Back to top

[296] Regulae Domni Oddonis super abacum.

Si quis notitiam abaci habere desiderat, necesse est, ut in consideratione numeri studeat. Haec ars non a modernis, sed ab antiquis inventa, ideo a multis negligitur, quia numerorum perplexione valde implicatur, ut maiorum relatione didicimus Huius artis inventorem Pythagoram habemus. Cuius studium itaque in quibusdam est necessarium, ut absque ipsius peritia vix aliquis arithmeticae perfectionem adtingat, et calculationis, id est, computi argumenta comprehendat. Quodsi hanc artem a paganis traditam sancti doctores otiosam sensissent, numquam regulas sanctae Ecclesiae necessarias illius auctoritate firmassent. Si quis enim Venerabilis Bedae libros de computo legere voluerit, absque huius artis notitia parum proficere poterit. Haec in quadrivio, id est, in Musica, Arithmetica, Geometrica, Astronomia, ita est necessaria et utilis, ut fine illa pene omnis labor studentium videatur inanis. Hanc antiquitus graece conscriptam, a Boetio credimus in latinum translatam. Sed quia liber huius artis est difficilis legentibus, quasdam regulas ...... capientium decerpere inde curavimus.

Haec ars dispositione arcuum distincta ab uno surgens usque ad infinita per denarium numerum accrescit. Unus enim decies multiplicatus decem facit: denarius decies multiplicatus C. reddit: centum decies multiplicando mille fiunt: sic per caetera usque ad infinita. Distinctio autem arcuum cum numeris talis est: singularis, decenarius, centenarius, millenarius, decenus millenarius, centenus millenarius, mille millenarius, decies mille millenus, centies mille millenus, millies mille millenus, decies millies mille millenus, centies millies mille millenus.

Consideret autem prudens abacista, quod cum a singulari arcu unus consurgens ad perfectum numerum, quod est C. et a mille iterum incipiens ad centum millia, qui similiter perfectus esse numerus protenditur, terni arcus minores propter expletionem perfecti numeri uno arcu maiori continentur. Sic per caetera. Per medium vero arcuum duae lineae sepositae ducuntur, super quas ipse numerus arcuum inscribitur. Infra autem per ternos continuos arcus singularis, decenus, centenus, ob rationem maioris arcus annotatur. Nomina et figuras characterum iam consideremus. unitas. [1 sub lin.] binarius. [2 sub lin.] ternarius. [3 sub lin.] quaternarius. [4 sub lin.] quinarius. [5 sub lin.] Senarius, [6 sub lin.] Septenarius. [7 sub lin.] Octonarius. [8 sub lin.] Novenarius. [9 sub lin.]

[297] Denarium autem Pythagoras idcirco non posuit, quia unitas post novenarium denarium efficit, quod in sequentibus magis patebit. Hi novem characteres tanta auctoritate fruuntur, ut qualemcumque numerum in abaco quaeras, horum positione cito invenias; si enim mille centum millia invenire cupis, unitate posita in eisdem arcubus sine mora reperies.

Hoc autem diligenter considera, quod quidquid infra X. est, digitus vocatur. Quod vero ad X. vel ad maiores numeros pervenit, ut est XX. XXX. XL. in hac arte articulus appellatur.

Iam ad characteres disponendos veniamus. Quidquid multiplicare volueris, sine summa et fundamento facere non poteris; nullus enim numerus multiplicatur, nisi respectu alterius perpendatur. Summa vocatur, quod in summitate arcuum; fundamentum autem, quidquid inferius disponitur. Et quod ex utroque numero procedit multiplicato, inter duas lineas ponitur. Verbi gratia pone 5. et fit summa in singulari arcu 7. pro fundamento habeas in eodem. Vide, quia isti duo numeri sicut omnes alii sunt reciproci; sive enim dicas quinquies septem, seu septies quinque, idem significat, et faciunt XXXV. Et quod de multiplicatione collegisti, hoc modo disponas: singularis arcus quemcumque multiplicat, in eodem pone digitum in ulteriorem articulum, et pone 5. in eodem 3. ternarium, qui XXX. significat in deceno. Hoc autem memoriter tene, quia singularis arcus quem arcum multiplicat, in eodem multiplicationem ponit; decenus in secundo, centenus in tertio, millenus in quarto, decenus millenus in quinto: sic de caeteris. Illud quoque scias, quia digitus, hoc est, omnis numerus infra decem hanc definitionem per 8. articulus vero, hoc est, numerus perfectus sicut X et XX. in ulteriori arcu transmutatur. Quidquid multiplicare habes, quotquot in summa, vel in fundamento ponis, a singulari incipiens omnes per ordinem multiplicare ne neglexeris. Facta autem multiplicatione si ex adunatione characterum articulus, id est, maior numerus succreverit, quotiens numerus denarius X. continetur, hac regula transcendit: quotiens ex collectione characterum oritur articulus, in eodem non remanebit. Perspectaque quantitate characterum iuxta situm arcuum, qui ex superiori vel inferiori numero, id est, ex summa vel fundamento oriatur, facile comprehenditur. Multiplicationis vero ratio talis est, ut a parvo incipiens semper ad maiorem numerum proficiat. Quodsi multiplicationis rudimentis instructus, et cognitis characteribus, divisionum modos scire satagis, hanc commodam dividendi rationem perspicere ne pigriteris.

De divisionibus.

Divisiones in abaco tres sunt, simplex, composita, interrupta. Simplex est, ubi unus divisor: composita, ubi duo vel plures divisores per continuos arcus: interrupta vero duo vel plures divisores inter eos uno arcu vacante. Quidquid dividendum est in abaco, in medio ponitur; divisores praeponuntur; denominationes autem, hoc est, partes divisae supponuntur. His ita [298] in abaco dispositis considerare debes, in quo arcu locum habeant divisores. Si singularis, sub se ponetur; si decenus, secundabit; si millenus, quadrabit. Et per quot arcus recedunt a singulari, per tot denominationes retro ponunt.

Dispositis vero partibus dividendis, et divisoribus praepositis, quomodo ad dividendum promoveantur divisores, videas. Divisor, si minor vel aequalis sit, supra ponitur; si maior, infra. Quod maior vel minor fit divisor, industriae tuae facile patebit, quando partibus dividendis praeponitur. Praepositis autem divisoribus ubi accipere debeant, sic considera. Omnis divisor ante se et sub se accipit, retro numquam. Tunc perspiciens, quotiens in subiecto numero divisor contineatur, sic pronuntia: verbi gratia: quaternarius 4. quotiens est in senario 6 ? semel, et remanent duo. Quod adverbialiter pronuntiasti, denominationem esse intelligas, et unitatem accipias. Denique considerans, de quo arcu divisor promotus sit, sic interrogo: unde locus? si de primo, respondeatur, a singulari. Sequitur regula: singularis divisor denominationem sub se ponit, et sic de caeteris. Considera tamen, quia, ut praediximus, decenus secundabit, centenus tertiabit, millenus quadrabit, et cetera. Duo autem, qui de senario remanserunt, denominatione sublata, quia digitus est, et de digito abstractus, in eodem remanet. Si vero digitus de articulo abstrahitur, in secundo retro ponitur. Haec de simplici divisione sufficiant.

De composita divisione.

Composita autem et interrupta, quia non unum tantum, sed plures divisores habent, a simplici in sequentibus divisionibus dissident. Positis itaque dividendis partibus, et praepositis divisoribus, eadem, qua simplex divisor, regula ascendit, sed sequentes divisores alio modo accipiuntur; cum enim dixeris, verbi gratia: quaternarius quotiens est in senario? denominationem determinans, respondes: semel, et remanent duo, digitus de digito. Subposita autem denominatione, quae est semel adverbialiter prolatum, quod est I. unitas, sequentibus sic dabis partes. Omnes sequentes divisores accipiunt per multiplicationem sui et partium divisarum accipiunt auferendo. Quae omnia magis unicae vocis alloquio, quam scripta advertuntur. Considerandumque est, (quod) in quibusdam divisionibus dicamus: digitus de articulo in secundo, et digitus de digito in eodem; quia aliquando articulus de articulo oriatur, quod facile in dispositione characterum congoscitur. Et haec ratio in composita divisione contingit.

De interrupta.

Sed quia interrupta divisio aliquando per tres vel quatuor arcus distinguit, articulum de articulo non in eodem, sed in secundo multotiens ponit: quod in quantitate numeri cautus abacista leviter deprehendit; si enim centum millia inter XXX. et decem dividis, I. unitatem in centeno milleno, itemque unitatem in deceno arcu, quod dico, per partes deceni divisoris, cito perspicis: verbi gratia: [299] ternarius 3. quotiens est in decem? ter, et unus remanet; et vide, quia decenus millenus denominationem in singulari ponens quintabit; digitus autem, hoc est, unum quidem articulo manet, in secundo ponitur. Sequens autem divisor in deceno positus per multiplicationem sui et partium divisarum iuxta praedictam accipe, ita: semel tres sunt tres; et considera, quia, quod dividendum est, a deceno divisore in quarto arcu distat, qui est sibi pro milleno, sic profers: tribus ablatis de mille remanent DCCC et XCVII. articulus de articulo in secundo, quia character maior, et articulus de articulo.

De minutiis.

De divisone et multiplicatione characterum abaci per integras partes, etsi succincte, tamen satis plane tractavimus. Nunc ad divisiones integritatum, id est, minutias veniamus. Omnis unitas I. integrum apud antiquos as vel libra vocatur. As autem habet duodecim uncias, qui numerus paullatim minutus, per divisiones integrarum unciarum multiplices ex se minutias reddit. Una enim de duodecim sublata, quod remanet, deunx vocatur: duobus ablatis dextans conficitur, tribus dodrans, quatuor bisse, quinque sextunx, sex semis, septem quincunx, octo triens, novem quadrans, decem sextans; decem et dimidia ablata sexcuntia. Sic paullatim dividuntur usque ad unciam. Quarum quaedam nomina a graecis, quaedam autem ab effectu trahuntur. Deunx compositum X. demonstrat. Dextans, dodrans et bisse graecam etymologiam habere videntur. Bisse vero latine marca dicitur. Septunx a VII. unciis componitur. Semis graece, latine dimidium dicitur. Quincunx a quinque unciis; triens, quia assim tertiat, quadrans quia quartat, sextans quia sextat: sexcuntia sive graeca sive latina sit compositio, unciam et dimidiam signat. Ultima autem unciae minutia unciarum duodecima pars assis est.

Hae sunt minutiae assis gradatim concisae, usque ad unciam. Uncia autem cum sit duodecima pars assis, in viginti quatuor particulas conciditur, quarum ultima scrupulus nuncupatur: quarum, sicut de asse dictum est, quaedam minutiae ab effectu, quaedam a compositione nomina sortiuntur. Uncia vero XXIV. scrupulos habens per medium divisa semiunciam, id est, dimidiam unciam facit. Duella, quae magis graecam etymologiam redolet, tertia pars unciae est. Sicilicus, qui apud graecos et Ebraeos siclus, vel sichel nuncupatur, unciam quartat. Sextula unciam sextat. Dragma, quod graecum est, octat. Hemisescla, quasi dimidia sextula, duodecima pars unciae constat. Scrupulus autem minutia unciae, eadem ratione, qua as et uncia, sectionem recipit. Scrupulos duos obolos, obolus duos cerates habent, qui in numero ponderum apud veteres ceratus dicitur. [300] Scrupulus secundus habens obolos, quatuor cerates, sex siliquas, continet octo calcos, qui calcus ultimus est in minutiis. De asse in minutiis dictum est, et adhuc dicendum.

Notet cautus abacista tres species concisionum in asse factas. Prima est ab integra unitate, id est, asse per congruas particulas usque ad unciam: secunda ab uncia usque ad scrupulum: tertia a scrupulo, qui a nomine, quod scrupulus est, derivatur, usque ad calcum. Sed quia haec vocabula minutiarum moderni non frequentant, paullatim notitia eorum fere periit, licet in multis philosophorum scriptis usus admodum illorum necessarius sit: sed et divina pagina tam veteris quam novi testamenti minutiarum notitiam in multis locis requirit.

Iam ad positionem earum in abaco veniamus. Si mille argenteos et unum inter mille milites dividere vis, unitatem in milleno arcu pro divisoribus ponis, et iterum in milleno unitatem et unitatem in singulari pro dividendis partibus colligis. Et cum dicis: quotiens est unitas in unitate? respondes, semel, et nihil remanet. Dicta autem regula millenus divisor denominationem quartabit, eandem unitatem in singulari arcu supponis. Denuo autem qui in singulari est mille per integras partes nihil accipit; si enim unus totum accipit, aliis nihil relinquitur. Unde unum, quod remanet, inter mille dividere vis, cum per integras partes non liceat, per minutias hoc facere poteris. In quo ad memoriam reducas illam regulam, quae dicit, quotiens ex collectis characteribus oritur articulus, in eodem non remanebit; sed et illam omnino perpende, in qua dicitur: divisor ante se et sub se accipit, retro numquam.

Patet enim, si per articulos minutiarum unitas, quae sedet in singulari, usque ad millenum arcum, ubi sunt divisores, non ascendit, dividendi ratio nihil agit. Quapropter studeas, ut usque ad praedictum arcum unitatem minuendo per articulos trahas, verbi gratia: As habet uncias duodecim. Reduc ad memoriam, quod omnis numerus infra decem digitus, supra decem vero articulus dicitur. Et cum duodecim uncias as habeat, X. qui est articulus, in deceno arcu ponas. Duae unciae, id est, sextans in singulari remanent, unciamque, quae sedet in dexo, per articulos in cetenum transpone ita: uncia XXIV. scrupulos habet. XX. qui est articulus, in centenum transponas, et quatuor, qui est digitus, ibidem dimittas. Et cum nondum habeat divisor, quid sub se accipiat, ad millenum, si potes, aliquid transferas. In centeno sunt duo scrupuli. Scrupulus habet VI. siliquas: et si dicis bis sex, XII. siliquae sunt. Decem pro articulo ponis, duae siliquae remanent. Et quia iam habet divisor, quid sub se accipiat, dicas, millenus divisor denominationem quartabit, et siliquas in singulari subponas, sextantem vero, qui est in [301] singulari, promoveas ita: Duae unciae habent XLVIII. scrupulos; XL. pro articulo ad decenum transponas, digitum, id est, VIII. scrupulos, ibidem dimittas. Octo vero scrupulos adhuc de singulari transferens, octo scrupulos per octavum multiplices; scrupulus enim octo calcos habet. Octies octo sunt LXIV. Pro LX. calculis, qui est articulus, obolum et ceratem in deceno ponas: pro quatuor calculis obolum relinquas, et facta est divisio. Et ne forte suspicio tibi incidat de partibus relictis, quod adhuc ascendere possint, caussa exercendi ingenium probes, videasque, quantum per articulos ascendant. Obolus, qui est in singulari, cum per inferiores minutias articulum efficere non possit, ibidem remanebit. In deceno sunt octo scrupuli, et cum scrupulus octo calcos, si octo per octonarium multiplices, LXIV. invenies. LX. calcis, qui est articulus, in centeno translatis, obolum et ceratem ponis, et pro quatuor, qui sunt digitus, obolum relinquis: iterum de centeno transponere poteris. Duo oboli faciunt octo calcos et cerates duas, qui simul faciunt X. pro quibus calcum in centeno pones. In centeno sunt vero obolus et cerates, duae siliquae et calcus: quae quia articulum non faciunt, ascendere nequeunt, et cum divisor sub se nihil habeat, neque usque ad sedem divisoris aliqua particula minutiarum per articulos ducta valeat pervenire, qui huius artis sciolus est, divisionem factam intelligat esse.

Facta autem divisione recolligendo characteres, utrumne bene diviseris, probes. Siliqua, quae est sexta pars scrupuli in singulari posita inter mille partem unicuique contingit. Et si dicis: semel unus unus est, siliquas in milleno ponis, addendo regulam: millenus quemcumque multiplicat; in quarto pone digitum, et ut recolligendo omnes characteres in assim redigas, per continuos arcus gradatim descendas. Siliqua, quae est in milleno, ad centenum significat X. de decem siliquis sex faciunt scrupulum, tres obolum, et una superest. Eadem ratione omnes centum characteres ad decenum reducas. De decem calcis octo faciunt scrupulum, duo ceratem, tres siliquas pro obolo accipiens, et de X. obolis scrupulos quinque faciens in decenum mutas.

Decem cerates hemisesclam et obolum faciunt, XX. oboli et X. scrupuli faciunt semunciam et duellam: Itidem de deceno ad singularem facias. Decem cerates faciunt hemisesclam et obolum, X. oboli faciunt quinque scrupulos. X. hemisesclae et viginti hemisesclae, quae simul faciunt XL. uncias et duas duellas reddunt. Decem duellae et decem sextulae cum decem semunciis sextantem efficiunt. Et quia ad singularem arcum reversus es, consideratis, quae collegisti, assim invenies. Et quia grave est hoc, cordetenus perpende: hoc pro certo scias, si autem non fallis, ab arte falleris.

Nota autem, quia sicut in integris unitatibus est triplex modus divisionum, sic in minutiis assium. Quodsi animum tuum movet in aliquo, quare in divisione minutiarum aliquid remaneat, tali ratione considera. Si notitiam dividendi secundum artem abaci caute perpendis, omnis divisor aequalem sibi numerum, vel maiorem [302] se dividere potest, minorem autem numquam per integras uncias. Si enim dicis: mille quotiens est in quingentis? satis tibi patet, quod nullo modo ars patitur hunc modum divisionis. Et quia hoc per integras partes nequaquam facere praevales, ad sectionem unciarum recurrere debes, et quamdiu per maiores minutias partire poteris, divisoribus iuxta modum suum partes dabis. Post uncias vero ad concisiones unciarum, ad scrupulos venis, et itidem scrupulos ad maiores minucias reducis. Et quamdiu paullatim minuendo minutissimas divisoribus poteris coaequare, tamdiu divisionem protende. Si vero portiones divisoribus nequeunt coaequari, quidquid de partibus remanet, ultra non poterit dividi. Nec mirandum est, aliquid de minutiis superesse, cum alias artes in multis videam vacillare. Quamvis enim grammatica amplioribus sit discussa philosophis, tamen ut caeterae artes aliquid habet imperfectionis, scilicet et in generibus et in personis. Cum enim coelum in singulari generis sit neutri, in plurali sit masculini. Et ut paucis concludam, qui in septem artibus vult studere, plurima perfectione carentia poterit invenire; nam sicut est antiquum proverbium: nihil est omni parte beatum. Rerum vero Parens, qui solus cuncta tuetur, cum fit cunctipotens, perfectus solus habetur.

As habet duas semisses.

Tres trientes,

Quatuor quadrantes,

Sex sextantes,

Octo sexcuntias,

Duodecim uncias.

XXIV. semuncias,

XXXVI. duellas,

XLVIII. Siliquas,

LXXII. Sextulas,

XCVI. Dragmas,

CXLIIII. hemisesclas,

CCLXXVIII. scrupulos.

DLXXVI. obolos

MCLII. cerates,

MDCCXXVIII. siliquas.

MMCCCIV. calculos.

Semisse secunda pars assis,

Triens tertia pars,

Quadrans quarta,

Sextans sexta,

Sexcuncia octava,

Uncia duodecima,

Semuncia vigesima quarta,

Duella trigesima sexta.

Sicilicus quadragesima octava.

Sextula septuagesima secunda.

Dragma nonagesima sexta.

Hemisescla centesima quadragesima quarta.

Scrupulus CCLXXXVIIIva.

Obolus DLXXVIta.

Cerates MCLIIda.

Siliqua MDCCXXVIIIva.

Calculus est bis millesima trecentesima pars assis.