Back to top

[292] Pythagoram artem nobis tradidisse sonorum.

Hic Pythagoras antiquus princeps numerorum et proportionum magister, cui a toto tempore vitae numerus obedivit, sic ut vi numerorum scire singula intueretur, in anxietate diu manens, quomodo ad artem de melodiis rationem inveniret, quadam vice divino nutu fabrorum officinas praeteriens hanc cognitionem mentaliter circumvolvens, quosdam malleos super incudem cedentes mirabilem harmoniam emittentes audivit. Ad quos conversus fervens veritatis inquisitor iussit inter se permutatim malleos <singulos> permutari, dubitans ne ex viribus hominum tanta proveniret melodia. Quibus alternatis rediit eadem symphonia sicut prius. Unde conclusit, non in lacertis virorum, sed in natura malleorum tales concordantias contineri, tam numeri, quam mensurae, quam ponderis ratione. Quintus tamen foras eiiciebatur, quoniam <inutilis> cuilibet aliorum comparatus dissonabat, consideratisque ponderibus aliorum in dupla, sesquialtera et sesquitertia reperta sunt proportionibus. Et in quibuscumque aliis rebus, tympanis, tintinnabulis et ceteris has proportiones continentibus easdem reperiri harmonias. Unde in hac experientia requievit per tertiam. Ex quibus experimentis rationis musicae deducta fuerunt principia per quartam.

Propter symphoniam subiungere vim numerorum

Pythagoras sonorum consonantias per proportiones ponderum reperit. Et eaedem proportiones in numeris his reperiuntur 12 9 8 6.

Iam tres harmonias perfectas esse sonantes.

Quod non sint pauciores tribus, experientia <docuit>. Sed si sint plures quam natura voluit [293] revelare, Deus novit. Perfectiores tamen usque ad nos his tribus nemo umquam repertus est. Et sunt hae: diapason, qui es 12 ad 6; diapente, 12 ad 8 vel 9 ad 6; diatesseron, ut 12 ad 9 aut 8 ad 6. Tonus vero, qui est ut 9 ad 8, non est consonantia, sed pars eius.

Has tres melodias numeros dare tonantes.

Diapason duplam, diapente sesquialteram, diatesseron sesquitertiam, tonus autem sesquioctavam retinet proportionem.

Quae diapente sonat diapason habet superare.

Nam dupla maior est sesquialtera in sesquitertia et tantum excedit diapason diapente.

Et diapente in plus quam diatessera stare.

Nam sesquialtera maior est sesquitertia in sesquioctava. Est igitur diapente maior quam diatesseron in proportione sesquioctava.

Ac diatesseron tunc veluti minimam resonare.

Cum enim in natura non sint plures notae his tribus, tunc ex praedictis patet, diapason esse maximam et diatesseron minimam.

At diapason habent pentessara iuncta creare.

Nam sesquialtera iuncta sesquitertiae duplam creat.

Ac diatesseron a diapente tono superari.

Patet, quod diapente superat diatesseron in sesquioctava, se in hac consistit tonus. Igitur.

[294] Inque pares partes non possunt mediari.

Quia inter extrema proportionis sesquioctavae quaecumque non est medium proportionale in numeris, igitur non potest mediari. Nam tonus consistit in his numeris 18 et 16, inter quos numerus integer cadit, scilicet 17. Sed maior est proportio 17 ad 16 quam 18 ad 17, ut patet. Unde neque 17 ad 16 neque 18 ad 17 verum semitonium existit. Patet ex hoc, quod musica non considerat proportiones irrationales ideo, quia subalternatur arismetricae, quae est de numeris, inter quos non reperitur irrationalis proportio.

Est semis et duplex tonus in diatessera vere.

Non semis quidam: hic est dimidium, sed semis: hic sonat imperfectum. Patet, cum a sesquitertia proportione aufertur duplex sesquioctava, manet proportio 256 ad 243, quae est minor quam sesquioctava, neque ipsa est medietas sesquioctavae, eo quod illa rationalis est, haec autem irrationalis. Continentur igitur in diatesseron duo toni et unus imperfectus. Hic autem imperfectus diesis appellatur. Hic introducitur quaedam utilitas arismetricalis. Si quis velit invenire quorumcumque numeros continuos in aliqua proportione superpartienti, accipiat totum multiplicem secundum denominationem superpartientis a primo multiplicitati, quorum ipsorum voluerit habere, ut: volo habere quatuor numeros in sesquialtera proportione continuos, recipio quartum duplum ab unitate, qui est 16, nam 2 primus est, 4 secundus, 8 tertius et 16 quartus, et provenient numeri hoc modo 16 20 30 45. Ecce quatuor continuos in sesquialtera, et alios 256 243 216 192 27 24 64

De diapente tonos tres et semis aio tenere.

Nam diapente constat ex diatesseron et tono, sed diatesseron ex duobus tonis et semis, id est tono imperfecto. Igitur.

[295] Illa semitonia cum quinque tonis pasodia.

Nam diapason ex diapente cum diatesseron constat. Sed diapente ex tribus tonis et uno semitonio, hoc est imperfecto tono. Et diatesseron ex duobus tonis et uno semitonio, hoc est etiam imperfecto tono. Igitur nec ex hoc diapason ex sex tonis. Nam illa duo semitonia unum tonum non perficiunt. Quod tamen plures et antiquos et modernos decepit.

Quaero toni quales partes sunt inaequales.

Hoc est, quod semitonia, quae tonum constituunt, sunt inaequalia. Aliquam partem toni tonum imperfectum est ponere, id est semitonium. Sed demonstratum est, quod non datur media pars toni. Igitur aut erit maior medietate toni, aut minor. Et cum una sola talis tonum non constituat, erunt duae partes tonum integrantes, quorum una erit maior, alia minor.

Ergo semitonium minus in numeris reperire.

Postquam a diatesseron demuntur duo toni, manet semitonium minus, et consistit in hac proportione, scilicet 256 ad 243. Quorum sit minor quam medietas toni, patet. Nam 273 et 3 ad 243 est tonus. Sed maior est proportio 273 et 3 ad 256 quam 256 ad 243. Igitur semitonium minus vocatur diesis. Item limma semitonii minoris vocatur diaschisma.

Inde semitonium maius ostendo venire.

Ablato enim semitonio minori nunc invento a tono, manet semitonium maius et ipsum consistit in proportione 2187 ad 2048. Semitonium maius vocatur Apotome.

[296] Sex ostendo tonos diapason non dare plenos.

Patet etiam ex praedictis: nam sesquioctavae proportiones sibi additae duplum excedunt. Igitur.

Non ex quinque tonis duplex diatesseron esse.

Quoniam diatesseron unum constat ex duobus tonis, utroque semitonio minori, igitur duplex diatesseron perstringet quatuor tonos et duo semitonia minora, quae unum non perficiunt.

Est ex praemissis comma reperire necesse.

Comma a musicis vocatur id, quo tonus superat duo semitonia minora. Si igitur a sex tonis subtrahitur diapason, manet comma et consistit in hac proportione 531441 ad 524288. Patet idem subtrahendo duo semitonia minora a tono. Et in quo tonus excedit duo semitonia minora, in eodem superat semitonium maius semitonium minus. Corollaria quaedam:

1. Duo minora semitonia tonum integrum non complere.

2. Duo maiora iuncta tonum integrum superare.

3. Maius semitonium super minus commate superabundare.

4. Maius semitonium et minus iuncta tonum perficere.

5. Duo semitonia minora cum commate tonum complere.

6. Unum semitonium in nulla numerorum proportione manere.

7. Verum semitonium in rerum natura non existere.

8. Semitonium minus maius esse quam 20 ad 19 et minus quam 19 ad 18.

9. Semitonium maius maius esse quam 16 ad 15, minus vero quam 15 ad 14. Comma maius esse quam 75 ad 74, minus vero quam 74 ad 73.

10. Semitonium minus maius esse tribus commatibus, minus vero quatuor.

11. Semitonium maius maius quatuor commatibus, minus vero quinque.

12. Tonum maiorem esse octo commatibus, minorem vero novem.

[297] Componitur quadrupla proportio bis diapason.

Nam bis dupla quadruplam efficit.

Sed manet in tripla diapason cum diapente.

Quoniam dupla cum sesquialtera triplam componit.

Nulla fit harmonia diatesseron et diapason.

Quoniam cum iungitur diapason cum diatesseron, exit proportio 8 ad 3, qui distat a perfecta consonantia, scilicet diapason cum diapente, solo tono. Hoc dixerunt Pythagorici. Unde voluerunt, quod diatesseron intensa, super quam intenditur diapente, ut 3 4 6, non sit consonantia, sed tamen diapente intensa, supra quam diatesseron intendatur, ut 4 6 8, licet utrobique sit diapason in extremis. Ptolemaeus autem dicit, diapason cum diatesseron consonantiam esse bonam. Nam omnis consonantia simplex perfecta infra diapason continetur. Igitur cum diatesseron potest intendi infra diapason, igitur etiam et supra. Concluditur ergo, quod diatesseron supra diapason non sit consonantia. Nam diatesseron ante diapente non est consonantia, ut 3 4 6. Igitur nec supra diapason, cum ibi similiter ipsum diatesseron ante diapente ponatur.

Secunda pars <de divisione> mono<chordi>. Primas harmonias in plano scribere vere.

Harmoniae primae et perfectae simplices sunt diapason, diapente et diatesseron. A.b. lineam datam per aequa divide in c. et resonabit a.c. diapason, sicut a.b. Item dividatur a.b. tota in tres aequales. a.d., d.e. et e.b., tunc a.e. super a.b. sonabit diapente. Deinde [298] a.b. in quatuor partes, quae sunt a.f., f.c., c.g. et g.b. dividatur aequaliter. Tunc a.g. ad a.b. diatesseron adimplebit, eritque a.e. ad a.g. tonus.

In gravitate tonum vel acuta parte docere.

Primo in parte acuta sic: Sit sonus b., a quo intendo diapente usque in c. et a c. remitto diatesseron in d., erit d.b. in acuta parte tonus. In parte autem gravi sic: Super b. sonum intendo diatesseron usque in f., a quo ad k. remitto diapente: erit k.b. tonus in parte gravi. Patet idem, si diatesseron et diapente ab eodem intendantur, habebitur primum. Si ambo ab eodem remittantur, habebitur secundum exemplum primi 6 8 9, exemplum secundi 12 9 8.

Atque semitonium primum sive maius habere.

Primo ad acutam partem. Nota in proposito, consonantiam intendere est de sono gravi acutiorem facere, remittere autem de acutiori graviorem. Sit a. sonus, a quo ad b. intendatur diatesseron et a b. rursus ad c. fiat intensa diatesseron et a c. usque ad d. remittatur diapente, erit igitur b.d. tonus. Item a d. intendatur diatesseron ad e., a quo ad f. fiat diapente remissa. Erit itaque d.f. tonus. Unde cum a.b. sit diatesseron, et b.f. duo toni, erit f.a. semitonium minus. Ad partem autem gravem ita fiat. Sit tonus a., a quo intendantur duo toni continui a.d. et d.g., et a g. remittatur diatesseron usque ad k., erit a.k. minus semitonium. Maius autem semitonium sic, primo ad partem acutam: Ab a. sono tres tonos acutos continue intendo, qui sunt a.b., b.c. et c.d., deinde super a. acutum formo diatesseron, quod sit a.f., erit c.f. semitonium minus et f.d. semitonium maius. In parte gravi ita: ab a. intendo semitonium minus ad d. et a d. remittatur tonus ad e. erit a.e. maius semitonium in gravi parte repertum.

Hic propono gravem vel acutum comma docere.

In acuto ab a. ad b. maius semitonium intendatur, a quo in c. minus semitonium remittatur et erit a.c. comma. In gravi ab a. ad d. minus semitonium intendatur, a quo ad [299] C. maius remittatur, et cum a.e. comma grave. Id Boethius sic vult ostendere: Sit a.d. tonus, a.b. semitonium minus, b.c. etiam minus, erit c.d. comma, differentia c.d. sit l., differentia c.d.m., quia l. multiplicatum per tria minus fit quam m. Igitur. Sed multiplicatum per quatuor plus facit quam m. Similiter ostendit comparando comma ad apotome et tonum. Sed haec denominatio non valet, quia similiter oportet quintuplam maiorem esse quam sex duplas sesquialteras et minorem quam septem, quod manifeste falsum est.

His expeditis monochordum scire velitis.

Aliqua praeambula divisioni monochordi utilia:

1. Omnis divisio monochordi vadit per tetrachorda. Omne autem tetrachordum vocant musici spatium duorum tonorum cum semitonio minori, et hoc est diatesseron, et ipsum in quatuor chordis integratur.

2. Cum illud tetrachordum possit reiterari, ut altius ascendat per diapente ad diapason, sicut reiteratur diatesseron, hoc tamen potest contingere per tetrachordum coniunctum vel divisum, coniunctum, quoniam ultima primi est initium secundi tetrachordi. Et sic in his duobus tetrachordis coniunctis erunt quatuor toni cum duobus semitoniis minoribus. Et iterum super finem secundi tetrachordi potest formari tertium, et ceteris quantumlibet. Disiunctum est tetrachordum, cum post ultimam chordam primi tetrachordi ponitur chorda distans ab spatio toni et super eam reperitur tetrachordum, et sic quousque libet. In duobus tetrachordis coniunctis sunt septem chordae, in disiunctis autem octo. Patet ex hoc, quod in diapason sunt duo tetrachorda coniuncta et unus tonus. In eo etiam sunt duo tetrachorda disiuncta praecise.

3. In divisione tetrachordi, hoc est diatesseron, veteres tripliciter locuti sunt. Primi enim diviserunt ipsum per tonum et tonum et cum semitonio, ut dictum est, huic quatuor chordas apponentes, quarum ultima ad primam diatesseron sonabat. Et hoc genus canendi appellaverunt diatonicum. Et sunt hi numeri 2304 2592 2916 3072. Nam secundi ad primum toni est proportio, tertii ad secundum etiam toni, et quarti ad tertium semitonii minoris. Alii diviserunt ipsum diatesseron et suum tetrachordum in tonum cum semitonio cum semitonio maiori et duo semitonia minora, quatuor chordas apponentes, quarum prima [300] ad ultimam diatesseron sonabat. Et hunc modum dixerunt chromaticum genus, et sunt hi numeri 2304 2736 2916 3072. Tertii diviserunt tetrachordum in duos tonos et duas semitonii medietates, quas diesis appellant, cum quatuor chordis sicut primi. Et hoc vocaverunt genus enarmonicum, et consistit ex diesi et diesi et duobus tonis, et sunt hi numeri 2304 2916 2994 3072. Ultima duo genera numquam venerunt in usum, sed in diatonico est nunc omnis cantus noster. Scio etiam, quod vix aut numquam vox humana concordaret cum his duobus generibus. Posset etiam diatesseron dividi in quinque semitonia per maiora, minora per commata; sed hoc esset excedere tetrachordum.

Nunc ego concordo cum Boetii monochordo.

[Musica speculativa W3, 300; text: a, g, f, e, d, c, b, 2304, 2592, 2916, 3072, 3456, 3888, 4096, 4608, 5184, 5832, 6144, 6912, 7776, 8192, 9216, Tonus, Semitonium] [MURISW3 01GF]

[301] Haec est divisio monochordi secundum Boethium in figura, in qua non est nisi bis diapason, quantum ad proportionem numerorum, licet non repugnet ei esse ter vel quater, et est in genere diatonico. Nunc autem, quoniam subtiliata est musica per exercitium modernorum et maneries Boetii actualiter variata est, ideo divisio iam est talis: Sit a.b. chorda recta, posita super planum, per aequalia divisa in puncto i., erit a.i. ad a.b. diapason. Item a.i. per aequa dividetur in q., erit a.q. ad a.b. bis diapason. Sique a.q. iterum per aequalia divideretur, surgeret ter diapason et sic ultra quousque libet. Sic meliores consonantiae verae fiunt, et quae in primo gradu certitudinis sunt. Aliae autem assequuntur eas sic: Dividatur a.b. in tres aequales, quarum trium una sit b.f., tunc e.f. duas continebit. Tunc a.f. ad a.b. diapente sonabit, quae consonantia differt a perfectissima, scilicet a diapason in diatesseron, et ipsa diatesseron est in chordis a.i. a.f. Sed sic invenies hanc in a.b.: divisa a.b. per quatuor aequalia, una earum sit b.e., tunc a.e. tres continebit et a.e. ad a.b. sonabit diatesseron. In consonantiis igitur signatis restat tonos et semitonia reperire, per quae fit ascensus et descensus ad consonantias praedictas. A.b. chordae sit nona pars b.c., tunc a.c. ad a.b. per unicum tonum elevabitur. A.c. chordae sit adhuc nona pars c.d., erit a.d. ad a.b. ditonus manifestus, iamque a.c. ad a.d. semitonium minus canet, et ita ditonus cum semitonio, qui diatesseron appellatur, notus est primo. Tritonus cum semitonio iam divisus est, quia a.f. ad a.b., quod sonabit diapente. Praeterea chordae a.f. sit nona f.g., erit a.g. ad a.b. tonus cum diapente aut ditonus cum diatesseron. Rursus a.e. sit quarta pars e.h., erit a.h. ad a.e. diatesseron et per consequens a.h. ad a.b. bis diatesseron. Igitur a.h. ad a.g. minus semitonium est inventum. Et ita a.i. ad a.b. sonat diapason et divisa est per omnes tonos et semitonia. In cuius divisione sunt quinque toni et duo minora semitonia. Cum igitur semel diapason ad sui instrumenta divisa sit, eodem modo per reiterationem bis diapason dividere necesse est, ut patet in figura praecedenti. Continet autem haec instrumentum 19 chordas, scilicet bis diapason cum diapente, licet sit possibile ulterius augmentari.