Back to top

[f.48r] Tractatus de musica.

EEt si bestialium voluptatum per quas gustus et tactus suis irrefrenatis inpetibus intellcium deiciunt non inmerito vituperentur excessus Iuxta illud Aristotelis primo ethicorum Multi quidem ergo bestiales vitam pecudum eligentes Non propter hoc visus et auditus qui preuiorum et ampliorum ministerii commoditate intellectui subseruiunt ordinata et moderata dampnantur oblectamenta dicente Aristotele quarto ethicorum de homine temperato Quecumque autem ad sanitates aut ad bonam habitudinem existencia prosequuntur moderate ut oportet Visu eciam in nonnullo super auditum laudato eo quod maxime cognoscere nos facit et multas rerum differentias nobis ostendit. Nichilominus experiencia teste voces et oracio soni humani artificii subtilitate compositi auditus anminiculo dulcissimas intellcium iocunditates adducunt et post seriosorum operum labores quos non potest continue humana tolerare natura honestissime quietis beneficium tribuunt intendenti quos et forsitan voluit poetice significare Vlixes secundum recicacionem Aristotelis octauo politicorum cum dixit optimam esse deductionem quando gaudentibus hominibus congregati super cuncta audiunt symphoniam. Quantam insuper efficaciam super humanos appetitus ad diuersa morum genera transmutandos soni armonicii contineant. eleganter docuit Boecius in prologo sue musice. Ad inspectionem cuius cui cura fuerit se conuertat Ibidem eciam videre poterit. quanta debet esse cura viris politicis de bona morata musica conseruanda Vnde quia istis diebus libri antiquorum philosophorum nedum de musica sed de ceteris mathematicis pluribus non leguntur et ob hoc accidit eos tamquam in intelligibiles aut nimis difficiles abhorreri. Visum est michi bonum ut ex musica Boecii quantam secundum vires michi datas per studui eamque fauente deo aliqualiter intellexi tractatum breuem elicere In quo conclusiones pulcherimas et essencialiores ad ipsam artem musice pertinentes cum sermonis claritate et euidencia [[f]] sincere manifestare conabor.

OMnem doctrinam et omne [omme ante corr.] disciplinam ex preexistenti cognitione fieri Ante cognicionem sensitiuam non aliam inveniri. Experiencie multiplici in termino status acquiescere Experienciam circa res sensibiles artem facere Artem Pytagoram nobis monstrasse sonorum. [Artem sonorum d[e Pyta]gare in marg. m. sec.] Antiquus Pytagoras numerorum princeps proporcionumque magister cuique a toto tempore dum viueret numerus obediuit Sicut vi numerorum singula scire intuetur nolens quippe aurium iudicio fidem de consonanciis adhibere. Tum quia non omnis auris propter complexionis naturalis etatis mutabilis disposicionisque varietatem eque bene iudicat de auditis. tum quia et si auris bene disposita quantum ad ea que contingunt circa sonum et sonorum consonantias cum sibi sit proprium non fallatur tum de proporcione sonorum discernere non est suum. sed magis est opus racionis nullis eciam deditus instrumentis eo quod omnia inconstancia et inconsulta modiceque fidei propter causas plurimas estimabat. propter [[neu]] neruorum [f.48v] aeris et spiritus irregularitatem. nec penitus priuans auditum consonanciis Nam si nullus esset auditus nulla omnino de vocibus racio [[d]] dubitabilis extitisset ymmo quasi quodam medio delatus itinere ac si de consonanciis ac armoniarum officio famulus sit auditus Iudex autem ac imperans intellectus sicut ibi ut senciat auditus propter experienciam [[d]e usibile contrario cum primam id [d]e quo scienciam et doctrinam apud [d]e ordinat intellectus per primam in marg. m. sec.] a primam eciam in nullam aliam ulterius resoluendo per secundam scilicet Pytagoras inquam quod in anxietate diu manens quomodo artem de melodiis racionabiliter inveniret quadam vice domino nutu iuxta fabrorum officinas preteriens hanc a primo [cognicionem ante corr.] in se [menta[liter] in marg. m. sec.] circonuoluens quosdam malleos super incudem mirabilem armoniam emittentes. Iam quasi attonitus exaudiuit et statim de se vehementer admirans ut quod diu que scriuerat inspiceter ad malleos est conuersus quia ab illa delectabili concordancia tractus quemadmodum adamas attrahit ferrum hominibus quasi more solito salutatis attencius incendens armoniam malleos circumspiciens sicut feruens veritatis inquisitor dubitans que [quasi ante corr.] ne ex viribus hominui tanta melodia proueniret. iussit inter se permutatim malleos singulos permutari quibus alternatis rediit symphonia sicut prius ex qua animaduertur. non in lacertis virorum sed malleorum natura tales concordias contineri tam numeri quam mensure quam ponderis racione [[R]] Numerus autem malleorum erat quinque. sed quintus fore erectus quoniam sicut inutilis [intellectus ante corr.] comparatus cuilibet dissonabat dedit tamen erectus grandem occasionem per sui dissonanciam consonancias iudicandi Nam appositis iuxta se contrariis peiora aut meliora esse videntur Consideratis igitur ponderibus reliquorum in dupla sesquialtera sesquitercia [sesquioctaua in marg. m. sec.] proporcione pondera reperta sunt quarum hanc experienciam [secundum supra lin.] disceruens domo sua instrumentis numerorum neruorum ventorum foraminum aquarum vasorum in nolis [acetabulis in marg. m. sec.] tyntinnabylis [tyntinnabilis ante corr.] tympanis numquam instanciam expertus est et tunc [animo supra lin.] [[animo]] sedatus mente gauisus in hac experiencia requieuit per terciam conceptus ex quibus experimentis [experiementis ante corr.] deductus diuersis modis variis temporibus tociens quia si in natura rei contur experienciam latuisset [distancia supra lin.] experiencius claruisset multociens experimentis ad memoriam concurrentibus [vnum supra lin.] [[Similem]] traxit [uniuersale in marg. m. sec.] quod [sibi supra lin.] fuit inicium artis et sciencie musicalis per quartam [quatuor ante corr.] hoc est prime proporcionis declaracio.

[uersus in marg. m. sec.] [uel dictum est per nu[mer]os de latere in marg. m. sec.] PRopter symphoniam subiungere vim numerorum quoniam Pytagoras sonorum consonancias per proportiones ponderis expertus est hec proposicio in numeris ostendatur quibus proporcio primo debetur Sint igitur 12.9.8.6. pondera malleorum ita quod qui 12 ponderabat ad cum qui sex erat ponderis duplus. Qui autem 12 ad eum qui nouem in proporcione sesqueterciam armoniam emittebat qui autem 8 ad 6 caudem tenebat symphoniam sed qui 12 ad octo in sesqueduplam vergebat concordiam Qui uero .9 ad .6 consonanciam conformabat caudem. Qui uero 9. ad 8. in sesqueoctaua canebat proporcione Hec sunt principia huius artis sequitur figura circulorum.

[uersus in marg. m. sec.] [per tres consonanciis in natura decantare in marg. m. sec.] IAm tres armonias perfectas esse consonantes Autor uero nutabiles consonancias [f.49r] fecit in rebus insicas et non homo preerantur consonancie antequam hominibus apparentur cui autem scilicet primo detegere voluerit Pytagoras fuit primus quod autem non sint minores tribus experienciis docuit sed si sint plures que natura noluit reuelare deus nouit fuisse tamen perfecciores usque ad nos hiis tribus nemo expertus est et sunt hee dyapason que concordiam facit duplam ut 12 ad 6 dyapente que sesqueduplam reddit symphoniam ut 12 ad 8. et 9. ad .6. et dyatesseron que sesqueterciam reddit symphoniam ut .12 ad .9 et 8. ad 6. Tonus uero qui est in sesqueoctaua. ut 9. ad 8. non est consonancia sed pars eius hec omnia possunt parum[?] consonancie racionem quam assignat Boecius esse [[Scilicet]] [Videlicet supra lin.] consonancia est dissimilium intra se vocum in vnum redacta concordia Vel sic. Consonancia est acuti soni grauisque mixtura suauiter vniformiterque auribus accidens Hee autem diffiniciones tribus predictis competunt consonanciis et non tono. in quo sit autem cuiuslibet iudex sibi ipsum ergo predicte tres armonie debentur perfecte consonancie et non tonus quare ille consonancie pocius talibus sermonibus quam aliter nominentur. modica sollicitudo debet esse cum de rebus uero de vocibus sermo fiat in arte. Ad nutigandum tamen mentes hominum aliquorum qui multum in interpretacione gaudent diccionum potest in eorum facie proici quoniam dyapason dicitur a dya [quod est duo et id est sonus quasi habens d[uplum] sonum vel a dia id est in marg. m. sec.] quod est de et pan totum quasi continens cantum totum Omnis enim cantus infra ipsam complectitur et quidquid est exterius reiteracio potest dici Similiter dyapente [dyapenste ante corr.] id est concordia de 5 vocibus Dyatesseron uero de quatuor ut in sequentibus clarius apparebit Tonus autem dicitur a [[tho]] tonando id est a sonando nisi enim sonaret nullatenus audiretur et ea aliquantulum que dicta sunt hec subscripta descriptio manifestat

[Brussels, Bibl. Roy., 1479/85, f.49r, text: diapason que dupla, diapente in proporcione sesquedupla, diapente in sesquedupla, diatesseron in sesquetercia, tonus in sesqueoctaua] [MURMSPEB 01GF]

prosa. propter melodias numeros resonare

HAs tres melodias numeros [numero ante corr.] dare clarificantes. [uersus in marg. m. sec.] Hac figura consonanciarum in musica predictarum omnia principia et conclusiones musice in virtute continetur que si essent exterius enodate tota musica nota fieret sed hec figura quasi vnum chaos in quo latitant plures forme potest satis racionabiliter appellari a qua secundum plus et minus conclusiones nobilissimas considerantes suggerant intencio etenim vnius ab ea hauriri poterit quod alter hactenus numquam vidit Que autem consonancie sunt in suis circulis figurate debent concedi pro principiis huius artis nam experiencia ex natura rey eas hominibus reuelauit. Oportet enim credere eum qui adiscit quod si non credat ad experienciam currat et cantus reddetur omni ambiguitate remota hiis itaque se habentibus intellectus iam potest huius figure misterio et inclusa mirabilia extrahere

prosa Sumpta diapente maiorem uero diapason eunde

QVe dyapente sonat dyapason habet superare. Omnis proporcio superparticularis minor est proporcione multiplici quoniam multiplex numerus continet minorem integre uel bis uel ter vel quater et sic deinceps sed superparticularis numerus numquam continet bis minorem sed semel cum aliqua sui parte ut secunda tercia quarta et sic semper augendo partes et minuendo [totum supra lin.] Consonancia [ergo supra lin.] dyapente [contentum in marg. m. sec.] in superparticulari proporcione ponatur et dyapason in multiplici per figuram circulorum ergo dyapente superatur a dyapason aut quod idem est maior est dyapason quam dyapente Quomodo autem species multiplicis augmentantur numerorum in ordine naturali species autem superparticularis ordine [f.49v] e conuerso minuentur ac si se figentur modum quantitatis continue et discrete retinet [retines ante corr.] ut patet in figura cuius figure speculacio consideranti patebit In huius figure arismetice summitate vnitas tamquam principium augmentacionis et diminucionis usque in insertum numerato situatur Nam multiplices secundum addicionem naturalem [[ss in]] [sine supra lin.] termino crescunt. Superparticulares uero naturaliter minuuntur. Si autem primam speciem multiplicis id est duplam que per duo nominatur prime speciei superperticularis id est sesquealtere que [similiter supra lin.] per duo figuratur addideris secundam speciem multiplicis id est triplam generabis Si que secundam secunde terciam [[tercie]] et sic semper et hec est mirabilis generacio numerorum [que supra lin.] continet eciam excessum cuiuslibet speciei multiplicis super quamlibet superparticularis et differencias utriusque.

[secunda proposicio uersus in marg. m. sec.] AC in plus diapente quam dyatesseron exstat [secunda diapente diatesser[on] ex ordine in marg. m. sec.] Quanto denominacio alicuius partis maior est tanto et pars minor et e conuerso ut vna [[est]] tercia denominatur a tribus et vna secunda a duobus maior est denominacio trium quam duorum quia vna tercia pars minor pars est quam vna secunda modo tam dyatesseron quam dyapente sunt in speciebus superperticularis scilicet in sesquealtera et sesquetercia partem figuram circulorum et denominacio proportionis sesquetercie in qua est dyatesseron maior est denominacione proporcionis sesquealtere in qua dyapente. ergo maior est dyapente quam dyatesseron quod requirebam.

[tercia proposicio uersus in marg. m. sec.] ET tunc dyatesseron voluti minimam resonare. [uersus Diatesseron uero minimam conclud[it] supra lin. et in marg. m. sec.] Cum non sint in natura nobis note plures hiis tribus consonanciis ut dictum est dyapente que minor est quam dyapason per primam et maior est quam dyatesseron per precedentem ergo [minor supra lin.] est inter omnes dyatesseron [nam quidquid est maiore est min[o]re et quidquid est maiore est mi[no]re in marg. m. sec.] [Ex quo in marg. m. sec.] concluditur dyapason maiorem esse dyatesseronque aliis minorem esse [et diapente cum diatesseron diapason in minore[?] supra, in, et sub lin.]

[quartum proposicio uersus in marg. m. sec.] ET dyapason habent dyapente dyatesseron iuncta create Omnis proporcio dupla ex sesquealtera et sesquetercia procreatur Nam si ex vnius numero [qui [[est]] supra lin.] ad alterum est sesquealtera sumatur tercia pars et eidem addatur exibit numerus duplus ad primum ut si 9. que est sesquealtera ad 6. addatur [oppositas in marg. m. sec.] que est tercia proveniunt 12 qui duplus est ad 6 et hoc patet in figura ista 12.9.6. Sed modo ita est quod dyapente est in sesquealtera dyatesseron in sesquetercia. ergo simul iuncta conficiunt dyapason [[q]] que in dupla proporcione formatur.

[prosa diapente per tonum dia[tesse]ron superau[it] in marg. m. sec.] [quintum proposicio uersus in marg. m. sec.] ET dyatesseron a dyapente tono superari Dyatesseron enim fit in proporcione sesquetercia dyapente autem in sesquealtera sed sesquetercia dempta a sesquealtera quoniam potest et non e conuerso eo quod sesquealtera maior est sesquetercia sicut vna secunda vna tercia remanet proporcio sesqueoctaua probacio inter 8 et 12 est proporcio sesquealtera Inter 9 et 12 sesquetercia qua ablata a sesquealtera remanet proporcio inter 8 et 9. et illa est sesqueoctaua. et ista facit tonum per figuram circulorum. ergo habetur propositum Et ut clarius apparent ea de addicione et substracione harum proporcionum ad invicem tam in genere multiplici quam in superperticulari quia solum hec consonancie quasi quodam dilectio nutu formantur vnam satis per notabilem de huiusmodi. subiungo figuram Ex hac figura patet dyatesseron id est sesqueterciam proporcionem superari tono id est proporcione sesqueoctaua. a dyapente id est sesquedupla proporcione ut in numerus 12 16 18 quod dignum est relinquere speculanti

[f.50r] IN que pares partes non posse tonum mediari. Tonus est in proporcione sesqueoctaua per figuram circulorum quia primo reperitur tonus in hiis numeris 9. 8. sed cum inter eos non sit medius numerus integrum ideo augeantur primum augmentum cuiuslibet numeri a binario sumit ortum ut patet in figura exibunt ergo per multiplicacionem 16 18 inter quos similiter manet tonus Nam regula arismetice generalis est quod si duo numeri in aliqua proporcione se habentes per numerum augeantur eundem procreata ex eisdem in eadem proporcione manebunt cum ergo inter 16 et 18 qui tonum faciunt cadit numerus integer scilicet 17 vtrum ille comparatus ad extrema facit semitonium vere videamus comparatis igitur 17 ad 16 proporcionem facit sesquedecimamsextam comparatus ad 18 proporcionem non [[facit]] reddit eandem sed minorem scilicet sesquedecimamseptimam sed si esset vere semitonium reddere deberet proporcionem eandem quare patet proposicum Item quod nec in proporcione sesquedecimasexta nec sesquedecimaseptima posset esse semitonium vere medium sic ostendo si per te. 17 ad 16 comparatus facit tonum medium scilicet in proporcione sesquedecimasexta igitur numerus qui continet 17 in eadem proporcione similiter medium toni reddens et ille est 18 cum vna 16 si autem 17 ad 16 numerus sit toni medietas vera et a 17 in 18 cum vna [[i]] 16 alia medietas per tuam ypothesym ergo a primo ad ultimam 16 in 18 cum vna 16 erit tonus quod est falsum et contra figuram circulorum Nam solum 18 et 16 facit tonum Fuit itaque proporcio sesquedecimasexta semitonio vero maior. sed quod proporcio sesquedecimaseptima non fuit vera toni medietas apparet[?] sic si parte 17 ad 18 semitonium addat verum inter quas est sesquedecimaseptima numerus continens in eadem proporcione 18 semitonium verum facit et ille est 19 cum vna 17 ergo de primo ad tercium et a 17 ad 19 cum vna 17 tonus erit quod est inpossibile sicut prius Nam 17 comparatus ad 19 cum vna 8 facit tonum cum ergo maior sit vna octaua quam una 17 sequitur quod proporcio 17 veri toni medio minor fuit Non est ergo toni medietas nec sesquedecimasexta nec sesquedecimaseptima sed inter has sequitur Amplius nulla habitudo superperticularis potest diuidi per medium id est habet medium proporcionale. sicut in proporcione geometrica quod patet [[s]] in singulis inducendo Nam inter 12 et 8 est. proporcio superperticularis sesquealtera que prima est omnium eiusdem generis specierum sed inter has nullum est medium Nam si sumantur 10 sesquequarta est ad 8. sed 7 ad 10 non est ad 12 sesquequarta ymmo dicitur sesquequinta ut [[l]] vides in figura tercia quare non est medium inter eos Et patet aliter Nam omne medium proporcionale est radix extremorum in se ductorum sed nulla habitudo superperticularis habet radicem quia multa habitudo superperticularis habet medium sed tonus est in habitudine superperticularis scilicet in sesqueoctaua quare rursus qui querit tonum propter equalia [[queru]] medicine querit dyametrum commensurari costis quod est inpossibile quod hoc sit simile declaratur Nam dyameter est maior vna costa et minor duabus nulla tamen proporcione comuni que posset excessum mensurare sic proporcio toni est maior proporcione sesquedecimasexta et minor duabus et maior sesquedecimaseptima eciam maior est duabus sesquedecimisseptimis nulla proporcione comuni mensurante excessum quod patet numeros inducendo quare secunda hec omnia in figura declarantur

[f.50v] ESt semis et duplex tonus in dyatessere vere In omni proporcione sesquetercia due proporciones sesqueoctaue integre continentur sed eciam tercia que non est perfecta ut ostendam modo dyatesseron fit in proporcione sesquetercia per figuram circulorum ergo in dyatesseron sunt due sesqueoctaue proporciones perfecte et tercia non completa ergo et duo toni cum vno imperfecto qui a musicis semitonium vnanimiter appellatur non a semis quod est dimidium sed a semis quod est imperfectum Quod autem in proporcione sesquetercia quam sibi vere dicat dyatesseron sunt due sesqueoctaue proporciones complete. et tercia incompleta sic ostendo Sint in proporcione sesquetercia isti duo numeri ut extremi 192 256. dico quod inter hos sunt due sesqueoctaue proporciones cum vna imperfecta Nam si super .192 sui octaua pars addatur exibit et 16 faciens proporcionem primam sesqueoctauam cui iterum pars octaua illius adiungatur exibit 243 secundam sesqueoctauam reddens proporcionem. sed si super 243 eius octaua pars iterum compleretur non exibit 256 sed plus scilicet 273 et vna octaua quare relinquitur pro iam notum quod inter 243 et 256 non fuit proporcio integra sesqueoctaua quare ex hiis concludo in dyatesseron duos tonos integros et vnum imperfectum id est semitonium contineri Isti predicti sunt duo numeri in quibus potest hoc ostendi et est ars [[inv]] inveniendi talis quot tonos continuos aut quot continuas sesqueoctauas proportiones vis habere tot octuplas distancias a primo octuplo qui est octo eo loco spatii quo distant ab vnitate continue proporciones sesqueoctaue quas inquiris ut duos tonos queratur a secundo octuplo qui est 64 si tres a tercio incipias Sunt ergo duo toni continui post 64 scilicet 12. 8. si ergo super 64 sua tercia pars addatur exibit dyatesseron. sed terciam non habet ideo si multiplicetur per tercia proueniunt 192 terciam habens partem post quam sunt similiter duo toni continvi sicut habet patet in figura

SEd dyapente tonos semis et tres dico tenere Iam notum est per precedentem dyatesseron ex duobus tonis et semitonio pariter integrari sed dyapente continet dyatesseron atque tonum per quintam ergo dyapente consonancia ex tribus tonis et semitonio completa est quod est propositum BIna semitonia cum quinque tonis prosidia dyatesseron constat ex duobus tonis cum vno semitonio per 7 dyapente vero ex tribus tonis cum vno solo semitonio per precedentem sed dyapason ex dyapente et diatesseron constituitur per quartam ergo dyapason ex 5 tonis et duobus semitonijs integratur nec ex hoc infertur ergo est [[s]] ex sex tonis per equipollenciam in quo plures tam antiqui quam moderni falluntur quoniam tonus non potest diuidi in duo media equalia sicut est visum per sextam

QVero toni equales sint partes sunt inequales Tonum aliquem esse inperfectum id est semitonium visum est per septimam igitur semitonium est aliqua pars toni aut igitur est vera pars media aut non per contradictionem sed non potest esse pars media per 6. ergo non media quare aut maior pars toni aut minor et cum vna pars sola tonum non constituat integralem ergo in tono sunt due partes quarum altera maior altera minor neccessario comprobatur igitur talis tonus diuidatur in duo semitonia scilicet maius minus semitonoium diuisum est quod est propositum.

ERgo semitonium minus in numeris reperiri A dyatesseron demptis duobus tonis quod remanet semitonium appellatur per 7 sed quod illud sit minor pars toni probatur ut visum fuit in septima. primi numeri inter quos apparet semitonium in dyatesseron sunt 243 et 256 quorum differencia est 13 si igitur 13 facentes semitonium et cum duplicatus tonum perfectum non attingat notum erit ipsum esse minorem vna media parte toni sed sic est quoniam si duplatur sed exibunt [f.51r] 26 qui si addatur super 243. reddit 269. qui ad 243 comparatus tonum non facit complet quod patet addita octaua parte 243 sibi ipsi exibit numerus 273 et 3 octaue qua maior est primo faciens plene tonum quare hec minor pars semitonium reperta est Amplius et per sextam visum est quod vera medietas toni est inter 16. et 17. partem sic quod maior 16. et minor 17 sed 13 comparatus ad 243 minor pars eius est quam 16. et quam 17 quoniam 13 ductus in se .16. a 17 non faciet 243 imo. minus et ductus in se .octies decies. minus est 243 Nam quidquid autem est minus minori est minus maiori Cum ergo 13 ad 243 sunt minor pars eius quam 17 et ipsa 17. non faciunt tonum medium sed minus ergo multo forcius 13 ad 243 comparatus facit minus medietate toni quare semitonium inuentum est

SEx ostendo tonos dyapason non dare plenos Sint ergo sex toni continue proportionabiles inventi secundum regulam antedictam in 7 incipiendo ab vno octuplo sicut hic in subscripta figura habetur supra quam sui pars .8. addatur exibit primus tonus cui 8. pars sui iterum adiungatur et secundus tonus producetur et ita de aliis usque ad 6. et erunt 6. toni continvi successiuo modo si supra primum addatur ipsemque exibit numerus dyapason faciens per figuram circulorum et ille est 524288. qui est minor eo numero qui faciebat sextum tonum scilicet 5314.41 quorum differencia est 7153 in qua sex toni sunt maiores dyapason quod querebam et ex hoc infertur quod cum dyapason constat ex 5. tonis et duobus semitoniis per nonam illa et semitonia esse minora quoniam si essent maiora transirent dyapason 6 tonos si vnum minus reliquum vero maius sex complete reddetur tonos cuius contrarium hic visum est ergo sunt minora ac ulterius cum dyapason dyapente et dyatesseron complectatur quod illa semitonia que sunt in hiis duobus de minoribus esse probantur

INde semitonium maius ostendere venire ostensum est per immediatam et per septimam quod primi numeri sunt 243 et 256. inter quos est semitonium primo per integra fit notum quia numquam in musica minime recepte sunt Sicut enim in geometrica linea quantalibet vti contingit sic in musica numeris quantislibet licet vti modo si super 243 octaua pars sui adiungatur. numerus tonum reddens exibit cuius differencia ad 256 pars semitonii maior erit cum iam ostensum sit 7 et 56. in 243. semitonii partem fore minorem sed 243 octauam non habet igitur per regulam arismeticam si per 8. exibit numerus octauam habens partem et erit 1944. auguatur eciam 256. per 8. et 2048 inter quos minus erit semitonium sicut prius tunc igitur super 1944 sui octaua pars addatur veniunt 2187. faciens verum tonum cuius differentia ad 2048. est 139. que maior pars est semitonij Nam illa pars est differencia inter 2048. et inter 1944. igitur maius semitonium amplius non est ignotum

NOn ex quinque tonis duplex dyatesseron esse per 7 probatum est quod diatesseron includit duos tonos cum semitonio quod aut illud sit minus semitonium et sic non reddat tonum si dupletur quod erat propositum sic ostendo dyapason ex quarta continet in se dyatesseron et dyapente sed dyapente non continet aliud semitonium quam dyatesseron quoniam non differt ab eo nisi in tono per quintam modo dyapason amplectitur 5. tonos et duo semitonia per 9 que sunt minora quoniam dyapason non complectitur sex tonos per immediatam igitur illa duo semitonia que sunt in dyatesseron et dyapente sunt minora et illud quod est in dyapente est illud quod est in dyatesseron igitur minus semitonium id est minor pars toni merito nuncupatur [f.51v] sed nulla minor pars toni tonum reddit integram duplicata ac bis sumpta non reddit integrum totum tonum sed aliter non potest poni bis dyatesseron habere quinos tonos igitur non habet 5. tonos sed quatuor cum duobus semitoniis minoribus quod volebam. Amplius hoc potest per numeros qui minime fallunt Aliter declarati sint quinque toni continvi sicut dicitur in precedenti tunc super numerum qui est fundamentum relationis sui pars tercia addatur exibit dyatesseron per figuram circulorum super quem iterum productum sui tercia pars adiungatur exibit ad eundem Similiter alia dyatesseron quare de primo ad ultimum erit bis dyatesseron sicut comparetur ille ultimus numerus faciens ad primum bis dyatesseron ad ultimum numerum facientem 5 tonum et erit minor numerus qui bis dyatesseron reddit quam numerus faciens quintum tonum igitur bis dyatesseron non continet quinque tonos Amplius hoc idem potest aliter declarari intendendo dyatesseron et remittendo sumptis enim quinque tonis continuis si super primum adiungatur sui tercia pars dyatesseron est intensa et si ab ultimo numero quintum tonum perficiente sui [[4]] quarta pars rescindatur dyatesseron exibit remissa si igitur duplex dyatesseron sit equalis 5. tonis dyatesseron intensa et remissa concurrunt in eodem numero et equali nulla differencia medietate sed non erit ita ymmo manifesta differencia patet ut potest videri in figuris

ESt ex predictis coma reperire neccesse Coma a musicis dicitur illud in quo tonus superat duo semitonia minora sui Illud autem et taliter invenitur a 6. tonis continuis secundum modum decimetercie dyapason subtrahatur reliquum est coma Nam tanta est differencia inter 6 5 tonos et duo semitonia minora que sunt in dyapason per immedietatem et inter sex tonos quod provenit ex eo quod illa duo semitonia [[minora]] que sunt in dyapason totum perficere nequeunt verbi gracia hij duo numeri 26.2144. 52.4288 reddunt dyapason quod patet si primus numerus dupletur modo differencia inter numerum sex tonorum et numerum dyapason adinplentem est differencia 7253 hec differencia est duorum minorum semitoniorum ad tonum nam si fuisset integra semitonia differencia nulla fuisset et hec differencia inter duo semitonia minora et tonum perfectum coma facit euidenter. Ex premissis demonstracionibus inferuntur 12 corollaria que sequuntur quarum 9 manifesta sunt ex assumptis ne de hiis neccessarium sit noua theorenata formare primum secundo minora semitonia tonum integrum non complere secundum duo maiora semitonia tonum integrum superare tercium maius semitonium super minus comate superhabundare Maius et minus iuncta tonum perficere duo semitonia minora cum comate tonum perficere verum semitonium in nulla proporcione manere verum semitonium in rerum natura non existere Coma in nullo numero esse Sed coma maius 75. et minus 74 hoc potest inveniri per predicta inmediata in decimatercia semitonium minus maius quam 20 ad 19 et minus quam 19 ad 18 semitonium minus maius est tribus comatibus minus uero maior quatuor semitonium maius est quatuor comatibus Maius uero 5. semitonium maiorem esse 7. comatibus minorem uero octo hec sequntur ad predicta

COnponit quadrupla proporcio Bis dyapason Consonantia. dyapason fit ex proporcione dupla per figuram circulorum igitur bis dyapason in bis dupla proporcione consistit sed hec est quadrupla igitur patet propositum. Idem patet in numeris 1 et 2 faciunt dyapason que duplata faciunt quatuor facientes dyapason bis sed quatuor sunt quadruplum vnius quare bis dyapason fit in proporcione quadrupla Quis enim dubitat si b est duplum [f.52r] ad a et c duplum ad b. quin c sit quadruplum ad a. et sicut formatur bis dyapason ita ter dyapason et quater quantum est ex natura proporcionum que sibi terminum nullum ponunt sed auditus ad iudicandum de sonis intensis et remissis terminum sibi ponit extra quem nichil audiret sicut in aliis [[vers]] sensibus contingit suo modo ut patet intuenti

SEd manet in tripla dyapason cum dyapente In quibus proporcionibus consonancie simplices ponantur iam multociens est ostensum Nam dyapason in dupla dyapente in sesquealtera formatur sed proporcio dupla et sesquealtera iuncta formant triplam proporcionem per quintam ut patet in numeris 1 2 duplam reddunt proporcionem scilicet dyatesseron et 3 sesquealteram scilicet dyapente sed tercia ad vnum triplam quare dyatesseron cum dyapente iuncta triplam faciunt proporcionem ex hac leuiter invenitur bis dyapason cum dyapente Nam breuiter omnis consonancia super dyapason non est nisi repeticio eorum que infra dyapason contenta sunt et formantur illi toni cum semitoniis similiter sicut prius ut videbitur cum omnes consonancias tam simplices quam compositas partes ac eorum partes parcium in monocordis posterius ordinabo deo dante.

NVlla fit armonia dyatesseron et dyapason Pytagorici noluerunt dyatesseron cum dyapason sonare bonam armoniam eo quod nec dulciter nec suauiter veniret ad auditum causam inquirentes invenerunt ipsam esse extra genus multiplicis et superperticularis cum tamen omnis consonancia in hiis generibus que est perfecte inventa sit ut patet per figuram circulorum Quod aut ipsa sit extra genus multiplicis et superperticularis patet ex terminis nam proporcione dupla in qua dyapason quiescit iuncta cum proporcione sesquetercia que dyatesseron format producitur proporcio superparciens scilicet dupla superbiparciens ut patet in figura numerorum verbi gracia 3 et 6 dant dyatesseron 6 et 8 dyatesseron iungantur extrema 3 et 8 in que est dyatesseron cum dyatesseron erit proporcio dupla superbiparciens vno solo tono[[i]] distans a consonancia perfecta scilicet a dyatesseron cum dyapente In hac autem tamquam imueniente Pytagorici conuenerunt Ex quo videtur fuisse intencio eorum quod dyatesseron intensa super quam intenditur dyapente non est consonancia sicut cum dyapente est intensa similiter dyatesseron intenditur licet utrobique sit dyapason in extremis Ptolomeus autem eis non assentit sed eos reprehendit asserens dyapason cum dyatesseron consonanciam esse bonam dicens quod secundum eos et secundum veritatem omnis perfecta simpliciter infra dyatesseron continetur sic quod quidquid est supra dyatesseron est reiteracio id est repeticio eorum que in dyatesseron continentur ymmo quasi vnus numerus consonans vere licet sit in duobus igitur cum dyatesseron possit intendi infra dyapason igitur et supra nec est inconueniens quod fiat in genere superparticulare secundum Ptolomeum in prima eius specie scilicet in dupla superbiparciente ut in numeris supradictis nec Boecius in sua musica nec alij musici in sua musica quos vidi hanc questionem determinant scio tamen quod est similis illi questioni vtrum dyatesseron sub dyapente id est ante dyapente sit bona et perfecta consonancia quia non est dubium quin supra dyapente optima sit et dulcis Ego autem dico si conceditur dyapente priorem dyatesseron sicut sesquedupla proporcio ante sesqueterciam concessum erit dyatesseron sub dyapente id est ante dyapente consonanciam non esse quare neque sub dyatesseron cum ibi similiter dyatesseron sub dyapente ponatur Item de natura consonanciarum ex quo fiunt ad modum numerorum et proporcionum est magis fieri per intensionem quam remissionem quare dyatesseron magis consonat post dyapente quam ante. Item prior est comparacio dyapason ad dyapente quam [ad sub lin.] dyatesseron ut prius comparantur 18 ad 8 [f.52v] quam ad 9. quoniam 8 est ante 9. quare dyatesseron post dyapente venit vnde si non esset dyapente non esset dyatesseron Item et si obicitur quod dictum est in quinto dyapente sequi dyatesseron in vno tono verum est in quantum dyatesseron est sonancia non in quantum est consonancia sed pars eius sic dico dyatesseron ante dyapente non esse consonanciam ut Pytagorici voluerunt secundum partem eius post autem dyapente consonancia debet dici et sic dyapason non ex se sed ex duabus consonanciis actu. scilicet dyatesseron et dyapente quibus duabus propositis impossibile est eam non poni ymmo forte non nisi secundum quid differt ab ambabus propter predicta figuram nota sequentem que est maius[?] 12 in hac figura sunt simplices consonancie appositis apponendis ut oportet et substractis subtrahendis quod patet titulum intuenti In hoc finita sit prima pars istius operis que de consonarum speculacione animam considerantis informat et disponit faciliter ad maiora ut ego ex solempnis doctoris Boecij doctrina potui congregare De gracia largiente et sic est finis primi. libri.

Incipit secundus liber

AD secundam uero partem divisione monocordi est accedendum in quo omnes consonancie et earum partes et partes parcium denominantur. et deinde per consequens de composicione numerorum instrumentorum et cognicione ignotorum inventioneque nouorum maximam prestat fidem || primas armonias in plano scribere vere Armonie prime et perfecte simplices dicuntur dyapason dyapente et dyatesseron modo restat istas superdatam lineam uel supra datum spacium figurare Sic a. b. linea data tamquam proporciones fundamentum eque seua [[propter]] per medium in puncto c. dyapason dulcissime resonabit Nam a b dupla est ad a. c. scindatur iterum a b. in partes 3 que erunt a d e b. d e b. in a e. uero super a b dulcem dyapente formabit quoniam a et b. ad a e sesquealteram facit proporcionem Si que a. b. in partes duas diuidatur a. f. f. c. c. g g b a g comparatum ad a b. dyatesseron adimplebit. Idemque facit b f ad b a. sic a e ad a c. eritque inventus c g tonus Sed quia eadem corda nunc ad sui partes relata est fiunt plures secundum diuisionem dictam et erunt quatuor corde sicut disposite sunt hic et debent percuti ut sonent nunc 2. nunc 3. nunc 4. si tu velis ut aures habeant consonanciam iudicare quam prius ignorabas et informacione intelligit et sensus numeraberis circa sonorum consonancias apperentes hoc est primum instrumentum quod hominibus fuit antiquitus notum et fuit martyrij instrumentum et durauit usque ad tempus Orphei tetracordum cognominatum de situacione cordarum secundum prius et posterius non est bis modo Nam prius et posterius non sunt differencie consonanciarum debitus situs numerorum videbitur. monocordio et cordarum pluralita que modo est primo

IN grauitate tonum uel acuta parte docere primo volo tonum in parte acuta formare sit sonus b ad hoc intendo alium sonum que sit dyapente in c a quo retracta dyatesseron in d. cum autem dyapente et dyatesseron differencia sit tonus repertus d b in acuta parte tonus ac in parte graui sit super b. dyatesseron intendo ad f a qua dyapente remitto ad k erit ergo k b tonus vna figuram consonanciam intendere est de sono graui acuciorem facere et remittere est de acuto facere grauiorem modo vtrobique potest fieri tonus ut dictum est et patet hoc breuiter si dyatesseron et dyapente seorsum intendatur ut 68. 69. inventus est tonus in acuta parte sed si ambe ab eodem parte remittantur inventus est in graui ut 128 et 129. hoc est intelligendum quantum ad quantitatem discretam non autem continuam et sic ille modus contrarius est precedenti sed in idem redit cum corda plus habet de quantitate continua grauior est et cum minus acucior ita que plus habet de quantitate discreta id est plures motus acucior est et cum minores grauior est et sic eadem [f.53r] proporcione manet quocumque modo sumatur

EStque semitonium paruum siue maius habere primo ad acutam partem sic potest minus semitonium inveniri sit a sonus a quo ad b dyatesseron intendatur a b rursus ad c dyatesseron sit intensa et a c usque ad d remittatur dyapente est igitur tonus d b [[sic integra dyatesseron et d. b.]] a d. intendatur dyatesseron ad e. a quo ad f dyapente. remissa sit sonus erit igitur d f cum igitur a b. sit integra dyatesseron et d b. et d [[b]] f sunt due toni sequitur quod f a. sit residuum et illud minus semitonium nuncupatur Ad partem uero grauem fiat sic sit tonus datus a quo intendantur duo toni continvi ad g. et a g dyatesseron remittatur a d. k. erit k a minus semitonium quod volebam invento minore. semitonio in parte graui et acuta restat utrobique maius semitonium invenire ad partem acutam sit 3 tonos acutos continuos intendo que sunt a b b c. c d. demum infra grauem fore dyatesseron et sit d. f et sequitur per ea que prius in parte dicta sunt quod b est minus semitonium quare d f est maius semitonium quod erat proposicum in grauem partem sit somitonium intensum minus a d et a d in [[re]] remittatur [remitatur ante corr.] tonus d e erit a e maius semitonium in graui parte hoc patet in figura

HIc propono graue uel acutum coma docere. In acuta parte coma sic habetur ab a sono maius semitonium intendatur per precedentem ad b a quo minus semitonium remittatur in c erit tunc c a coma per 15 sed ad grauem sic ab a sono minus semitonium sit intensum quod est ad d a quo maius semitonium remissum sit in e erit a c coma in graui parte repertum quod patet in figura

HIis expeditis monocordum scire velitis. In precedentibus est ostensum de speculacione consonanciarum et de eis que ac consonancias contingunt in prima parte opusculi et de eorum reductione ad sensibiles figuras que multum placent mathematicis quoniam veritas que est in intellectu per eas ad iudicium visus et auditus conformiter reducta est Cumque omnis consonancia composita sit ex tonis uel semitonijs maioribus uel minoribus uel eorum partibus ut visum est infertur iam esse conueniens ad diuisionem monocordi accedere in quo sunt omnes consonancie perfecte simplices et composite toni et semitonia et reliqua cuius diuisioni aliqua preambula preferuntur primum est omnis diuisio monocordi que in se continet inplicite et virtute omnia genera instrumentorum vadit per tecracordia omne autem tecracordum vocant musici spacium duorum tonorum cum minori semitonio et hoc est dyatesseron et rationabiliter mouentur Nam ut in precedentibus est ostensum bis dyapason ad semel dyapason reducitur dyapason aut ad dyapente cum dyatesseron [[cum]] dyapente aut dyatesseron presupponit dyatesseron autem nullam consonanciam presupponit sed tonum et semitonium huic est quod vnanimiter omnes musici tam antiqui quam moderni primum tetracordum esse dyatesseron concesserunt quoniam quilibet tonus. duas cordas requirit et similiter semitonium duas modo tritum est tamen in dyatesseron sint duo toni cum medio semitonio manifestum est quod quatuor cordas dyatesseron continere quelibet enim corda seruit pro fine vnius toni et inicio alterius preter primam et vltimam. Secundum preambulum est quod cum illud tetracordum possit reiterari ut alcius ascendunt ad dyapason sicut reiteratur dyatesseron et hoc potest contingere per tetracordium coniunctum uel disiunctum coniunctum est quando ultimum primi tetracordii est inicium secundi et sic in hiis duobus tetracordiis erunt in primo scilicet duo toni cum vno semitonio et in secundo totidem in summa igitur 4 toni cum duobus semitonijs et sunt minora ut visum est prius Et iterum super fine secundi tetracordij possit fundari tercium et sic propter [f.53v] disiunctum tetracordium est cum post ultimam cordam primi tetracordij additur corda distans ab ea per spacium toni et super eam invenitur iterum tetracordium sicut prius Notandum quod in duobus tetracordiis coniunctis sunt 7 corde sed in disiunctis octo Itemdum ex hiis quod in dyapason sunt duo tetracordia coniuncta cum vno tono sed et tantum disiuncta ista possunt augere duplicando triplando tociens placuerit augmentari Tercium preambulum est de diuisione tetracordii quod est dyatesseron antiquus tripliciter locuti sunt diuiserunt enim quidam per tonum et tonum cum semitonio ut dictum est huic quatuor cordas apponentes quarum ultima ad primam dyatesseron finiebat [finiebant ante corr.] et appellant hoc genus canendi genus dyaconicum Alij diuiserunt ipsum dyatesseron et suum dyatesseron tetracordium in semitonio minori primo et semitonio minori secundo et tribus semitonijs quatuor cordas apponentes similiter quarum prima ad ultimam dyatesseron resonabat et hunc modum dixerunt cromaticum Alij dyatesseron diuiserunt inmedietatem vnius semitonij in aliam in duos tonos cum quatuor cordis sicut prius et hoc vocant genus enarmonicum et medietatem semitonij appellant dyesim et sicut illud genus erat ex dyesi et dyesi ex duobus tonis et exempla huius triplicis generis melorum triplici figura signabo. Sed miror multum quod in partibus numeris si quod nouum partibus numeris dico ubi viget religio catholica fidelium in orbe terrarum in vsu non ceciderunt illa duo genera melodiarum cromaticum et enarmonicum sed in genere dyatonico [dyatonicon ante corr.] omnis cantus ecclesiasticus quem [[s]] invenerunt sancti patres et doctores et homines bone mentis et digne memorie et omnis cantus mensuratus per tempora certa ut in conductis modulis organis cantilenis ceterisque modulis omnisque cantus laycorum virorum et mulierum iuvenum et senum omnisque cantus omnium numerorum instrumentorum nescio quo spiritu nisi domino quodam nutu et spontanea voluntate incidit et fouetur in qualibet parte orbis terrarum in quibus angulis regionum sub qua parte celi modo latitant alia duo genera nichil plus opinor nisi quod quasi contra naturalem inclinacionem vocum hominum cantus diuisa fuerunt scio tamen quod vix aut numquam vox humana in hiis generibus concordaret nec vmquam de seipsa certa esset In instrumento tamen possibile est multum tamen non dubito quin dura et aspera iocundaque esset ista musica illorum [[c]] morum duorum hominibus inbutis in tercio genere dyaconico scilicet ut nos sumus hoc aut non ignoro quoniam posset diuidi dyatesseron eciam in quinque semitonia per maiora per minora per comata sed istud esset excedere tetracordum in figuris et cordis ut patet in predictis figuris

NVnc ego concordo cum Boecii monocordo Cum igitur hec tria genera in dyatesseron semper concurrunt sed in modum variantur nulli debet esse dubium quoniam [[dius]] diuiso monocordo secundum genus dyaconicum secundum eciam alia genera diuisum sit quare de diuisione monocordi in dyaconico genere agendum est in cuius tamen diuisione non ponitur nisi aut tonus aut semitonium minus diuisiones aut linee monocordi per litteras signabo et in cuius descripcione in plano nomina cordarum que priores inponunt et numeros ad quos proporcio consonanciarum refertur et quoniam vult Boecius quod longior corda plures partes et [[vnius]] maius spacium optinet breuiori igitur sibi maiorem numerum attribuunt et sonum grauem breuiori corde minorem numerum et acutum his fieri eque bene potest econuerso longiori eo quod pauciores motus breuiori sibi minorem numerum dare breuiori non plures numeros eo quod plures motus habet et ipse innuit in libro suo quocumque modo fiat numquam proporcio variatur primo pono diuisionem monocordi [f.54r] dyaconici secundum Boecium in quo non est nisi bis dyapason quantum ad proporcionem numerorum licet non repugnat ei [[ter]] esse ter uel quater dyapason et quoniam ex predictis habetur quo modo bis dyapason et semel et eorum consonancie sunt inveniende igitur non restat nisi figuram describere super planum et statim clarissime videtur in ea diuisio monocordij in genere dyatonico secundum Boecium ut hic patet

SEd monocordalem plane volo scribere talem Iuxta istam diuisionem quam dat Boecius de monocordi sui diuisione volo similiter diuidere monocordum solum situm mutando cordarum et numerum earumdem quoniam illa maneries canendi quo suo viguit tempore super numeros tempore. nostro sic est accidentaliter variata quod placencior est auditui quam antiqua subtiliataque multum est musica mutata per exercicium modernorum non solum litteratorum hominum in hac arte studencium audicione uel invencione sed et vulgus commune et specialiter iuvenes et eciam mulieres ad hoc mouentur nescio quare forte nisi industria naturali nunc a superiori circulo mutata mutantur continue tantum hoc et illa reuoluto forte circulo aliquo redibunt et erunt sicut prius Hoc meum monocordum diuido tali modo sit a. b. corda posita in planum secta per medium in puncto i igitur a. b. ad a. i. dyapason consonanciarum melior inventa est Item a et i per equa diuisa in q. a q. ad b a. bis dyapason de genere melioris consonabit sique rursum a q per equalia partiretur surget ter dyapason et sic ultra quam diu libuerit diuidenti et aurum consonancias poterit iudicare in hoc virtus intellectiua superat sensui nam sic igitur meliores consonancie note fiunt et sunt in primo gradu certitudinis Alie autem consequuntur eas sic diuidatur a b. corda iterum in tres partes quarum vna terciarum sit b f f a uero duas alias continebitur igitur a f ad a b. meliorem extra genus multiplicis resonat dyapente que non differt nisi per dyatesseron a dyapason per 4. prime et 3 est in cordis a i a f sed sic invenies hanc in a b. abscisa. sic iterato a b per equales 4 quarum vna quartarum sit b e. alias tres contineat in se a e itaque a e ad a b. dyatesseron sonum facit et consonanciis igitur figuratis restat tonos et semitonia reperire per que fit ascensus et descensus ad consonancias supradictas a. b. corde sint contra pars b. c tunc a c ad a b. per vnicum tonum eleuetur a c que corde sit a d c contra pars d e erit a d ad alias dytonus manifestus namque vere in cordis ad a c minus semitonium notum ei venit et per consequens a c ad a b. dytonus cum semitonio minori quod vnico nomine dyatesseron appellatur et conueniencius iam tu habes tritonum cum semitono in a f ab a b. Sed dyapente preterea a f. partis corde a b sit compars f g erit a g. ad a b. tonus cum dyapente autem dytonus cum dyatesseron rursus corde a e sit quarta pars e h. erit a h. ad a e. dyatesseron et per consequens a. h. ad a b bis dyatessaron manifesta igitur a h ad a g minus semitonium inventum est Itemque a h. h i sit compars. a i. ad a b. dyapason nota prius in cuius diuisione sunt quinque toni cum duobus semitonijs minoribus ut visum est Cum igitur semel dyapason ad sui intrinseca diuisa sit eodem modo per reiteracionem bis dyapason diuidere neccesse est Continet autem hoc instrumentum 19 cordas scilicet bis dyapason cum dyapente licet sit possibile ulterius augeri et in figura angulum orthogonij quantum ad duo sui latera sed tercium non sub vna linea cadere potest sed maxime accedit ad circumferenciam super tria puncta descripta potest tamen in aliis figuris describi tam quadratis equilateris uel oblongis circumiacentibus concauis siue planis et sic in virtute hoc monocordum omnia in se continet instrumenta diuersas tamen figuras potest hoc monocordum transferri exemplari cantus describere volo quorum figure sunt in hoc ordine consequentes et sic est finis huius libri