Back to top

[f.1r] Egregij triuialium ac mathematicarum artium doctoris Parisiensis Ioannis de Muris Theorica musicae Parisius aedita.

Theorica musicae praticam antecellit. Capitulum primum.

PRinceps philosoforum Aristotiles ait in prohemio suo Methaphisicae omnino scientis signum est posse docere.

In qualibet autem arte theorici docere possunt. Practici uero non. Experti enim ipsum quia sciunt: sed propter quod nesciunt. Non autem scientia faciunt que faciunt ut ignis exurit.

Sed intelligere et scire circa unamquamque artem magis arte quam experimento esse arbitramur. Ideoque Artifices expertis esse sapientiores opinamur. Et ex hoc magis artem experimento scientiam esse existimamus. Possunt enim hi docere: Illi docere non possunt.

Verum quoniam Ars est uniuersalium: Experimentum uero singularium. vniuersalia presupponunt singularia. Igitur ars experientiam presupponit. Experientia quidem fecit artem: et Expertos magis proficere uidemus sine ratione experientiam habentibus.

Igitur necessarium est unamquamque artem habere primo theoricam: practicam consequenter: ut id quod scitum est in uniuersali ad singularia ualeat applicari. Sed quod omnis ars ex experimentis dependeat. Oportet unumquemque Artificem primo circa artis experientiam laborare.

Nos autem propter bonum comune et rationem ueritatis que diu latuit ostendende circa artem musice proponimus uigilare. Intendentes circa eam duo breuiter enodare: primo theoricam: secundo practicam cui non est inconueniens quodammodo quamdam theoricam implicari.

De Subiecto musice Capitulum secundum.

QVoniam musica est de sono relato ad numeros adequatio necesse est utrumque numerum, scilicet, et sonum simul consyderare. Antequam enim aliquid inueniatur oportet ipsum esse. Ideo prius sonum generari quam numerari necesse est.

Ad generationem soni tria necessario requiruntur. scilicet. percutiens percussum et medium percutiendi. Primum frangens aerem celeriter. Secundum Corpus sonabile naturaliter. Tertium aer fractus uiolenter.

Ictus uero non fit sine motu: ergo neque sonus sine motu.

Est igitur sonus fractio aeris ex impulsu percutientis ad percussum. Impossibile enim est cum unum solum sit fieri sonum.

Sonorum alius grauis [f.1v] Alius acutus.

Sonus grauis est qui ex tardioribus et rarioribus generatur motibus.

Acutus sonus est qui ex uelocioribus et spissioribus motibus procreatur licet in utroque sint plures motus discreti plures sonos numero facientes ut patet in chordis neruorum impulsis et tamen sine interruptione sensibili audiuntur quasi unus sonus propter uelocitatem numerorum motuum uelut color existens in sumitate troci moti uidetur esse linea circularis licet non sit nisi punctus. Fit insuper acutus ex graui per additionem motuum et grauis ex acuto per subtractionem. In acutis ergo sonis sunt plures motus. In grauibus pauciores. Omnis autem paucitas ad pluralitatem suo quodam numero refertur. ergo sonum grauem ad acutum necesse est referri sicut numerus motuum unius ad numerum motuum alterius proportionabiliter comparatur.

De Ordinatione sonorum Capitulum tertium

VErumtamen sequaces inuentores musice eam uarijs modis ordinauerunt. Alij instrumentis chordarum. Alij calamorum perforatorum instrumentis. Alij uentorum instrumentis. Quidam uero posteriorum in uocibus ordinatis per manuum uncturas per litteras alphabeti gradibus distinctis factisque mutationibus unius gradus in alterum pro ut subiecta manifestat descriptio.

[Milan, Bibl. Ambr., H.165inf., f.1v; text: [Gamma], A, B, C, D, E, F, G, a, b, [sqb], c, d, e, f, g, aa, bb, cc, dd, ee, vt, re, mi, fa, sol, la, primus gradus, secundus gradus, tertius gradus, Quartus gradus, Quintus gradus, Sextus gradus, Septimus gradus] [MURMUSM 01GF]

[f.2r] De proportionibus numerorum Capitulum quartum.

CVm ostensum sit musicam constare ex sonis qui proportionales sunt ad inuicem quodammodo secundum numeros motuum in eis repertos non est inutile percurrere generaliter omnes proportiones numerorum.

Omnis autem numerus ad alterum comparatus aut est aequalis uel inaequalis: nam hec competunt cuilibet quantitati.

Si aequalis idem sunt et unum quantitate ideo non uariantur et ex aequalibus non fit consonantia. Si inaequalis aut maior est aut minor.

Dicitur autem maius alterum altero quinque modis. scilicet. Multiplex. Superparticulare. Superpartiens. Multiplex superparticulare. et Multiplex superpartiens.

Apposita autem ista distinctione sub dicitur tot modis Alterum altero minus.

Multiplex est quando maior numerus continet in se minorem bis uel ter uel quater et cetera et eius species sunt dupla tripla quadrupla et quintupla proportio.

Superparticularis est quando maior numerus continet minorem in se et aliquotam eius partem. Cuius species sunt sesquialtera sesquitertia sesquiquarta et sic in infinitum.

Superpartiens est quando maior numerus continet in se minorem et eius partem non tamen aliquotam licet aliquam cuius species sunt superbipartiens supertripartiens et cetera.

Multiplex superparticulare est quando maior numerus continet minorem in se pluries ut bis uel ter uel quater et cetera. et et eius partem aliquotam. cuius species sunt dupla sexquialtera tripla sesquitertia et sic in infinitum.

Multiplex superpartiens est quando maior numerus continet minorem bis uel ter et cetera et cum hoc aliquam eius partem non aliquotam cuius species sunt dupla superbipartiens. dupla supertriparciens. dupla superquaterpartiens. et cetera addendo quamlibet multiplicitatis speciem cuilibet speciei superpartientis. quarum exempla facile percipi potest in figura prime conclusionis sequentis.

Quattuor proponuntur suppositiones naturales Capitulum quintum

OMnem doctrinam et omnem disciplinam Intellectiuam ex quintum preexistenti fieri cognitione.

Ante cognitionem sensitiuam non aliam reperiri.

Experientia multiplici interius quiescere.

Experientiam circa res sensibiles artem facere.

Qualiter Pythagoras inuenit proportiones musice. Capitulum sextum.

PYthagoram autem nobis monstrasse sonorum proportionum atque mensuram constat in exemplis. Antiquis enim Pythagoras subtilissima naturalium inuestigatione [f.2v] preexcellens non uolens aurium iudicio fidem firmam de consonantijs adhibere tum quia non omnis auris propter complexionem naturalem mutabilisque dispositionis uarietatem eque bene iudicat de his que cadunt sub auditu; tum quia auris et si sit bene disposita ad ea que circa sonum sunt non fallitur tamen de numerorum proportionibus discernere non est suum imo est rationis efficium. Nullis dedit etiam instrumentis fidem eo quod inconsonantia et transitoria et inconsulta modiceque fidei erant propter causas multiplices sicut neruorum et aeris atque spiritus uarietatem. neque enim penitus uolens priuare auditum iudicio consonantiarum eo quod si non fuisset auditus omnino de uocibus atque sonis ratio nulla constitaret imo quasi mediam uiam tenens tanquam de consonantijs et harmoniarum officijs facilius sit auditus Iudex uero intellectus sic ut sentiat auditus diminute id de quo scientiam uniuersalem et completam ordinat intellectus. per ipsam primam cognitionemque auditus in nullam aliam resoluendo per secundam. Ipse namque Pythagoras studiose inquirens quomodo artem de melodijs rationabiliter inueniret et longo tempore ansiatus propter philosophari naturam sonorum. scilicet. proprietatem numerum et proportionem atque eorum differentiam quadam uice iuxta fabrorum officinas preteriens hanc inquisitionem mentaliter intendens quosdam maleos super incudem ferientes mirabilem producentes harmoniam comprehendit. et statim ad malleos conuersus dubitans ne ex uiribus hominum proueniret melodia iussit inter se permixtim singulos maleos permutari quibus alternatis et super incudem iterum ferientibus redijt similis melodia siue consonantia precedenti. ex quo conclusit non in uiribus fabrorum qui maleis utebantur uerum in conditionibus. scilicet. in pondere numero et quantitate atque mensura maleorum melodia huiusmodi immediatius per se et essentialiter contineri. hoc enim ei notuit propter proportionem et rationem numerorum et ponderum atque mensure.

Numerus quidem maleorum fuit quinque sed quintus fuit eiectus eo quod sicut inutilis comparatus cuilibet dissonabat dedit tamen grandem demonstrationem propter sui dissonantiam consonantias iudicandi. nam appositis iuxta se contrarijs ipsa magis relucent et maiora minora peiora et meliora uidentur hominibus. Consideratis itaque omnibus eorum ponderibus in dupla sesqualtera sesquitertia et sesquioctaua proportione experimento reperta sunt.

Quattuor ergo remanserunt quibus proportionibus obseruatis in instrumentis artificialibus neruorum uentorum foraminum uasorum aquarum organorum in nolis et rabolis tibijs timpanis [f.3r] cornibus et cytharis tintinabulis atque cimbalis euphonias similes generare sine instantia comprabatur et in hoc experientia quiescere debuit per tertiam suppositionem. ex hoc uniuersaliter recepit illud quod fuit artis musice principium iuxta quartam petitionem siue suppositionem.

De proportionibus seruientibus symphoniis. Capitulum septimum.

PRopter symphonias subiungere uim numerorum

Quoniam igitur Pythagoras consonantias sonorum propter proportiones ponderum fuit expertus ut hec proportio in numeris ostendatur quibus proportio primo debetur sint itaque numeri scilicet 12 9 8 6 ponderum maleorum ita quod qui 12 ponderabat ad primum qui 6 ponderabat dupla fuit et qui erat 12 ad eum qui erat 9 ponderum proportionem sesquitertiam seruabat. et qui 8 ad eum qui erat 6 eandem habebat habitudinem. Sed qui erat 12 ad eum qui erat 8 sesqualtera proportione comparabatur. Qui uero 9 ad 6 similiter: Et qui erat 9 ad eum qui octo sesquioctauam probabat.

De numeris consonantiarum et diffinitione consonantie. Capitulum octauum.

IAm tres harmonias perfectas esse sonantes

Harmonias non pauciores tribus Pythagoras expertus est. Si uero fuerint plures deus nouit. verumtamen perfectiores his tribus nemo uidetur expertus fuisse et sunt iste diapason cuius est proportio dupla ut 12 ad 6 Diapente cuius proportio est sesqualtera ut 12 ad 8 et 9 ad 6. Diatessaron cuius proportio est sesquitertia ut 12 ad 9 et 8 ad 6

Tonus uero qui est in sesquioctaua proportione non est consonantia ut 9 ad 8 sed pars consonantiae. Hec omnia conseruari possunt propter rationem consonantiae.

Consonantia est dissimilium inter se uocum in unum redacta concordia. vel sic. Consonantia est grauis acutique soni mixtura suauiter et uniformiter auribus accedens. Hae autem dicte diffinitiones tribus consonantiis competunt predictis et non tono In quo sit auditus cuiuslibet sibi proprius iudex. Ergo predicte tres harmoniae dicuntur predictis consonantie et non tonus. Subiecta quidem figura declarabit que dicta sunt in proprijs numeris si diligenter inspiciatur.

Demonstratio consonantiarum per figuram. Capitulum nonum

HAs tres melodias numeros dare certificantes. Haec figura predictarum consonantiarum in musica omnia principia et omnes conclusiones musicae quodammodo continet in uirtute. Volumus itaque quod dmonstratio presens claudat in se sigillatim proprios numerorum terminos fauente deo.

[f.3v] [Milan, Bibl. Ambr., H.165inf., f.3v,1; text: Dupla proportio, Diapason consonantia, sesqualtera, Sesqualtera, sesquitertia, sesquioctaua, 12, 9, 8, 6, Diatessaron, tonus, diatessaron, diapente] [MURMUSM 01GF]

Prima conclusio: quod diapason consonantia maior est quam diapente.

QVod diapente sonat a diapason habet superari.

Omnis proportio superparticularis minor est multiplici. quoniam multiplex numerus continet minorem bis uel ter et sic ultra. sed Superparticularis numerus numquam continet minorem bis aut ter sed semel tantum cum aliqua eius parte aliquota ut media uel tercia aut quarta et sic deinceps superaugendo partes et minuendo totum: Modo consonantia diapente notatur in proportione superparticulari diapason uero in proportione multiplici per figuras circulorum ergo diapente superatur a diapason. Qualiter autem species multiplicis proportionis augentur in naturali ordine numerorum species uero superparticularis ordine contrario minuuntur ac si modum et naturam quantitatis continue et discretae geometricae et arythmeticae seruarent patet in subiecta figura in cuius sumitate unitas tanquam principium numeri augumentationis et diminutionis usque ad infinitum merito situatur. Nam multiplices secundum additionem naturalem sine termino crescunt superparticulares uero naturaliter minuuntur. Et si primam speciem multiplicis. scilicet. duplam quae per duo numeratur primae speciei superparticularis. scilicet. sesqualterae quae similiter per binarium numeratur addideris secundam species multiplicis. scilicet. triplam generabis. sicque si secundam secundae tertiam. et sic semper procedendo. et haec est naturalis ordinatio et processus numerorum continet etiam excessum cuiuslibet speciei multiplicis generis supra quamlibet superparticularem speciem et differentias utriusque sicut patet in hac figura que dicitur scala triangularis.

[Milan, Bibl. Ambr., H.165inf., f.3v,2; text: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, Scala triangularis proportionum numerorum, Explico per numerum que sit proportio rerum] [MURMUSM 02GF]

[f.4r] Secunda conclusio. quod diapente maior est quam diatessaron.

AC in plus diapente quam diatessaron stare.

Quanto denominatio alicuius partis maior est tanto magis pars minor est et 1/3 denominatur a tribus et una secunda a duobus modo maior est denominatio trium quam duorum quarum una tertia est minor pars quam 1/2 modo tam diapente quam diatessaron sunt in speciebus proportionis superparticularis. scilicet. in sesquitertia proportio et sesqualtera per figuram circulorum et denominatio proportionis sesquitertiae in qua est diatessaron maior est quam denominatio proportionis sesqualterae in qua est consonantia diapente quare ergo maior est diapente quam diatessaron. quod erat probandum.

Tercia conclusio. quod diatessaron est minor omnibus consonantijs.

ET diatessaron tunc ueluti minimam resonare.

Diatessaron esse minimam concluditur cum non sint in rerum natura nobis notae plures his tribus consonantijs ut predictum est diapente quae est minor quam diapason per primam conclusionem et maior quam diatessaron per secundam Minor est diatessaron inter omnes nam quicquid est minus minore est minus maiore: et quicquid est maius maiore est maius minore ex quo concludo diapason esse maiorem alijs diatessaron uero minorem.

Quarta conclusio. quod diapason est maior duabus prepositis quia componitur ex ipsis.

ET diapason habet in se diapente et diatessaron terminare et diatessaron ac diapente diapason creare.

Omnis proportio dupla ex sesqualtera et sesquitertia proportione procreatur. Nam si unius numeri qui sesqualter sit ad alterum sumatur tertia pars et eidem addatur exibit numerus ad illum duplus ut si 9 qui est sesqualter ad 6 addatur sua tertia pars. scilicet. 3 tunc proueniet 12 qui est duplus ad 6 ut patet in precedenti circulorum figura. sed modo ita est quod diapente est in sesqualtera proportione diatessaron uero in sesquitertia ergo simul iuncta constituunt diapason que in dupla proportione formatur.

Quinta conclusio. quod diapente excedit diatessaron tono.

ET diatessaron a diapente solo tono superari. ac diapente per tonum diatessaron superare.

Diatessaron fit in proportione sesquitertia diapente uero in sesqualtera: sed sesquitertia demi et subtrahi potest a sesqualtera proprtione et non e contra eo quod sesqualtera maior est sesquitertia sicut 1/2 maior est quam 1/3 vnde si una sesquitertia subtrahatur ab una sesqualtera remanebit proportio sesquioctaua quod probatur quia inter [in ante corr.] 8 et 12 est proportio sesqualtera inter 9 et 12 est sesquitertia qua subtracta [f.4v] remanet proportio inter 8 et 9 que est sesquioctaua faciens tonum sicut probatum est per figuram circulorum ergo propositum. Et ut clarius appareat secundum modo de additione et subtractione istarum proportionum ad inuicem tam in genere multiplici quam in superparticulari in quibus solis heae consonantie formantur unam satis notabilem de huiusmodi speciebus proportionum subiungam figuram in qua patet manifeste consonantiam diatessaron. id est. proportionem sesquitertiam superari uno tono. id est. proportione sesquioctaua a diapente. id est. a proportione sesqualtera ut patet in numeris arythmeticis 12 9 8 et in his 9 8 6 et cetera.

[Milan, Bibl. Ambr., H.165inf., f.4v; text: proportio dupla. diapason consonantia, dupla proportio, sesqualtera, sesquitertia, sesquisexta, sesquiseptima, sesquioctaua, sesquinona, sesquidecima, sesquiundecima, sesquiduodecima, sesquitertiadecima, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, diatessaron, tonus, diapente] [MURMUSM 02GF]

Quia tonus non potest diuidi in duo semitonia aequalia. Conclusio sexta

IN pares partes non posse tonum mediari

Tonus est in proportione sesquioctaua per figuram circulorum quare prius reperitur proportio toni in his numeris. scilicet. 8 et 9 sed cum inter eos non sit aliquis numerus medius integrorum augeantur. primum augmentum cuiuslibet a binario sumit ortum ut patet diligenter consyderanti.

Exibunt itaque per multiplicationem 16 et 18 inter quos similiter consideratur proportio toni nam regula arythmetice generalis talis est quod si duo numeri in aliqua proportione se habent equaliter augeantur procreati ex eisdem in eadem proportione manebunt cum autem inter 16 et 18 qui tonum faciunt inter quos similiter manet numerus integer. scilicet. 17 uideamus utrum ille medius numerus comparatus ad extremos faciat uere semitonium. id est. uere medium tonum comparatus quidem 17 ad 16 proportionem habet sesquisextamdecimam comparatus uero ad 18 non habet eandem proportionem sed [scilicet supra lin.] sesquidecimamseptimam. sed si esset uere semitonium deberet reddere eandem propositionem.

Item quod non in proportione sesquisextadecima neque [f.5r] in sesquidecimaseptima possit esse uerum semitonium sic probatur si [per te supra lin.] 17 comparatus ad 16 facit tonum medium. scilicet. in proportione sesquisextadecima numerus qui continet 17 in eadem proportione similiter medium reddet toni et hic est 18 cum una decimasexta si igitur a 16 in 17 fit toni medietas uera et etiam a 17 in 18 cum 1/16 erit alia medietas per tuam ypothesim [.id est. suppositionem supra lin.] ergo de primo ad ultimum a 16 in 18 cum 1/16 tonus erit quod est falsum et impossibile et est contra figuram circulorum et contra arythmeticam nam 18 ad 16 facit tonum. fuit itaque proportio sesquidecimasexta vero semitonio maior. sed quod proportio sesquidecimaseptima non sit uera toni medietas sic per aliud argumentum apparet per te decem et septem ad 18 reddit uere semitonium inter quos est proportio sesquidecimaseptima numerus continens in eadem proportione 18 in eadem proportione uerum semitonium dabit et ille est 19 cum 1/17 Si igitur 17 in 18 fit uera medietas toni et a 18 in 19 cum una decimaseptima parte alia medietas per ypothesim tonus erit a 17 ad 19 1/17 quod est impossibile sicut prius Nam 17 comparatus ad 19 cum 1/8 facit tonum. cum itaque maior sit 1/8 quam 1/17 sequitur quod proportio sesquidecimaseptima uero toni medio fuit minor non ergo fiat una medietas sesquidecimasexta neque sesquidecimaseptima sed fuit inter has proportiones dictas.

Amplius arguitur sic Nulla habitudo superparticularis potest diuidi per medium. id est. habet medium proportionale in proportione geometrica quod patet in singulis deducendo nam inter 12 et 8 est proportio superparticularis. scilicet. sesqualtera que prima est et origo omnium illius generis: sed inter has proportiones nullum est media proportio nam si sumatur decenarius erit sesquiquartus ad 8 sed 12 non est ad 10 sesquiquartus imo sesquiquintus ut sane constat diligenter consyderanti: quare 10 non est medius inter eos.

Patet item alio argumento arguendo sic. Omne medium proportionale est radix extremorum in se ductorum sed nulla habitudo superparticularis habet huiusmodi radicem quare nulla habitudo superparticularis habet medium. Tonus autem est in habitudine superparticulari. scilicet. sesquioctaua ergo tonum nullum habet medium Istud argumentum est ualidum quia consequentia est logycalis et silogistica: maior et minor de se patent.

Rursus arguitur sic: qui quesiueris tonum per aequalies partes mediari queris dyametrum commensurari coste eiusdem quadrati quod est impossibile et contra geometriam et istud ualet per locum a simili et quod sit uerum declaratur nam sicut diameter est maior una costa [f.5v] et minor duabus nulla tamen proportione est maior qua quis possit excessum mensurare sic proportio toni maior est proportione sesquidecimasexta et minor duabus et sicut minor est duabus sesquidecimissextis ita maior est duabus sesquidecimisseptimis proportionibus nulla tamen proportione commensurante eius excessum quod patet per numeros inducendo quare etiam in figura hec omnia exemplariter declarantur.

Item probatur conclusio sic: Si ita esset quod tonus posset diuidi per rectum medium tunc sequeretur quod ex septem semitonijs ascendendo uel descendendo causaretur consonantia diapente [et similia inconuenientia sequerentur in aliis consonantijs que aduersarius dicit esse equalia inter se supra lin. et in marg.] consequens est falsum et contra experientiam: quia si semitonia essent minora tunc causaretur minus quam diapente: at si maiora causaretur maius quam diapente.

[Milan, Bibl. Ambr., H.165inf., f.5v; text: Sesquioctaua proportio maior, sesquioctaua proportio, differentia, sesquidecimasexta proportio, sesquidecimaseptima, 16, 17, 18, 18 1/16, 256, 272, 288, 289, De primo ad ultimum est proportio plusquam sesquioctaua numeri minoris, proportio sesquioctaua numeri integri, De primo ad ultimum est proportio minor sesquioctaua numeri maioris, sesquidecimaoctaua, 304] [MURMUSM 03GF]

[f.6r] [Milan, Bibl. Ambr., H.165inf., f.6r; text: Proportio sesquioctaua, proportio sesquioctaua minor, proportio sesquidecimaoctaua minor, proportio sesquidecimaoctaua, sesquidecimaseptima proportio, proportio sesquidecimaseptima, 17, 18, 19, 19 1/17, differentia, octaua, 283, 306, 124, 325, 2312, 1448, 1592, 2618] [MURMUSM 04GF]

Septima conclusio. Quod duo toni cum semitonio faciunt diatessaron.

ESt semis et duplex diatessaron uere tonus.

In omni proportione sesquitertia due sesquioctauae integrae proportiones continentur sed et tertia que non perfecta est ut ostendam modo. Diatessaron fit in proportione sesquitertia per figuram circulorum igitur in diatessaron sunt duae sesquioctauae proportiones perfectae et tertia non completa ergo duo toni cum uno imperfecto quod a musicis semitonium appellatur non a semis quod est medium sed a semum quod est imperfectum. uel diminutum.

Quod autem in proportione sesquitertia quam sibi uendicat diatessaron sint duae sesquioctauae proportiones completae et tertia non completa sic probatur sint in proportione sesquitertia isti duo numeri ut extremi .scilicet. 192 et 256 dico quod inter hos numeros sunt duae proportiones sesquioctauae cum una imperfecta nam si supra 192 sui octaua [.scilicet. 24 supra lin.] pars addatur exibit numerus 216 faciens primam proportionem sequioctauam. huic item octaua eius [.scilicet. 27 supra lin.] pars addatur et exibit numerus 243 secundam reddens sesquioctauam. sed si super numerum 243 eius octaua [.scilicet. 30 1/8 supra lin.] pars copuletur non exibit 256 sed plus. scilicet. 273 et tres octaue erunt quare relinquitur pro iam noto quod inter 243 et 256 non fuit integra proportio sesquioctaua quare concludo ex his argumentis in diatessaron duos integros tonos et unum imperfectum. scilicet. semitonium [videlicet minus supra lin.] contineri tanquam eius partes essentiales et integrales.

Isti predicti numeri sunt in quibus hoc possunt ostendi: et est ars inueniendi talis. scilicet. quot tonos continuos aut quot sesquioctauas proportiones continuas uis habere [f.6v] tot octuplos distantes a primo octuplo qui est 8 ab eo loco spatii quo distant ab unitate proportiones sesquioctauae quas tu inquiris summe. ut si duos continuos queris a secundo octuplo qui est 64 Si autem tres a tertio incipias. Sunt ergo duo toni continui primo 64 72 81 Si igitur super 64 tertia sua pars addatur exibit diatessaron sed tertiam non habet quare si ternario multiplicetur proueniet 192 tertiam partem habens: post quam supersunt duo toni continui sicut prius dictum est et haec patent in figura subscripta.

[Milan, Bibl. Ambr., H.165inf., f.6v; text: Diatessaron consonantia, dyttonus, tonus cum semitonio, tonus, 1/8, 24, Tonus, 27, Semitonium minus, 1/3, 64, 192, 216, 243, 256] [MURMUSM 04GF]

Octaua conclusio: quod Tres toni cum semitonio faciunt diapente.

SEd diapente tonos tres et semis duo tenere

Id notum est per praecedentem conclusionem diatessaron ex duobus tonis integris et semitonio pariter integrari sed diapente continet in se diatessaron atque tonum integrum per quintam ergo diapente consonantia ex tribus tonis integris et semitonio completa est quod erat probandum.

Nona conclusio. Quod diapason perficitur ex quinque tonis et duobus semitonijs minoribus.

BIna semitonia cum quinque tonis tenet diapasodia. id est. diapason.

Diatessaron componitur ex duobus tonis cum uno semitonio per septimam conclusionem. et diapente est ex tribus tonis cum uno similiter semitonio per precedentem. sed diapason ex diatessaron et diapente conficitur per quartam ergo diapason ex quinque tonis et duobus semitonijs integratur. Neque ex hoc infertur Igitur ex sex tonis integris per aequipollentiam In quo tamen plures antiqui et moderni musici falluntur quoniam tonus non potest diuidi in duo aequalia semitonia ut uisum est per sextam.

Decima conclusio. Quod Tonus diuiditur in duo inequalia semitonia.

QVero toni quales sunt partes sunt inequales.

Tonum aliquem esse imperfectum, scilicet. semitonium uisum est per septimam. ergo semitonium aliqua pars est toni. Aut ergo est uera pars media aut non per contradictionem siue sufficientem diuisionem sed non est uera pars media per sextam conclusionem [f.7r] ergo non media Tunc arguo sic aut ergo est maior pars toni aut minor: et cum una sola pars constitutiua totum integrale non constituat ergo in tono sunt duae partes quarum una est maior altera minor sicut demonstratiue probatur. ergo tonus cum diuidatur in partes suas principales et maiores tunc in duo semitonia. scilicet. in maius et minus diuiditur quod erat probandum.

Vndecima conclusio. quod semitonium est minus dimidio toni.

ERgo semitonium minus in numeris reperire.

A diatessaron demptis duobus tonis quod remanet semitonium uocatur per septimam sed quod Id sit minor pars toni probo nam ut uisum fuit in septima primi numeri inter quos apparet [.scilicet. in diatesssaron supra lin.] semitonium sunt 243 et 256 quorum differentia est 13. si numerus 13 faciens semitonium fuerit duplicatus et tonum perfectum non attingat et notum est ipsum esse minorem una media parte toni sed sic est quod si dupletur 13 erunt 26 qui additus super 243 reddit 269 qui ad 243 comparatus tonum non complet quod patet addita octaua parte sui [suius ante corr.] ipsius numero 243 fiet numerus 273 3/8 qui maior est primo .scilicet. 269 faciens plene tonum: quare ex his minor pars semitonij reperta est.

Amplius et per sextam uisum est quod semitonium. id est. uera medietas toni est inter decimamsextam et decimamseptimam partem sic quod est minor decimasexta et est maior decimaseptima sed 13 comparatus ad 243 minor pars eius est quam decima sexta et quam decima septima quoniam numerus 13 in se ipsum ductus [[...]] sedecies aut septemdecies non reddit 243 imo minus: imo etiam in se ductus duodevicies minus est quam 243 quicquid autem est minus minore est minus maiore.

Cum igitur 13 ad 243 comparatus facit minus medietate toni quare minus semitonium inuentum est.

Aliter hoc idem probatur per medium proportionale: nam numerorum natura in arythmetica talis est quod si duo numeri sint in aliqua proportione procreati ex eisdem in eadem proportione manebunt ut 2 et 3 in sesqualtera proportione se habent ex his autem procreati sunt 4 et 6 et 9 inter quos similiter eadem reperitur. Ducantur enim 2 in 2 et 3 in 3 et 2 in 3 velut radices tam in se quam unus in alterum supradictos numeros generabunt. Ex hoc sint sicut numeri 243 et 256 inter quos est proportio semitonialis et ducantur tunc sicut radices tam in se ipsos quam unus in alterum et producantur hi numeri. scilicet. 59049 62208 65536 inter quos est proportio semitonialis reperta. si ergo inter radices fuit uera semitonialis proportio cum ista sit in numeris propositis duplicata sequitur quod inter extrema sit toni proportio quod est falsum: Nam si supra primum [.scilicet. 59049 supra lin.] una sui octaua [.scilicet. 7381 1/8 supra lin.] pars addatur secundum superabit [quia erit 66429 1/8 supra lin.]. ergo inter primum et [f.7v] secundum non fuit uere semitonium nec inter secundum et tertium. Igitur primum et tertium complere nequeunt totum tonum. igitur inter radices que sunt 243 et 256 non fuit una toni medietas imo minus quod est propositum declarandum. ut presens figura describit.

[Milan, Bibl. Ambr., H.165inf., f.7v,1; text: Tonus, Semitonium minus, 243, 256, 269, 273 3/8, 65536, 62208, 59049] [MURMUSM 05GF]

Duodecima conclusio. quod ultra semitonium minus tonus continet semitonium maius.

INde semitonium maius demonstro uenire.

Ostensum est per immediatam et per septimam quod primi numeri sunt 243 et 256 inter quos semitonium primo per integra fiat quia numquam in musica minutiae receptae sunt. Sicut enim Geometram geometrica linea quantumlibet uti contingit sic et Musicum numeris quantislibet uti contigat. Modo si supra 243 sua octaua pars adiungatur exibit numerus tonum reddens cuius differentia ad 256 pars semitonij maioris erit. cum iam demonstratum sit a 256 in 243 semitonij partem fore minorem. Sed quoniam 243 octauam non habet partem per regulam arythmeticae si per 8 extendatur exibit numerus octauam habens partem et erit 1944 Augeatur item 256 per 8 et producetur 2048 inter quos. scilicet. 1944 et 2048 erit minus semitonium sicut prius. Tunc itaque super 1944 si sua octaua pars adiungatur ueniet 2187 faciens unum tonum cuius differentia a 2048 est 139 qui maior semitonij pars est. nam alia pars est differentia in 2048 et 1944 [.scilicet. 104 supra lin.] ergo maius semitonium non est amplius ignoratum. atque nunc dicta sunt presens figura demonstrat.

[Milan, Bibl. Ambr., H.165inf., f.7v,2; text: Tonus, differentia, 104, 139, semitonium minus, Semitonium maius, 1944, 2048, 2187] [MURMUSM 05GF]

[f.8r] Terciadecima conclusio. Quod diapason non continet sex integros tonos.

SEx ostendo tonos dyapason non dare plenos.

Sint sex toni continue proportionales inuenti secundum regulam dictam in septima conclusione incipiendo a sexto octauo sicut in figura subscripta uidebitur supra quem sui octaua pars addatur et exibit primo primus tonus cuius octaua parte superaddita sibi ipsi exibit secundo secundus tonus: cui iterum sui octaua pars iungatur et producetur tertius tonus: atque ita de alijs usque ad sextum tonum et erunt sex toni continui successiue et immediati. Modo si supra primum bis addatur sua medietas exibit numerus faciens consonantiam diapason per figuram circulorum et est ille. scilicet. 524288 qui minor est eo numero qui sextum faciebat tonum. scilicet. 531441 quorum differentia est 7153 in quantum sex toni sunt maiores diapason et illud est quod querebatur et hoc patet in subiecta figura.

Ex hoc infertur corolarie quod cum diapason constet ex quinque tonis et duobus semitonijs per nonam conclusionem illa duo semitonia esse minora quoniam si essent maiora tunc diapason transiret sex tonos per croma. sed si unum esset minus et reliquum maius sex complete reddere tonos cuius contrarium demonstratiue fuit probatum: ergo sunt semitonia minora. Ac ulterius cum in diapason diapente et diatessaron coniunguntur siue formantur quod illa semitonia que sunt in his duobus de minoribus semitonijs esse probantur.

[Milan, Bibl. Ambr., H.165inf., f.8r; text: 262144, 294912, 331776, 373248, 419904, 472392, 531441, 32768, 36864, 41472, 46656, 52488, 5949, 4096, 4608, 5184, 5832, 6561, 512, 576, 648, 729, 64, 72, 81, 8, 9, primus tonus, Secundus tonus, Tertius tonus, Quartus tonus, Quintus tonus, Sextus tonus, Sex continuae proportiones sesquioctauae. inde sex continui toni prodeunt] [MURMUSM 05GF]

Quartadecima conclusio. Quod diatessaron duplicata non continet quinque tonos.

NOn ex quinque tonis duplex diatessaron esse.

Per septimam probatum fuit quod diatessaron includit secum duos tonos completos cum semitonio.

Quod autem illud sit minus semitonium et sic si duplicetur non reddet integrum tonum quod est propositum sic ostendo.

Diapason enim ex quarto in se [f.8v] continet diatessaron et diapente: sed diapente non continet secum aliud semitonium quam contineat diatessaron quoniam non differt ab ea nisi per differentiam toni per quintam conclusionem Modo diapason amplectitur quinque tonos et duo semitonia que sunt minora eo quod diapason non complet sex tonos continuos neque discontinuos per immediatam conclusionem et per eius figuram. ergo illa duo semitonia que sunt in diapente et diatessaron sunt minora: et illud quod est in diapente est illud quod est in diatessaron ut dictum est in quinta. ergo illud semitonium quod est in diatessaron est semitonium minus quod est pars minor toni merito reputata sed nulla pars toni tonum reddit integrum duplicata: quare semitonium quod est in diatessaron duplicata aut bis sumptum nullum integrum reddit tonum sed aliter non posse poni bis diatessaron tonos habere quinque: Igitur non habet tonos quinque sed quattuor tantum cum duobus minoribus semitonijs. et hoc est quod uolebam probare.

Hoc item aliter declaratur per numeros qui neminem fallunt. Musicus enim habet refugium ad scientiam superiorem. scilicet. ad Arythmeticam et arguitur sic: Sint quinque toni continui sicut ponitur in figura precedenti tunc si supra numerum qui est primum fundamentum elongationis siue extensionis sui tertia pars iungatur exibit semel diatessaron per figuram circulorum supra quam iterum producta sui tertia pars iungatur similiter secunda diatessaron producetur: quare de primo ad ultimum est bis diatessaron. Comparatur ergo iste ultimus numerus faciens ad primum numerum bis diatessaron ad ultimum numerum facientem quintum tonum et erit minor numerus qui bis diatessaron complet quam numerus faciens quintum tonum. ergo bis diatessaron non continet quintum tonum. quapropter hanc sequentem uideas figuram.

Amplius hoc potest declarari intendendo diatessaron ad partem acuttam et remittendo eam ad partem grauem. Sumptis enim quinque tonis continuis si super primum numerum iungatur sui tertia pars diatessaron est intensa et si ab ultimo numerorum quinque tonos complente sui quarta pars rescindatur siue subtrahatur diatessaron exibit remissa. Si igitur duplex diatessaron est aequalis quinque tonis ex his quinque tonis diatessaron intensa et remissa concurrent in eodem numero et aequali nulla differentia mediante sed non erit ita ergo bis diatessaron non continet quinque tonos: imo manifesta patebit differentia ut uidere potes in hac figura quare diatessaron bis sumpta non est aequalis quinque tonis imo inaequalis: quod est propositum.

[f.9r] [Milan, Bibl. Ambr., H.165inf., f.9r; text: Bis diatessaron, Diatessaron, 32768, 43690 2/3, 58253 2/9, tonus, 36864, 41472, 46656, 52488, 59049, Quinque toni continui, Quinque toni continui aut contigui et immediati: plusquam diatessaron duplicata, Diatessaron intensa uel acuta, Differentia. 596 1/12, Diatessaron remissa uel grauis, 32768, 43690 2/3, 44286 3/4] [MURMUSM 06GF]

Quintadecima conclusio. quod Croma est pars illa qua tonus superat duo semitonia minora.

ET ex premissis croma reperire necesse.

Croma a musicis appellatur illud per quod unus tonus superat et excedit duo semitonia sui minora. Id autem taliter inuenitur. A sex tonis continuis secundum modum tertiedecime conclusionis diapason subtrahatur et quod relinquitur erit croma. Nam tanta erit differentia inter quinque tonos et duo semitonia minora que sunt in diapason per immediatas et inter sex tonos. quod prouenit ex eo quod ista duo semitonia tonum perficere nequeunt uerbi gratia hi duo numeri. scilicet. 262144 et 531441 sex tonos continuos amplectuntur: sed hi duo numeri. scilicet. 262144 et 524288 reddunt diapason quod probatur si prior numerus dupletur per regulam arythmeticae: Modo differentia inter numerum sex tonorum et numerum diapason adimplentem est in 7153 et hec est differentia [f.9v] duorum minorum semitonorum ad tonum. nam si fuissent semitonia integra nulla fuisset differentia. et haec differentia inter duo minora semitonia et tonum croma a musicis uocatur.

Ex premissis propositionibus et conclusionibus possunt inferri quaedam corolaria que secuntur: quae quasi sunt manifesta ex assumptis ut de his non sit necesse noua theoremata formare.

Primum corolarium est duo minora semitonia tonum integrum non complere.

Secundum corolarium est duo maiora semitonia simul iuncta tonum integrum superare.

Tertium corolarium est Maius semitonium supra minus semitonium cromate habundare [abundare ante corr.].

Quartum corolarium est. Maius semitonium et minus simul iuncta tonum complere.

Quintum corolarium est duo minora semitonia cum cromate tonum reddere.

Sextum corolarium est Verum semitonium in nulla proportione manere in rerum natura.

Septimum corolarium est Croma in numero siue proportione non esse sed maius septima quintupla minus septima quadrupla hoc potest notificari per predicta immediata et tertiadecima.

Octauum corolarium est Semitonium minus esse maius quam 20 ad 19 et minus quam 19 ad 18.

Nonum corolarium est Semitonium minus esse maius tribus cromatibus minus uero quattuor.

Decimum corolarium est Semitonium maius esse maius quattuor cromatibus minus uero quinque.

Vndecimum corolarium est Tonum esse maiorem octo cromatibus minorem uero nouem.

Sextadecima conclusio. Quod Bis diapason reperitur in proportione quadrupla.

QVadrupla componit proportio bis diapason.

Consonantia diapason fit ex proportione dupla per figuram circulorum. Igitur bis diapason in bis duplicata proportione dupla causabitur: sed bis dupla est proportio quadrupla quare propositum. Etiam patet in numeris 1 et 2 causa diapason dupletur et eueniet 4 faciens diapason ad 2 sed 4 est quadruplus ad 1 quare bis diapason in quadrupla fit proportione.

Quis enim dubitauit si b sit duplum ad a et c duplum ad b quin c sit quadruplum ad a et sicut formatur bis diapason ita ter diapason et quater diapason et cetera quantum est ex parte proportionum que in infinitum procedunt et nullum terminum sibi imponunt. sed auditus ad iudicandum de sonis intensis et remissis terminos sibi constituit extra quos nihil audiret neque delectationem aliquam sentiret sicut etiam in alijs quattuor sensibus contingit ut in usu adoratu gustu et tactu suo modo et proportione.

[f.10r] Decimaseptima conclusio. Quod diapason diapente in tripla proportione consistit.

SEd manet in tripla diapason cum diapente.

In quibus proportionibus simplices consonantiae ponantur id multotiens est ostensum

Nam diapason in dupla proportione Diapente in sesqualtera. Diatessaron in sesquitertia formantur. Modo si proportio dupla et sesqualtera coniungantur creabitur proportio tripla per figuram quintam et patet in numeris nam 1 et 2 duplam reddunt proportionem. scilicet. diapason. 2 et 3 sesqualteram. scilicet. diapente. sed 3 ad 1 triplam: quare diapason cum diapente coniuncta triplam facit proportionem.

Ex hoc potest leuiter inueniri bis diapason et diapente. Nam breuiter omnis consonantia supra diapason non est nisi reinceptio aut reformatio eorum que infra diapason contenta sunt et formantur inde toni et semitonia et cetera similiter sicut prius. cum omnes consonantias tam simplices quam compositas ac eorum partes et partium partes in monochordo posterius ordinabo.

Decimaoctaua conclusio et ultima huius primae partis. Quod diapason et diatessaron simul iunctae nullam efficiunt harmoniam.

NVlla fit harmonia ex diatessaron et diapason simul iunctis.

Vtrum diatessaron supra diapason fiat consonantia inquirere.

Pythagorici noluerunt diapason cum diatessaron bonam harmoniam sonare eo quod non dulciter neque suauiter ad auditum accedit et causam inquirentes inuenerunt ipsam extra genus multiplicis et superparticularis proportionis existere cum omnis consonantia perfecta in his generibus inuenta sit ut patet per figuram circulorum.

Quod autem ipsa sit extra genus multiplicis et superparticularis proportionis patet ponendo casum in proprijs terminis. Nam proportio dupla in qua diapason quiescit iuncta cum proportione sesquitertia quae diatessaron format producit proportionem superpartientem. scilicet. duplamsuperbipartientem ut patet in figura numerorum. Verbi gratia 3 et 6 reddunt diapason 6 et 8 diatessaron: coniunctis extremis. scilicet. 3 et 8 in qua est diapason cum diatessaron erit proportio duplasuperbipartiens solo tono distans a consonantia perfecta. scilicet. a diapason cum diapente. In hoc autem tanquam inconuenienti Pythagorici quieuerunt. ex quo uidetur fuisse de mente eorum quod diatessaron intensa super quam intenditur diapente non sit consonantia sicut cum diapente acuta supra quam diatessaron intendatur licet utrobique sit diapason in extremis.

Ptholomeus autem non consentit sed eos incusat affirmans diapason cum diatessaron consonantiam esse bonam dicens quod cum secundum eos et secundum ueritatem qualibet consonantia simplex [f.10v] perfecta infra diapason clauditur sic quod quicquid est supra diapason est reiteratio et repetitio atque reformatio eorundem que infra diapason continentur imo quasi numerus unisonans. id est. unus sonus intonans uidetur diapason licet sit in duobus sonis equaliter tonans: igitur cum diatessaron possit fieri infra diapason et etiam supra: neque est inconueniens quod fiat in genere superpartienti et multiplici secundum Ptholomeum in prima eius specie. scilicet. duplasuperbipartienti ut in numeris prius datis nec Boetius in sua musica neque alij philosophi quos uiderim in musica istud determinant. Scio tamen quod est questio similis huic. scilicet. vtrum diatessaron grauis sub diapente. id est. ante diapente sit consonantia quare nulla dubium est quod supra diapente optima sit et dulcis

Ego autem dico si conceditur diapente priorem esse quam diatessaron sicut proportionem sesqualteram ante sesquitertiam concessum erit diatessaron sub diapente non esse consonantiam ergo neque supra diapason cum ibi similiter diatessaron sub diapente ponetur.

Item de natura consonantiarum ex quo fiunt ad naturam numerorum et modum proportionum est magis fieri per intensionem quam per remissionem quare magis iubilat diatessaron supra diapente quam infra.

Item prior est comparatio diapason ad diapente quam ad diatessaron sicut prius comparatur 12 ad 8 quam ad 9 quoniam 8 est ante 9 quare diatessaron post diapente ueniet: unde si non esset diapente diatessaron non esset. Et si obijciatur quod dictum est in quinta conclusione diapente sequi diatessaron qua superat eam uno solo tono concedatur quod verum est in quantum est dissonantia non in quantum consonantia.

Item tonus precedit et tamen non est consonantia sed pars eius sic dico ad propositum quod diatessaron ante diapente non est consonantia [Diatessaron sub diapente non est consonantia in marg.] ut Pythagorici uoluerunt sed est pars eius post diapente autem consonantia dici debet: et sic diatessaron non est ex se sed ex duabus consonantijs iubilationis actu diapason. scilicet. et diapente quibus duobus terminis positis illam non poni est impossibile imo forte non nisi secundum quod differt ab ambabus propter predicta sequentem uideas figuram. In hac enim figura sunt consonantiae simplices et compositae appositis et apponendis subtractis et subtrahendis quod patet per circulos et eorum numeros.

Nunc finita sit prima pars huius theorice que de modulatione et contemplatione consonantiarum animam subleuat et informat et omnes sensus corporeos clarificat et disponit faciliter ad maiora secundum quod ego ex sapientia atque doctrina tam magni philosophi sicut fuit Boetius potui in musica hinc inde breuiter assumare. [ras.]

[f.11r] [Milan, Bibl. Ambr., H.165inf., f.11r; text: Bis diapason consonantia, Proportione quadrupla, Diapason cum diapente in proportione tripla, Diapason consonantia in proportione dupla, Diapason cum diatessaron, Diapente, diapason, diatessaron, tonus dupla, Sesquitertia, Sesquioctaua, 3, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, proportio duplasuperbipartienstertias, proportio sesqualtera] [MURMUSM 06GF]

Incipit secunda pars theorice musice Ioannis de Muris.

AD secundam partem me transfero que est de diuisione monochordi. In qua tam omnes consonantie quam earum partes et partium partes annotantur: Ac inde per consequens de compositione omnium generum musicorum. scilicet. instrumentorum ac eorum cognitione non cognitorum antiquorum et nouissimorum que ad inventionem maximam prestant fidem et dulcem atque delectabilem modulationem.

Prima conclusio. Quod tres primae consonantiae disponuntur in linea recta et spacijs distinctis.

PRimas euphonias in plano scribere uere.

Euphonias primas harmonicas perfectas atque simplices esse probauimus diapason diapente et diatessaron. Modo restat eas super datam rectam lineam collocare. et supradatum spatium figurare. Sit ergo a b data linea tanquam proportionis fundamentum et ea per medium resecata in puncto c diapason dulcissime resonabit. nam a b dupla est ad a c.

Scindatur iterum a b in partes tres que sint ad de cb sesqualteram faciet proportionem.

Sinque a b in partes quattuor diuidatur in punctis f g e et sint partes af fe eg gb tunc a g ad a b diatessaron adimplebit. Idemque faciet b f ad b a siue e g eritque c g inuentus tonus.

Sed quoniam eadem chorda numero cum ad sui partes relata est fiunt plures secundum diuisionem dictam et erunt quattuor chorde sic disposite sicut sunt hic et debent pulsari ut sonent nunc 2 nunc 3 nunc 4 si tu uelis ut aures habeant distinctas consonantias iudicare [f.11v] quas prius ignorabas et informationem intellectus et sensus mirabiles apparentis circa sonorum consonantias.

[primum tetrachordum quod Mercurius repperit ad tempusque Orphei celebratum et obseruatum est. in marg.] Hoc quidem instrumentum est primum quod apud antiquos fuit notum: et fuit instrumentum Mercurij et durauit usque ad tempus Orphei tetrachordum nominatum

De situatione et ordine chordarum secundum prius et posterius non est ad presens determinandum: Nam prius et posterius non sunt differentiae consonantiarum sed debitus situs numerorum uidebitur in monochordo et chordarum pluralitate quod idem est.

[Milan, Bibl. Ambr., H.165inf., f.11v; text: a, f, d, c, e, g, b] [MURMUSM 07GF]

Secunda conclusio. Quod tonus diatessaron consonantiae additus siue in graue siue in acutum diapente perficit.

IN grauitate tonum uel acuta parte docere

Primo uolo formare tonum in accentu acuto. Sit sonus b adhuc intendo alium sonum qui sit diapente in c a quo remitto diatessaron grauem in d cum igitur inter diapente et diatessaron sit differentia repertus est d b in acuta parte tonus: ac in parte graui sit super b

Item diatessaron intendo a b in f a quo diapente remitto ad b erit ergo tonus b d in figura subscripta in accentu graui: Verbi gratia in figura consonantiam intendere est de sono graui acutum et consonantem facere et remittere est de accentu acuto grauem formare. Et in modo utrobique inueniri potest tonus ut dictum est et erit b d tonus in parte acuta siue intensa. breuiter si dyatessaron et diapente intendantur seorsum ut 6 4. 6 9. inuentus est acutus tonus. ac si ambo remittantur ab eodem puncto in grauem partem inuentus est ut 12 8. 12 9 et hoc intelligendum est quantum ad quantitatem arythmeticam. scilicet. discretam non autem continuam geometricam. Et iste est modus contrarius precedenti sed in idem [f.12r] redit. nam quum chorda plus habet de quantitate continua geometrica grauior est: quum uero minus acutior. Item et quum chorda plus habet de quantitate discreta. id est. plures numeros motus acutior est quum uero pauciores est grauior. et sic eadem manet proportio quocumque modo dicatur.

Item in alijs terminis sit b 192 et adde sui medietatem que est 96 habebis 288 quod est diapente intensa.

Et si a 288 subtrahis quartam partem habebis 216 quod est diatessaron remissa ad 288 cuius quarta pars est 72

Et si ad 192 addas octauam sui partem habebis 216 quod est tonus supra 192 cuius octaua pars est 24 et talis tonus erit intensus siue acutus.

Item tolle partem nonam a 216 et habebis 192 quod est tonus grauis siue remissus. quare presentem uideas figuram.

[Milan, Bibl. Ambr., H.165inf., f.12r; text: Diapente intensa, Diapente remissa, Diatessaron acuta aut intensa, Diapente grauis aut remissa, tonus in parte remissa, tonus in parte acuta, b, d, c, f, 192, 216, 288] [MURMUSM 07GF]

Tertia conclusio. Quod semitonium minus in graue et in acutum repperitur.

ATque semitonium [.scilicet. acutum et remissum. supra lin.] paruum siue minus habere.

Primo ad acutam partem sic potest minus semitonium demonstratiue probari. Sit a unus sonus a quo ad b diatessaron intendatur a b rursus ad c diatessaron sit intensa et a c usque in d deponatur diapente in accentu graui est igitur tonus b d.

Item a d intendatur diatessaron usque ad e a quo ad f diapente remissa sit. erit igitur tonus d f

Cum igitur a b sit integra diatessaron et b d et d f sunt duo toni sequitur quod f a sit reliquum et illud semitonium minus eleuatum nuncupatur.

[f.12v] Ad accentum uero grauem sic fiat Sit sonus datus a a quo ducantur duo toni continui a b g et g diatessaron remittatur ad k et tunc arguendo sicut prius totum residuum est minus semitonium quod uolebam probare. quare presentem uideas figuram.

[Milan, Bibl. Ambr., H.165inf., f.12v,1; text: Diapente remissa, Diatesssaron intensa, Tonus acutus, Acutum semitonium minus, c, e, b, d, f, a, k, g, Minus semitonium graue, Tonus intensus, 9, 12, Diatessaron remissa] [MURMUSM 07GF]

Quarta conclusio. Quod semitonium maius in grauem partem et in acutam demonstratur.

INuento minori semitonio in parte graui et acuta restat utrobique maius semitonium inuenire terminatum ad partem acutam. Sic tres tonos acutos continue intendendo qui sint. a b. b c. c d. deinde super a acutum formo diatessaron et sit a f et sequitur per ea que in prima parte probata sunt quod c f est minus semitonium quare f d maius semitonium erit in parte acuta quod erat propositum probandum

Ad partem uero grauem sic arguitur. Sit semitonium minus in accentu acuto eleuatum a d remittatur tonus ad e et erit a e semitonium maius inuentum in accentu graui depositum quemadmodum in presenti figura demonstratiue probatur.

[Milan, Bibl. Ambr., H.165inf., f.12v,2; text: Diatessaron remissa, Tonus peracutus, Tonus acutus, Semitonium minus, Semitonium maius acutum, a, b, c, d, e, f, Tonus remissus in parte graui, Semitonium maius in parte graui, Semitonium minus intensum] [MURMUSM 08GF]

[f.13r] Quinta conclusio. Quod croma in grauem et in acutam partem reperitur.

HIc propono graue uel acutum croma tenere.

In acuta parte croma sic habetur. Ab a sono dato maius semitonium intendatur per precedentem conclusionem usque ad punctum b a quo minus semitonium remittatur in puncto c et erit tunc c a coma [in parte acuta supra lin.] per quintamdecimam.

Sed ad grauem sic ab a sono minus semitonium sit intensum ad d a quo maius semitonium remissum sit in puncto e Erit igitur ab a in e croma in graui parte repertum.

[Milan, Bibl. Ambr., H.165inf., f.13r; text: Semitonium maius intensum, Semitonium maius remissum, Semitonium minus remissum, Croma acutum, Croma graue, Semitonium minus intensum, b, c, a, e, d] [MURMUSM 08GF]

Sexta conclusio. Quod Monochordum per tetrachorda ordinatus.

HIs expeditis monochordum scire uelitis.

Tetrachorda per monochordum ordinare.

Quoniam in precedentibus est ordinatum et expeditum de speculatione consonantiarum et de his que accidunt circa eas sicut contingit in prima parte huius libri et de earum reductione ad sensibiles figuras que magnum praestant certitudinis gradum matematicis quoniam veritas quae in intellectu formatur per demonstrationes sensibiles cum figuris ad iudicium uisus et auditus conformiter reducta est. Cum omnis consonantia sit composita ex partibus suis integralibus. scilicet. ex tonis et semitonijs maioribus et minoribus ex diesibus atque cromatibus et cetera. Iam conueniens est ad monochordi diuisionem accedere in quo omnes consonantiae tam simplices quam compositae tam perfectae quam imperfectae reseruantur toni et semitonia et reliqua. Ante cuius diuisionem aliqua praeambula praeferuntur.

Primum est omnis diuisio monochordi quod in se continet implicite et in uirtute omnia genera instrumentorum uadit per tetrachorda. Omne autem tetrachordum uocant spacium duorum tonorum cum uno minore semitonio et hoc est diatessaron et rationabiliter mouetur: Nam ut in precedentibus ostensum est bis diapason ad semel diapason reducitur. Diapason ad diapente cum diatessaron. Diapente autem diatessaron presupponit et hec omnia prius ostensa sunt [f.13v] Diatessaron uero nullam aliam perfectam consonantiam presupponit sed tonum et semitonium. Diesim et cromata. Hinc est quod omnes musici tam antiqui quam moderni primum tetrachordum diatessaron esse concesserunt quoniam quilibet tonus duas chordas requirit: et semitonium similiter duas. Modo cum diatessaron sint duo toni cum semitonio manifestum est quattuor chordas diatessaron continere. quelibet enim chorda seruit pro fine unius toni et initio secundi preter primam et ultimam.

Secundum praeambulum est quod cum istud tetrachordum possit iterari ut altius ascendat per diapente a diatessaron sicut reiteratur diatessaron. hoc potest contingere per tetrachordum sinzeumenon [.id est. coniunctum supra lin.] uel diszeumenon [.id est. disiunctum supra lin.]

Sinzeumenon est quando ultima chorda primi tetrachordi est initium secundi. et sic in istis duobus tetrachordis erunt in primo duo toni cum semitonio et in secundo totidem. In summa igitur quattuor toni cum duobus semitonijs: et sunt ut uisum est minora [.scilicet. semitonia supra lin.]. Et iterum supra finem secundi tetrachordi potest reiterari tertium et sic ultra in infinitum.

Diszeumenon tetrachordum est cum post ultimum neruum primi tetrachordi additur neruus distans ab eodem per spacium toni et super eum inuenitur iterum tetrachordum et sic ut prius.

Et est notandum quod in duobus tetrachordis coniunctis sunt septem chordae. sed in duobus disiunctis sunt octo.

Item notandum ex his quod in diapason sunt duo tetrachorda coniuncta cum uno tono sunt tamen duo disiuncta.

Item possunt augumentari duplando et triplando et cetera quotiens placuerit augumentanti.

Tertium preambulum est quod de diuisione tetrachordi quod est diatessaron Antiqui tripartiti sunt

Quidam enim eorum diuiserunt per tonum et tonum cum semitonio ut dictum est nunc quattuor chordas apponentes quarum prima est quod ad ultimam diatessaron consonabat. et uocarunt hoc genus modulationis dyatonicum cantum. [Genus diatonicum. in marg.]

Alij diuiserunt diatessaron et fuit tetrachordum in semitonio minori primo et semitonio maiori secundo et tribus semitonijs tertio tendendo ad acutum quattuor chordas apponentes quarum prima ad ultimam diatessaron resonabat et hunc modum dixerunt genus cantandi chromaticum. [Genus chromaticum. in marg.]

Alij diuiserunt diatessaron in medietatem unius semitonij minoris primo et in aliam medietatem secundo ac tertio in duos tonos ascendendo cum quattuor chordis et hoc modulationis genus uocarunt enarmonicum. [Genus enarmonicum. in marg.] Et hanc semitonij medietatem [f.14r] dixerunt esse diesim. et sic illud genus erat ex diesi et diesi et duobus tonis procedendo de graui ad acutum. Et huius triplicis generis melodiarum exempla in figura signabo. [Admiratio auctoris de duobus generibus omissis. in marg.] Sed uehementer admiror super hoc quod apud Phrygios et saracenos ista duo genera melodiae. scilicet. chromaticum et Enharmonicum fuerint cognita cum apud nos christianos nusquam in usum uenerunt. [Et omnis concentus et cetera Hic modo dicere magister quod sit impossibile pronuntiari has minutias siue fractiones minimas atque insensilles quoniam omnis cantus et sonus requirit motum et tempus certum atque sensibile quod patet in practice ut si cytharedus pulset aut musicus cantet melius et facilius sonabit atque cantabit in tempore largo quam in breui et stricto. in marg.] Sed in genere diatonico omnis ecclesiasticus cantus et omnis concentus harmonicus per certa tempora mensuratur ut in conductuum motus uel organis et ceteris modis ac cantilenis:nec non et omnis sonus cunctorum generum musicorum in nostris instrumentis et laicorum mechanicorum et rusticorum ac etiam mulierum. Nescio tamen in quo spiritu nisi diuino quodam nutu et sponte naturaliter incidere conspiciuntur et a natura ad musicam inclinatur. Vbi ergo in mundo laterent duo predicta genera nihil plus oppinor nisi quod quasi contra naturalem inclinationem humanarum uocum ad cantus diuisa fuerunt. scio enim quod uix aut numquam uox humana in his duobus generibus consonantiam faceret imo laboriose pronuntiaret nec unquam de se ipsa in his duobus generibus certa existeret. In instrumentis autem musicis artificialibus possibile esset multum tamen non dubito quod dura et aspera et incommoda atque repugnans esset in harmonia talis musica horum duorum generum et modorum hominibus imbutis et habituatis in tertio genere. scilicet. diatonico sicut nos sumus. Hoc insuper non ignoro quoniam posset etiam diatessaron esse diuisa in quinque semitonia minora et duo cromata sed hoc esset excedere [.scilicet. hijs chordarum supra lin.] tetrachordum. At tetrachordorum diuisionem iuxta ipsorum trium generum dispositionem subiecte figurae declarant.

[Milan, Bibl. Ambr., H.165inf., f.14r; text: 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, tonus, semitonium, Diatessaron, Tetrachordum sinzeumenon] [MURMUSM 09GF]

[f.14v] [Milan, Bibl. Ambr., H.165inf., f.14v; text: Tetrachordum diszeumenon, Diatessaron, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, tonus, semitonium, Tonus, Genus enarmonicum, Genus chromaticum, Genus diatonicum, dittonus, diesis, tria semitonia, semitonium, tonus, 2304, 2916, 2994, 3072, 2736, 2592] [MURMUSM 09GF]

Septima conclusio. In qua Auctor proponit describere diuisionem monochordi.

HIc ego concordo cum Boetij monochordo.

Cum hec genera in diatessaron semper concurrunt sed in modis uariantur: nulli debet esse dubium quin diuiso monochordo secundum genus diatonicum et etiam secundum alia genera diuisum sit quare de diuisione monochordi in genere diatonico agendum est in eius autem tota diuisione non ponitur nisi aut tonus aut semitonium minus diuisiones autem quattuor monochordi per lineas et litteras signabo et demonstratiue probabo et in eius descriptione in plana superficie nomina chordarum que antiqui imposuerunt et numeros ad quos consonantiarum proportio refertur. Et quoniam uult Boetius in musica sua quod longior chorda plures partes et maius spacium occupat breuiore igitur maiorem sibi attribuit soni et grauiorem. breuiores autem chorde minorem sonum et acutiorem: licet fieri possit aeque bene e contra longiori eo quod [f.15r] pauciores motus continet breuiore sibi minorem numerum dare. breuiori uero plures numeros et motus eo quod plures mutationes habet ut ipse innuit libro suo sed quomodocumque fiat numquam proportio uariatur.

Primo autem ponam diuisionem monochordi diatonici secundum Boetium in quo non est nisi bis diapason quantum ad proportionem numerorum licet non repugnet ei ter vel quater diapason

Et quoniam ex premissis habitum est qualiter bis et semel diapason et ceteraeque consonantiarum euphoniae inuentae sunt igitur non restat nunc nisi figuram describere super planum spacium et statim in ea uidebitur clarissime modus cantandi atque pulsandi in genere diatonico ut patet in sequenti conclusione et capitulo.

Octaua conclusio. De diuisione monochordi.

SEd monochordalem plane uolo scribere tale.

Iuxta istam distinctionem quam Boetius tradidit de diuisione sui monochordi uolo similiter meum diuidere mutando solum situm et ordinem chordarum et numerum earum quoniam ista maneries iubilandi atque pulsandi que nullo tempore uigebat super numeros harmonicos diebus nostris adeo est ad melius mutata quod pronuntiatio nostra florida magis existit atque ornatiori modo dicendi uocem profertur ut dulciorem atque mirabilem uoluptatem sentiat auditus subtiliataque est multum contemplatio musicae per exercitium modernorum litteratorum hominum in hac arte studentium auxilio et inuentione artificialiter pulchra imo etiam uulgus et specialiter omnes nobiles uiri et adolescentes insuper mulieres ad huc promouentur ad musicam nescio qua sorte nisi industria naturali et innata inclinatione non solum humanitati uerum etiam uolatilibus concessa nunc a [[priori]] circulo superiori regulata. Mutantur enim continue hec et ita forte reuoluto circulo aliquo redibunt uel renascentur sicut prius uel ut dicit philosophus hoc est quia facile sit inuentis addere Concedamus ideo pro nunc duas ex nouem musis. scilicet. inuentionem [Eratho supra lin.] et pronuntiationem [Caliope supra lin.] in lucem magis iungere nouissimo tempore quam antiquo.

[Nouem sunt musae que hominem efficiunt sapientem harum quinque ultimae redunt hominem eloquentem. et sunt hae.
Clio. id est. uoluntas et appetitus.
Euterpe. id est. delectatio.
Melpomene. id est. perseuerantia.
Talya. id est. capacitas.
Polymnia. id est. memoria.
Erato. id est. inuentio.
Terpsicore. id est.iudicans.
Vrania. id est. celestis.
Caliope. id est. bona sonoritas. in marg.]

Deinceps meum monochordum sic diuido hoc modo. sit a b chorda posita super planum reseccata per medium in puncto I igitur ab a i ad b a diapason melior consonantiarum inuenta est

Iterum a i per aequalia diuisa in puncto q a q ad b a bis diapason adhuc meliorum sonabit.

Ac si rursus a q per aequalia diuideretur surgeret tunc diapason de eodem genere multiplici et sic ultra quantumlibet diuidenti et auris consonantiam comprehendere [f.15v] poterit et in hoc uirtus intellectiua superat sensitiuam. Si igitur meliores consonantiae notae fuerint et sint in alio gradu certitudinis aliae assequentur eas.

Et diuidatur iterum a b chorda in tres partes proportionales proportio tripla ita 1/3 sit b f f a uero 2/3 contineri igitur a f ad a b meliorem extra genus multiplicis generat diapente necessarium iam igitur est diatessaron inuentum esse cum diapente non differat a diapason nisi per unicam diatessaron per quartam primae et est in chordis a i a f sed sic inuenies hanc in a b sic iterato a b per quattuor aequalia distinguatur quarum vna sit b e alias uero tres in se contineat a e itaque a e ad a b diatessaron facit sonum.

Consonantijs igitur signatis restat tonos et semitonia repperire per quae fit elleuatio et depositio accentus grauis et acuti ad consonantias harmoniae a b chordae sit prima nona pars b c tunc a c ad a b per tonum unicum eleuatur a c quae chordae sit adhuc 1/9 pars c d erit ad b a dittonus manifestus iamque d e minus semitonium notum inuenitur in chorda a d et a c et per consequens a c ad a b dittonus cum semitonio minori quod unico nomine diatessaron appellatur et consequenter tu iam habes trittonum cum semitonio in a f a b uidelicet diapente.

Preterea a f pars chordae a b sit nona pars f g erit a g ad a b tonus cum diapente aut dittonus cum diatessaron.

Et rursus chordae a e sit 1/4 pars e h erit igitur a h ad a e diapason et per consequens a h ad a b bis diapason manifesta igitur et a h ad a i minus semitonium inuentum est. igitur nona pars redit ad diapason.

Notandum prius in omni diuisione sunt 5 toni cum duobus minoribus semitonijs ut uisum est. Cum igitur semel diapason quantum ad sui intrinseca diuisa sit eodem modo per reiterationem bis diapason diuidi necesse est.

Continet autem hoc instrumentum 19 chordas. scilicet. bis diapanson cum diapente licet possibile sit ulterius augumentare et est in figura ortogonij dupli quantum ad duo sui latera sed triplum non sub una linea cadere potest si maxime accedit ad circumferentiam super duo puncta descripta potest tamen in alijs figuris describi cum quadratis aequilateribus uel oblongis circularibus concauis siue planis et sic in uirtute monochordum in se continet omnia genera musicorum diuersas tamen figuras ad quas potest hoc monochordum transferre exempli gratia describere tibi uolo cuius lineae aut chordae coniunctae sunt secundum ordinem sequentis figurae.

[f.16r] [Milan, Bibl. Ambr., H.165inf., f.16r; text: b, c, d, e, f, g, h, i, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, a, v] [MURMUSM 10GF]

Theorica musicae Ioannis de Muris Parisius edita explicit feliciter. quam ego Franchinus Gaforus musicae professor propria manu scripsi die primo Ianuarij 1499.