac primum hinc conueniens sumatur initium.

Demonstratio Architae superparticularem in aequa diuidi non posse. eiusque repraehensio.

SVperparticularis proportio scindi in aequa medio proportionaliter interposito numero non potest. Id uero posterius firmiter demonstrabitur. Quam enim demonstrationem ponit Architas: nimium fluxa est. Hec uero est huiusmodi. Sit inquit superparticularis proportio .A.B. Sumo in eadem proportione minimos .C.E. Quoniam igitur sunt minimi in eadem proportione .C.E. et sunt particulares [superparticulares corr. supra lin.]: E. numerus .C. numerum parte una sua. eiusque transcendit. Sit autem haec pars .D. Dico quoniam .D. non erit numerus. sed unitas. Si enim est numerus .D. et pars eius est qui est E: metitur .D. numerus .D. numerum. Quocirca et .E. numerum metietur. Quo fit ut .C. quoque metiatur. Vtrunque [igitur add. supra lin.] .C. et .E. numeros metietur D. numerus. quod est inpossibile. Qui enim sunt minimi in eadem proportione quibuslibet aliis numeris: ii primi ad se inuicem sunt. et solam differentiam retinent unitatem. Vnitas igitur est .D. Igitur .E. numerus .C. numerum unitate transcendit. Quocirca nullus incidit medius numerus qui eam proportionem aequaliter scindat. Quo fit ut nec inter eos qui eandem cum his proportionem tenent medius possit numerus collocari. qui eandem proportionem aequalit scindat.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.57v; text: Minimi et primi in sesqualteris, Sesqualter, Minorum Differentia, Superparticularis proportio. Sex ad Quattuor, Minimi eiusdem proportionis. Tres ad Duo, Minimorum Differentia. Vnitas. A, C, D, E, B, I, II, III, IIII, VI] [BOEMUS3C 15GF]

[f.58r] Et secundum Architae quidem rationem iccirco in superparticulari nullus medius terminus cadit. qui aequaliter diuidat proportionem: quoniam minimi in eadem proportione sola differunt unitate. quasi uero non etiam in multipli [multiplici corr. supra lin.] proportione minimi eandem unitatis differentiam sortiantur. cum plures uideamus esse multiplices. praeter eos qui in radicibus collocati sunt. Inter quos medius terminus scindens aequaliter eandem proportionem possit aptari. Sed haec qui arithmeticos numeros diligenter inspexerit: facilius intelliget. Addendum uero est id ita euenire ut Architas putat in sola superparticulari proportione. non autem uniuersaliter est dicendum. Nunc ad sequentia conuertamur.

In qua numerorum sit comma. et quoniam in ea quae maior est quam LXXV. ad .LXXIIII. minor quam septuaginta quatuor ad septuaginta tres.

PRIMVM igitur dico quoniam ii numeri qui comma continent maiorem inter se retinent proportionem quam septuaginta quinque ad LXXIIII. minorem quam LXXIIII ad LXXIII Id uero ita demonstrabitur. Ac primo quidem illud reminiscendum est quod sex toni diapason commate transcendunt. Sit igitur .A. quidem CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII B. autem diapason ad eum continens consonantiam in duplici scilicet constituta DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII C. uero .VI. tonis ab .A. numero discedat. et sit DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI. quae omnia ex secundi uoluminis tonorum dispositione sunt colligenda. Inter .B. igitur atque .C. commatis proportio continetur. Aufero igitur .B. numerum de .C numero. relinquitur .D. in .VII[macron supra lin.].CLIII unitatibus collocatus. Qui .D. numerus minor quidem est quam sit septuagesima tertia pars .B. numeri. maior uero quam eiusdem septuagesima quarta sit. Nam si eundem .D. numerum qui est in VII[macron supra lin.].CLIII septuagies ter multiplicem: fit mihi E numerus in .DXXII[macron supra lin.].CLXVIII unitatibus constitutus. Si eum septuagies [f.58v] quater multiplicem: fit .F. numerus DXXVIIII[macron supra lin.].CCCXXII. Quorum quidem .E. qui per LXXIII auctus est minor est .B. numero; F. autem qui per LXXIIII: maior est .B. numero. Recte igitur dictum est .D. eius quod est .B. minorem quidem esse. quam septuagesimam tertiam partem. maiorem uero quam septuagesimam quartam. Quocirca et .C. numerus .B. numerum minore quidem parte eius quod est .B. eundem .B. superat. quam septuagesima tertia. maiore uero quam septuagesima quarta. Eius igitur quod est .C. proportio. ad id quod est .B. maior quidem est quam LXXV ad LXXIIII Minor uero quam LXXIIII ad LXXIII Nam in priore unitas septuagesima quarta est minoris. In posteriore uero eadem unitas septuagesima tertia

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.58v; text: A, CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII, B, DXXIIII[macron supra lin.].CLXXXVIII, C, DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI, D, VII[macron supra lin.].CLIII, .E. DXXII[macron supra lin.].CLXVIIII, F, DXXVIIII[macron supra lin.].CCCXXII, Diapason, Comma Septuagies Quater Multiplicatum, Comma Differentia .VI. Tonorum et Diapason, Comma Septuagies Ter Multiplicatum, Interuallum Sex Tonorum, DXXIX[macron supra lin.].CCCXXII. DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII.] [BOEMUS3C 16GF]

[f.59r] IDEM aliter explicandum est illo prius praesumpto. quod si cui proportioni propria numerorum differentia aequaliter augeatur: minor inter eos qui post additionem fiunt proportio continebitur. quam inter priores qui ante additionem illam quadam proportione distabant. ut .VI et IIII Si utrisque differentia sua. id est binarius apponatur: fient VIII et VI Sed inter VI et IIII sesqualtera. inter VIII et VI sesquitertia proportio continetur. Minor uero est proportio sesquitertia. sesqualtera proportione. Hoc igitur ita praedicto: disponantur superiores numeri. qui proportionem commatis continebant. id est DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI. et sit .A. Sit etiam .B. DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII. Horum differentia sit .C. VII[macron supra lin.].CLIII C. [igitur add. supra lin.] numerus maiorem numerum qui est .A. septuagies quinquies metiatur. Si ergo .C. numerum septuagies quinquies multiplicem: fiet mihi .D. numerus qui est DXXXVI[macron supra lin.].CCCCLXXV Igitur .D. numerus eum qui est A numero eo qui est .E. antecedit. id est .V[macron supra lin.].XXXIIII Rursus .C. numerus eum qui est .B. metiatur septuagies quater. multiplicetque Fiet igitur numerus .F. DXXVIIII[macron supra lin.].CCCXXII. Qui .F. eo qui est .B. maior est eodem .E. numero. qui est V[macron supra lin.].XXXIIII Ergo .D. numerus eum qui est .A. transcendit .E. numero .B. autem numerus ab eo quod est .F. uincitur eodem .E. numero. Si igitur .E. numerum .A. numero apponamus: fiet .D. Si uero B. numero. eundem .E. apponamus: fiet .F. Sed .D. numerus septuagies quinquies actus est: per .C. scilicet multiplicatum; F. autem septuagies quater multiplicato: C. creuit. Obtinent igitur inter se proportionem .D. atque .F. quam habent LXXV ad LXXIIII Sed D. atque .F. fiunt .A. atque B. uno eis addito .E. Maiorem igitur necesse est proportionem contineri inter .A. atque .B. quam inter .D. atque .F. Nanque .A. atque .B. numeris uno .E. addito effecti sunt .D. atque .F. Minor uero proportio est inter .D. atque .F. quam inter .A. atque .B. Sed inter .D. atque F eadem proportio est quae inter LXXV et LXXIIII Inter .A. [f.59v] igitur atque .B. maior proportio est quam inter LXXV et LXXIIII At A. atque B comma continent. Maior igitur proportio. est commatis quam LXXV. ad LXXIIII

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.59v; text: A, B, C, D, E, F, Septuagies quinquies multiplicatum, Interuallum Diapason, Septuagies quater multiplicatum, Interuallum Sex Tonorum, Differentia, DXXXVI[macron supra lin.].CCCCLXXV. DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII. V[macron supra lin.].XXXIIII. VII[macron supra lin.].CLIII. DXXVIIII[macron supra lin.].CCCXXII. DXXXI[macron supra lin.]CCCCXII.] [BOEMUS3C 17GF]

QVONIAM igitur ostendimus commatis proportionem maiorem esse quam [eam quam add. supra lin.] LXXV continent ad LXXIIII comparati: nunc ostendendum est quemadmodum [f.60r] minorem inter se proportionem contineant numeri spatium commatis continentes. quam LXXIIII ad LXXIII comparati. Id uero demonstrabitur hoc modo. Reminiscendum prius est quod secundo uolumine dixerimus. cum de mensura differentiae loquebamur. Si enim ex qualibet proportione differentiam eorum numerorum quae eam continent auferamus: ii qui relinquuntur maiorem obtinebunt proportionem iis numeris qui erant ante differentiae diminutionem. Sint enim VIII et VI Ab his propriam aufero differentiam. id est II Fiunt VI et IIII Sed in superioribus sesquitertia. in hac sesqualtera proportio continetur. Maior uero est sesqualtera proportio sesquitertia proportione. Sint igitur idem .A. atque .B. qui sunt superius scripti [descripti corr. supra lin.]. quorum est differentia .C. Multiplico differentiam .C. numeri septuagies quater. fit mihi numerus .F. scilicet .DXXVIII[macron supra lin.].CCCXXII. Qui .A. numero comparatus: uincitur numero .G. scilicet II[macron supra lin.]CXVIIII Rursus idem .C. multiplicetur septuagies ter: efficiunt numerum .K. DXXII[macron supra lin.].CLXVIIII Qui comparatus .B. numero. uincitur eodem .G. id est eisdem II[macron supra lin.].CXVIIII Sublato igitur .G. de numeris .A. atque .B: effecti sunt .F. atque .K. Minorem igitur proportionem retinebunt .A. atque .B. quam .F. atque .K. Sed .F. atque K eam retinent proportionem quam LXXIIII ad LXXIII Hi enim multiplicato .C: effecti sunt. Minor est igitur proportio .A. atque .B. numerorum comma continentium. quam LXXIIII ad LXXIII Sed paulo ante monstratum est eandem commatis proportionem maiorem. esse quam LXXV ad LXXIIII Monstrati sunt igitur [numeri add. in marg.] qui comma continent maiorem quidem inter se habere proportionem. quam LXXV ad LXXIIII Minorem uero quam LXXIIII ad LXXIII quod oportebat ostendere.

[f.60v] [Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.60v; text: .A. DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI. B. DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII. C. Minor .VII[macron supra lin.].CLIII. DXXIX[macron supra lin.].CCCXXII. DXXII[macron supra lin.].CLXVIIII. II[macron supra lin.].CXVIIII. Differentia, Proportio minor. quod LXXIIII. ad LXXIII. Septuagies Quater. Septuagies Ter. Maior. Proportio LXXIIII. Ad LXXXIII.] [BOEMUS3C 18GF]

Quod semitonium minus maius quidem sit quam uiginti ad decem et nouem et minus quam decem et nouem Semis. ad decem et octo Semis.

QVOD si ad semitonium minus talis speculatio conuertatur: eius quoque proportionem facillime reperiemus. quae constat inter .CCLXXVI et CCXLIII Sit igitur CCLVI A. CCXLIII B. Horum differentia XIII C. Dico quoniam .A. ad .B. minorem retinent proportionem. quam .XVIIII semis ad XVIII semis. Metiatur enim .C. id quod est .A. decies nouies semis. fiunt CCLIII semis. qui fit .D. Qui scilicet comparatus ad .A. ab eodem .A. duobus semisque transcenditur. Sitque haec differentia .F. scilicet II[macron supra lin.] et semis. Rursus eadem .C. differentia .B. numerum metiatur octies decies semis. fient CCXL semis. quod fit .E. Igitur .E. comparatus ad .B. eodem .F. transcenditur. id est duobus semis. D. igitur [f.61r] ab eo quod est .A. et rursus .E. ab eo quod est .B. eadem .F. differentia sunt minores. Subtracto igitur .F. ab eo quod est .A. atque .B. facti sunt .D. atque .E. Maiorem igitur retinent proportionem inter se .D. atque .E. quam .A. atque .B. Sed D atque E eandem proportionem inter se retinent. quam XVIIII semis. ad XVIII semis. A. igitur ad .B. minorem retinent proportionem. quam XVIIII semis. [ad XVIII semis add. in marg.] quod oportebat ostendere.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.61r; text: A. CCLVI. B, CCXLIII, C, XIII, D, CCLIII. semis, E, CCXL semis, F, II[macron supra lin.] semis, Interuallum Diapason, Differentia .B. et .K. .g. II[macron supra lin.]CXVIIII, C. Septuagies Ter Multiplicatum, Comma id est differentia .A. et .B. VII[macron supra lin.].C.LIII, K. DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI. DXXII[macron supra lin.].C.LXXVIII, DXXIIII[macron supra lin.].CC.LXXXVIII,DXXVIIII[macron supra lin.].CCCXXII. Interuallum Sex Tonorum, Differentia .K. et .F. .C. Septuagies Quater Multiplicatum] [BOEMUS3C 19GF]

VIDETVR tamen eadem proportio CCLVI ad CCXLIII maior esse ab ea quam continent XX et XIX Sint enim .A. B. C. idem qui superius descripti sunt. Metiatur igitur .C. differentia .A. terminum uicies fient CCLX qui sunt .D. Qui comparati ad id quod est .A. eundem quaternario transcendunt. Hic fit .F. Rursus idem .C. metiatur .B. decies [f.61v] nouies. fient CCXLVII Hic fit .E. Qui comparati ad .B. eodem .F. transcendunt. D. igitur numerus .A. numerum. et .E. numerus numerum .B: eodem .F. transcendunt. Adiecto igitur .F. iis qui sunt .A. atque .B: facti sunt .D. atque .E. Maior est igitur proportio eorum qui sunt .A. atque [.B. add. supra lin.] quam eorum qui sunt D. atque .E. Sed .D. atque [.E. add. supra lin.] uicies ac decies nouies multiplicatus .C. numerus efficit. Maior igitur est proportio eorum qui sunt .A. atque .B. qui scilicet semitonium continent quam ea quae est XX ad XVIIII

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.61v; text: A, CCLVI, B, CCXLIII, C, XIII, D, CCLX, E, CCXLVII, F, IIII, Differentia .B. et .E. II[macron supra lin.].L.semis. .C. Octies Decies Semis Multiplicatum: C. Nouies Octies Semis Multiplicatum: Differentia .A. G. D. Inter Hos Duos Constat Proportio Semitonii Minoris. Differentia .A. et .B. .C.XIII. CCXL.semis, CCLIII.semis] [BOEMUS3C 20GF]

Demonstratum est igitur semitonium minus maiorem quidem habere proportionem quam XX ad XIX Minorem uero quam XIX semis. ad XVIII semis. Nunc idem [minus add. supra lin.] semitonium commati comparemus. quod est ultimum auditui subiacens. ultimaque proportio.

Semitonium minus maius quidem esse tribus commatibus. minus uero quatuor.

Igitur demonstrandum proponimus semitonium minus maius quidem esse [f.62r] tribus commatibus. minus uero quattuor. Quod hinc facillime possis agnoscere. Sint tres numeri ita dispositi. ut inter se proportionem contineant diapason. et eam quae dicitur sex tonorum. Sit enim .A. CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII Intendantur igitur ad .B. quidem quinque continui toni. et sit B. CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII. Ad .C. autem diapason consonantia referatur. et sit .C DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII Ad .D. autem sex toni intendantur. sitque .D. DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI His ita dispositis et constitutis. manifestum est. inter .C. atque .D. comma constitui. eorumque esse differentiam VII[macron supra lin.].CLIII Id autem sit .K. Remittantur igitur duo toni ab eo quod est .B. ad id quod est .E: et sit .E. CCCLXXIII[macron supra lin.].CCXLVIII. Rursus ab eo quod est .E. intendo diatessaron quod est .F. CCCCXCVII[macron supra lin.].DCLXIIII.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.62r; text: .C. decies nouies multiplicatum: .C. uicies multiplicatum: differentia .B. et .E. differentia .A. et .D. F. IIII. .B. .E. CCXLIII, A, CCLVI, CCXLVII, D, .CCLX. CXIII. differentia .A. et .B. Inter hos constat proportio semitonii minoris.] [BOEMUS3C 20GF]

Quoniam igitur inter .E. atque .B. duo sunt toni [f.62v] inter .E. atque .F. diatessaron. inter .B. igitur atque .F. minus semitonium reperitur. Sublatis enim de diatessaron consonantia duobus tonis. fit reliquum semitonium minus. quod in primis numeris constare praedixi. CCLVI. et CCXLIII Quos eosdem numeros si milies nongenties quadragies quaterque multiplices .B. atque .F. numeros explicabis. quos necesse est eandem proportionem superius dictis numeris continere. qui uno atque eodem numero id est M[macron supra lin.]DCCCCXLIII pariter multiplicati creuerunt. Item ab eo quod est .F. intendo diatessaron scilicet [ad add. supra lin.] .G. et sit .G. DCLXIII[macron supra lin.].DLII Rursus ab eodem .G. remitto ad .P. duos tonos. et sit .P. DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII Quod .P. necesse est ut eundem sonum quem .C. numerus exhibeat. Ad aequalitatem nanque eius tali ratione progressus est. Et enim ea quae est .A.C. diapason consonantia. quae constat quinque tonis ac duobus semitoniis minoribus. ab sex tonis commate superatur. Ab eodem igitur .A. termino numerus .P. quinque tonis ac semitoniis duobus recessit hoc modo. Ab eo quod est .A. usque ad id quod est .B. quinque nimirum colliguntur toni. Ab eo autem quod est .B. usque ad id. quod est .F: minus esse semitonium pernotatur. F. uero atque .P. idem rursus semitonium minus includunt. Ab .A. igitur usque ad .P: quinque tonos ac duo semitonia minora produxit. Iure igitur .P. atque .C: eisdem numeris conscribuntur. Sed quoniam inter .F. atque .C. semitonium semitonium minus est: uideamus quae sit eorum differentia. ut eam commati comparemus. Est autem eorum differentia XXVI[macron supra lin.].DCXXIIII. et sit hoc .M. Igitur .K. commatis differentia est. M. autem semitonii minoris. Si igitur .K. numerum tertio auxerimus. fiet numerus XXI[macron supra lin.].CCCCLVIIII et sit hoc .L. Si uero quater eundem numerum .K. multiplicare uolueris: fient XXVIII[macron supra lin.].DCXII. et sit hoc .N. Igitur .M. maior quidem est ab .L. Idem autem .M. minor est ab .N. Sed .N. quater aucto commate succreuit. L. autem [tertio add. in marg.]. [f.63r] M. uero semitonii minori [minoris corr. supra lin.] obtinet differentiam. Iure igitur dictum est: minus semitonium minus quidem esse quam quattuor commata. maius uero quam tria.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.63r; text: Quinque Toni Intensi, Diatessaron Intensa, Tonus, .K. Quater auctum. XXVIII[macron supra lin.].DCXII. N, L, Ter auctum. XXI.CCCC.LVIIII, Comma, VII[macron supra lin.].C.LIII. A, CCLXII[macron supra lin.]CXLIII, E, CCCLXXIII[macron supra lin.]CCXLVIII. B, CCCCLXXII[macron supra lin.]CCCXCII. F, CCCCXCVII[macron supra lin.].D.CLXIIII, C, DXXIIII[macron supra lin.]CCLXXVII. .P. D, DXXXI[macron supra lin.].CCCC.XLI. G, DCLXIII[macron supra lin.].DLII. Semitonium minus, Duo Toni Remissi. differentia .F. et .C. M, XXVI[macron supra lin.].DCXXIIII. Diapason Consonantia. Interuallum Sex Tonorum.] [BOEMUS3C 21GF]

Apotomen iuniorem esse quam quatuor commata. minorem quam quinque. tonum maiorem esse quam octo. minorem quam nouem

EADEM hac ratione et semitonium maius quod apotomen dici supra retulimus. quot commatum sit possumus inuenire hoc modo. Sit [f.63v] A. CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII Quinque uero ab eo distans tonis sit .B. CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII Sex uero distans tonis ab eo quod est .A. sit .D. scilicet DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI Inter .B. igitur atque .D: tonus est .B. uero ab eo quod est .C: distat semitonium minus. et sit .C. CCCCXCVII[macron supra lin.].DCLXIIII. Relinquitur ergo inter .C. atque .D: apotome proportio. Nam cum sit tonus .B.D: ex eo si auferas .B.C. semitonium minus. C.D. relinquitur maius. quod apotomen esse supra retulimus. Inter .D. igitur atque .C. est differentia XXXIII[macron supra lin.].DCCLXXVII Hic autem sit .E. Sed erat commatis VII[macron supra lin.].CLIII Hic sit .F. Si igitur F. id quod est comma quinquies multiplicem: fient mihi XXXV[macron supra lin.].DCCLXV. et sit hoc .G. Si uero idem .F. quater multiplicem: fit K. numerus qui est XXVIII[macron supra lin.].D.CXII G. igitur ab eo quod est .E. maius est: K. minus. Sed .G. quinquies auctum est comma .K. uero quater. E. autem apotomes differentia est. Iure igitur dictum est apotomen minorem quidem esse quam quinque commata. Maiorem uero quam quattuor. Ex hoc igitur conprobatur. tonum maiorem quidem esse quam sunt VIII commata. minorem uero quam VIIII. Nam si minus semitonium maius quidem est quam tria commata. minus uero quam quattuor: apotome autem maior quidem est quam quattuor commata. minor uero quam quinque iunctum semitonium minus semitonio maiori quod est apotome: erit hoc omne maius quidem VIII commatibus. minus uero quam VIIII Sed apotome atque semitonium minus. unum efficiunt tonum. Tonus igitur maior quidem est VIII commatibus. minor uero nouem:

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.63v; text: A, CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII, B, CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII, C, CCCCXCVII[macron supra lin.].DCLXIIII, D, DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI.] [BOEMUS3C 22GF]

[f.64r] [Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.64r; text: Interuallum Sex Tonorum, Interuallum Quinque Tonorum, semitonium minus, A. CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII. B. CCCCLXXII[macron supra lin.]CCCXCII. C. CCCXCVII[macron supra lin.]DCLXIIII. D. DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI. E. XXXIII[macron supra lin.]DCCLXXVIII. differentia .C.D. K. XXVIII[macron supra lin.].DCXII: E. Quater Multiplicatum. TONVS. apotome proportio. G. XXXV[macron supra lin.].DCCLXV. F. Quinquies auctum.] [BOEMUS3C 22GF]

Superius dictorum per numeros demonstratio.

SED quamquam per hanc ratiocinationem demonstratum sit quemadmodum tonus commatibus comparetur: non est tamen quasi segnius delassandum. quominus per se hanc contra commata comparationem retinere tonus ipse monstretur. Sit igitur .A. quidem CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII B. autem ab eo quinque distans tonis. CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII. .C. uero diapason ad id quod est .A. continens simphoniam. scilicet in numeris DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII D. uero ab eo quod est .A. sex totos differens tonos. DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI D. igitur ab eo quod est .C. distat commate. scilicet sex tonis. a diapason consonantia. Id autem sit .E. VII[macron supra lin.].CLIIII D. autem ab eo quod est .B. tono integerrimo distat. VI scilicet toni .V tonis. Id autem fit .F. LVIIII[macron supra lin.].XLVIIII Si igitur .E. nouies auxero: fit mihi .H. LXIIII[macron supra lin.].CCCLXXVII. sin uero octies: fient LVII[macron supra lin.].CCXXIIII Id sit .G. Sed .H. quidem .F. numero comparatus: superat .G. uero: superatur. Et est .F: toni differentia. [f.64v] .H. autem nouies multiplicatum: comma .G. uero octies. Demonstratus igitur est tonus minor quidem IX esse commatibus. eisdem uero VIII commatibus maior.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.64v; text: Diapason, Interuallum Quinque Tonorum, Interuallum Sex Tonorum, .E. Nouies auctum, Tonus, Comma, differentia .B. et .D. .E. Octies auctum, A. CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII. CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCCII. B. DXXXIIII[macron supra lin.]CCLXXXVIII. C. DXXXI[macron supra lin.]CCCCXLI. .D. .E. VII[macron supra lin.].CLIII. G. LVII[macron supra lin.].CCXXIIII. F. LVIIII[macron supra lin.].XLVIIII. .N. LXIIII[macron supra lin.].CCCLXXVIII.] [BOEMUS3C 23GF]

HIS ita praemissis. licet maius semitonium minore semitonio commate distare monstratum sit: tamen idem quoque per se et per subiectos numeros. tali ratione probabitur. Sit .A. numerus CCCCXCVII[macron supra lin.].DCLXIIII Ab eo uero minus semitonium distans sit .B. numerus. qui iam supra quoque descriptus est DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII Apotome [Apotomen corr. supra lin.] uero distet ab eo quod est .A: is numerus qui colligitur unitatibus DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI et sit hoc .C. Quoniam igitur .A.B. minus semitonium est .A.C. maius: differentia eius quod est .B. ab eo quod est .C. perquirenda est: Ea est VII[macron supra lin.].CLIII. Id sit .D. [f.65r] Sed hic numerus dudum comma monstrabat. Inter maius igitur semitonium ac minus. comma differentiam facit.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.65r,1; text: Apotome. Simitonium Minus. Comma. Differentia .B.C. A. CCCCXC[macron supra lin.]DCLXIIII. B. DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII. C. DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI. .D. VII[macron supra lin.].CLIII.] [BOEMUS3C 24GF]

RVRSVS demonstrandum propono tonum duobus semitoniis minoribus. solo commate esse maiorem. Sit .A. numerus CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII. Ab hoc intendatur tonus DXXXI[macron supra lin.].CCCXLI et sit hoc .D. Ab eo quod est .A. intendo semitonium minus quod est .B: ac sit [.B. add. supra lin.] CCCCXCVII[macron supra lin.].DCLXIIII Item ab eo quod est .B. semitonium minus intendatur aliud. quod est .C. Et sit .C. DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXVIII Quoniam igitur .A.D. tonus est .A.C. uero duo continent minora semitonia: uideamus quae sit differentia inter .C. atque .D. numeros constituta. Est autem .E. scilicet VII[macron supra lin.].CLIII Demonstratum est igitur tonum duobus semitoniis minoribus commate esse maiorem.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.65r,2; text: Tonus Intensus, Semitonium Minus, Comma, Differentia .C.D. A. CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII. .B. CCCCXCVII[macron supra lin.]DCLXIIII, DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII. C. DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI. D. VII[macron supra lin.]CLIII. F] [BOEMUS3C 24GF]

[f.65v] SED quoniam iam omnia quae probanda promisimus propria ratione monstrata sunt: nunc quod superest musicae institutionis regularis monochordi est facienda partitio. Quam rem quoniam longior tractatus extendit: in posterioris commentarii disputationem censuimus transferandam.