| Actions |
|---|
[807] REGULAE DOMNI ODONIS SUPER ABACUM.
Si quis notitiam abaci habere desiderat, necesse est ut in consideratione numeri studeat. Haec ars non a modernis, sed ab antiquis inventa, ideo a multis negligitur, quia numerorum perplexione valde implicatur, ut majorum relatione didicimus. Hujus artis inventorem Pythagoram habemus. Cujus studium itaque in quibusdam est necessarium, ut absque ipsius peritia vix aliquis arithmeticae perfectionem attingat, et calculationis, id est computi, argumenta comprehendat. Quod si hanc artem a paganis traditam sancti doctores otiosam sensissent, nunquam regulas sanctae Ecclesiae necessarias illius auctoritate firmassent. Si quis enim Venerabilis Bedae libros de computo legere voluerit, absque hujus artis notitia parum proficere poterit. Haec in quadrivio, id est, in musica, arithmetica, geometrica, astronomia, ita est necessaria et utilis, ut sine illa pene omnis labor studentium videatur inanis. Hanc antiquitus Graece conscriptam, a Boetio credimus in Latinum translatam. Sed quia liber hujus artis est difficilis legentibus, quasdam regulas ...... capientium decerpere inde curavimus.
Haec ars dispositione arcuum distincta ab uno surgens usque ad infinita per denarium numerum accrescit. Unus enim decies multiplicatus decem facit; denarius decies multiplicatus C reddit; centum decies multiplicando mille fiunt; sic per caetera usque ad infinita. Distinctio autem arcuum cum numeris talis est: singularis, decenarius, centenarius, millenarius, decenus millenarius, centenus millenarius, mille millenarius, decies mille millenus, centies mille millenus, millies mille millenus, decies millies mille millenus, centies millies mille millenus.
Consideret autem prudens abacista, quod cum a singulari arcu unus consurgens ad perfectum numerum, quod est C, et a mille iterum incipiens ad centum millia, qui similiter perfectus esse numerus protenditur, terni arcus minores propter expletionem perfecti numeri uno arcu majori continentur. [808] Sic per caetera. Per medium vero arcuum duae lineae sepositae ducuntur, super quas ipse numerus arcuum inscribitur. Infra autem per ternos continus arcus singularis, decenus, centenus, ob rationem majoris arcus adnotatur. Nomina et figuras characterum jam consideremus. Unitas [1 sub lin.] Binarius. [2 sub lin.] Ternarius. [3 sub lin.] Quaternarius. [4 sub lin.] Quinarius. [5 sub lin.] Senarius. [6 sub lin.] Septenarius. [7 sub lin.] Octonarius. [8 sub lin.] Novenarius. [9 sub lin.]
Denarium autem Pythagoras idcirco non posuit, quia unitas post novenarium denarium efficit, quod in sequentibus magis patebit. Hi novem characteres tanta auctoritate fruuntur, ut qualemcumque numerum in abaco quaeras, horum positione cito invenias; si enim mille centum millia invenire cupis, unitate posita in eisdem arcubus sine mora reperies.
Hoc autem diligenter considera, quod quidquid infra X est, digitus vocatur. Quod vero ad X vel ad majores numeros pervenit, ut est XX, XXX, XL, in hac arte articulus appellatur.
Jam ad characteres disponendos veniamus. Quidquid multiplicare volueris, sine summa et fundamento facere non poteris; nullus enim numerus multiplicatur, nisi respectu alterius perpendatur. Summa vocatur, quod in summitate arcuum; fundamentum autem, quidquid inferius disponitur. Et quod ex utroque numero procedit multiplicato, inter duas lineas ponitur. Verbi gratia pone 5 et fit summa in singulari arcu 7 pro fundamento habeas in eodem. Vide, quia isti duo numeri sicut omnes alii sunt reciproci; sive enim dicas quinquies septem, seu septies quinque, idem significat, et faciunt XXXV. Et quod de multiplicatione collegisti, hoc modo disponas: singularis arcus quemcumque multiplicat, in eodem pone digitum in ulteriorem articulum, et pone 5 in eodem 3 ternarium, qui XXX significat in deceno. Hoc autem memoriter tene, quia singularis arcus quem arcum multiplicat in [809] eodem multiplicationem ponit; decenus in secundo, centenus in tertio, millenus in quarto, decenus millenus in quinto: sic de caeteris. Illud quoque scias, quia digitus, hoc est, omnis numerus infra decem hanc definitionem per 8, articulus vero, hoc est, numerus perfectus, sicut X et XX, in ulteriori arcu transmutatur. Quidquid multiplicare habes, quotquot in summa vel in fundamento ponis, a singulari incipiens omnes per ordinem multiplicare ne neglexeris. Facta autem multiplicatione si ex adunatione characterum articulus, id est major numerus, succreverit, quoties numerus denarius X continetur, hac regula transcendit: quoties ex collectione characterum oritur articulus, in eodem non remanebit. Perspectaque quantitate characterum juxta situm arcuum, qui ex superiori vel inferiori numero, id est ex summa vel fundamento oriatur, facile comprehenditur. Multiplicationis vero ratio talis est, ut a parvo incipiens semper ad majorem numerum proficiat. Quod si multiplicationis rudimentis instructus, et cognitis characteribus, divisionum modos scire satagis, hanc commodam dividendi rationem perspicere ne pigriteris.
E divisionibus.
Divisiones in abaco tres sunt, simplex, composita, interrupta. Simplex est, ubi unus divisor; composita, ubi duo vel plures divisores per continuos arcus; interrupta vero duo vel plures divisores inter eos uno arcu vacante. Quidquid dividendum est in abaco; in medio ponitur, divisores praeponuntur, denominationes autem, hoc est partes divisae, supponuntur. His ita in abaco dispositis considerare debes in quo arcu locum habeant divisores. Si singularis, sub se ponetur; si decenus, secundabit; si millenus, quadrabit. Et per quot arcus recedunt a singulari, per tot denominationes retro ponunt.
Dispositis vero partibus dividendis, et divisoribus praepositis, quomodo ad dividendum promoveantur divisores, videas. Divisor, si minor vel aequalis sit, supra ponitur; si major, infra. Quod major vel minor sit divisor, industriae tuae facile patebit, quando partibus dividendis praeponitur. Praepositis autem divisoribus ubi accipere debeant, sic considera. Omnis divisor ante se et sub se accipit, retro nunquam. Tunc perspiciens, quoties in subjecto numero divisor contineatur, sic pronuntia: verbi gratia: quaternarius 4 quoties est in senario 6 ? Semel, et remanent duo. Quod adverbialiter pronuntiasti, denominationem esse intelligas, et unitatem accipias. Denique considerans, de quo arcu divisor promotus sit, sic interrogo: unde locus? si de primo, respondeatur, a singulari. Sequitur regula: Singularis divisor denominationem sub se ponit, et sic de caeteris. Considera tamen quia, ut praediximus, decenus secundabit, centenus tertiabit, millenus quadrabit, et caetera. Duo autem, qui de senario remanserunt, denominatione sublata, quia digitus est, et de digito abstractus, in eodem remanet. Si vero digitus [810] de articulo abstrahitur, in secundo retro ponitur. Haec de simplici divisione sufficiant.
De composita divisione.
Composita autem et interrupta, quia non unum tantum, sed plures divisores habent, a simplici in sequentibus divisionibus dissident. Positis itaque dividendis partibus, et praepositis divisoribus, eadem, qua simplex divisor, regula ascendit, sed sequentes divisores alio modo accipiuntur; cum enim dixeris, verbi gratia: Quaternarius quoties est in senario? denominationem determinans, respondes: Semel, et remanent duo, digitus de digito. Supposita autem denominatione, quae est semel adverbialiter prolatum, quod est I, unitas, sequentibus sic dabis partes. Omnes sequentes divisores accipiunt per multiplicationem sui et partium divisarum accipiunt auferendo. Quae omnia magis unicae vocis alloquio, quam scripta advertuntur. Considerandumque est (quod) in quibusdam divisionibus dicamus: digitus de articulo in secundo, et digitus de digito in eodem, quia aliquando articulus de articulo oriatur, quod facile in dispositione characterum cognoscitur. Et haec ratio in composita divisione contingit.
De interrupta.
Sed quia interrupta divisio aliquando per tres vel quatuor arcus distinguit, articulum de articulo non in eodem sed in secundo multoties ponit: quod in quantitate numeri cantus abacista leviter deprehendit; si enim centum millia inter XXX et decem dividis, I unitatem in centeno milleno, itemque unitatem in deceno arcu, quod dico, per partes deceni divisoris, cito perspicis: verbi gratia: Ternarius 3 quoties est in decem? Ter, et unus remanet; et vide, quia decenus millenus denominationem in singulari ponens quintabit; digitus autem, hoc est, unum quidem articulo manet, in secundo ponitur. Sequens autem divisor in deceno positus per multiplicationem sui et partium divisarum juxta praedictam, accipe, ita, semel tres sunt tres; et considera, quia, quod dividendum est, a deceno divisore in quarto arcu distat, qui est sibi pro milleno, sic profers: tribus ablatis de mille remanent DCCC et XCVII, articulus de articulo in secundo, quae character major, et articulus de articulo.
De minutiis.
De divisione et multiplicatione characterum abaci per integras partes, etsi succinte, tamen satis plane tractavimus. Nunc ad divisiones integritatum, id est, minutias veniamus. Omnis unitas I, integrum apud antiquos as vel libra vocatur. As autem habet duodecim uncias, qui numerus paulatim minutus, per divisiones integrarum unciarum multiplices ex se minutias reddit. Una enim de duodecim sublata, quod remanet, deunx vocatur; duobus ablatis dextans conficitur, tribus dodrans, quatuor bisse, quinque sextunx, sex semis, septem quincunx, octo triens, novem qaadrans, decem sextans; decem et dimidia ablata sexcuntia. Sic paulatim dividuntur usque ad [811] unciam. Quarum quaedam nomina a Graecis, quaedam autem ab effectu trahuntur. Deunx compositum X demonstrat. Dextans, dodrans et bisse Graecam etymologiam habere videntur. Bisse vero Latino marca dicitur. Septunx a VII unciis componitur. Semis Graece, Latine dimidium dicitur. Quincunx a quinque unciis; triens quia assim tertiat, quadrans quia quartat, sextans quia sextat: sexcuntia sive Graeca sive Latina sit compositio, unciam et dimidiam signat. Ultima autem unciae minutia unciarum duodecima pars assis est.
Hae sunt minutiae assis gradatim concissae, usque ad unciam. Uncia autem cum sit duodecima pars assis, in viginti quatuor particulas conciditur, quarum ultima scrupulus nuncupatur: quarum sicut de asse dictum est, quaedam minutiae ab effectu, quaedam a compositione nomina sortiuntur. Uncia vero XXIV scrupulos habens per medium divisa semiunciam, id est, dimidiam unciam facit. Duella, quae magis Graecam etymologiam redolet, tertia pars unciae est. Sicilicus, qui apud Graecos et Hebraeos siclus, vel sichel nuncupatur, unciam quartat. Sextula unciam sextat. Dragma, quod Graecum est, octat. Hemisescla, quasi dimidia sextula, duodecima pars unciae constat. Scrupulus autem minutia unciae, eadem ratione, qua as et uncia, sectionem recipit. Scrupulus duos obolos, obolus duos cerates habent, qui in numero ponderum apud veteres ceratus dicitur. Scrupulus secundus habens obolos, quatuor cerates, sex siliquas, continet ceto calcos, qui calcus ultimus est in minutiis. De asse in minutiis dictum est, et adhuc dicendum.
Notet cautus abacista tres species concisionum in asse factas. Prima est ab integra unitate, id est, asse per congruas particulas usque ad unciam: secunda ab uncia usque ad scrupulum: tertia a scrupulo, qui a nomine, quod scrupulus est, derivatur, usque ad calcum. Sed quia haec vocabula minutiarum moderni non frequentant, paulatim notitia eorum fere periit, licet in multis philosophorum scriptis usus admodum illorum necessarius sit: sed et divina pagina tam Veteris quam Novi testamenti minutiarum notitiam in multis locis requirit.
Jam ad positionem earum in abaco veniamus. Si mille argenteos et unum inter mille milites dividere vis, unitatem in milleno arcu pro divisoribus ponis, et iterum in milleno unitatem et unitatem in singulari pro dividendis partibus colligis. Et cum dicis: Quoties est unitas in unitate? respondes. Semel, et nihil remanet. Dicta autem regula millenus divisor denominationem quartabit, eamdem unitatem [812] in singulari arcu supponis. Denuo autem qui in singulari est mille per integras partes nihil accipit; si enim unus totum accipit, aliis nihil relinquitur. Unde unum, quod remanet, inter mille dividere vis, cum per integras partes non liceat, per minutias hoc facere poteris. In quo ad memoriam reducas illam regulam, quae dicit, quoties ex collectis characteribus oritur articulus, in eodem non remanebit; sed et illam omnino perpende, in qua dicitur: Divisor ante se et sub se accipit, retro nunquam.
Patet enim, si per articulos minutiarum unitas, quae sedet in singulari, usque ad millenum arcum, ubi sunt divisores, non ascendit, dividendi ratio nihil agit. Quapropter studeas, ut usque ad praedictura arcum unitatem minuendo per articulos trahas, verbi gratia: As habet uncias duodecim. Reduc ad memoriam, quod omnis numerus infra decem digitus, supra decem vero articulus dicitur. Et cum duodecim uncias as habeat, X, qui est articulus, in deceno arcu ponas. Duae unciae, id est sextans, in siugulari remanent, unciamque, quae sedet in dexo, per articulos in centenum transpone ita: uncia XXIV scrupulos habet. XX, qui est articulus, in centenum transponas, et quatuor, qui est digitus, ibidem dimittas. Et cum nondum habeat divisor, qui sub se accipiat, ad millenum, si potes, aliquid transferas. In centeno sunt duo scrupuli. Scrupulus habet VI siliquas; et si dicis bis sex, XII siliquae sunt. Decem pro articulo ponis, duae siliquae remanent. Et quia jam habet divisor, quid sub se accipiat, dicas, millenus divisor denominationem quartabit, et siliquas in singulari supponas, sextantem vero, qui est in singulari, promoveas ita: Duae unciae habent XLVIII scrupulos: XL pro articulo ad decenum transponas, digitum, id est VIII scrupulos, ibidem dimittas. Octo vero scrupulos adhuc de singulari transferens, octo scrupulos per octavum multiplices; scrupulus enim octo calcos habet. Octies octo sunt LXIV. Pro LX calculis, qui est articulus, obolum et ceratem in deceno ponas: pro quatuor calculis obolum relinquas, et facta est divisio. Et ne forte suspicio tibi incidat de partibus relictis, quod adhuc ascendere possint, causa exercendi ingenium probes, videasque quantum per articulos ascendant. Obolus, qui est in singulari, cum per inferiores minutias articulum efficere non possit, ibidem remanebit. In deceno sunt octo scrupuli, et cum scrupulus octo calcos, si octo per octonarium multiplices, LXIV invenies. LX calcis, qui est articulus, in centeno translatis, obolum et ceratem ponis, et pro quatuor, qui sunt digitus, obolum relinquis: [813] iterum de centeno transponere poteris. Duo oboli faciunt octo calcos et cerates duas, qui simul faciunt X, pro quibus calcum in centeno pones. In centeno sunt vero obolus et cerates, duae siliquae et calcus: quae quia articulum non faciunt, ascendere nequeunt, et cum divisor sub se nihil habeat, neque usque ad sedem divisoris aliqua particula minutiarum per articulos ducta valeat pervenire, qui hujus artis sciolus est, divisionem factam intelligat esse.
Facta autem divisione recolligendo characteres, utrumne bene diviseris, probes. Siliqua, quae est sexta pars scrupuli in singulari posita inter mille partem unicuique contingit. Et si dicis: Semel unus unus est, siliquas in milleno ponis, addendo regulam: millenus quemcunque multiplicat; in quarto pone digitum, et ut recolligendo omnes characteres in assim redigas, per continuos arcus gradatim descendas. Siliqua, quae est in milleno, ad centenum significat X; de decem siliquis sex faciunt serupulum, tres obolum, et una superest. Eadem ratione omnes centum characteres ad decenum reducas. De decem calcis octo faciunt scrupulum, duo ceratem, tres siliquas pro obolo accipiens, et de X obolis scrupulos quinque faciens in decenum mutas.
Decem cerates hemisesclam et obolum faciunt, XX oboli et X scrupuli faciunt semunciam et duellam: itidem de deceno ad singularem facias. Decem cerates faciunt hemisesclam et obolum, X oboli faciunt quinque scrupulos. X hemisesclae et viginti hemisesclae, quae simul faciunt XL, uncias et duas duellas reddunt. Decem duellae et decem sextulae cum decem semunciis sextantem efficiunt. Et quia ad singularem arcum reversus es, consideratis, quae collegisti, assim invenies. Et quia grave est hoc, cordetenus perpende: hoc pro certo scias, si autem non fallis, ab arte falleris.
Nota autem, quia sicut in integris unitatibus est triplex modus divisionum, sic in minutiis assium. Quod si animum tuum movet in aliquo, quare in divisione minutiarum aliquid remaneat, tali ratione considera. Si notitiam dividendi secundum artem abaci caute perpendis, omnis divisor aequalem sibi numerum, vel majorem se dividere potest, minorem autem nunquam per integras uncias. Si enim dicis. Mille quoties in quingenties? satis tibi patet, quod nullo modo ars patitur hunc modum divisionis. Et quia hoc per integras partes nequaquam facere praevales, ad sectionem unciarum recurrere debes, et quandiu per majores minutias partire poteris, divisoribus juxta modum suum partes dabis. Post uncias vero ad concisiones unciarum, ad scrupulos venis, et itidem scrupulos [814] ad majores minutias reducis. Et quandiu paulatim minuendo minutissimas divisoribus poteris coaequare, tandiu divisionem protende. Si vero portiones divisoribus nequeunt coaequari, quidquid de partibus remanet, ultra non poterit dividi. Nec mirandum est aliquid de minutiis superesse, cum alias artes in multis videam vacillare. Quamvis enim grammatica amplioribus sit discussa philosophis, tamen ut caeterae artes aliquid habet imperfectionis, scilicet et in generibus et in personis. Cum enim coelum in singulari generis sit neutri, in plurali fit masculini. Et ut paucis concludam, qui in septem artibus vult studere, plurima perfectione carentia poterit invenire; nam sicut est antiquum proverbium: Nihil est omni parte beatum. Rerum Vero Parens, qui solus cuncta tuetur cum sit cunctipotens, perfectus solus habetur.
As habet duas semisses.
Tres trientes,
Quatuor quadrantes,
Sex sextantes,
Octo sexcuntias,
Duodecim uncias.
XXIV semuncias,
XXXVI duellas,
XLVIII Siliquas [Lege sicilicos, vel siclos]
LXXII Sextulas,
XCVI Dragmas [Lege drachmas],
CXLIV hemisesclas,
CCLXXVIII scrupulos.
DLXXVI obolos,
MCLII cerates,
MDCCXXVIII siliquas.
MMCCCIV calculos.
Semisse, secunda pars assis,
Triens, tertia pars,
Quadrans, quarta,
Sextans, sexta,
Sexcuncia, octava,
Uncia, duodecima,
Semuncia, vigesima quarta.
Duella, tricesima sexta.
Sicilicus, quadragesima octava.
Sextula, septuagesima secunda.
Dragma [Lege, drachmas], nonagesima sexta.
Hemisescla, centesima quadragesima quarta.
Scrupulus [In prioribus CCLXXVIII] [CCLXXXVIIIva.]
Obolus DLXXVIta.
Cerates MCLIIda.
Siliqua MDCCXXVIIIva.
Calculus est bis millesima trecentesima [Superius additur quarta] pars assis.
