Back to top

[70] Liber musicae M<agistri> Jo<hannis> de Muris

Etsi bestialium voluptatum, per quas gustus et tactus suis irrefrenatis impetibus intellectum deiciunt, non immerito vituperentur excessus iuxta illud Aristotelis primo Ethicorum: "Multi quidem bestialem vitam eligentes...", non propter hoc visus et auditus, qui purioris et amplioris ministerii commoditate intellectui subserviunt, ordinata et moderata damnantur oblectamenta dicente Aristotele IV. Ethicorum de homine temperato quaecumque autem ad sanitatem aut bonam habitudinem existentia prosequitur moderate, ut oportet visu etiam in nonnullo super auditum laudato, eo quod [72] maxime nos cognoscere facit et multas differentias rerum nobis ostendit. Nihilominus experientia teste voces et omnino soni humani artificii subtilitate compositi auditus adminiculo dulcissimas intellectui iocunditates adducunt et post seriosorum operum labores, quos non potest continue humana tolerare natura, honestissime quietis beneficium tribu<unt> intendenti.

Quod et forte poetice voluit signare Ulixes secundum recitationem Aristotelis VIII. Politicorum, cum dixit optimam esse deductionem, quando gaudentibus hominibus congregati super cuncta audiunt symphoniam.

Quantam insuper efficaci<t>am super humanos appetitus ad diversa morum genera transmutandos soni harmonici contineant, eleganter docuit Boethius in prologo suae [74] musicae, <ad> cuius inspectionem, cui curae fuerit, se convertet; ibidem etiam videre poterit, quanta debet esse cura viris politicis de bene moderata musica conservanda. Verum, quia istis diebus libri antiquorum philosophorum nedum de musica, sed et de ceteris mathematicis non leguntur et ob hoc accidit eos tamquam inintelligibiles aut nimis difficiles abhorreri.

Visum est mihi bonum, ut ex musica Boethii, quam secundum vires a deo datas per studui eamque favente deo aliqualiter intellexi, tractatum brevem elicere<m>, in quo conclusiones pulcriores ad ipsam artem musicae pertinentes cum sermonis claritate et evidentia sententiae manifestare conabor.

[90] Omnem doctrinam et omnem disciplinam ex praeexistenti cognitione fieri.

Ante cognitionem sensitivam non aliam inveniri.

Experientiae multiplici, ut in termino status acquiescere.

Experientiam circa res sensibiles artem facere.

[92] <Propositio 1>

Pitagoram artem nobis tradidisse sonorum.

Antiquus Pitagoras princeps numerorum et magister proportionum, cui a toto tempore, quo viveret, numerus oboedivit sic, ut vi numerorum scire singula niteretur, nolens quippe aurium iudicio fidem de consonantiis adhibere tum, quia non omnis auris propter complexiones naturales aetatis mutabilis dispositionisque varietatem aeque bene [94] iudicat de auditis, cum, quia, etsi auris bene disposita quantum ad ea, quae contingant circa sonum et sonorum consonantias, cum sibi sit proprium, non fallatur, tamen de proportione sonorum <discernere> non est suum, sed magis est opus rationis.

"Nullis etiam deditus instrumentis" eo, quod omnia inconstantia et inconsulta modicaeque fidei propter causas plurimas aestimabat, ut propter nervorum, aeris, spiritus varietatem, neque penitus privans auditum consonantiis, "nam si nullus esset auditus, nulla omnino de vocibus" ratio dubitabilis "extitisset", imo quasi medio [96] quodam, delatus itinere ac si de consonantiis <vel> harmoniarum officio famulus sit auditus, iudex autem ac imperans intellectus sit ibi, ubi sentiat auditus per experientiam sensibili cognitione primo illud, de quo scientiam et doctrinam apud se ordinet intellectus per primam conceptionem ipsam in nullam aliam ulterius resolvendo per secundam conceptionem.

Pythagoras quidem in anxietate diu manens, quomodo artem de melodiis rationabiliter inveniret, quadam vice divino nutu iuxta fabrorum officinas praeteriens hanc [98] cognitionem in se mentaliter circumvolvens, quosdam malleos circa incudem mirabilem harmoniam emittentes, iam quasi attonitus exaudivit et statim ad se vehementer <rediit>, ut quod diu quaesiverat, inspiceret, ad malleos est reversus, quasi ab ista delectabili concordantia tractus, quemadmodum adamas attrahit ferrum hominibusque more solito salutatis attentius intuens harmoniam malleos circumspiciens, sicut fervens veritatis inquisitor, dubitansque, ne ex viribus hominum tanta melodia proveniret, iussit [100] inter se malleos <permixtim> singulos permutari, quibus alternatis rediit eadem symphonia sicut prius, ex qua animadvertit non in lacertis virorum, sed in natura malleorum tales concordantias contineri tam numeri quam mensurae quam ponderis ratione.

Numerus autem malleorum erat quinque, sed quintus foras eiectus, qui sicut inutilis comparatus cuilibet dissonabat. Dedit tamen ecce res grandem occasionem per sui dissonantiam consonantias iudicandi. Nam appositis iuxta se contrariis peiora aut meliora hominibus vel sensibus esse videntur.

[102] Consideratis itaque ponderibus reliquorum in dupla, sesquialtera, sesquitertia proportione pondera reperta sunt. Quare hanc experientiam discernens domo sua, instrumentis suis nervorum, ventorum, foraminum, aquarum, vasorum, in nolis ac<e>tabulis, tympanis, tintinnabulis, numquam instantiam percipiens repertus est et tunc animo sedatus, mente gavisus in hac experientia requievit per tertiam conceptionem.

Ex quibus experimentis deductis diversis modis variisque temporibus tenens, quod [104] quamvis si in natura rei contra experientiam latuisset, experientia claruisset, multoties ad memoriam concurrentibus unum traxit universale, quod fuit initium artis et scientiae musicae per quartam suppositionem. Sic est primae propositionis propositum declaratum.

<Propositio 2>

Propter symphoniam subiungere vim numerorum.

Quoniam Pythagoras sonorum consonantias per proportiones ponderis expertus est, haec proportio in numeris ostendetur, quibus proportio primo debetur. Sunt ergo 12 9 8 6 [106] pondera malleorum, ita quod qui 12 ponderabat ad eum, qui erat 6 ponderis, duplus erat. Qui autem 12 ad eum, qui 9, in proportione sesquitertia harmoniam emittebat. Qui vero 8 ad 6 eandem canebat symphoniam. Sed qui 12 ad 8 in sesquialteram vergebat concordiam. Qui vero 9 ad 6 concordiam formabat eandem. Qui 9 ad 8 in sesquioctava proportione canebat. Haec sunt principia huius artis.

[108] <Propositio 3>

Iam tres harmonias perfectas esse sonantes.

Auctor naturae, scilicet deus, mirabiles consonantias fecit rebus insitas et non homo. Praeerant enim consonantiae, antequam hominibus apparerent. Cui autem se primo ostendere voluerunt, Pythagoras primus fuit. Quod autem non sint pauciores tribus, experientia docuit. Sed si sunt plures, quas natura voluit revelare, Deus novit; perfectiores tamen usque ad nos his tribus nemo expertus est.

[110] Et sunt hae: Diapason, quae concordantiam facit duplam, ut 12 ad 6, diapente, quae sesquialteram canit melodiam, ut 12 ad 8 et 9 ad 6, diatesseron, quae sesquitertiam reddit symphoniam, ut 12 ad 9 et 8 ad 6. Tonus vero, qui est in sesquioctava, ut 9 ad 8, non est consonantia, sed pars eius. Haec omnia firmari possunt per consonantiae rationem, quam assignat Boethius esse rationem: "Consonantia est dissimilium inter se vocum in unum redacta simul concordia", vel sic: "Consonantia est acuti soni gravisque mixtura suaviter uniformiterque auribus accidens." Hae autem definitiones praedictis tribus [112] consonantiis competunt et non tono, in quo sit auris cuiuslibet iudex sibi ipsi. Ergo praedictae tres harmoniae dicuntur perfectae consonantiae et non tonus.

Quare autem istae consonantiae talibus sermonibus potius quam aliter nominentur, modica sollicitudo debet esse, cum de rebus, non de vocibus sermo fiat in arte. Ad mitigandum tamen voces aliquorum, qui multum in interpretatione gaudent dictionum, potest in eorum faciem proiici, quod diapason dicitur a dya, quod est duo, et pason, quod est sonus, quasi habens duplum sonum; vel dicitur a dia, quod est de, et pan, quod est [114] totum, quasi tenens bis totum cantum. Omnis enim cantus infra diapason ipsam complectitur et quidquid est exterius reiteratio potest dici. Similiter diapente, id est concordantia de quinque vocibus, diatesseron vero de 4, ut in sequentibus clarius apparebit. Tonus autem dicitur a tonando, scilicet sonando, nisi enim sonaret, nullatenus audiretur. Et ea aliquantulum, quae dicta sunt, hic subiecta descriptio manifestat.

<Propositio 4>

Has tres melodias numeros dare clarificantes.

Haec figura consonantiarum in musica perfectarum omnia principia et omnes [116] conclusiones musicae continet in virtute, quae si essent exterius enodatae, tota musica nota fieret. Sed haec figura quasi unum chaos, in quo latitant plures formae, potest satis rationabiliter appellari, in qua secundum plus et minus conclusiones nobilissimas considerantis suggerat intellectus. Unus enim ab ea haurire poterit, quod alter hactenus numquam vidit. Quae autem de consonantiis sunt in suis circulis figurata debent concedi pro principiis huius artis. Nam experientia ex natura rei eas hominibus revelavit. Oportet enim credere, qui discit, quod si non credat, ad experientiam currat et certus reddetur omni ambiguitate remota. His ita se habentibus iam potest huius figurae intellectus misteria et inclusa mirabilia extrahere sigillatim.

[118] [Musica speculativa A, 118; text: Diapason in proportione dupla, Diapente in sesquialtera, Diatesseron in sesquitertia, 12, 9, 8, 6] [MURMSP 01GF]

<Theorema 1>

Quae diapente sonat diapason habet superare.

Omnis proportio superparticularis minor est proportione multiplici, quoniam multiplex continet minorem integre, ut bis vel ter vel quater et sic deinceps. Sed superparticularis numerus numquam continet bis minorem, sed semel cum aliqua sui parte, ut media, [120] tertia, quarta et sic semper augendo partes et minuendo proportiones. Et consonantia diapente in superparticulari proportione notatur et diapason in multiplici per figuram circulorum. Ergo diapente superatur a diapason aut, quod idem est, maior est diapason quam diapente. Quomodo autem species multiplicis augmentantur, numerorum in ordine naturali apparet. Species autem superparticularis ordine eodem e contrario minuuntur, ac si se fingent modum et naturam quantitatis continuae et discretae retine<re>, patet in hac figura B. Cuius figurae speculatio consideranti patebit.

[122] [Musica speculativa A, 122; text: Multiplices, qui crescunt ordine naturali, Superparticulares, qui diminuuntur ordine naturali, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16] [MURMSP 01GF]

In huius figurae arithmeticae summitate unitas tamquam principium augmentationis et diminutionis usque in infinitum merito situatur. Nam multiplices secundum additionem naturalem usque in infinitum crescunt, superparticulares vero naturaliter [124] minuuntur, id est denominantur. Si autem primam speciem multiplicis, id est duplam, quae per duo denominatur, primae speciei superparticularis, id est sesquialterae, quae similiter per binarium figuratur, addideris, secundam speciem multiplicis, id est triplam, generabis. Sique secundam secundae, tertiam et sic de aliis semper. Et haec est mirabilis generatio numerorum. Quae figura continet etiam excessum cuiuslibet speciei multiplicis super quamlibet sequentis superparticularis et differentias continet utriusque.

[126] <Theorema 2>

Ac in plus diapente quam diatesseron stare probatur, esse vel consistere. Diapente super diatesseron excedere.

Quanto denominatio alicuius partis maior est, tanto erit pars minor et e contrario, ut una tertia denominatur a tribus et una secunda a duabus. Maior est denominatio tertiae quam secundae, quare una tertia minor est pars quam una secunda. Modo tam diatesseron quam diapente sunt in speciebus superparticularis, scilicet in sesquialtera et [128] in sesquitertia per figuram circulorum. Et denominatio proportionis sesquitertiae, in qua est diatesseron, maior est denominatione proportionis sesquialterae, in qua est diapente, et ergo maior est diapente quam diatesseron, quod quaerebam.

<Theorema 3>

Et diatesseron tunc veluti minimam resonare.

Cum non sint in natura nobis notae plures his 3 consonantiis, ut dictum est diapente, quae minor quam diapason per primam et maior quam diatesseron per praecedentem. [130] Nam quidquid est minus minore, est minus maiore, et quidquid est maius maiore, est maius minore.

Ex quo concluditur diapason maiorem esse aliis, diatesseron vero minorem.

<Theorema 4>

Et diapason habent diapente diatesseron iuncta creare.

Omnis proportio dupla ex sesquialtera et sesquitertia procreatur, licet aliqua in numeris. Nam si ex unius numeri, qui ad alterum est sesquialter, sumatur tertia pars eius et eidem [132] addatur, exibit numerus ad primum duplus, ut si 9, qui est sesquialter ad 6, addatur una tertia, proveniet 12, qui duplus est ad 6, et hoc patet in figura prima.

Sed sic ita est, quod diapente est in sesquialtera, diatesseron in sesquitertia. Ergo simul iuncta conficiunt diapason, qui in dupla proportione formatur.

[134] <Theorema 5>

Et diatesseron a diapente tono superari.

Diatesseron enim fit in proportione sesquitertia, diapente vero fit in sesquisecunda. Sed sesquitertia demta a sesquisecunda, quoniam potest ab ea subtrahi et non e contrario eo, quod sesquisecunda maior est sesquitertia, sicut una secunda maior est tertia, remanet proportio sesquioctava. Probatio: Inter 8 et 12 est proportio sesquisecunda, inter 9 et 12 [136] sesquitertia, qua sublata a sesquisecunda remanet proportio sicut inter 8 et 9 et illa est sesquioctava et illa facit tonum per figuram circulorum. Ergo habetur propositum et, ut clarius appareat de additione et subtractione harum proportionum ad invicem tam in genere multiplici quam in superparticulari, in quibus solum hae consonantiae quasi quodam divino nutu formantur, unam satis notabilem de huiusmodi speciebus subiungo figuram.

[138] Ex hac figura patet diatesseron, sesquitertiam proportionem, superari tono, in proportione sesquioctava, a diapente, in sesquialtera proportione, ut patet in numeris, ut 12 16 18, quod dignum est relinquere speculanti.

[Musica speculativa A, 138; text: dupla, tripla, quadrupla, quintupla, sescupla, septupla, octupla, nonupla, decupla, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, sesquidupla, sesquitertia, sesquiquarta, sesquiquinta, sesquisexta, sesquiseptima, sesquioctava, sesquinova] [MURMSP 02GF]

[140] <Theorema 6>

Inque pares partes non posse tonum mediare, id est tonum per medium proportionale <....>

Tonus est in proportione sesquioctava, sic patet per figuram circulorum, quare prius reperitur in his numeris 8 9. Sed <cum> non sit inter eos medius numerus integer, ideo augeantur.

Primum augmentum cuiuslibet numeri a binario habet ortum, ut patet in figura quinta, scilicet C. [142] Exibunt ergo per multiplicationem 16 et 18, inter quos si<militer> manet tonus. Nam regula arithmeticae est generalis, quodsi duo numeri in aliqua proportione se habentes per numerum augeantur eundem procreata, ex eisdem in eadem proportione manebunt. Cum ergo inter 16 et 18, qui tonum faciunt, cadat numerus integer 17, utrum ille comparatus ad utraque extrema faciat vere semitonium, videamus. Comparemus ergo 17 ad 16 proportionem faciat sesquidecimamsextam, comparatus ad 18 [144] proportionem non reddit eandem, sed minorem, scilicet sesquidecimamseptimam. Sed si esset vere semitonium, eandem deberet reddere proportionem. Item, quod nec in proportione sesquidecimasexta nec in sesquidecimaseptima non possit esse vere semitonium medium, sic ostendo. Si per te 17 ad 16 comparatus facit tonum medium, scilicet in proportione sesquidecimasexta, numerus igitur, qui continet 17 in eadem proportione similiter medium tonum reddet et iste est 18 cum una 16 unius unitatis. Si ergo a 16 in 17 sit toni medietas, tunc a 17 in 18 cum una 16 alia medietas per tuam [146] hypothesim. Ergo a primo ad ultimum a 16 in 18 cum una 16 tonus erit, quod falsum est et contra figuram circulorum. Nam solum 18 ad 16 facit tonum; fuit itaque proportio sesquidecimasexta semitonio maior.

Sed quod proportio sesquidecimaseptima non sit vera toni medietas, apparet sic: si per te 17 ad 18 semitonium reddit verum, inter quos est sesquidecimaseptima, numerus continens in eadem proportione 18 semitonium verum dabit et iste est 19 cum una 17. Ergo de primo ad tertium, de 17 ad 19 cum una decimaseptima tonus erit, quod est impossibile sicut prius. Nam 17 comparatus ad 19 cum una octava facit tonum. Cum ergo [148] maior sit una octava quam una decimaseptima, sequitur etiam, quod proportio sesquidecimaseptima vero tono medio minor fuit.

Non est ergo toni medietas nec sesquidecimasexta nec sesquidecimaseptima, sed inter has duas debet esse medietas, ut patet in figura D.

[Musica speculativa A, 148; text: A primo ad ultimum est plus quam sesquioctava, sesquidecimasexta integri, differentia, minus quam sesquioctava, sesquidecimaseptima integri, 1/16, 1/17, 16, 17, 18, 19] [MURMSP 02GF]

[150] Amplius nulla habitudo superparticularis potest dividi per medium, id est habet medium proportionale, sicut in proportione geometrica, quod patet in singulis inducendo. Nam inter 12 et 8 est proportio superparticularis sesquialtera, quae est prima omnium eiusdem generis specierum. Sed inter hos nullum est medium. Nam si sumatur 10, sesquiquarta est ad 8, sed ad 10 non est 12 sesquiquarta, ut vides in figura quinta; quare 10 non est medius inter eos.

Et patet aliter argumentum: Nam omne medium proportionale est radix extremorum in se ductorum, sed modo nulla proportio superparticularis habet radicem, quare nulla [152] habitudo superparticularis habet medium. Sed tonus est in habitudine superparticulari, scilicet in sesquioctava, quare et caetera. Rursus, qui quaerit tonum per aequalia mediare, quaerit diametrum commensurari costae, quod est impossibile.

Quod hoc sit simile, declaratur: Nam diameter est maior costa et minor duabus, nulla tamen proportione communi, quae possit excessum mensurare. Sic proportio toni maior est proportione sesquidecimasexta et minor duabus et maior sesquidecimaseptima [154] et minor duabus, nulla proportione communi mensurante excessum, quod patet per numeros inducendo. Quare autem in figuris haec omnia declarantur.

<Theorema 7>

Est semis et duplex tonus in diatesseron vere.

In omni proportione sesqui<tertia> duae proportiones sesquioctavae integrae continentur, [156] sed et tertia, quae non est perfecta, ut ostendam: Modo diatesseron sit in proportione sesquitertia per figuram circulorum. Ergo in diatesseron sunt duae sesquioctavae proportiones perfectae et tertia non completa. igitur et duo toni cum uno imperfecto qui a musicis semitonium unanimiter appellatur, non a semis, quod est medium, sed a semis, quod est imperfectum.

Et quod in proportione sesquitertia, quam sibi vendicat diatesseron, sunt duae sesquioctavae proportiones completae cum una tertia incompleta, sic ostendo: Sint in proportione sesquitertia isti duo numeri, ut extremi 192 et 256, dico, quod inter hos sunt duae sesquioctavae proportiones cum una imperfecta, nam si super 192 sui pars octava [158] addatur, exibit 216 faciens primam proportionem sesquioctavam; cui iterum pars <octava> illius adiungatur, exibit 243 secundam sesquioctavam reddens proportionem. Sed si super 243 eius octava pars iterum completur, non exibit 256, sed plus, scilicet 273 et tres octavae, quare relinquitur pro iam noto, quod inter 243 et inter 256 non sit proportio integra sesquioctava. Quare ex his concludo in diatesseron duos tonos integros et unum imperfectum, id est semitonium, contineri.

Isti praedicti sunt duo numeri primi, in quibus hoc potest ostendi. Et ars inveniendi tales harmonias est talis: Quot tonos continuos aut quot continuas sesquioctavas [160] proportiones vis habere, tot octuplos distantes a primo octuplo, qui est 8, obmittas eo loco spatii, quo distat ab unitate. Invenias, ut habeantur continuae proportiones sesquioctavae, quas inquiris, ut, si 2 tonos continuos inquiras, a secundo octuplo incipias, qui est 64, si tres, a tertio incipias.

Sunt igitur duo toni continui <post> 64, scilicet 72 et 81. Si ergo super 64 sui tertia pars addatur, exibit diatesseron, sed tertiam non habet. Si ergo multiplicetur per 3, proveniunt [162] 192 tertiam habens partem, post quam sunt similiter duo toni continui, sicut patet in figura E.

[Musica speculativa A, 162; text: diatesseron sesquitertia, ditonus, tonus cum semitonium, tonus, 24 octava pars, 27 octava pars, 30 octava pars, 192, 216, 243, 256] [MURMSP 03GF]

<Theorema 8>

Sed diapente tonos tres et semis dico tenere.

Iam notum est per praecedentem diatesseron ex duobus tonis et semitonio pariter integrari. Sed diapente continet diatesseron naturaliter atque tonum per quintam. Ergo [164] diapente constituitur ex tribus tonis cum uno similiter completo, quod erat propositum.

<Theorema 9>

Bina semitonia cum quinque tonis pasodia.

Diatesseron constat ex duobus tonis cum uno semitonio per septimam, diapente vero ex tribus tonis cum uno similiter semitonio per praecedentem. Sed diapason ex diapente et diatesseron perficitur, per quartam. Igitur diapason ex quinque tonis et duobus semitoniis integratur, nec ex hoc infertur: Ergo ex sex tonis per aequipollentiam, in quo plures tam antiqui quam moderni falluntur, quoniam tonus non potest dividi in [166] duo media aequalia, sicut patet per sextam figuram.

<Theorema 10>

Quaero toni quales sunt partes sunt inaequales.

Tonum aliquem esse imperfectum, id est semitonium, visum est per septimam. Ergo semitonium est aliqua pars toni, aut ergo est vera pars media aut non per contradictionem. Sed non potest esse pars media per sextam. Ergo non media, quare aut maior pars toni aut minor. Et cum una pars sola tonum non constituat integralem, ergo in tono sunt duae partes, quarum altera maior et altera minor necessario comprobatur. Ergo cum tonus dividatur, in duo semitonia, scilicet maius et minus semitonium, divisus [168] est, quod erat propositum.

<Theorema 11>

Ergo semitonium minus in numeris reperire.

A diatesseron demtis tonis duobus, quod remanet, semitonium appellatur per septimam. Sed quod illud sit minor pars toni probatur, ut visum est in septima. Tunc primi numeri, inter quos apparet semitonium in diatesseron, sunt 243 et 256, quorum differentia est 13. Si ergo 13 faceret semitonium et cum duplatus perfectum tonum non attingat, notum est illum esse minorem vera media parte toni. Sed sic est: si duplatur [170] 13 exibit 26, qui additus super 243 reddit 269, qui ad 243 comparatus tonum non complet. Quod patet addendo octavam partem 243 sibi ipsi, exibit numerus 273 et tres octavae, qui maior est primo faciens plene tonum, quare ex his minor pars toni reperta est.

Amplius per sextam visum est, quod vera medietas non est inter 16 et 17 sic, quod minor est 16 et maior 17, quoniam 13, comparatus ad 243, minor eius pars est quam 16 et 17, [172] quoniam 13 ductus in se sexties decies et septies decies non facit 243, imo minus, et ductus octies decies minus est 243. Modo quidquid est minus minore, est minus maiore; cum igitur 13 ad 243 sit minor pars eius quam 17 et ipsa 17 non facit toni medium, sed minus, ergo multo fortius 13 ad 243 comparatus facit minus medietate toni, quare minus semitonium inventum est.

<Theorema 12>

Unde semitonium maius ostendo venire.

Ostensum est per immediatam et per septimam, quod primi numeri sunt 243 et 256, [174] inter quos semitonium minus primo per integra sit notum, quia numquam in musica minutiae receptae sunt. Sicut enim in geometria linea quantalibet uti convenit, sic in musica numeris quantislibet uti licet. Modo si super 243 sui octava pars adiungatur, numerus tonum reddens exibit, cuius differentia ad 256 pars semitonio maior erit, cum iam ostensum sit a 256 in 243 semitonii partem minorem fore.

Sed 243 octavam non habet partem, ergo per regulam arithmeticae per octo extendatur, [176] exibit numerus octavam habens partem et est 1944. Augeatur tunc iste numerus 256 per octo et 2048 producuntur, inter quos erit minus semitonium sicut prius. Tunc ergo super 1944 sui octava pars addatur, veniet 2187 faciens verum tonum, cuius differentia ad 2048 est 139, qui maior toni est pars vera; nam et alia pars est differentia inter 2048 et 1944. Ergo maius semitonium amplius non est ignotum. Quae autem nunc dicta sunt praesens figura declarat, scilicet F.

[178] [Musica speculativa A, 178; text: tonus, minus semitonium, 104 differentia excessus minoris, 243 octava pars, 35 differentia differentiarum, 256 octava pars, semitonium maius, 139 differentia maioris excessus, 1944, 2048, 2187] [MURMSP 04GF]

<Theorema 13>

Sex ostendo tonos diapason non dare plenos.

Sint ergo sex toni continue proportionales inventi secundum regulam dictam in septimo theoreumate; incipiendo a sexto octuplo, sicut hic in subscripta figura G habetur: Super [180] quem sui octava pars addatur, exibit primus tonus, cui pars octava addiciatur, surget secundus tonus. Cui octava pars sui ipsius iterum adiungatur, <et> ita de aliis usque ad sextum et erunt sex toni continui successive. Modo si supra primum ipsemet addatur, exibit numerus faciens diapason per figuram circulorum et est iste 524288, qui minor est [182] eo numero, qui sextum faciebat tonum, scilicet 531441, quorum differentia 7153, in qua sex toni sunt maiores diapason, quod quaerebam.

Et ex hoc infertur, quod cum diapason constat ex quinque tonis et duobus semitoniis per nonam, illa duo semitonia esse minora tono, quoniam, si essent maiora, transiret diapason sex tonos, si vero unum minus, reliquum maius sex complete redderet tonos, cuius contrarium hic visum est; ergo sunt minora; ac ulterius cum diapason diapente et diatesseron amplectatur.

Igitur ista semitonia, quae sunt in his duobus, de minoribus esse probantur, ut patet per immediatam figuram G.

[184] [Musica speculativa A, 184; text: primus tonus, 8, 9, secundus tonus, 64, 72, 81, tertius tonus, 52, 576, 648, 729, quartus tonus, 4964, 4608, 5184, 5832, 6505, 531441, quintus tonus, 32768, 36864, 41472, 46656, 52488, 59049, sextus tonus, 262144, 294912, 331776, 373248, 419904, 472392] [MURMSP 04GF]

<Theorema 14>

Non ex quinque tonis duplex diatesseron esse.

Per septimam probatum est, quod diatesseron includit duos tonos cum semitonio. Quod [186] autem istud sit minus semitonium sic, quod non reddit tonum, si dupletur, quod erat propositum, sic ostendo: Diapason ex quarta continet in se diatesseron et diapente, sed diapente non continet aliud semitonium quam diatesseron, quoniam non differt ab eo nisi in tono per quintam. Modo diapason amplectitur quinque tonos et duo semitonia, ut patet per nonam, quae sunt minora. Quoniam diapason non complet sex tonos per immediatam, ergo ista duo semitonia, quae sunt in diatesseron et diapente, sunt minora et istud, quod est in diapente, est istud, quod est diatesseron. Ergo minus semitonium [188] minor pars toni merito nuncupatur. Sed nulla pars minor totius tonum reddit integrum duplata; ergo nullum tonum integrum reddit. Sed aliter non potest poni bis diatesseron quinos habere tonos, ergo non habet quinque tonos, sed quatuor tonos cum duobus semitoniis bis minoribus, quod volebam.

Amplius hoc potest per numeros, qui neminem fallunt, aliter declarari: Sint quinque toni continui, sicut dicitur in praecedenti, tunc super numerum, qui est fundamentum [190] relationis, sui tertia pars addatur, exibit diatesseron per figuram circulorum. Super quem productum iterum sui tertia pars adiungatur, exibit alia similiter diatesseron, quare de primo ad ultimum erit bis diatesseron. Ergo comparetur iste numerus ultimus, faciens bis diatesseron ad primum, ad ultimum numerum facientem quintum tonum, et erit minor numerus, qui bis diatesseron reddit, quam numerus faciens quintum tonum.

Ergo bis diatesseron non continet quinque tonos, <ut> patet in figura subscribta H.

[192] [Musica speculativa A, 192; text: Duplex Diatesseron, Tertia pars 10922 2/3, fundamentum relationis, primus tonus, secundus tonus, tertius tonus, quartus tonus, quintus tonus, 43690 2/3, 58253, 32768, 36864, 41472, 46656, 52488, 59049, 4096, 4608, 5184, 5832, 6561, octava] [MURMSP 05GF]

Amplius potest hoc similiter declarari aliter intendendo diatesseron et remittendo. Sumptis enim quinque <tonis> continuis si supra primum numerum sui tertia pars [194] iungatur, diatesseron est intensa, et si ab ultimo numero quintum tonum perficiente sui quarta pars abscindatur, diatesseron exibit remissa. Si ergo dicis, quod <duplex> diatesseron sit aequalis quinque tonis, diatesseron intensa et remissa occurrunt in eodem numero et aequali nulla differentia mediante. Sed non erit ita, imo manifesta differentia patet, ut videri potest in hac figura I.

[196] [Musica speculativa A, 196; text: Pentatonus, Diatesseron intensa, 10922 2/3 tertia pars, 796 differentia, Diatesseron remissa, 14762 1/4 quarta pars, 32768, 43690, 44387, 59049] [MURMSP 05GF]

<Theorema 15>

Est ex praedictis comma reperire necesse.

Comma a musicis dicitur istud, in quo tonus superat duo semitonia minora sui. Illud autem taliter invenitur: A sex tonis continuis secundum modum decimae tertiae [198] diapason subtrahatur, reliquum est comma. Nam comma est differentia inter tonos quinque et duo semitonia minora, quae sunt in diapason per immediatam, et inter sex tonos. Quod provenit ex eo, quod ista duo semitonia tonum perficere nequierunt, verbi gratia: Hi duo numeri 262144 et 531441 sex tonos continuos amplectuntur, sed hi duo numeri 262144 et 524288 reddunt diapason, quod patet, si primus numerus dupletur. Modo differentia inter numerum sex tonorum et numerum diapason adimplentem est differentia 7153 et haec differentia est duorum minorum semitoniorum ad tonum. Nam si fuissent integra semitonia, differentia nulla fuisset; et haec differentia inter duo semitonia minora ad tonum perfectum comma facit evidenter.

[200] Ex praemissis demonstrationibus inferuntur corollaria, quae sequuntur, quae quasi manifesta sunt ex praeassumptis, ne de his nova theoreumata formare sit necesse.

Primum: Duo minora semitonia tonum integrum non complere.

Secundum: Duo maiora semitonia tonum integrum superare.

Maius semitonium super minus commate abundare.

Maius semitonium et minus iuncta tonum perficere.

[202] Verum semitonium in nulla proportione manere.

Verum semitonium in rerum natura non existere.

Comma in numero nullo esse, sed comma maius est 75 et minus 74. Hoc potest inveniri per dicta immediate in decima tertia.

Semitonium minus maius est quam 20 ad 19 et minus quam 19 ad 18.

[204] Semitonium maius maius est quam 15 et minus quam 14, fiat comparatio ad minorem terminum.

Semitonium minus maius esse duobus commatibus, minus vero tribus.

Semitonium maius est maius tribus commatibus, minus vero 4.

Tonum maiorem esse 6 commatibus, minorem vero 7.

Haec sunt, quae sequuntur ad praedicta.

[206] <Theorema 16>

Componit quadrupla proportio bis diapason.

Consonantia diapason fit ex proportione dupla per figuram circulorum, ergo bis diapason in bis dupla proportione, sed haec est quadrupla; ergo patet propositum. Idem patet in numeris: 1 et 2 faciunt diapason, quae duplata faciunt 4 facientes bis diapason. Sed quatuor sunt quadrupla unius, quare bis diapason est in quadrupla proportione. [208] Quis enim dubitat, si b. sit duplum ad a. et c. duplum ad b., quin c. sit quadruplum ad a.? Et sicut formatur bis diapason, ita ter diapason et quater, quantum <est> ex natura proportionum, quae sibi terminum nullum ponunt.

Sed auditus ad iudicandum de sonis intensis et remissis terminum sibi ponit, extra quem nihil audiret, sicut in aliis sensibus contingit suo modo, ut patet intuenti.

<Theorema 17>

Sed manet in tripla diapason cum diapente.

In quibus proportionibus consonantiae simplices ponantur, iam multoties est ostensum. [210] Nam diapason in dupla, diapente in sesquialtera formatur. Sed proportio dupla et sesquialtera iuncta formant triplam proportionem per quintam, quod patet in numeris: 1 et 2 duplam reddunt proportionem, scilicet diapason, 2 et 3 sesquialteram, scilicet diapente, sed 3 ad 1 triplam, quare diapason cum diapente iuncta triplam faciunt proportionem.

Ex hoc leviter invenitur bis diapason cum diapente. Nam breviter omnis consonantia supra diapason non est, nisi repetitio eorum, quae infra diapason contenta sunt, et [212] formantur ibi toni cum semitoniis similiter, sicut prius, <ut> videbitur, cum omnes consonantias tam simplices quam compositas ac earum partes ac partium partes deo dante posterius ordinabo in monochordo.

<Theorema 18>

Nulla fit harmonia diatesseron et diapason.

Pythagorici volentes diapason cum diatesseron non sonare bonam harmoniam eo, quod non dulciter neque suaviter veniret ad auditum, causam inquirentes invenerunt ipsam esse extra genus multiplicis et superparticularis, cum tamen omnis consonantia perfecta [214] in his generibus inventa sit, ut patet per figuram circulorum. Quod autem ipsa sit extra genus multiplicis et superparticularis, patet ex terminis. Nam proportio<ne> dupla, in qua diapason quiescit, iuncta cum proportione sesquitertia, quae diatesseron format, producitur proportio dupla superbipartiens tertias, ut patet in figura numerorum secunda, verbi gratia: 3 et 6 dant diapason, 6 et 8 diatesseron. Extrema iungantur 3 et 8, in qua diapason est cum diatesseron, exit proportio dupla superbipartiens uno solum distans tono a consonantia perfecta, scilicet a diapason cum diapente.

[216] In hoc autem tamquam inconvenienti Pythagorici quieverunt. Ex quo videtur intentio eorum, quod diatesseron intensa, super quam intenditur diapente, non sit consonantia, sicut, cum diapente intensa supra diatesseron intendatur, licet utrobique sit diapason in extremis.

Ptolemaeus autem non assentit, sed eos reprehendit asserens diapason cum diatesseron consonantiam esse bonam dicens, quod, cum secundum eos et secundum veritatem omnis perfecta consonantia simplex infra diapason continetur sic, quod, quidquid est supra diapason, est reiteratio, id est repetitio eorum, quae sub diapason continentur, imo quasi unus numerus sonans esse videtur, licet sit in duobus. Ergo cum diatesseron possit [218] intendi infra diapason, igitur et supra; nec est inconveniens, ut fiat in genere superbipartienti secundum Ptolemaeum in prima eius specie, scilicet in dupla superbipartienti, ut in numeris praedictis. Nec Boethius in sua musica, nec alii musici, quos viderim, hanc quaestionem determinarunt. Scio tamen, quod est similis illi quaestioni, utrum diatesseron sub diapente, id est ante diapente, sit consonantia, quia non est dubium, quin diatesseron supra diapente optima sit et dulcis.

Ego autem dico, si conceditur diapente priorem esse diatesseron, sicut sesquialteram proportionem ante sesquitertiam, concessum erit diatesseron sub diapente, id est ante [220] diapente, non consonantiam esse, quare neque diatesseron supra diapason, cum ibi similiter diatesseron sub diapente ponatur. Item de natura consonantiarum, ex quo fiunt ad modum numerorum et proportionum, est magis fieri per intensionem quam remissionem, quare magis consonat diatesseron post diapente quam ante. Item prior est comparatio diapason ad diapente quam ad diatesseron, ut prius comparatur 12 ad 8 quam ad 9, quoniam 8 est ante 9. Quare dia<tesseron> post diapente invenitur, unde, si non esset diapente, non esset diatesseron. Item etiam, si obiicitur, quod dicitur in quinta propositione, diapente sequi diatesseron in uno tono, verum est, in quantum est diatesseron sonantia, sed non in quantum consonantia. Item tonus praecedit et tamen [222] non est consonantia, sed pars eius, sic dico diatesseron ante diapente non esse consonantiam, ut Pythagorici voluerunt, sed partem eius. Post autem diapente consonantia debet dici et sic diapason non ex se est, sed ex duabus consonantiis actu, scilicet diatesseron et diapente, quibus duabus positis impossibile est illam non poni, imo forte non nisi secundum quid differt a duabus propter praedicta. Figuram nota sequentem, quae est K.

[224] [Musica speculativa A, 224; text: Duplex Diapason quadrupla, Diapason cum Diapente tripla, Diapason simplex dupla, Diapason cum Diatesseron, Diapente simplex, Diapason simplex, Diatesseron simplex, Tonus, Diatesseron simplex, 3, 6, 8, 9, 12] [MURMSP 05GF]

In hac figura sunt simplices consonantiae et compositae appositis apponendis cum etiam subtractis subtrahendis, quod patet titulos intuenti.

In hac autem figura sit prima pars huius operis, <quae> de consonantiarum speculatione animam considerantis informat et disponit faciliter ad maiora, ut ego ex sollemnibus doctrinis Boethii potui congregare divina gratia largiente.

[226] <Liber secundus>

Monochordo accedendum est, in quo omnes consonantiae et earum partes et partes partium denotantur, ac inde secundum consequens de compositione variorum instrumentorum ac eorum cognitione, ignotorum inventione, quae novorum maximam praestat fidem de consonantiis.

[228] <1>

Primas harmonias in plano describere vere.

Harmoniae primae et perfectae simplices dicuntur: diapason, diapente, diatesseron. Nunc restat istas super datam lineam vel super assignatum spatium figurare.

Sit a.b. data linea tamquam proportionis fundamentum, ea secta per medium in puncto c., diapason dulcissime resonabit; nam a.b. dupla est ad a.c.. Scindatur iterum a.b. in tres partes, quae erunt a.d., d.e., e. b.; in a.e. vero super a.b. dulcem diapente formabit, [230] quoniam a.b. ad a.e. sesquisecundam facit proportionem. Sique a. b. in partes quatuor dividatur in punctis a.f., f.c., c.g., g.b., a.g. comparatum ad a.b. diatesseron complebit idemque faciet b.f. ad a.b. sive a.e. ad a.c. eritque inventus a.e. ad a.<g.> tonus. Sed quoniam eadem chorda nunc ad sui partes relata est, fiant plures secundum divisionem iam dictam et erunt 4 chordae sic dispositae, sicut sunt hic:

[232] [Musica speculativa A, 232; text: Diatesseron, Diapente, Diapason, tertia, quarta, a, f, d, c, e, g, b, Instrumentum Mercurii Tetrachordum nominatum] [MURMSP 06GF]

Et debent percuti sic, quod sonent nunc duae et nunc tres et nunc quatuor, si tu velis, ut auris habeat consonantiam iudicare, quam prius ignorabas, et per informationem intellectus et sensus tunc miraberis circa sonorum consonantias apparentes, tunc mirabiles sonorum consonantias naturales iudicas. [234] Hoc est primum instrumentum, quod hominibus antiquitus fuit notum, et fuit instrumentum Mercurii et duravit usque ad tempus Orphei, tetrachordum nominatum. De situatione chordarum secundum prius et posterius non est vis modo, nam prius et posterius non sunt differentiae consonantiarum. Debitus situs nervorum videbitur in monochordo et chordarum pluralitas, de qua modo non est vis.

<2>

In gravitate tonum vel acuta parte docere.

Primo volo tonum in parte acuta formare: Sit sonus b.. Ab hoc intendo alium sonum, [236] qui sit diapente in c., a quo retracto diatesseron in d. Cum igitur inter diapente et diatesseron sit differentia tonus, repertus d.b. in acuta parte tonus est; ac in parte gravi sic: Super b. diatesseron intendo ad f., a qua diapente remitto ad k., erit ergo k.b. tonus, verbi gratia in figura M.

Consonantiam intendere est de sono gravi acutiorem facere et remittere est de acuto graviorem facere, modo utrobique potest fieri tonus, ut dictum est. Et patet hoc breviter, [238] si diatesseron et diapente seorsum intendantur, ut 68, 69, inventus est tonus in acuta parte. Sique ambo ab eodem termino remittantur, inventus est in gravi parte, ut 12 8 12 9. Et hoc est intelligendum quantum ad quantitatem discretam, non autem continuam. Et sic iste modus est contrarius praecedenti, sed in idem rediit; nam cum chorda plus habet de quantitate continua, gravior est, et cum minus, acutior. <Est> ita, quod, cum plus habet de quantitate discreta, id est plures motus, acutior est, cum minores, gravior et sic eadem proportio manet, quocumque modo formatur.

[240] [Musica speculativa A, 240; text: Prima pars M, Secunda pars M, Diapente remissa, Diapente intensa, Diatesseron intensa, Tonus in gravi parte, Tonus in acuta parte, Diatesseron remissa, k, b, d, f, c, Diapason, Tonus in gravi et in acuta, 6, 8, 9, 12] [MURMSP 06GF]

<3>

Atque semitonium parvum sive maius habere.

Primo ad acutam partem sic potest minus semitonium inveniri: sit a. sonus, a quo ad b. diatesseron intendatur. A b. rursum ad c. diatesseron sit intensa, et a c. usque ad d. [242] remittatur sic diapente, est ergo tonus b.d.. Item a d. intendatur diatesseron ad e., a quo ad f. diapente remissa sit, ergo tonus exit d.f.. Cum igitur a.b. sit integra diatesseron et b.d. et d.f. sunt duo toni, sequitur, quod f.a. sit residuum, et istud minus semitonium nuncupatur. Ad partem vero gravem fiet sic: Sit sonus datus a., a quo intendantur duo toni continui ad g., et a g. diatesseron remittatur ad k., erit a.k. minus semitonium, quod volebam invenire.

[244] [Musica speculativa A, 244; text: Prima pars figurae N, Diapente remissa a sono, Diatesseron intensa super sono a, Semitonium minus in acuta parte, Tonus, a, f, d, b, e, c, Secunda pars N, Diatesseron remissa, Duo toni intensi, Semitonium minus in gravi parte, k, g] [MURMSP 07GF]

Invento igitur minori semitonio in parte gravi et acuta, restat utrobique maius semitonium invenire. Ad partem acutam sic: Tres tonos continuos intendo, qui sunt a.b., b.c., c.d., deinde super a. acutam formo diatesseron, quae sit a.f., sequitur per ea, quae prius in <prima> parte sunt dicta, quod c.f. est minus semitonium, quare d.f. est maius [246] semitonium, quod est propositum.

In gravem partem sic: Sit semitonium intensum minus a.d. et a d. remittatur tonus ad e., erit a. e. maius semitonium in gravi parte repertum. Et haec patent in figura O.

[Musica speculativa A, 246; text: Prima pars O, Tres toni, Diatesseron intensa, Tonus, Semitonium minus, Semitonium maius in acuta, a, b, c, f, d, Secunda pars O, Tonus remissus, Maius semitonium in gravi, Minus semitonium intensum, e] [MURMSP 08GF]

[248] <4>

Hic propono grave vel acutum comma docere.

In acuta parte comma sic habetur: Ab a. sono maius semitonium intendatur per praecedentem ad b., a quo minus semitonium remittatur in c., erit tunc c.a. comma per decimam quintam primi <libri>.

Sed ad grave<m> sic: Ab a. sono minus semitonium sit intensum, quod sit a. d., a quo maius semitonium remissum sit in e., erit a.e. comma in gravi parte repertum, ut patet in figura P.

[250] [Musica speculativa A, 250; text: Prima pars P, Secunda pars P, Maius semitonium intensum, Minus semitonium intensum, Comma in parte acuta, Minus semitonium remissum, Comma in parte gravi, Maius semitonium remissum, a, c, b, e, d] [MURMSP 08GF]

<5>

His expeditis monochordum scire velitis.

In praecedentibus est ostensum de speculatione consonantiarum et de his, quae circa consonantias contingunt, in prima parte huius opusculi et de earum reductione ad sensibiles figuras, quae multum placent mathematicis, quoniam veritas, quae est in intellectu, per eas ad iudicium visus et auditus conformiter reducta est. Cumque omnis [252] consonantia sit composita ex tonis vel semitoniis maioribus vel minoribus aut eorum partibus, ut visum est, infertur iam esse conveniens ad divisionem monochordi accedere, in quo sunt omnes consonantiae perfectae simplices et compositae, toni, semitonia et reliqua. Ad cuius divisionem aliqua praeambula praeferuntur:

Primum est: Omnis divisio monochordi, quod in se continet implicite et virtualiter omnia genera instrumentorum, vadit per tetrachorda. Omne autem tetrachordum vocant musici spatium duorum tonorum cum minori semitonio et haec est diatesseron et rationabiliter moventur. Nam, ut in praecedentibus est ostensum, bis diapason ad semel diapason reducitur, diapason autem ad diapente cum diatesseron, diapente autem diatesseron praesupponit et haec omnia prius sunt manifesta. Diatesseron autem nullam consonantiam praesupponit, sed tonum et semitonium. Hinc est, quod unanimiter omnes [254] musici tam antiqui quam novi primum tetrachordum diatesseron esse concesserunt, quoniam quilibet tonus duas chordas requirit et similiter semitonium duas; modo, cum in diatesseron sint duo toni cum semitonio, manifestum est quatuor chordas diatesseron continere. Quaelibet autem chorda servit pro fine unius toni et initio alterius praeter primam et ultimam.

Secundum praeambulum est, quod, cum illud tetrachordum possit reiterari, ut altius ascendat per diapente ad diapason, sicut reiteratur diatesseron, hoc potest contingere dupliciter: per tetrachordum coniunctum vel divisum. Coniunctum est, quando ultima primi tetrachordi est initium secundi. Et sic in his duobus tetrachordis erunt in primo duo toni cum uno semitonio et in secundo totidem, in summa ergo quatuor toni cum [256] duobus semitoniis et sunt minora, ut visum est prius. Et iterum super finem secundi tetrachordi potest fundari tertium et sic semper.

Disiunctum tetrachordum est, quod cum post ultimam chordam primi tetrachordi additur chorda distans, ab ea per spatium toni et super eam invenitur iterum aliud tetrachordum et sic ut prius. Notandum est, quod in duobus tetrachordis coniunctis sunt 7 chordae, sed in disiunctis 8. Item notandum, quod in diapason sunt duo tetrachorda coniuncta cum uno tono, sed duo tantum disiuncta. Ista possunt augeri duplicando triplicando, quotiens placuerit augeri.

[258] Tertium praeambulum est de divisione tetrachordi, quod est diatesseron. Antiqui tripliciter locuti sunt de divisione tetrachordi. Diviserunt enim quidam per tonum et tonum cum semitonio, ut dictum est, hinc quatuor chordas apponentes, quarum ultima ad primam diatesseron sonabat, et appellaverant hoc genus canendi 'genus diatonicum'. Alii diviserunt ipsum diatesseron et suum tetrachordum in semitonio minori primo et semitonio minori secundo et tribus semitoniis, quatuor chordas apponentes similiter, super quarum prima ad ultimam diatesseron resonabat, et hunc modum dixerunt 'chromaticum'.

Alii diatesseron diviserunt in medietatem unius semitonii et aliam medietatem semitonii eiusdem et in duos tonos cum quatuor chordis eiusdem sicut prius et haec vocarunt [260] 'genus canendi enarmonicum' et medietatem semitonii appellaverunt 'diesim', et sic illud genus erat ex 'diesi' et 'diesi' et duobus tonis. Et exempla huius triplicis generis melodiarum triplici figura signabo.

[Musica speculativa A, 260; text: Tetrachordum coniunctum, Tetrachordum disiunctum, Tonus, Semitonium] [MURMSP 09GF]

[262] Sed miror multum et nescio, quod in partibus nostris, ubi viget religio katholica fidelium in orbe terrarum, numquam in usu ceciderunt illa duo genera melodiarum, 'chromaticum' et 'enarmonicum', sed in genere diatonico omnis cantus ecclesiasticus, quem invenerunt sancti patres et doctores et homines bonae mentis et dignae memoriae <est>. Omnis cantus mensuratus per tempora certa, ut in conductis, modulis, cantilenis caeterisque modis, omnisque cantus laicorum, virorum et mulierum, iuvenum et senum, omnisque cantus cunctorum nostrorum instrumentorum - nescio [264] quo spiritu, nisi divino quodam nutu et spontanea voluntate - naturaliter incidit et sonetur per diatonicum; in qua parte orbis terrarum, in quibus angulis regionum, sub qua parte caeli modo latitant alia duo genera, nescio. Nihil plus opinor nisi quod quasi contra naturalem inclinationem humanarum vocum ad cantus divisa sunt. Scio enim, quod aut vix aut numquam humana vox in his generibus concordaret nec umquam de seipsa certa esset; in instrumento tamen possibile est multum. Tamen non dubito, <quin> dura et aspera iniocundaque esset illa musica istorum duoram modorum hominibus imbutis in [266] tertio genere diatonico, ut nos sumus: hoc autem non ignoro, quin posset diatesseron etiam dividi in quinque semitonia per maiora et minora, per commata. Sed ex hoc esset excedere tetrachordum in figuris et chordis; verbi gratia de praedictis patet in figura.

<6>

Nunc ego concordo Boethii cum monochordo.

Cum igitur haec tria genera semper in diatesseron concurrunt, sed in mediis variantur, nulli debet esse dubium, quin diviso monochordo secundum diatonicum genus [268] secundum etiam alia genera divisum sit. Quare de divisione monochordi in diatonico genere agendum sit. In cuius tamen divisione non ponitur, nisi tonus aut semitonium minus. Divisiones autem monochordi per litteras signabo et in eius descriptione in plano nomina chordarum, quae priores imposuerunt, et numeros, ad quos proportio consonantiarum refertur. Et quoniam vult Boethius, quod longior chorda plures partes et maius spatium obtinet minore, ergo sibi maiorem numerum attribuit et sonum gravem, breviori chordae minorem numerum et acutum sonum. Licet fieri aeque bene possit [270] e contrario longiori eo, quod pauciores motus continet breviore, sibi minorem numerum dare, breviori vero plures numeros eo, quod plures motus habet, ut ipse innuit libro suo, quocumque modo fiat, numquam proportio variatur.

Primo ponam divisionem monochordi secundum Boethium, in quo non est nisi bis diapason. Quantum ad proportionem numerorum licet non repugnat ei esse ter vel quater diapason. Et quoniam ex praedictis habetur, quomodo bis diapason et semel et eorum consonantiae sunt inventae, igitur non restat, nisi figuram describere super plano, et statim in ea videbitur clarissime monochordum in genera diatonico secundum Boethium, ut hic patet in figura subsequenti de monochordo secundum Boethium.

[272] [Musica speculativa A, 272; text: Bis Diapason, Monochordum Boethii, Diapason, Diapente, Diatesseron, Proslambanomenos, 9216, Hypatehypaton, 8192, Parhypatehypaton, 7776, Lychanoshypaton, 6912, Hypatemeson, 6144, Parhypatemeson, 5832, Lychanosmeson, 5184, Mese, 4608, Paramese, 4096, Tritediezeugmenon, 3888, Paranetediezeugmenon, 3456, Netediezeugmenon, 3072, Tritehyperboleon, 2916, Paranetehyperboleon, 2592, Netehyperboleon, 2304, Tonus, Semitonium] [MURMSP 09GF]

<7>

Sed monochordalem propono <de>scribere talem.

Iuxta illam divisionem, quam dat Boethius de monochordi sui divisione, volo similiter dividere monochordum, solum situm mutando chordarum et numerum earundem, quoniam illa maneries canendi, quae suo viguit tempore super numeros, tempore nostro [274] sic est solum accidentaliter variata, quia nostra placentior est auditui quam antiqua. Subtiliataque multum est musica per exercitium musicorum modernorum non solum litteratorum hominum in hac arte studentium auxilio vel inventione. Sed et vulgus commune et specialiter iuvenes ac etiam mulieres ad hanc moventur, nescio qua sorte, nisi naturali industria a superiori circulo regulata. Mutantur enim haec continue et illa revoluto sorte circulo aliquo redibunt et erunt sicut prius.

Hoc meum monochordum divido tali modo: Sit a. b. chorda posita super planum, secta [276] per medium in puncto i., igitur a.i. ad a.b. diapason consonantiarum melior inventa est. Item a.i. per aequalia divisa in puncto q., a q. ad b. bis diapason de genere meliore sonabit. Sique rursum a.q. per aequalia partiretur, surgeret ter diapason de eo genere multiplici, et sic ultra quamdiu libeat dividenti, et auris consonantiam poterit iudicare. In hoc virtus intellectiva superat sensitivam. Sic ergo meliores consonantiae notae fiunt et sint in primo gradu certitudinis.

[278] Aliae autem assequuntur eas sic: Dividatur a.b. chorda iterum in tres partes, quarum una tertiarum sit b.f., f.a. vero duas alias continebit. Ergo f.a. ad a.b. meliorem extra genus multiplicis resonabit, scilicet diapente, quae non differt, nisi per mediam, quae est diatesseron per quartam primae partis et est in chordis a.i., a.f.. Sed sic invenies hanc in a.b.: Abscissa sit iterato a.b. per quatuor quartas aequales, quarum una quartarum sit b.e., alias tres contineat in se a.e. atque a.e. ad a.b. diatesseron sonum faciet. [280] In consonantiis igitur figuratis restat tonos et semitonia reperire, per quae fit ascensus et descensus ad consonantias supradictas: A.b. chordae sit nona pars b.c., tunc a.c. a.b. per unicum tonum elevatur. A.c., quae chordae sit, adhuc nona pars c. d., erit a.d. ad a.b. ditonus manifestus. Iamque vero in chordis a.d. a.e. semitonium minus notum venit et per consequens a.e. ad a.b. ditonus cum semitonio minori, quod unico nomine diatesseron appellatur. Et consequenter tu habes tritonum cum semitono in a.f., a.b., videlicet diapente. Praeterea a.f. partis chordae a.b.: Sit nona pars f. g., erit a.g. ad a.b. tonus cum diapente aut ditonus cum diatesseron. Rursus chordae a.e. sit quarta pars e.h., [282] a primo ad ultimum erit a.h. ad a.e. diatesseron manifesta, ergo a.h. ad a.g. minus semitonium inventum est. Item a.h.: h.i. sit nona pars, reddit a.i. ad a.b. diapason nota prius, in cuius divisione sunt quinque toni cum duobus semitoniis minoribus, ut visum est. Cum ergo semel diapason ad sui intrinseca sit divisa, eodem modo per reiterationem bis diapason dividere necesse est. Continet autem hoc instrumentum 19 chordas, scilicet bis diapason cum diapente, licet sit possibile ulterius augmentari. Et est in figura trianguli orthogoni quantum ad duo sui latera. Sed tertium latus non sub una linea cadere potest, sed maxime ad circumferentiam accedit super tria puncta descripta. Potest tamen in aliis figuris describi tam quadratis equilateris vel oblongis circularibus concavis sive planis. [284] Et sic in virtute hoc monochordum omnia in se continet instrumenta. Diversas tamen figuras, ad quas potest hoc monochordum transferri, exempli ego causa tibi describere volo. Quorum figurae sunt in hoc ordine consequentes. Et sic est finis deo summo gratias. Explicit musica M<agistri> Jo<hannis> de Muris concordans cum musica Boethii per manus Johannis Baccalarii de Elkusch in die sancti marti 1445.