Back to top

[171] <JOHANNIS DE MURIS MUSICA SPECULATIVA SECUNDUM BOETIUM>

<PROLOGUS>

Etsi bestialium voluptatum, per quas gustus et tactus suis irrefrenatis impetibus intellectum deiciunt, non immerito vituperentur excessus (iuxta illud Aristotelis primo Ethicorum: "multi quidem igitur bestiales vitam pecudum eligentes . . . "), non propter hoc visus et auditus, qui purioris et amplioris ministerii commoditate intellectui subserviunt, ordinata et moderata damnantur oblectamenta (dicente Aristotele tertio Ethicorum de homine temperato: "quaecumque autem ad sanitatem aut bonam habitudinem existentia presequitur moderate, ut oportet".); visu etiam in nonnullo super auditum laudato, eo quod maxime cognoscere nos facit et multas rerum differentias nobis ostendit. Nihilominus experientia teste voces et omnino soni humani artificii subtilitate compositi auditus adminiculo dulcissimas intellectui iocunditates adducunt. Et post seriosorum operum labores, quos non potest continue humana tolerare natura, honestissimae quietis beneficium tribuit intendenti. Quod et forsan poetice voluit significare Ulixes secundum recitationem Aristotelis octavo Politicorum, cum dixit optimam esse deductionem, quando gaudentibus hominibus congregati super tecta audiunt philomenam.

Quantam insuper efficaciam super humanos appetitus ad diversa morum genera transmutandos soni harmonici contineant, eleganter docuit Boetius in prologo suae Musicae, ad cuius inspectionem cui curae fuerit, se convertat. Ibidem etiam videre poterit, quanta debet esse cura viris politicis de bene moderata musica conservanda.

[172] Verum quia istis diebus libri antiquorum philosophorum nedum de musica, sed et de ceteris mathematicorum pluribus non leguntur et ob hoc accidit eos tamquam inintelligibiles aut nimis difficiles abhorreri, visum est mihi bonum, ut ex Musica Boetii, quam secundum vires mihi a Deo datas perstudui eamque favente Deo aliqualiter intellexi, tractatum brevem elicerem, in quo conclusiones pulchriores et essentialiores ad ipsam artem musicae pertinentes cum sermonis claritate et evidentia sententiae manifestare conabor.

[173] <PARS PRIMA>

<SUPPOSITIONES SIVE CONCEPTIONES>

Omnem doctrinam et omnem disciplinam ex praeexistenti cognitione fieri.

Ante cognitionem sensitivam non aliam inveniri.

Experientiae multiplici ut in termino status acquiescere.

Experientiam circa res sensibiles artem facere.

<PROPOSITIONES>

<Propositio prima>

Pythagoram nobis artem tradidisse sonorum

Antiquus Pythagoras, princeps numerorum, proportionum magister, cuique a toto tempore, dum viveret, numerus obedivit, sic ut vi numerorum scientiae singula niteretur--nolens quippe aurium iudicio fidem de consonantiis adhibere, tum quia non omnis auris propter complexionis naturalis aetatis mutabilis dispositionisque varietatem aeque bene iudicat de auditis, tum quia, etsi auris bene disposita quantum ad ea, quae contingunt circa sonum et sonorum consonantias, cum sibi sit proprium, non fallatur, tamen de proportione sonorum discernere non est suum, sed magis est opus rationis; nullis etiam deditus instrumentis, eo quod omnia inconstantia et inconsulta modicaeque fidei propter causas plurimas aestimabat, videlicet propter nervorum, aeris, spiritus varietatem; neque penitus privans auditum consonantiis, nam si nullus esset auditus, nulla omnino de vocibus ratio dubitabilis extitisset; immo quasi quodam medio delatus itinere, ac si de consonantiis vel harmoniarum officio famulus sit auditus, iudex autem ac imperans intellectus sit ibi, ut sentiat auditus per experientiam sensibili cognitione prima id, de quo scientiam et doctrinam apud se ordinet intellectus per primam conceptionem, ipsam in nullam aliam ulterius resolvendo per secundam--Pythagoras, inquam, in anxietate diu manens, quomodo artem de melodiis rationabiliter inveniret, quadam vice divino nutu iuxta fabrorum officinas praeteriens, hanc cognitionem in se mentaliter circumvolvens, quosdam malleos super incudem ferientes, mirabilem harmoniam emittentes, iam quasi attonitus exaudivit et statim ad se vehementi [174] admiratione attraxit. Ut <autem> quod diu quaesiverat, inspiceret, ad malleos est conversus, quasi ab ista delectabili concordia tractus, quemadmodum adamas attrahit ferrum, hominibusque more solito salutatis attentius intuens harmoniam, malleos circumspiciens, sicut fervens veritatis inquisitor, dubitansque, ne ex viribus hominum tanta melodia proveniret, iussit inter se malleos permutatim singulos permutari, quibus alternatis rediit eadem symphonia sicut prius. Ex quo animadvertit non in lacertis virorum, sed in natura malleorum tales concordantias contineri tam numeri quam mensurae quam ponderis ratione.

Numerus autem malleorum erat quinque, sed quintus foras eiectus, quoniam, sicut inutilis, comparatus cuilibet dissonabat, dedit tamen, ecce res grandis, occasionem per sui dissonantiam consonantias iudicandi. Nam appositis iuxta se contrariis peiora aut meliora sensibus esse videntur. Consideratis itaque ponderibus reliquorum in dupla, sesquialtera, sesquitertia, sesquioctava proportione pondera reperta sunt. Quare hanc experientiam discernens domo sua in instrumentis nervorum, ventorum, foraminum, aquarum, vasorum, in nolis, acetabulis, tympanis, tintinabulis nunquam instantiam percipiens repertus est. Et tunc, animo sedatus, mente gavisus, in hac experientia requievit per tertiam conceptionem. Ex quibus experimentis, deductis diversis modis variisque temporibus (tenens, quod si in natura rei contra experientiam latuisset, experientia claruisset), multotiens ad memoriam concurrentibus, unum traxit universale, quod fuit initium artis et scientiae musicae per quartam. Haec est primae propositionis declaratio.

<Propositio secunda>

Propter symphoniam subiungere vim numerorum.

Quoniam Pythagoras sonorum consonantias per proportiones ponderum expertus est, haec proportio in numeris ostendatur, quibus proportio primo debetur. Sint igitur 12 9 8 6 pondera malleorum, ita quod qui 12 ponderabat ad eum qui erat 6 ponderum duplus erat. Qui autem 12 ad eum qui 9 in proportione sesquitertia harmoniam emittebat. Qui vero 8 ad 6 eandem canebat symphoniam. Sed qui 12 ad 8 in sesquialteram vergebat concordiam. Qui vero 9 ad 6 consonantiam formabat eandem. Qui 9 ad 8 in sesquioctava proportione canebat. Haec sunt principia huius artis.

[175] <Propositio tertia>

Iam tres harmonias perfectas esse sonantes.

Auctor naturae mirabiles consonantias fecit rebus insitas et non homo. Praeerant enim consonantiae, antequam hominibus apparerent. Cui autem se primo deducere voluerunt, Pythagoras primus fuit. Quod autem non sint pauciores tribus, experientia docuit. Sed an sint plures quam natura voluit revelare, Deus novit. Perfectiores tamen usque ad nos his tribus nemo expertus est. Et sunt hae: diapason, quae concordantiam facit duplam, ut 12 ad 6; diapente, quae sesquialteram canit harmoniam, ut 12 ad 8 et 9 ad 6; diatessaron, quae sesquitertiam reddit symphoniam, ut 12 ad 9 et 8 ad 6. Tonus vero, qui est in sesquioctava, ut 9 ad 8, non est consonantia, sed pars eius.

Haec omnia firmari possunt per consonantiae rationem, quam assignat Boetius esse talem: consonantia est dissimilium inter se vocum in unum redacta simul concordia. Vel sic: consonantia est acuti soni gravisque mixtura suaviter uniformiterque auribus accidens. Hae autem definitiones praedictis tribus consonantiis competunt et non tono. In quo sit auris cuiuslibet iudex sibi ipsi. Ergo praedictae tres harmoniae dicuntur perfectae consonantiae et non tonus.

Quare autem istae consonantiae talibus sermonibus potius quam aliter nominentur, modica solicitudo debet esse, cum de rebus, non de vocibus, sermo fiat in arte. Ad mitigandum tamen mentes aliquorum, qui multum in interpretatione gaudent dictionum, potest in eorum faciem proici, quod diapason dicitur a dya, quod est duo, et pason, quod est sonus, quasi habens duplum sonum; vel dicitur a dia, quod est de, et pan, id est totum, quasi continens totum cantum. Omnis enim cantus infra ipsam amplectitur et quicquam est exterius, reiteratio potest dici. Similiter diapente, id est concordantia de quinque vocibus. Diatessaron vero de quattuor, ut in sequentibus clarius apparebit. Tonus autem dicitur a tonando, scilicet sonando, nisi enim sonaret, nullatenus audiretur. Et ea aliquantulum, quae dicta sunt, haec subiecta descriptio manifestat:

[176] [Muris, Musica speculativa, 176; text: diapason in proportione dupla, diapente in sesquialtera, diapente in sesquialksos, diatessaron in sesquikrtia, tonus in sesquiatona, diatessaron in sesquikotra, 6, 8, 9, 12, <Figura A>] [MURMSPEW 01GF]

<Propositio quarta>

Has tres melodias numeros dare clarificantes.

Haec figura consonantiarum in musica perfectarum omnia principia et omnes conclusiones musicae continet in virtute. Quae si essent exterius enodatae, tota musica nota foret. Sed haec figura quasi unum chaos, in quo latitant plures formae, potest satis rationabiliter appellari. A qua secundum plus et minus conclusiones nobilissimas consideranti suggerat intellectus. Unus enim ab ea haurire poterit, quod alter hactenus numquam vidit. Quae autem de consonantiis sunt in suis circulis figurata, debent concedi pro principiis huius artis, nam experientia ex natura rei eas hominibus revelavit. Oportet enim concedere, eum qui discit, quod si non credat, ad experientiam currat et certus reddetur omni ambiguitate remota. His itaque sic se habentibus iam tempus est huius figurae misteria et inclusa mirabilia extrahere sigillatim.

[177] <CONCLUSIONES>

<Conclusio prima>

Quae diapente sonat, diapason habet superare.

Omnis proportio superparticularis minor est proportione multiplici, quoniam multiplex continet minorem integre, ut bis vel ter vel quater et sic deinceps; sed superparticularis numerus numquam continet bis minorem, sed semel cum aliqua sui parte, ut media, tertia, quarta et cetera, semper augendo partes et minuendo proportiones. Et consonantia diapente in superparticulari proportione notatur. Et diapason in multiplici per figuram circulorum. Ergo diapente superatur a diapason aut, quod idem est, maior est diapason quam diapente. Quomodo autem species multiplicis augmentantur numerorum in ordine naturali, species autem superparticularis ordine contrario minuuntur, ac si se fingerent modum et naturam quantitatis continuae et discretae retinere, patet in hac figura

[Muris, Musica speculativa, 177; text: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, <Figura B>] [MURMSPEW 01GF]

[178] Cuius figurae speculatio consideranti patebit. In huius figurae arithmeticae summitate unitas tamquam principium augmentationis et diminutionis usque in infinitum merito situatur. Nam multiplices secundum additionem naturalem sine termine crescunt, superparticulares vero naturaliter minuuntur. Si autem primam speciem multiplicis, id est duplam, quae per duo notatur, primae speciei superparticularis, id est sesquialterae, quae similiter per binarium figuratur, addideris, secundam speciem multiplicis, id est triplam, generabis; sique secundam secundae, tertiam, et sic semper. Et haec est mirabilis generatio numerorum. Continet etiam haec figura excessum cuiuslibet speciei multiplicis super quamlibet superparticularis et differentias utriusque.

<Conclusio secunda>

Ac in plus diapente quam diatessara stare.

Quanto denominatio alicuius partis maior est, tanto est pars minor et econtra, ut una tertia denominatur a tribus et una secunda a duobus. Maior est denominatio tertiae quam secundae, quare una tertia minor est pars quam una secunda. Modo tam diatessaron quam diapente sunt in speciebus superparticularibus, scilicet in sesquialtera et in sesquitertia per figuram circulorum. Et denominatio proportionis sesquitertiae, in qua est diatessaron, maior est denominatione proportionis sesquialterae, in qua est diapente. Et ergo maior est diapente quam diatessaron, quod querebam.

<Conclusio tertia>

Et diatessara tunc veluti minimam resonare.

Cum non sint in natura nobis notae plures his tribus consonantiis, ut dictum est, diapenteque minor est quam diapason per primam et maior quam diatessaron per praecedentem, ergo minor inter omnes est diatessaron. Nam quicquid est minus minore, est minus maiore. Et quicquid est maius maiore, est maius minore. Ex quo concluditur diapason maiorem esse aliis, diatessaronque minorem.

[179] <Conclusio quarta>

Et diapason habent pente tessera iuncta creare.

Omnis proportio dupla ex sesquialtera et sesquitertia procreatur. Nam si unius numeri, qui ad alterum est sesquialter, sumatur tertia pars et eidem addatur, exibit numerus ad primum duplus; ut si 9, qui est sesquialter ad 6, addatur tertia pars, quae est 3, proveniet 12, qui duplus est ad 6; et hoc patet in figura primae. Sed nunc ita est, quod diapente est in sesquialtera, diatessaron in sesquitertia, ergo simul iuncta conficiunt diapason, qui in dupla proportione formatur.

<Conclusio quinta>

Et diatessaron a diapente tono superari.

Diatessaron enim fit in proportione sesquitertia, diapente vero in sesquialtera. Sed sesquitertia dempta a sesquialtera (quoniam potest et non econtra, eo quod sesquialtera maior est sesquitertia, sicut una secunda maior est tertia) remanet proportio sesquioctava. Probatio: inter 8 et 12 est proportio sesquialtera, interque 9 et 12 sesquitertia, qua sublata a sesquialtera remanet proportio inter 8 et 9. Et ista est sesquioctava; et ista facit tonum per figuram circulorum. Ergo habetur propositum.

Et ut clarius appareat de additione et subtractione harum proportionum ad invicem tam in genere multiplici quam in superparticulari, in quibus solum hae consonantiae quasi divino nutu formantur, unam satis notabilem de huiusmodi speciebus subiungo figuram. Ex hac figura patet diatessaron, id est sesquitertiam proportionem, superari tono, id est proportione sesquioctava, a diapente, id est sesquialtera proportione, ut patet in numeris, ut 12 16 18, quod dignum est relinquere speculanti.

[180] [Muris, Musica speculativa, 180; text: dupla, tripla, quadrupla, quintupla, sescupla, septupla, octupla, nonupla, decupla, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, sesquialtera, diapente, diatessaron, tonus, <Figura C>] [MURMSPEW 02GF]

<Conclusio sexta>

Inque pares partes non posse tonum mediare.

Tonus est in proportione sesquioctava per figuram circulorum, quia primo reperitur tonus in his numeris 8 9. Sed cum non sit inter eos medius numerus integrorum, ideo augeantur. Primum augmentum cuiuslibet numeri a binario sumit ortum, ut patet in figura quintae. Exibunt ergo per multiplicationem 16 et 18, inter quos similiter manet tonus. Nam regula arithmeticae est generalis, quod si duo numeri in aliqua proportione se habentes per numerum augeantur eundem, procreata ex eis in eadem proportione manebunt. Cum ergo inter 16 et 18, qui tonum faciunt, cadat numerus integer 17, utrum ille comparatus ad extrema faciat vere semitonium, videamus. Comparatus ergo 17 ad 16 proportionem facit sesquisextam decimam. Comparatus autem ad 18 proportionem non reddit eandem, sed minorem, scilicet sesquiseptimam decimam. Sed si esset vere semitonium, eandem deberet reddere proportionem. Quare linquet propositum.

Item quod nec in proportione sesquisexta decima nec in sesquiseptima decima possit esse vere semitonium, sic ostendo. Si per te 17 ad 16 comparatus facit toni medium, scilicet in proportione sesquisexta decima, numerus, qui continet 17 in eadem proportione, similiter medium toni redderet. Et iste est 18 cum una sexta decima. Si ergo a 16 in 17 sit toni medietas vera, et a 17 in 18 cum una sexta decima alia medietas per tuam hypothesim, ergo a primo ad ultimum, a 16 in 18 cum una sexta decima tonus erit, quod falsum est et contra figuram circulorum. Nam solum 18 ad 16 facit tonum. Fuit itaque proportio sesquisexta decima semitonio vero maior.

Sed quod proportio sesquiseptima decima non sit vera toni medietas, apparet sic. Si per te 17 ad 18 semitonium reddat verum, inter quos est [181] sesquiseptima decima proportio, numerus continens in eadem proportione 18 semitonium verum dabit; et ille est 19 cum una septima decima. Ergo de primo ad tertium, de 17 ad 19 cum una septima decima, tonus erit, quod est impossibile, sicut prius. Nam 17 comparatus ad 19 cum una octava facit tonum. Cum ergo maior sit una octava quam una septima decima, sequitur, quod proportio sesquiseptima decima vero tono medio minor fuit. Non est ergo toni medietas nec sesquisexta decima nec sesquiseptima decima, sed inter has duas.

[Muris, Musica speculativa, 181; text: plus sesquioctava, proportio sesquioctava, minor sesquioctava, nec est sesquioctava, sesquisexta decima, sesquiseptima decima, differentia, 16, 17, 18, 18 1/16, 19 1/17, 19 1/8, 136, 144, 153, 256, 272, 288, 289, 306, 324, 325 1/8, 2312, 2448, 2592, 2601, <Figura D>] [MURMSPEW 02GF]

Amplius nulla habitudo superparticularis potest dividi per medium proportionale, sicut in proportione geometrica, quod patet in singulis inducendo. Nam inter 12 et 8 est proportio superparticularis sesquialtera, quae est prima omnium eiusdem generis specierum, sed inter hos nullum est medium. Nam si sumatur 10, sesquiquarta est ad 8, sed ad 10 non est 12 sesquiquarta, immo dicitur sesquiquinta, ut vides in figura quintae. Quare 10 non est medius inter eos. Et patet aliter. Nam omne medium proportionale est radix extremorum in se ductorum. Sed modo nulla proportio superparticularis habet radicem, quare nulla habitudo superparticularis habet medium. Sed tonus est in habitudine superparticulari, scilicet in sesquioctava, quare et cetera.

Rursus qui quaerit tonum per aequalia mediare, quaerit diametrum commensurare costae, quod est impossibile. Quod hoc sit simile, declaratur. Nam sicut diameter est maior costa et minor duabus nulla tamen proportione communi, quae possit excessum mensurare, sic proportio toni maior est proportione sesquisexta decima et minor duabus, et maior sesquiseptima decima et minor duabus sesquiseptimis decimis, nulla tamen proportione communi mensurante excessum, quod patet per numeros inducendo. Quare et cetera. In figuris haec omnia declarantur.

[182] <Conclusio septima>

Est semis et duplex tonus in diatessara vere.

In omni proportione sesquitertia duae sesquioctavae integrae continentur, sed et tertia, quae non est perfecta, ut ostendam. Modo diatessaron fit in proportione sesquitertia per figuram circulorum, ergo in diatessaron sunt duae sesquioctavae proportiones perfectae et tertia non completa. Ergo et duo toni cum uno imperfecto, qui a musicis semitonium unanimiter appellatur, non a semis, quod est dimidium, sed a semis, quod est imperfectum.

Quod in proportione sesquiteria, quam sibi vendicat diatessaron, sunt duae sesquioctavae proportiones completae et tertia incompleta, sic ostendo. Sint in proportione sesquitertia isti duo numeri, ut extremi: 192 et 256. Dico, quod inter hos sunt duae sesquioctavae proportiones cum una imperfecta. Nam si super 192 sui pars octava addatur, exibit 216 faciens primam proportionem sesquioctavam. Cui iterum si pars octava illius adiungatur, exibit 243 secundam sesquioctavam reddens proportionem. Sed si super 243 eius octava pars iterum copuletur, non exibit 256, sed plus, scilicet 273 et tres octavae. Quare relinquitur pro iam noto, quod inter 243 et 256 non sit proportio integra sesquioctava. Quare ex his concludo in diatessaron duos tonos integros et unum imperfectum, id est semitonium contineri.

Isti praedicti sunt primi numeri, in quibus hoc potest ostendi. Et est ars inveniendi tales harmonias talis. Quot tonos continuos aut quot continuas sesquioctavas proportiones vis habere, tot octuplos distantes a primo octuplo, qui est 8, eo loco spatii, quo distant ab unitate, invenias; ut habeantur continuae proportiones sesquioctavae, quas inquiris, ut si duas continuas quaeras, a secundo octuplo, qui est 64, si tres, a tertio incipias. Sunt ergo duo toni continui post 64, scilicet 72 et 81. Si ergo super 64 sui tertia pars addatur, exibit diatessaron. Sed tertiam non habet. Igitur si multiplicetur per 3, provenit 192 tertiam habens partem. Post quem sunt similiter duo toni continui, sicut prius. Et hoc patet in figura.

[183] [Muris, Musica speculativa, 183; text: tonus, semitonium, differentia 3 tonorum super diatessaron, ditonus, semiditonus, diatessaron sive sesquitertia proportio, Tres integri toni sive tritonus, 192, 216, 243, 256, 273 3/8, 512, 576, 648, 729, 1536, 1778, 1944, 2048, 2187, <Figura E>] [MURMSPEW 02GF]

<Conclusio octava>

Sed diapente tonos tres et semis aio tenere.

Iam notum est per praecedentem diatessaron ex duobus tonis et semitonio pariter integrari. Sed diapente continet diatessaron atque tonum per quintam. Igitur diapente consonantia ex tribus tonis et semitonio completa est, quod est propositum.

<Conclusio nona>

Bina semitonia cum quinque tonis pasodia.

Diatessaron constat ex duobus tonis cum uno semitonio per septimam. Diapente vero ex tribus tonis cum uno similiter semitonio per praecedentem. Sed diapason ex diapente et diatessaron conficitur per quartam. Igitur diapason ex quinque tonis et duobus semitoniis integratur. Nec ex hoc infertur: ergo ex sex tonis per aequipollentiam; in quo plures tam antiqui quam moderni falluntur, quoniam tonus non potest dividi in duo media aequalia, sicut patet per sextam.

[184] <Conclusio decima>

Quaero, toni quales sint partes. Sunt inaequales.

Tonum aliquem esse imperfectum, id est semitonium, visum est per septimam. Ergo semitonium est aliqua pars toni. Aut igitur est vera pars media aut non per contradictionem. Sed non potest esse pars media per sextam, ergo non media. Quare aut maior pars toni aut minor. Et cum una pars sola totum non constituat integrale, igitur in tono sunt duae partes, quarum altera maior et altera minor necessario comprobatur. Igitur cum tonus dividatur in duo semitonia, scilicet <in> maius et minus semitonium divisus est, quod est propositum.

<Conclusio undecima>

Ergo semitonium minus in numeris reperire.

A diatessaron demptis tonis duobus quod remanet, semitonium appellatur per septimam. Sed quod illud sit minor pars toni probo. Ut visum fuit in septima, primi numeri, inter quos apparet semitonium in diatessaron, sunt 243 et 256, quorum differentia est 13. Si igitur 13 faciens semitonium sit duplicatus et perfectum tonum non attingat, notum erit ipsum esse minorem vera media parte toni. Sed sic est, quoniam si duplicatur 13, exibit 26, qui additus super 243 reddit 269, qui ad 243 comparatus tonum non complet. Quod patet: addita octava parte 243 sibi ipsi exit numerus 273 et tres octavae, qui maior est primo faciens plene tonum. Quare ex his minor pars toni reperta est.

Amplius et per sextam visum est, quod vera medietas toni est inter sextam decimam et septimam decimam partem, sic quod minor est sexta decima et maior septima decima; sed 13 comparatus ad 243 minor eius pars est quam sexta decima et quam septima decima, quoniam 13 ductus in se sexies decies aut septies decies non facit 243, immo minus, et ductus octies decies minus est 243. Modo quicquid est minus minore, est minus maiore. Cum ergo 13 ad 243 sit minor pars eius quam septima decima et ipsa septima decima non facit toni medium, sed minus, ergo multo fortius 13 ad 243 comparatus facit minus medietate toni. Quare minus semitonium inventum est.

[185] <Conclusio duodecima>

Inde semitonium maius ostendo venire.

Ostensum est per immediatam et per septimam, quod primi numeri sunt 243 et 256, inter quos semitonium minus primo per integra fit notum, quia nunquam in musica minutiae receptae sunt. Sicut enim in geometria linea quantalibet uti contingit, sic in musica numeris quantislibet uti licet. Modo si super 243 sui octava pars adiungatur, numerus tonum reddens exibit, cuius differentia ad 256 pars toni maior erit, cum iam ostensum sit a 256 in 243 toni partem minorem fore. Sed 243 octavam non habet, ergo per regulam arithmeticae per octo extendatur: exibit numerus octavam habens partem et erit 1944. Augeatur tunc numerus 256 per octo, et 2048 producitur. Inter quos est minus semitonium sicut prius. Tunc ergo super 1944 sui octava pars adiungatur: veniet 2187 faciens verum tonum. Cuius differentia ad 2048 est 139, qui maior toni est pars. Nam alia pars est differentia inter 2048 et 1944. Ergo maius semitonium amplius non est ignotum. Quae autem nunc dicta sunt, praesens figura declarat.

[Muris, Musica speculativa, 185; text: Tonus, Semitonium minus, Diesis, Semitonium maius sive Apotome, differentia 13, differentia 17 3/8, differentia differentiarum, 243, 256, 273 3/8, 1944, 104, 2048, 139, 2187, 35, <Figura F>] [MURMSPEW 03GF]

[186] <Conclusio tertia decima>

Sex ostendo tonos diapason non dare plenos.

Sint ergo sex toni continue proportionales inventi secundum regulam ante dictam in septima, incipiendo a sexto octuplo, sicut hic in subscripta figura habetur; super quem si octava pars sui addatur, exibit primus tonus. Cui octava pars sui adiungatur, surget secundus tonus. Cui octava pars sui iterum adiungatur, tertius producetur et ita de aliis usque ad sextum; et erunt sex toni continui succesive. Modo si supra primum ipsemet addatur, exibit numerus faciens diapason per figuram circulorum. Et est iste 524288, qui minor est eo numero, qui sextum faciebat tonum, scilicet 531441. Quorum differentia est 7153, in qua sex toni sunt maiores diapason, quod quaerebam.

Et ex hoc infertur, quod cum diapason constet ex quinque tonis et duobus semitoniis per nonam, illa duo semitonia esse minora, quoniam si essent maiora, transiret diapason sex tonos; si vero unum minus, reliquum maius, sex complete redderet tonos, cuius contrarium hic visum est; ergo sunt minora. Ac ulterius, cum diapason diapente et diatessaron amplectatur, igitur ista semitonia, quae sunt in his duobus, de minoribus esse probantur.

[Muris, Musica speculativa, 186; text: Tonus, Duo toni continui, Tres toni continui, Quatuor toni continui, Quinque toni continui, Diapason, Sex toni continui, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 64, 512, 4096, 32768, 262144, 9, 72, 576, 4608, 36864, 294912, 81, 648, 5184, 41472, 331776, 729, 5832, 46656, 373248, 6561, 52488, 419904, 59049, 472392, 524288, 431441, <Figura G>] [MURMSPEW 03GF]

[187] <Conclusio quarta decima>

Non ex quinque tonis duplex diatessaron esse.

Per septimam probatum est, quod diatessaron includit duos tonos cum semitonio. Quod autem istud sit minus semitonium et sic non reddat tonum, si dupletur, quod erat propositum, sic ostendo. Diapason ex quarta continet in se diatessaron et diapente. Sed diapente non continet aliud semitonium quam diatessaron, quoniam non differt ab ea nisi tono per quintam. Modo diapason amplectitur quinque tonos et duo semitonia per nonam, quae sunt minora, quoniam diapason non complet sex tonos per immediatam. Ergo illa duo semitonia, quae sunt in diatessaron et diapente, sunt minora. Et istud, quod est in diapente, et istud, quod est in diatessaron, minus semitonium, id est minor pars toni, merito nuncupatur. Sed nulla pars minor totius totum reddit integrum duplicata. Quare semitonium, quod est in diatessaron, duplicatum aut bis sumptum nullum tonum integrum reddit. Sed aliter non potest poni bis diatessaron quinos habere tonos, igitur non habet quinque tonos, sed quattuor tonos cum duobus semitoniis minoribus, quod volebam.

Amplius hoc potest per numeros, qui neminem fallunt, aliter declarari. Sint quinque toni continui, sicut dicitur in praecedenti. Tunc super numerum, qui est fundamentum relationis, sui tertia pars addatur: exibit semel diatessaron per figuram circulorum. Super quem productum iterum sui tertia pars adiungatur ad eum: exibit similiter alia diatessaron. Quare de primo ad ultimum erit bis diatessaron. Igitur comparetur iste ultimus numerus faciens ad primum bis diatessaron ad ultimum numerum facientem quintum tonum: et erit minor numerus, qui bis diatessaron complet, quam numerus faciens quintum tonum. Ergo bis diatessaron non continet quinque tonos. Propter hoc vide figuram subscriptam.

[188] [Muris, Musica speculativa, 188,1; text: diatessaron, tonus, ditonus, tritonus, tetratonus, pentatonus, 32768, 36864, 41472, 43690 2/3, 46656, 52488, 58254 2/3, 59049, <Figura H>] [MURMSPEW 04GF]

Amplius hoc idem potest declarari aliter intendendo diatessaron et remittendo. Sumptis enim quinque tonis continuis si supra primum numerum sui tertia pars iungatur, diatessaron est intensa. Et si ab ultimo numerorum quintum tonum perficiente sui quarta pars rescindatur, diatesaron exibit remissa. Si ergo duplex diatessaron sit aequalis quinque tonis, ex his quinque tonis diatessaron intensa et remissa concurrent in eodem numero et aequali nulla differentia mediante. Sed non erit ita, immo manifesta differentia patet, ut videri potest in hac figura.

[Muris, Musica speculativa, 188,2; text: diatessaron intensa, diatessaron remissa, differentia, quinque toni, 32768, 36864, 41472, 46656, 52488, 59049, 596 1/12, 43690 2/3, 44286 3/4, <Figura I>] [MURMSPEW 04GF]

[189] <Conclusio quinta decima>

Est ex praemissis comma reperire necesse.

Comma a musicis dicitur illud, quo tonus superat duo semitonia minora sui. Illud autem taliter invenitur. A sex tonis continuis secundum modum tertiadecimae diapason subtrahatur: reliquum est comma. Nam tanta est differentia inter quinque tonos et duo semitonia minora, quae sunt in diapason per immediatam, et inter sex tonos. Quod provenit ex eo, quod ista duo semitonia tonum perficere nequeunt. Verbi gratia hi duo numeri 262144 et 531441 sex tonos continuos amplectuntur. Sed hi duo, 262144 et 524288, reddunt diapason. Quod patet, si primus numerus dupletur. Modo differentia inter numerum sex tonorum et numerum diapason adimplentem est 7153. Et haec est differentia duorum minorum semitoniorum ad tonum. Nam si fuissent integra semitonia, differentia nulla fuisset. Et haec differentia inter duo semitonia minora ad tonum perfectum comma facit evidenter.

Ex praemissis demonstrationibus inferri possunt corollaria, quae sequuntur, quae quasi manifesta sunt ex assertis, ne de his nova theoremata formare sit necessarium. Primum: duo minora semitonia tonum integrum non complere. Secundum: duo maiora semitonia iuncta tonum integrum superare. Tertium: maius semitonium super minus commate abundare. Quartum: maius semitonium et minus iuncta tonum perficere. Quintum: duo semitonia minora cum commate tonum perficere. Sextum: verum semitonium in nulla proportione manere. Septimum: verum semitonium in rerum natura non existere. Octavum: comma in numero nullo esse, sed maius 75 et minus 74; hoc potest inveniri per dicta immediate in tertiadecima. Nonum: semitonium minus maius est quam 20 ad 19 et minus quam 19 ad 18. Decimum: semitonium maius maius est quam 15 <ad> 14, minus quam 14 ad 13. Undecimum: semitonium minus maius esse tribus commatibus, minus vero quattuor. Duodecimum: semitonium maius maius est quattuor commatibus, minus vero quinque. Tertium decimum: tonum maiorem esse octo commatibus, minorem vero novem. Haec sequuntur ad praedicta.

[190] [Muris, Musica speculativa, 190; text: diapason, comma, sex toni, 262144, 524288, 7153, 531441] [MURMSPEW 04GF]

<Conclusio sexta decima>

Componit quadrupla proportio bis diapason

Consonantia diapason fit ex proportione dupla per figuram circulorum. Ergo diapason bis in bis dupla proportione fiet, sed haec est quadrupla. Quare patet propositum. Patet idem in numeris: 1 et 2 causant diapason, quae duplata faciunt 4 facientes diapason bis; sed 4 sunt quadruplum unius. Quare bis diapason fit in quadrupla proportione. Quis enim dubitat, si b sit duplum ad a et c duplum ad b, quin c sit quadruplum ad a? Et sicut formatur bis diapason, ita ter diapason et quater, quantum est ex natura proportionum, quae sibi terminum nullum ponunt. Sed auditus ad iudicandum de sonis intensis et remissis terminos sibi ponit, extra quos terminos nihil audiret, sicut in aliis sensibus contingit suo modo, ut patet intuenti.

<Conclusio septima decima>

Sed manet in tripla diapason cum diapente

In quibus proportionibus consonantiae simplices ponuntur, iam multoties est ostensum. Nam diapason in dupla, diapente in sesquialtera formatur. Sed proportio dupla et sesquialtera iunctae formant triplam proportionem per quintam. Et patet in numeris: 1 et 2 duplam reddunt proportionem, scilicet diapason, 2 et 3 sesquialteram, scilicet diapente, sed 3 ad 1 triplam. Quare diapason cum diapente iuncta triplam facit proportionem. Ex hoc leviter invenitur bisdiapason cum diapente. Nam breviter omnis consonantia supra diapason non est nisi repetitio eorum, quae infra diapason contenta sunt. Et formantur ibi toni cum semitoniis, [191] similiter sicut prius, ut videbitur, cum omnes consonantias tam simplices quam compositas ac eorum partes ac partium partes in monochordo posterius ordinabo Deo dante.

<Conclusio octava decima>

Nulla fit harmonia diatessaron cum diapason

Pythagorici noluerunt diapason cum diatessaron sonare bonam harmoniam, eo quod non dulciter neque suaviter veniret ad auditum. Causam inquirentes invenerunt ipsam esse extra genus multiplicis et superparticularis, cum tamen omnis consonantia perfecta in his generibus inventa sit, ut patet per figuram circulorum. Quod autem ipsa sit extra genus multiplicis et superaprticularis, patet ex terminis. Nam proportione dupla, in qua diapason quiescit, iuncta cum proportione sesquitertia, quae diatessaron format, producitur proportio dupla superbipartiens, ut patet in figura numerorum quintae. Verbi gratia 3 et 6 dant diapason, 6 et 8 diatessaron, extrema iungantur, 3 et 8, in quibus est diapason cum diatessaron: exit proportio dupla superbipartiens uno solum tono distans a consonantia perfecta, scilicet a diapason cum diapente. In hoc autem tamquam in inconvenienti Pythagorici quieverunt, ex quo videtur fuisse intentio eorum, quod diatessaron intensa, super quam intenditur diapente, non sit consonantia, sicut cum diapente est intensa, super quam diatessaron intendatur, licet utrobique sit diapason in extremis.

Ptolemaeus autem non assentit eis, sed eos repraehendit asserens diapason cum diatessaron consonantiam esse bonam; dicens, quod cum secundum eos et secundum veritatem omnis perfecta consonantia simplex infra diapason continetur, sic quod quicquid est supra diapason, est reiteratio, id est repetitio eorum, quae in diapason continentur, immo quasi unus numerus sonans videtur, licet sit in duobus. Ergo cum diatessaron possit intendi infra diapason, igitur et supra; nec est inconveniens, quod fit in genere superpartienti, secundum Ptolemaeum, in prima eius specie, scilicet in dupla superbipartienti, ut in numeris praedictis. Nec Boetius in sua Musica nec alii musici, quos viderim, hanc quaestionem determinant. Scio tamen, quod est similis illi quaestioni, utrum diatessaron sub diapente, id est ante diapente, sit consonantia, quia non est dubium, quin supra diapente optima sit et dulcis.

Ego autem dico: si conceditur diapente priorem esse diatessaron, sicut sesquialtera proportio ante sesquitertiam, concessum erit diatessaron sub diapente, id est ante diapente, non consonantiam esse, quare neque supra [192] diapason, cum ibi similiter diatessaron sub diapente ponatur.

Item de natura consonantiarum, ex quo fiunt ad modum numerorum et proportionum, est magis fieri per intensionem quam remissionem. Quare magis consonat diatessaron post diapente quam ante.

Item prior est comparatio diapason ad diapente, quam ad diatessaron, ut prius comparatur 12 ad 8 quam ad 9, quoniam 8 est ante 9. Quare diatesseron post diapente venit. Unde si non esset diapente, non esset diatessaron.

Item si obicitur, quod dicitur in quinta: "diapente sequi diatessaron in uno tono", verum est, in quantum est diatessaron sonantia, non in quantum consonantia. Item tonus praecedit et tamen non est consonantia, sed pars eius.

Sic dico diatessaron ante diapente non esse consonantiam, ut Pythagorici voluerunt, sed partem eius; post autem diapente consonantia debet dici. Et sic diapason non ex se est, sed ex duabus consonantiis actu, scilicet diatessaron et diapente, quibus duabus positis impossibile est illam non poni, immo forte non nisi secundum quid differt ab ambabus.

Propter praedicta figuram nota sequentem:

[Muris, Musica speculativa, 192; text: diapason, diapente, diatessaron, tonus, diapason cum diatessaron, diapason cum diapente, duplex diapason, dupla, tripla, quadrupla, 3, 6, 8, 9, 12, <Figura K>] [MURMSPEW 05GF]

In hac figura sunt simplices consonantiae et compositae appositis apponendis, dum oportet, subtractis subtrahendis, quod patet titulos intuenti. In hoc autem finita sit prima pars huius operis, quae de consonantiarum speculatione animum considerantis informat et disponit faciliter ad maiora, ut ego ex sollemni doctoris Boetii doctrina potui congregare divina gratia largiente.

[193] <PARS SECUNDA>

Ad secundam partem de divisione monochordi nunc accedendum est, in quo omnes consonantiae et earum partes et partes partium denotantur, ac inde per consequens de compositione variorum instrumentorum et cognitione ignotorum, inventioneque novorum maximam praestat fidem.

<Propositio prima>

Primas harmonias in plano scribere vere

Harmoniae primae et perfectae simplices dicuntur diapason, diapente, diatessaron. Modo restat istas super datam lineam vel super assignatum spatium figurare. Sit a b data linea, tamquam proportionis fundamentum. Ea secta per medium in puncto c diapason dulcissime resonabit: nam a b dupla est ad a c. Scindatur iterum a b in tres partes, quae sint a d d e e b: a e super a b dulcem diapente formabit, quoniam a b ad a e sesquialteram facit proportionem. Sique a b in partes quattuor dividatur in punctis a f f c c g g b, a g comparatum ad a b diatessaron adimplebit. Idemque faciet b f ad a b sive a e ad a c: eritque inventus e g tonus. Sed quoniam eadem chorda nunc ad sui partes relata est, fiant plures secundum divisionem dictam. Et erunt quattuor chordae sic dispositae, sicut sunt hic:

[194] [Muris, Musica speculativa, 194; text: dupla, tripla, quadrupla, diapente, diatessaron, diapason, tonus, a, b, c, d, e, f, g, <Figura L>] [MURMSPEW 05GF]

Et debent percuti, ut sonent nunc duae, nunc tres, nunc quattuor. Si tu velis, ut auris habeat consonantiam iudicare, quam prius ignorabas, et informatione intellectus et sensus, miraberis circa sonorum consonantias apparentes, tunc mirabiles consonantias naturales iudicabis. Hoc est primum instrumentum, quod hominibus antiquitus fuit notum. Et fuit instrumentum Mercurii et duravit usque ad tempus Orphei tetrachordum nominatum. De situatione chordarum secundum prius et posterius non est vis modo, nam prius et posterius non sunt differentiae consonantiarum. Debitus situs nervorum et chordarum pluralitas, quae modo est, videbitur in monochordo.

<Propositio secunda>

In gravitate tonum vel acuta parte docere

Primo volo tonum in parte acuta formare. Sit sonus b: ab hoc intendo alium sonum, qui sit diapente in c, a quo remitto diatessaron in d. Cum igitur inter diapente et diatessaron sit differentia tonus, repertus est d b in acuta parte tonus. Ac in parte gravi sic. Super b diatessaron intendo ad f, a qua diapente remitto ad k: erit ergo k b tonus, verbi gratia in figura.

Consonantiam intendere est de sono gravi acutiorem facere; et remittere est de acuto graviorem facere, modo utrobique potest fieri tonus, ut dictum est. Et patet hoc breviter: si diatessaron et diapente seorsum intendantur, ut 6 8 6 9, inventus est tonus in acuta parte; sique ambo ab [195] eodem termino remittantur, inventus est in gravi parte, ut 12 8 12 9. Et hoc est intelligendum, quantum ad quantitatem discretam, non autem continuam. Et sic iste modus est contrarius praecedenti, sed in idem redit. Nam cum chorda plus habet de quantitate continua, gravior est, et cum minus, acutior, itaque cum plus habet de quantitate discreta, id est plures motus, acutior est, cum minores, gravior. Et sic eadem proportio manet, quocumque modo sumatur.

[Muris, Musica speculativa, 195; text: diatessaron remissa, diapente intensa, tonus in parte acuta, c, d, b, tonus in parte gravi, diatessaron intensa, diapente remissa, k, b, f, <Figura M>] [MURMSPEW 06GF]

<Propositio tertia>

Atque semitonium parvum sive maius habere

Primo ad acutam partem sic potest minus semitonium inveniri. Sit a sonus, a quo ad b diatessaron intendatur; a b rursum ad c diatessaron sit intensa, et a c usque ad d remittatur diapente: est igitur tonus b d. Item a d intendatur diatessaron ad e, a quo ad f diapente sit remissa: tonus ergo exit d f. Cum igitur a b sit integra diatessaron et b d et d f sint duo toni, sequitur, quod f a est residuum: et istud minus semitonium nuncupatur.

Ad partem vero gravem fiat sic. Sit sonus datus a, a quo intendantur duo toni continui ad g, et a g diatessaron remittatur ad k: erit a k minus semitonium, quod volebam.

[196] [Muris, Musica speculativa, 196; text: diapente remissa, diatessaron intensa, diatessaron remissa, tonus, tonus intensus, semitonium minus, a, b, c, d, e, f, g, k, <Figura N>] [MURMSPEW 06GF]

Invento igitur minori semitonio in parte gravi et acuta restat utrobique maius semitonium invenire. Ad partem acutam sic. Tres tonos continuos acutos intendo, qui sint a b b c c d; deinde super a acutam formo diatessaron: et sit a f. Sequitur per ea, quae prius in prima parte sunt dicta, quod c f est minus semitonium: quare d f est maius semitonium, quod est propositum. In gravem partem sic. Sit semitonium intensum minus a d et a d remittatur tonus d e: erit a e maius semitonium in gravi parte repertum. Et haec patent in figura:

[197] [Muris, Musica speculativa, 197; text: tres toni, diatessaron intensa, tonus, semitonium minus, semitonium maius in acuto, a, b, c, d, f, tonus remissus, maius semitonium in gravi, minus semitonium intensum, a, d, e, <Figura O>] [MURMSPEW 07GF]

<Propositio quarta>

Hic propono grave vel acutum comma docere

In acuta parte comma sic habetur. Ab a sono maius semitonium intendatur per praecedentem ad b, a quo minus semitonium remittatur in c: erit tunc c a comma per quintam decimam <primae partis>. Sed ad gravem sic. Ab a sono minus semitonium sit intensum, quod sit a d, a quo maius semitonium remissum sit in e: erit a e comma in gravi parte repertum, ut patet in figura.

[198] [Muris, Musica speculativa, 198; text: maius semitonium intensum, comma in parte acuta, minus semitonium remissum, a, b, c, maius semitonium remissum, comma in parte gravi, semitonium minus intensum, a, d, e, <Figure P>] [MURMSPEW 07GF]

<Propositio quinta>

His expeditis monochordum scire velitis

Quoniam in praecedentibus est ostensum de speculatione consonantiarum et de his, quae circa consonantias contingunt, (in prima parte huius opusculi) et de earum reductione ad sensibiles figuras, quae multum placent mathematicis, quoniam veritas, quae est in intellectu, per eas ad iudicium visus et auditus conformiter reducta est; cumque omnis consonantia composita sit ex tonis et semitoniis maioribus vel minoribus aut eorum partibus, ut visum est, infertur iam conveniens esse ad divisionem monochordi accedere. In quo sunt omnes consonantiae perfectae simplices et compositae, toni, semitonia et reliqua. Ad cuius divisionem aliqua praeambula praeferuntur.

Primum est. Omnis divisio monochordi, quod in se continet implicite et virtualiter omnia genera instrumentorum, vadit per tetrachorda. Omne autem tetrachordum vocant musici spatium duorum tonorum cum minori semitonio: et hoc est diatessaron. Et rationabiliter moventur; nam ut in praecedentibus est ostensum, bis diapason ad semel diapason reducitur, diapason autem ad diapente cum diatessaron, diapente autem diatessaron praesupponit; et haec omnia prius sunt manifesta. Diatessaron autem nullam consonantiam praesupponit, sed tonum et semitonium. Hinc est, quod unanimiter omnes musici tam antiqui quam novi primum tetrachordum diatessaron esse concesserunt, quoniam quilibet tonus duas chordas requirit et similiter semitonium duas. Modo cum in diatessaron sint duo toni cum semitonio, manifestum est quattuor chordas diatessaron continere. Quaelibet autem chorda servit pro fine unius toni et initio alterius praeter primam et ultimam.

Secundum praeambulum est, quod cum illud tetrachordum possit reiterari, ut altius ascendat per diapente ad diapason, sicut reiteratur diatessaron, hoc potest contingere per tetrachordum coniunctum vel disiunctum. Coniunctum est, quando ultima primi tetrachordi est initium secundi. [199] Et sic in his duobus tetrachordis erunt, in primo scilicet duo toni cum uno semitonio et in secundo totidem, in summa ergo quattuor toni cum duobus semitoniis; et sunt minora, ut visum est prius. Et iterum super finem secundi tetrachordi potest fundari tertium et sic semper. Disiunctum tetrachordum est, cum post ultimam chordam primi tetrachordi additur chorda distans ab ea per spatium toni et super eam invenitur iterum tetrachordum et sic de aliis, ut prius. Notandum est, quod in duobus tetrachordis coniunctis sunt septem chordae, sed in disiunctis octo. Item notandum est ex his, quod in diapason sunt duo tetrachorda coniuncta cum uno tono, sed duo tantum disiuncta. Ista possunt augeri duplicando, triplicando, quoties placuerit augmentari.

Tertium praeambulum est. De divisione tetrachordi, quod est diatessaron antiqui tripliciter locuti sunt. Diviserunt enim quidam per tonum et tonum cum semitonio, ut dictum est, huic quattuor chordas apponentes, quarum ultima ad primam diatessaron sonabat: et appellaverunt hoc genus canendi diatonicum. Alii diviserunt ipsum diatessaron et suum tetrachordum in semitonio minori primo et semitonio minori secundo et tribus semitoniis, quattuor chordas apponentes similiter, quarum prima ad ultimam diatessaron resonabat: et hunc modum dixerunt chromaticum. Alii diatessaron diviserunt in medietatem unius semitonii et aliam medietatem semitonii eiusdem et in duos tonos cum quattuor chordis, sicut prius: et hoc vocaverunt genus enarmonicum. Et medietatem semitonii appellaverunt diesim. Et sic illud genus erat ex diesi et diesi et duobus tonis. Exempla huius triplicis generis melodiarum triplici figura signabo:

[Muris, Musica speculativa, 199; text: Tetrachordum coniunctum, diatessaron, tonus, semitonium, Tetrachordum disiunctum, <Figura Q>] [MURMSPEW 08GF]

[200] [Muris, Musica speculativa, 200; text: Ista sunt tria genera, Enarmonicum genus, Chromaticum genus, Diatonicum genus, Tonus, Semitonium, Triemitonium, Ditonus, Diesis, 2304, 2592, 2916, 3072, 2736, 2994, <Figura R>] [MURMSPEW 08GF]

Sed miror multum et nescio, si vos, quod in partibus nostris, dico, ubi viget religio catholica fidelium in orbe terrarum, nunquam in usum ceciderunt illa duo genera melorum, chromaticum et enarmonicum; sed in genere diatonico omnis cantus ecclesiasticus, quem invenerunt sancti patres et doctores et homines bonae mentis et dignae memoriae, omnisque cantus mensuratus per tempora certa, ut in conductis, organis, modulis, cantilenis ceterisque modis, omnisque cantus laicorum virorum et mulierum, iuvenum et senum, omnisque cantus cunctorum nostrorum instrumentorum, nescio, quo spritu nisi divino quodam nutu et spontanea voluntate naturaliter incidit et fovetur. In qua parte orbis terrarum, in quibus angulis regionum, sub qua parte caeli modo latitant alia duo genera, nescio; nihil plus opinor nisi quod quasi contra naturalem inclinationem vocum hominum ad cantus divisa sunt. Scio enim, quod aut vix aut nunquam vox humana in his duobus generibus concordaret nec umquam de se ipsa certa esset; in instrumento tamen possibile esset multum, quod illa genera apud gentiles habebantur, tamen non dubito, dura et aspera iniucundaque esset illa musica istorum duorum modorum hominibus imbutis in tertio genere diatonico, ut nos sumus. Hoc autem non ignoro, quin diatessaron posset etiam dividi in quinque semitonia, et per maiora et minora, per commata; [201] sed hoc esset excedere tetrachordum in figuris et chordis, verbi gratia de praedictis.

<Propositio sexta>

Nunc ego concordo Boetii cum monochordo

Cum igitur haec tria genera semper in diatessaron concurrunt, sed in mediis variantur, nulli debet esse dubium, quin diviso monochordo secundum diatonicum genus secundum etiam alia genera divisum sit. Quare de divisione monochordi in diatonico genere agendum est. In cuius tamen divisione non ponitur nisi aut tonus aut semitonium minus. Divisiones autem lineae monochordi per litteras signabo et in eius descriptione in plano nomina chordarum, quae priores imposuerunt, et numeros, ad quos proportio consonantiarum refertur. Et quoniam vult Boetius, quod longior chorda plures partes et maius spatium obtinet breviori, ergo sibi maiorem numerum attribuit et sonum gravem, breviori chordae minorem numerum et sonum acutum, licet fieri aeque bene posset e converso: longiori, eo quod pauciores motus continet breviori, sibi minorem numerum dare, breviori vero plures numeros, eo quod plures motus habet, ut ipse innuit libro suo; quocumque modo fiat, numquam proportio variatur.

Primo ponam divisionem monochordi diatonici secundum Boetium, in quo non est nisi bis diapason, quantum ad proportionem numerorum, licet non repugnet ei esse ter vel quater diapason. Et quoniam ex praedictis habetur, quomodo bis diapason et semel et eorum consonantiae sunt inventae, ergo non restat nisi figuram descibere super planum et statim in ea videbitur clarissime monochordum in genere diatonico secundum Boetium, ut hic patet:

[202] [Muris, Musica speculativa, 202; text: Bis dyapason, Monochordum Boetii, diapason, diapente, diatessaron, nete hyperboleon, 2304, paranete hyperboleon, 2592, trite hyperboleon, 2916, nete diezeugmenon, 3072, paranete diezeugmenon, 3456, trite diezeugmenon, 3888, paramese, 4096, mese, 4608, lichanos meson, 5188, parhypate meson, 5832, hypate meson, 6144, lichanos hypaton, 6912, parhypate hypaton, 7776, hypate hypaton, 8192, proslambanomenos, 9216, <Bis diapason. Monochordum Boetii.>] [MURMSPEW 09GF]

<Propositio septima>

Sed monochordalem plane volo scribere talem

Iuxta illam divisionem, quam dat Boetius de monochordi sui divisione, volo similiter dividere monochordum solum situm mutando chordarum et numerum earundem, quoniam illa maneries canendi, quae suo viguit tempore, super numeros tempore nostro sic est solum accidentaliter variata, quod nostra placentior est auditui quam antiqua. Subtiliataque multum est musica per exercitium modernorum non solum litteratorum hominum in hac arte studentium auxilio vel inventione, sed et vulgus commune et specialiter iuvenes ac etiam mulieres ad hoc moventur, nescio qua forte nisi naturali industria nunc a superiori circulo regulata. Mutantur enim haec continue et illa revoluto forte circulo aliquo redibunt et erunt sicut prius.

Hoc meum monochordum divido tali modo. Sit a b chorda posita super planum, secta per medium in puncto I: igitur a I ad a b diapason, consonantia melior, inventa est. Item a I per aequa divisa in q, a q ad a b bis diapason de genere meliorum sonabit. Sique rursum a q per aequalia partiretur, surgeret ter diapason de eodem genere multiplici. Et sic ultra, quam diu libeat dividenti et auris consonantiam poterit iudicare. In hoc virtus intellectiva superat sensitivam.

Sic ergo meliores consonantiae notae fiunt; et sunt in primo gradu certitudinis. Aliae autem assequuntur eas sic. Dividatur a b chorda iterum in tres partes, quarum una tertiarum sit b f, f a vero duas alias continebit. Ergo f a ad a b meliorem extra genus multiplicis resonat, [203] diapente; quae non differt a diapason nisi per melodiam, quae est diatessaron per quartam primae; et est in chordis a I a f. Sed sic invenies hanc in a b. Abscisa sit iterato a b per quattuor aequales: quarum una quartarum sit b e, alias tres contineat in se a e atque a e ad a b diatessaron sonum facit.

Consonantiis igitur figuratis restat tonos et semitonia reperire, per quae fit ascensus et descensus ad consonantias supradictas. a b chordae sit nona pars b c, tunc a c a b per unicum tonum elevatur. a c--que chordae sit adhuc nona pars c d: erit a d ad a b ditonus manifestus. Iamque vere in chordis a d a e semitonium minus notum venit et per consequens a e ad a b ditonus cum semitonio minori, quod unico nomine diatessaron appellatur. Et consequenter iam tu habes tritonum cum semitonio in a f a b, videlicet diapente. Praeterea a f partis chordae a b sit nona pars f g: erit a g ad a b tonus cum diapente aut ditonus cum diatessaron. Rursus chordae a e sit quarta pars e h: erit a h ad a e diatessaron et per consequens a h ad a b bis diatessaron manifesta. Ergo a h ad a g minus semitonium inventum est. Itemque a h h I sit nona pars: redit a I ad a b diapason nota prius. In cuius divisione sunt quinque toni cum duobus semitoniis minoribus, ut visum est. Cum igitur semel diapason quantum ad sui intrinseca divisa sit, eodem modo per reiterationem bis diapason dividere necesse est.

Continet autem hoc instrumentum 19 chordas, scilicet bis diapason cum diapente, licet sit possibile ulterius augmentari. Et est in figura trianguli orthogoni, quantum ad duo sui latera; sed tertium latus non sub una linea cadere potest, sed maxime ad circumferentiam accedit, super tria puncta descriptam. Potest tamen in aliis figuris describi, tam quadratis, aequilateris quam oblongis, circularibus, concavis sive planis. Et sic in virtute hoc monochordum omnia in se continet instrumenta. Diversas tamen figuras, ad quas potest hoc monochordum transferri, exempli causa tibi describere volo. Quorum figurae sunt in hoc ordine consequentes.

[204] [Muris, Musica speculativa, 204; text: tonus, semitonium, bis diapason cum diapente, bis diapason, diapason, diapente, diatessaron, a, b, c, d, e, f, g, h, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, v] [MURMSPEW 09GF]